河南省豫北名校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)4月期中考試試卷（含答案）

河南省豫北名校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)4月期中考試試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四五總分評(píng)分一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z1=2?i，zA．?1+i B．1?2i C．2+i2．在△ABC中，已知a=43，c=12，C=π3A．π3 B．π6 C．π6或5π6 3．下列說法正確的是（）A．等腰直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體一定是圓錐B．過球心的平面截球面所得的圓面的圓周的半徑等于球的半徑C．棱錐的側(cè)棱一定相等D．正三角形的平面直觀圖一定是等腰三角形4．已知向量a，b，且|a|=2，|b|A．8 B．9 C．17 D．155．圓臺(tái)上?下底面半徑分別是1?2，高為3，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）A．733π B．23π 6．若平面α∥平面β，直線m?平面α，點(diǎn)M∈平面β，則過點(diǎn)M且與直線m平行的直線有（）A．0條或無數(shù)條 B．2條C．0條或1條或無數(shù)條 D．1條7．歐拉恒等式eiπ+1=0（i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式eix=cosx+isinx的特例：當(dāng)自變量x=π時(shí)，eixA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則(2aA．?2 B．1 C．2 D．9．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，與直線CN平行的直線是（）A．DE B．AB C．BF D．BM二、多選題10．已知△ABC的重心為O，邊AB，BC，A．OAB．若△ABC為正三角形，則OAC．若AO?(ABD．OD三、單選題11．在正方形ABCD中，AB=2，P為BC的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)，M為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則A．[?1，12] B．[?1，0]12．“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡．”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》．如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形．山腳呈圓形，半徑為40km．山高為4015km，B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB=40A．60km B．126km C．72km D．12四、填空題13．已知復(fù)數(shù)a?2ii=b+3i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則ab=14．如圖所示，平面四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形A'B'C'15．在△ABC中，A=π4，AB=216．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為球心，10為直徑的球的球面記為五、解答題17．設(shè)ω=?1（1）證明：(ω（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，利用公式x3?1=(x?1)(x18．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACD=π3，（1）若△ABC的面積為93（2）在（1）的條件下，若AD=26，求cos2D19．設(shè)向量OA=(?2，3)，OB（1）當(dāng)x=1時(shí)，以O(shè)A，OB為基底表示（2）若OB，OC的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)20．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知sinB=（1）證明：b2（2）若A=2C，a=2，求△ABC的周長(zhǎng).21．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，（1）證明：平面EFG//平面C（2）問在線段CD上是否存在一點(diǎn)P，使得DQ∥平面D1PH？若存在，寫出22．在△ABC中，設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知b=2a?2ccosB，且三角形外接圓半徑為（1）求C的大?。唬?）若△ABC的面積為23，求cos（3）設(shè)△ABC的外接圓圓心為O，且滿足cosBsinA

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】z1故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，進(jìn)而得出z12．【答案】B【解析】【解答】由于a<c，所以A是銳角，由正弦定理得asinA=解得sinA=12故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合大邊對(duì)應(yīng)大角的性質(zhì)，所以角A為銳角，再利用正弦定理得出角A的正弦值，再結(jié)合角A的取值范圍得出角A的值。3．【答案】B【解析】【解答】對(duì)于A，當(dāng)繞等腰三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得為兩個(gè)圓錐的組合體，A不符合題意，對(duì)于B，過球心所截的截面半徑最大，即為球的半徑，B對(duì)，對(duì)于C，棱錐的側(cè)面是有公共的頂點(diǎn)的三角形，但是各側(cè)棱不一定相等，C不符合題意，對(duì)于D，正三角形的直觀圖中高為原來的一半且與底面成45°，其不為等腰三角形，D不符合題意.故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合圓錐、球的截面、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，再結(jié)合斜二測(cè)畫法畫平面直觀圖和等腰三角形的定義，進(jìn)而找出說法正確的選項(xiàng)。4．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)閍⊥b，所以所以|==故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的運(yùn)算法則和數(shù)量積的定義，進(jìn)而得出|25．【答案】A【解析】【解答】由圓臺(tái)體積公式知：V=1故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合圓臺(tái)的體積公式得出這個(gè)圓臺(tái)的體積。6．【答案】D【解析】【解答】∵α∥β，M∈β，∴M?α，∴點(diǎn)M和直線m可以確定唯一一個(gè)平面γ，設(shè)β∩γ=n，∵α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，∴m∥n，∴過點(diǎn)M的所有直線中有且只有一條與m平行的直線n．故答案為：D．

【分析】利用已知條件結(jié)合空間直線平行的判斷方法，進(jìn)而得出過點(diǎn)M的所有直線中有且只有一條與m平行的直線n。7．【答案】A【解析】【解答】由題意z=eiπ故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合歐拉公式得出復(fù)數(shù)z，再結(jié)合三角函數(shù)在各象限的符號(hào)和復(fù)數(shù)的幾何意義，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)所在的象限。8．【答案】B【解析】【解答】解：以a，b交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則a=(2，1)，b=(2，?1)，故答案為：B.

【分析】以a，b交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.9．【答案】C【解析】【解答】正方體的平面展開圖所對(duì)應(yīng)的幾何體，如圖所示，其中點(diǎn)E，F(xiàn)重合，觀察圖形知，直線DE?平面ADNE，點(diǎn)N∈平面ADNE，N?DE，點(diǎn)C?平面ADNE，則DE與CN是異面直線，同理BM與CN是異面直線，A，D不是；而AB//DC，DC∩CN=C，DC，CN?平面CDNM，AB?平面FN//AD//BC，故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，再結(jié)合異面直線與平行直線的判斷方法，進(jìn)而找出這個(gè)正方體中，與直線CN平行的直線。10．【答案】B,D【解析】【解答】對(duì)于A，在△OAB中，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D=所以O(shè)A+對(duì)于B，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，O為△ABC的重心，所以O(shè)A=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，設(shè)OA=OB=OC=a，則OA=|==?3對(duì)于C，因?yàn)锳O?(AB?AC)=0所以O(shè)A⊥BC，所以C符合題意，對(duì)于D，因?yàn)檫匒B，BC，所以O(shè)D=12(OA因?yàn)镺為△ABC的重心，所以CO=2OD，所以所以O(shè)D==2=?OC故答案為：BD

【分析】在△OAB中，利用D為AB的中點(diǎn)結(jié)合中點(diǎn)性質(zhì)和平行四邊形法則，所以O(shè)A+OB=2OD；利用三角形△ABC為正三角形，O為△ABC的重心，所以O(shè)A=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，設(shè)OA=OB=OC=a，再結(jié)合數(shù)量積的定義得出OA?OB+OB?OC+OC?OA≠0；利用AO11．【答案】D【解析】【解答】由題知正方形ABCD中，AB=2所以以B為原點(diǎn)，BC，BA方向分別為由題可知B(0，設(shè)M(0，n)，則所以PQ?因?yàn)?≤n≤2，所以?1≤n?1≤1，即PQ?故答案為：D

【分析】由題知正方形ABCD中，AB=2，所以以B為原點(diǎn)，BC，BA方向分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題可知點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)M(0，n)12．【答案】C【解析】【解答】該圓錐的母線長(zhǎng)為(4015所以2×π×40160=π如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接A'B，過點(diǎn)S作由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B，記點(diǎn)P為A'下坡即P到山頂S的距離PS越來越大，則下坡段的公路，即圖中的HB，由Rt△SA'B～Rt△HSB故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合勾股定理得出該圓錐的母線長(zhǎng)，則圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為π2的扇形，展開圓錐的側(cè)面，連接A'B，過點(diǎn)S作A'B的垂線，垂足為H，由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B13．【答案】6【解析】【解答】由題意得a?2ii所以?2=b?a=3，即b=?2所以ab=6.故答案為：6

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則a?2ii=?2?ai，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念得?2=b?a=314．【答案】4+【解析】【解答】在等腰梯形A'B'C'D'由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B，D分別在x軸、y軸上，DC//AB，且顯然四邊形ABCD為直角梯形，于是得BC=A所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+6故答案為：4+

【分析】在等腰梯形A'B'C'D'中，∠D'A'B'=4515．【答案】5【解析】【解答】在△ABC中，由余弦定理得：BC=A所以△ABC的外接圓半徑R=1故答案為：5

【分析】在△ABC中，由余弦定理得出BC的長(zhǎng)，再結(jié)合正弦定理的性質(zhì)得出三角形△ABC的外接圓半徑。16．【答案】66【解析】【解答】作EP⊥BD1因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C所以BD1又BC⊥面D1DCC1，D1所以cos∠D1又D1所以在△D1EB即S△D1所以直線BD1被Γ截得的線段長(zhǎng)為故答案為：663

【分析】作EP⊥BD1于點(diǎn)P，分別連接D1E，D1C，DE，利用正方體ABCD?A1B1C17．【答案】（1）證明：(ω故(ω（2）解：z3=1，即z則z?1=0或z2當(dāng)z?1=0，z=1，當(dāng)z2+z+1=0，z=故方程的根為1或?1+3i2【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的判斷方法，進(jìn)而證出(ω)2=ω。18．【答案】（1）解：在△ABC中，AB=6，∠ABC=π3，△ABC的面積為所以S△ABC即12×6×BC×3在△ABC中，由余弦定理得AC所以AC解得AC=33（2）解：因?yàn)椤螦CD=π3，AC=33在△ABC中，由正弦定理ADsin所以sinD=所以cos2D=1?2sin【解析】【分析】（1）在△ABC中，AB=6，∠ABC=π3，△ABC的面積為932，再結(jié)合三角形的面積公式得出BC的長(zhǎng)，再結(jié)合余弦定理得出AC的長(zhǎng)。19．【答案】（1）解：當(dāng)x=1時(shí)，OC=(1，5)，設(shè)OC則有?2λ+2μ=13λ+μ=5，解得λ=所以O(shè)C=（2）解：因?yàn)镺B，OC的夾角為銳角，則OB?OC>0，且OB因此，OB?OC=2x+5>0，且x2≠所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為x>?52且【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合x的值得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量基本定理，從而以O(shè)A，OB為基底表示OC。20．【答案】（1）證明：因?yàn)閟inB=2Sb2?所以b2?c2=ac所以a2（2）解：由余弦定理，cosC=由（1）得bc=a2+b2在銳角△ABC中，所以B∈(0，π2)，C∈(0，若B+2C=π，則A=π?B?C=C，所以a=c，b2=(a+c)c=a所以B=2C，故B=A，即b=a=2，所以4?c2=2c，解得c=所以△ABC的周長(zhǎng)為5+3【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理，進(jìn)而證出b2c=B=2C或B+2C=π，再利用分類討論的方法和已知條件，從而結(jié)合反證法和三角形的周長(zhǎng)公式得出三角形△ABC的周長(zhǎng)。21．【答案】（1）證明：連接C1B，則有EF//EF?平面GEF，D1Q?平面GEF，所以GE?平面GEF，D1C?平面GEF，所以且D1Q?平面CD1QH，D∴平面GEF//平面C（2）解：如圖：設(shè)平面QDC與D1H的交點(diǎn)為N，正方體的棱長(zhǎng)為∵CD⊥平面AA1D1D，D又D1Q⊥DQ，DQ?平面DQC，CD?平面DQC，∴D連接QN，QN?平面DQC，∴D1Q⊥QN在△D1AH由余弦定理得：cos∠A在Rt△D1在平面QDC內(nèi)作直線NL//DC，交QD于L，則NL⊥平面AA在線段DC上取P點(diǎn)，使得DP=NL，則四邊形DPNL為矩形，QD//NP，NP?平面D1PH，QD?平面P點(diǎn)即是所求的點(diǎn)；取DC的中點(diǎn)K，連接HK，則HK⊥平面DD過N點(diǎn)在平面D1HK內(nèi)作HK的平行線NM，交D1WM=LN=DP，且D1∴DP=WM=D即P點(diǎn)的位置在靠近D點(diǎn)的DC線段的三分點(diǎn)處；綜上，存在點(diǎn)P滿足題意，P點(diǎn)在靠近D點(diǎn)的DC線段的三分點(diǎn)處.【解析】【分析】（1）連接C1B，則有EF//C1B，C1B//D1Q，再結(jié)合平行的傳遞性得出EF//D1Q，同理GE//D1CD1Q⊥平面DQC，連接QN，所以D1Q⊥QN，所以△D1QN是直角三角形，再利用勾股定理和余弦定理和余弦函數(shù)的定義，所以，在平面QDC內(nèi)作直線NL//DC，交QD于L，則NL⊥平面AA1D1D，NL⊥QD，在線段DC上取P點(diǎn)，使得DP=NL，則四邊形DPNL為矩形，QD//NP，再利用線線平行證出線面平行，所以QD22．【答案】（1）解：因?yàn)閎=2a?2ccosB，由正弦定理可得因?yàn)锽、C∈(0，π)，則sinB>0，cos（2）解：S△ABC=12abcos2A=c