廣東省六校2022屆高三下學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附解析

廣東省2022屆高三六校第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共22題，滿分150分.考試用時120分鐘一、單項選擇題（每小題有且只有一個正確選項，把正確選項填涂在答題卡相應(yīng)位置上.每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】，故，，故選：B．2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)，因此點位于第二象限，選B3.北京冬奧會已在北京和張家口市如火如荼的進行.為了紀念申奧成功，中國郵政發(fā)行《北京申辦2022年冬奧會成功紀念》郵票，圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標志”.先從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有2枚會徽郵票的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出從一套5枚郵票中任取3枚的方法數(shù)，再求出3枚中恰有2枚會徽郵票的方法數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解【詳解】由題意可得從一套5枚郵票中任取3枚的方法數(shù)為種，取出的3枚中恰有2枚會徽郵票的有種，所以從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有2枚會徽郵票的概率為，故選：C4.已知一組數(shù)據(jù)共10個數(shù)（10不全相等），方差為，增加一個數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，方差為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以先設(shè)10個數(shù)據(jù)，根據(jù)題意，求出第11個數(shù)據(jù)，再按照方差的定義計算即可.【詳解】設(shè)這10個數(shù)據(jù)為：，平均值為m，則，第11個數(shù)據(jù)為y，由題意，；，；故選：C.5.已知正四面體的棱長為1，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解.【詳解】因，所以.根據(jù)向量的減法法則，得，所以故選：C.6.函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象知，利用周期公式即可解得，又，解得，即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)函數(shù)，則由圖可知，，解得,所以，解得，將點代入函數(shù)中，即，解得當時，.的解析式為：.故選：D.7.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像的特征，如函數(shù)（）的圖像不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，分類，和三種情況分類討論，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，當時，函數(shù)且，圖象如選項B中的圖象；當時，若時，函數(shù)，可得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，此時選項C符合題意；當時，若時，可得，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以選項D符合題意.故選：A.8.在三棱柱中，側(cè)棱平面ABC，，，，，P為側(cè)棱的中點，則四棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，交于點O，連接OP．根據(jù)題意數(shù)量關(guān)系求得，得到，又在矩形中，，得到點為四棱錐外接球的球心，可得外接球的半徑，進而得到表面積.【詳解】連接，交于點O，連接OP．因為平面ABC，所以在矩形中，由P為的中點，知．在中，，所以．在中，，所以，所以，又O為的中點，所以，又在矩形中，，所以點為四棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑，其表面積，故選：B．二、多項選擇題（每小題有多于一個的正確選項，全答對得5分，部分答對得2分，有錯誤選項的得0分，總分20分）9.在平面直角坐標系中，已知，設(shè)下列圓錐曲線的焦點是，則滿足的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義求出焦點坐標，然后利用兩點間距離公式逐一驗證即可.【詳解】對于A：的焦點坐標為，顯然，故A正確.對于B：的焦點坐標為，所以，故B錯誤.對于C：因為點A在y軸上，距離橢圓的左右焦點距離相同，故以右焦點為例：，，焦點為，所以，故C正確.對于D：因為點A在y軸上，距離雙曲線的左右焦點距離相同，根據(jù)雙曲線的定義，，右焦點為，所以，故D錯誤.故選：AC10.已知，是二個不重合的平面，是直線．給出下列命題，其中正確的命題有（）A.若上兩點到的距離相等，則B.若，，則C若，，且，則D.若直線滿足：，，且，則【答案】BC【解析】【分析】分析每一小問的幾何意義，應(yīng)用相關(guān)的幾何定理即可.【詳解】對于A，作圖如下：直線AB上的A，B兩點到平面的距離相等，但AB不平行于，故A錯誤；對于B，由于，則在平面內(nèi)必有一條直線與l平行，即，所以，故B正確；對于C，若，則在平面內(nèi)必有一條直線，又∵，有，即在平面內(nèi)必有一條直線，由平行線的傳遞性得，，故C正確；對于D，由于可得，故D錯誤；故選：BC.11.已知，設(shè)，，以下四個命題中正確的有（）A若，則有最小值 B.若，則有最大值2C.若，則 D.若，則有最小值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意和基本不等式、重要不等式依次求出最小值與最大值即可判斷選項.【詳解】由題意知，，，A：當時，，當且僅當即、時等號成立，所以M的最小值為，故A正確；B：當時，，當且僅當時等號成立，令，則，且，解得，即，解得，所以，故B正確；C：當時，，當且僅當時等號成立，所以，解得，所以，故C正確；D：當時，得，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?，整理得，解得，故D錯誤.故選：ABC12.設(shè)隨機變量的分布列如下：12345678910則（）A.當為等差數(shù)列時，B.數(shù)列的通項公式可能為C.當數(shù)列滿足時，D.當數(shù)列滿足時，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)知，利用特殊值法可判斷A，由裂項相消法求和可知B正確；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可判斷C，利用的關(guān)系，可判斷D.【詳解】由題目可知；對于選項A，若為等差數(shù)列，則不成立，比如公差為0時，，故選項A不正確；對于選項B，顯然，又，，因此選項B正確；對于選項C，由，則，所以，因此選項C正確；對于選項D，令，則即，，于是有，解得，于是有因此選項D正確.故選：BCD三、填空題(每小題5分，共20分，把正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.)13.已知的展開式中第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中的常數(shù)項為____________.【答案】60【解析】【分析】利用已知求出的值，然后再求出展開式的通項公式，令的指數(shù)為零即可求解.【詳解】由已知可得，第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，則，解得，則的展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：.14.已知為奇函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程為_______________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)在時的解析式，求導(dǎo)，用點斜式直線方程即可.【詳解】由題意時，，是奇函數(shù)，時，，，，由點斜式直線方程得，整理得；故答案為：.15.如圖，已知為的重心，且，若，則角的大小為_______.【答案】##【解析】【詳解】分析：利用余弦定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)求值即可得出．詳解：連AO并延長與BC相交于點D，∵為的重心，∴點D是BC的中點，且．設(shè)AD=m，∠ADB=α．則，以上兩式兩邊分別相加可得：又，∴．又，在中，由余弦定理的推論得．∵，∴．點睛：本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．由于題中涉及的三角形較多，故解題的關(guān)鍵是分清是用哪個三角形，然后根據(jù)條件選擇余弦定理合適的形式求解．16.過拋物線的焦點作直線與拋物線交于、兩點，線段的垂直平分線交軸于，點為的平分線上任意一點，記與的面積分別為、，則______．【答案】##【解析】【分析】由角平分線的定義得，設(shè)線段的垂直平分線與交于點，轉(zhuǎn)化為求，分別過點、作拋物線的準線的垂線，垂足分別為、，再過點作，垂足為，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】因為P為的平分線上任意一點，所以，設(shè)線段的垂直平分線與線段交于點，分別過點、作拋物線準線的垂線，垂足分別為、，再過點作，垂足為．因為，，所以，所以．設(shè)，（不妨設(shè)），由拋物線定義得，，所以．而，所以．故答案為：.四、解答題（要求寫出必要的過程，第17題10分，第18~22題各12分，共70分.）17.已知的內(nèi)角對的邊分別為，，.（1）求；（2）若邊上的中線為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，然后利用正弦定理結(jié)三角函數(shù)恒等變換公式可求出角，（2）由題意可得，兩邊平方化簡可求出【小問1詳解】由，，得由正弦定理可得∴∴，【小問2詳解】因為為邊上的中線，所以,所以，所以，即解得或-4（舍去）18.已知正項數(shù)列滿足前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由化簡可知是以為首項，公差為的等差數(shù)列，進而求得.（2）由可知，進而求得.【小問1詳解】由可得即：，，是以為首項，公差為的等差數(shù)列當時，當時，所以：【小問2詳解】當時，當時，由可得：①②由①-②得：當時，當時，當時，綜上，19.根據(jù)我國國家統(tǒng)計局的數(shù)據(jù)顯示，2020年12月份，中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為50.3%，比上月上升0.2個百分點.以新能源汽車、機器人、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)為評估某設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，，以頻率值作為概率的估計值，解決以下問題：（1）為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應(yīng)事件的頻率）：①；②；③．評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足①②，不滿足③，則等級為乙；若僅滿足①，不滿足②③，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁．試判斷設(shè)備M的性能等級；（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，①從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望；②從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）性能等級為丙（2）①；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得求出、和，結(jié)合題意即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)二項分布即可求出，根據(jù)超幾何分布可得的分布列，進而求出即可.【小問1詳解】由表格可知因為設(shè)備的數(shù)據(jù)僅滿足不等式①，故其性能等級為丙.【小問2詳解】易知樣本中次品共6件，可估計設(shè)備生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知～，于是，Z可能的取值為，；；由題意可知的分布列為故.20.已知矩形紙片滿足，，為中點，將該紙片沿對角線折成空間四邊形，使得二面角的大小為.（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)體積比例關(guān)系，計算出三棱錐的高和底面積，即可求解.（2）建立直角坐標系，算出平面的法向量，然后根據(jù)直線方向向量和法相量的交角公式計算即可.【小問1詳解】解：由題意得：三棱錐的體積當時，取最大值，在矩形中，過作交于點，此時，三棱錐的高，的最大值所以三棱錐體積的最大值小問2詳解】過作，垂足為，過作，垂足為以為坐標原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系（如圖所示）設(shè)平面的法向量為取，得設(shè)直線與所成角為21.若，且直線與曲線相切.（1）求的值；（2）證明：當，不等式對于恒成立.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)切點為，則有，解之即可的解；（2）要證當，不等式對于恒成立，只需證當，不等式對于恒成立，令，只需證明即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得證.【小問1詳解】解：設(shè)切點為，，則，解得：，；【小問2詳解】證明：要證當，不等式對于恒成立，只需證當，不等式對于恒成立，令，令，，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，故，，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，又，所以，所以在上遞增，又因為，故恒成立，即當，不等式對于恒成立.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了放縮及轉(zhuǎn)換思想，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、計算能力及邏輯推理能力，難度很大.22.如圖，已知圓，點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓O，點的集合記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知直線，，過點的直線與交于兩點，與直線交于點，記的斜率分別為，問：是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，