第七章 圖形的變化 章節(jié)構(gòu)建二 圖形三大變換：平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn) 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

章節(jié)構(gòu)建二圖形三大變換:平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)

回歸教材·過(guò)基礎(chǔ)

【知識(shí)體系】

【考點(diǎn)清單】

知識(shí)點(diǎn)1圖形的軸對(duì)稱常．考．

1.定義

(1)軸對(duì)稱:把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折,能與另一個(gè)圖形重合.

(2)軸對(duì)稱圖形:把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折,直線兩旁的部分能夠互相重合,這條直線就是它的對(duì)

稱軸.

2.性質(zhì)

(1)對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分;

(2)對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等;

(3)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是①.

3.常見(jiàn)應(yīng)用——圖形折疊問(wèn)題

折疊問(wèn)題是軸對(duì)稱變換常見(jiàn)問(wèn)題,折痕所在直線就是對(duì)稱軸,折疊前的部分與折疊后的部分看作成

軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形.

技巧提示

軸對(duì)稱指的是兩個(gè)彼此獨(dú)立的圖形,沿著對(duì)稱軸折疊之后,兩旁的部分可以重合;軸對(duì)稱圖形

指的是一個(gè)圖形,沿著過(guò)圖形本身的直線折疊兩旁的部分可以重合.

知識(shí)點(diǎn)2圖形的中心對(duì)稱常．考．

1.定義

(1)中心對(duì)稱:把一個(gè)圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,與另一個(gè)圖形重合,這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)前后

能夠重合的點(diǎn)叫作對(duì)稱點(diǎn).

(2)中心對(duì)稱圖形:把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,能與原來(lái)的圖形重合,這個(gè)圖形叫作中心對(duì)

稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱中心.

2.性質(zhì)

(1)關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等,即對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等;

(2)關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)②,并且被對(duì)稱中心平分.

技巧提示

中心對(duì)稱指的是兩個(gè)彼此獨(dú)立的圖形,繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后,兩圖形可以重合;中心對(duì)稱圖

形指的是一個(gè)圖形,繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°后與自身重合.

知識(shí)點(diǎn)3圖形的平移輪．考．

1.定義

在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離,這種變換叫作平移變換,簡(jiǎn)稱平移.確定一個(gè)平

移變換的條件是平移方向和平移距離.

2.性質(zhì)

(1)平移不改變圖形的大小與形狀,即平移前后的兩個(gè)圖形全等;

(2)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或共線)且相等;

(3)對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等,對(duì)應(yīng)角相等.

知識(shí)點(diǎn)4圖形的旋轉(zhuǎn)常．考．

1.定義

在平面內(nèi),把一個(gè)平面圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)沿著某個(gè)方向旋轉(zhuǎn)一定的角度,得到另一個(gè)圖形,這種變

換叫作旋轉(zhuǎn)變換.這個(gè)定點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心,這個(gè)角度叫作旋轉(zhuǎn)角.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角

度所決定.

2.性質(zhì)

(1)圖形上的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿著相同的方向旋轉(zhuǎn)了相同大小的角度;

(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來(lái)的圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化,即它們是全等的;

(3)旋轉(zhuǎn)前、后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離③;

(4)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等,并且等于旋轉(zhuǎn)角.

技巧提示

確定旋轉(zhuǎn)角的大小,只需要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),并分別與旋轉(zhuǎn)中心連接,則兩條線段的夾角即為

旋轉(zhuǎn)角.

知識(shí)點(diǎn)5網(wǎng)格作圖

1.找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)(一般找頂點(diǎn));

2.作出這些關(guān)鍵點(diǎn)變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn);

3.順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).

【基礎(chǔ)演練】

1.中華文明是一種獨(dú)特的文明,其漢字也是非常獨(dú)特的.在一些美術(shù)字中,有的漢字是軸對(duì)稱圖形.

下面4個(gè)漢字中,可以看作是軸對(duì)稱圖形的是()

A.中B.國(guó)C.文D.化

2.如圖,△ABD和△BCE都是等邊三角形,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.△DBC≌△ABE

B.△DBC可以由△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得

C.∠1=60°

D.BF平分∠DBE

3.如圖,已知E為矩形紙片ABCD的邊CD上一點(diǎn),將紙片沿AE對(duì)折,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'恰好在線段

BE上.若AD=4,DE=1,則AB的長(zhǎng)為.

4.(2024·福州模擬)如圖,矩形ABCD的寬AB=m,長(zhǎng)AD=n,將矩形ABCD先向上平移,再向右平移

m

2

得到矩形A'B'C'D',連接AB',BB',DD',D'F,連接A'F交DE于點(diǎn)G,則圖中面積為的三角形

nmn

22

為.

真題精粹·重變式

考向1對(duì)稱圖形的識(shí)別

1.(2022·福建)美術(shù)老師布置同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)窗花,下列作品為軸對(duì)稱圖形的是()

AB

CD

2.(2020·福建)下列給出的等邊三角形、平行四邊形、圓及扇形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱

圖形的是()

3.(2019·福建)下列圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是()

A.等邊三角形B.直角三角形

C.平行四邊形D.正方形

考向2平移的性質(zhì)及應(yīng)用

4.(2022·福建)如圖,現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺

的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移,使得△ABC移動(dòng)到△A'B'C',點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0,

則四邊形ACC'A'的面積是()

A.96

B.96

C.1923

D.160

3

5.(2021·福建)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.線段EF是由線段AB平移得到的,點(diǎn)F在邊BC

上,△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形,且點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上.

(1)求證:∠ADE=∠DFC.

(2)求證:CD=BF.

考向3軸對(duì)稱的性質(zhì)及應(yīng)用

6.(2024·福建)小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案,如圖.其中△OAB與

△ODC都是等腰三角形,且它們關(guān)于直線l對(duì)稱,點(diǎn)E,F分別是底邊AB,CD的中點(diǎn),OE⊥OF.下列

推斷錯(cuò)誤的是()

A.OB⊥OD

B.∠BOC=∠AOB

C.OE=OF

D.∠BOC+∠AOD=180°

真題變式

7.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,M是AD的中點(diǎn),將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM,

連接DF,則tan∠DFE的值等于.

8.把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,使頂點(diǎn)B和D點(diǎn)重合,折痕為EF.若

AB=3cm,BC=5cm,則A'E的長(zhǎng)是()

A.1.5cmB.2.4cm

C.3.4cmD.1.6cm

考向4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用

9.(2023·福建)如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB邊上不與A,B重合的一個(gè)定點(diǎn).

AO⊥BC于點(diǎn)O,交CD于點(diǎn)E.DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,FD,CA的延長(zhǎng)線相

交于點(diǎn)M.

(1)求證:△ADE∽△FMC.

(2)求∠ABF的度數(shù).

(3)若N是AF的中點(diǎn),如圖2,求證:ND=NO.

10.(2022·福建)已知△ABC≌△DEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分∠ACD,求證:四邊形ABDC是菱形.

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC),BC,DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,

用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB

的度數(shù).

11.(2020·福建)如圖,△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到,且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好

落在BC的延長(zhǎng)線上,AD,EC相交于點(diǎn)P.

(1)求∠BDE的度數(shù).

(2)F是EC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且∠CDF=∠DAC,

①判斷DF與PF的數(shù)量關(guān)系,并證明;

②求證:=.

PEPC

PFFC

12.(2018·福建)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直線EF過(guò)點(diǎn)D.

(1)求∠BDF的大小.

(2)求CG的長(zhǎng).

核心突破·拓思維

考點(diǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)

(2024·泉州二模)如圖,在Rt△ABC中.∠C=90°,BC=6,AC=8.△EFG由△ABC沿CB方向平

移得到,線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到,且點(diǎn)D落在直線EF上.

(1)求∠ADF的大小.

(2)求四邊形AEFB的面積.

(1)

(2)證明四邊形AEFB是平行四邊形?證明△AED∽△ABC?進(jìn)而得到=?求出AE的長(zhǎng)?

ADAE

ACAB

利用平行四邊形面積公式求出答案即可

核心方法

∵DE∥BC,

旋

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,

轉(zhuǎn)

∴△ADE∽△ABC

相

∵△ADE∽△ABC,

似

∴=或=.

模ABACABAD

ADAEACAE

∵∠DAB=∠EAC,

型

∴△ADB∽△AEC

旋

轉(zhuǎn)

只要滿足=,

相DMBN

DEBC

可證△ADM∽△ABN,

似

然后可證△ADB∽△AMN

模

型

(1)問(wèn)題背景:如圖1,已知△ABC∽△ADE,求證:△ABD∽△ACE.

圖1

(2)嘗試運(yùn)用:在矩形ABCD中,∠ADB=30°,在Rt△AEF中,∠EAF=90°,∠AFE=30°,將Rt△AEF繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置,使點(diǎn)F落在BD上,EF交AB于點(diǎn)M,此時(shí)=,求的值.

AFMF

DF3BM

圖2

(3)拓展創(chuàng)新:如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,=,D為邊AB上一點(diǎn),H為邊AC上一點(diǎn),若

BC3

AC4

∠ABC=∠HDC,CB=CD,則=.

DH

HC

圖3

如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,AC=1,A1,B1為邊AC,BC的中點(diǎn),連接

A1B1,將△A1B1C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤360°).

(1)如圖1,當(dāng)α=0°時(shí),=;BB1,AA1所在的直線相交所成的較小夾角的度數(shù)是.

BB1

AA1

(2)將△A1B1C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出

證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

回歸教材·過(guò)基礎(chǔ)

考點(diǎn)清單

①全等圖形②對(duì)稱中心③相等

基礎(chǔ)演練

1.A2.D3.4.△A'D'F

17

2

真題精粹·重變式

1.A2.C3.D4.B

5.證明:(1)∵∠ACB=90°,

∴∠ACB=∠CDF+∠DFC=90°.

∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形,

∴∠EDF=90°,DE=FD.

∵∠EDF=∠ADE+∠CDF=90°,

∴∠ADE=∠DFC.

(2)如圖,連接AE.

∵線段EF是由線段AB平移得到的,

∴EF∥AB,EF=AB,

∴四邊形ABFE是平行四邊形,

∴AE∥BC,AE=BF,

∴∠DAE=∠BCA=90°,

∴∠DAE=∠FCD.

在△ADE和△CFD中,

∠DAE=∠FCD,

∠ADE=∠DFC,

∴D△E=ADFED≌,△CFD(AAS),

∴AE=CD.

∵AE=BF,

∴CD=BF.

6.B

7.解析:如圖,延長(zhǎng)CF,AD交于點(diǎn)G,作DH⊥CG于點(diǎn)H.

1

3

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,M是AD的中點(diǎn),

∴AD∥BC,DM=AD=2,

1

2

∴∠DMC=∠BCM,

由折疊的性質(zhì)可得∠GCM=∠BCM,∠EFC=∠B=90°,CF=BC=4,

∴∠DMC=∠GCM,

∴GM=CG.

設(shè)DG=x,則GM=x+2=CG,

在Rt△DCG中,DG2+DC2=CG2,

即x2+42=(x+2)2,

解得x=3,

∴DG=3,CG=5,

∴FG=CG-CF=5-4=1.

∵S△CDG=CD·DG=CG·DH,

11

22

∴DH===,

CD·DG3×412

CG55

∴GH===,

2

222129

DG-DH3-55

∴FH=GH-FG=-1=,

94

55

∴tan∠FDH==4=.

FH51

12

DH3

∵∠EFC=∠DHC=590°,

∴DH∥EF,

∴∠DFE=∠FDH,

∴tan∠DFE=tan∠FDH=,

1

3

故答案為.

1

3

8.D

9.解析:(1)證明:∵DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,

∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°.

∵AB=AC,AO⊥BC,∴∠BAO=∠BAC.

1

2

∵∠BAC=90°,∴∠BAO=∠ABC=45°,

∴∠BAO=∠DFC.

∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,

∴∠EDA=∠M,∴△ADE∽△FMC.

(2)如圖1,設(shè)BC與DF的交點(diǎn)為I.

∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,

∴△BID∽△FIC,

∴=,即=.

BIDIBIFI

FICIDICI

∵∠BIF=∠DIC,∴△BIF∽△DIC,

∴∠IBF=∠IDC.

∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°.

∵∠ABC=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°.

(3)證明:如圖2,延長(zhǎng)ON交BF于點(diǎn)T,連接DT,DO.

∵∠FBI=∠BOA=90°,

∴BF∥AO,∴∠FTN=∠AON.

∵N是AF的中點(diǎn),∴AN=NF.

∵∠TNF=∠ONA,∴△TNF≌△ONA(AAS),

∴NT=NO,FT=AO.

∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,

∴AO=CO,∴FT=CO.

由(2)知,△BIF∽△DIC,

∴∠DFT=∠DCO.

∵DF=DC,∴△DFT≌△DCO(SAS),

∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,

∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,

即∠ODT=∠CDF.

∵∠CDF=90°,∴∠ODT=∠CDF=90°,

∴ND=TO=NO.

1

2

10.解析:(1)證明:∵△ABC≌△DEC,

∴AC=DC.

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,AB=DC.

∵CB平分∠ACD,∴∠DCB=∠ACB,

∴∠ABC=∠DCB,

∴AB∥CD,∴四邊形ABDC為平行四邊形.

∵AB=AC,∴平行四邊形ABDC為菱形.

(2)∠ACE+∠EFC=180°.

證明:∵△ABC≌△DEC,

∴∠ABC=∠DEC,∴∠ACB=∠DEC.

∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°,

∴∠CEF=∠ACF.

∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°,

∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°,

∴∠ACE+∠EFC=180°.

(3)如圖,在AD上取點(diǎn)M,使AM=BC,連接BM.

在△AMB和△CBD中,

AM=BC,

∠BAM=∠DCB,

∴A△B=AMCDB,≌△CBD(SAS),

∴BM=BD,∠ABM=∠CDB,

∴∠BMD=∠BDM.

∵∠BMD=∠BAD+∠MBA,

∴∠ADB=∠BCD+∠BDC.

設(shè)∠BCD=∠BAD=α,∠BDC=β,則∠ADB=α+β.

∵AC=AB=CD,∴∠CAD=∠CDA=α+2β,

∴∠BAC=∠CAD-∠BAD=2β,

∴∠ACB=×(180°-2β)=90°-β,

1

2

∴∠ACD=90°-β+α.

∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°,

∴90°-β+α+α+2β+α+2β=180°,

∴α+β=30°,即∠ADB=30°.

11.解析:(1)∵△AED由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到,

∴AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE.

在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,∴∠ADE=∠B=45°,

∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.

(2)①DF=PF.

證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AC=AE,∠CAE=90°,

在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°.

∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,

∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,即∠FPD=∠FDP,

∴DF=PF.

②證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH∥ED交DF于點(diǎn)H,

∴∠HPF=∠DEP,=.

EPDH

PFHF

∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,

∴∠DEP=∠DAC.

又∵∠CDF=∠DAC,

∴∠DEP=∠CDF,∴∠HPF=∠CDF.

又∵FD=FP,∠F=∠F,

∴△HPF≌△CDF(ASA),∴HF=CF,∴DH=PC,

又∵=,∴=.

EPDHEPPC

PFHFPFCF

12.解析:(1)∵線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到,

∴∠DAB=90°,AD=AB=10.∴∠ABD=45°.

∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到的,

∴AB∥EF,

∴∠BDF=∠ABD=45°.

(2)由平移的性質(zhì),得AE∥CG,AB∥EF,

∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°.

∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,

∴△ADE∽△ACB,

∴=.

ADAE

ACAB

∵AB=8,AB=AD=10,∴AE=12.5,

由平移的性質(zhì),得CG=AE=12.5.

核心突破·拓思維

例解析:(1)∵線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到,

∴∠BAD=90°

∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,

∴AB∥EF,

∴∠BAD+∠ADF=180°,

∴∠ADF=90°.

(2)(解法不唯一)∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,

∴AC∥EG,AC=EG=8,∠EGF=∠ACB=∠CGE=90°,AE∥BF,

∴四邊形AEFB是平行四邊形,∠AED=∠EFG=∠ABC,

∴AE=BF.

∵在Rt△ABC中.∠C=90°,BC=6,AC=8,

∴AB===10,

2222

∴AD=ABBC=1+0.AC6+8

∵∠ACB=∠ADE=90°,∠AED=∠ABC,

∴△AED∽△ABC,

∴=,

ADAE

ACAB

∴=,

10AE

810

∴AE=,∴BF=AE=,

2525

22

∴S?AEFB=BF·EG=×8=100.

25

2

變式1解析:(1)證明:∵△ABC∽△ADE,

∴∠BAC=∠DAE,=,

ABAC

ADAE

∴∠BAD=∠CAE,=,

ABAD

ACAE

∴△ABD∽△ACE.

(2)如圖1,連接BE.

圖1

∵∠ADB=∠AFE,∠BAD=∠E