《高等數(shù)學(xué) 》課件-第1章

1.1函數(shù)的有關(guān)概念1.2函數(shù)的極限1.3無(wú)窮小與無(wú)窮大1.4極限的運(yùn)算法則與極限運(yùn)算1.5兩個(gè)重要極限1.6函數(shù)極限應(yīng)用舉例1.7函數(shù)的連續(xù)性1.8用MATLAB求函數(shù)的極限第1章函數(shù)的極限與連續(xù)

1.1函數(shù)的有關(guān)概念

1.1.1函數(shù)的概念

1.變量、區(qū)間與鄰域

在研究某些自然現(xiàn)象或技術(shù)問(wèn)題時(shí)，會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在研究過(guò)程中保持不變，即取一定數(shù)值，

我們把它稱做常量，例如圓周率π、某件物體的長(zhǎng)度等，它們都是常量；而另一些量則有變化，即可取不同數(shù)值，我們把它稱做變量，例如一天中的氣溫、生產(chǎn)過(guò)程中的產(chǎn)量都是在不斷變化的，它們都是變量.需要指出的是，一個(gè)量是常量還是變量不是絕對(duì)的，要根據(jù)具體情況作出分析.例如，就小范圍來(lái)講，重力加速度可以看做常量；但就廣大地區(qū)來(lái)說(shuō)，重力加速度就是變量.另外，常量可看做變量的特殊情形.

常量習(xí)慣用字母a、b、c、d等表示；變量習(xí)慣用x、y、z、u、v、w等表示.

一個(gè)變量所能取的數(shù)值的集合叫做這個(gè)變量的變域.在高等數(shù)學(xué)中常用區(qū)間表示變域.

設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且a<b.數(shù)集{x|a<x<b}稱為開(kāi)區(qū)間，記作(a,b)；數(shù)集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，記作[a,b]；數(shù)集{x|a≤x<b},{x|a<≤b}稱為半開(kāi)區(qū)間，分別記作[a,b),(a,b],即

(a,b)={x|a<x<b},[a,b]={x|a≤x≤b}

[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}

上述三類區(qū)間都稱為有限區(qū)間；點(diǎn)a稱為左端點(diǎn)，點(diǎn)b稱為右端點(diǎn)，統(tǒng)稱為端點(diǎn)；它們之間的距離b-a稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.

除上述有限區(qū)間外，還有無(wú)限區(qū)間.引進(jìn)記號(hào)+∞(讀作正無(wú)窮大)及-∞(讀作負(fù)無(wú)窮大),則可用類似的記號(hào)表示無(wú)限區(qū)間.例如：

(-∞,b)={x|x<b},(-∞,b]={x|x≤b}

(a,+∞)={x|x>a},[a,+∞)={x|x≥a}

上述區(qū)間可分別在數(shù)軸上表示，如圖1-1所示.圖1-1實(shí)數(shù)集R也可用區(qū)間記號(hào)表示，即

(-∞,+∞)={x|x∈R}

它也是無(wú)限區(qū)間.

以后在不需要指明所討論區(qū)間的開(kāi)、閉，以及是有限區(qū)間還是無(wú)限區(qū)間的場(chǎng)合，為了方便起見(jiàn)，我們就稱其為區(qū)間，且常用I表示.

區(qū)間是表示整體情形的點(diǎn)集，而局部情形的點(diǎn)集則用鄰域來(lái)表示.

設(shè)δ是任一正數(shù)，a為一已知點(diǎn)，則稱開(kāi)區(qū)間(a-δ,a+δ)為點(diǎn)a的δ鄰域，記作U(a,δ),即

U(a,δ)=(a-δ,a+δ)其中，點(diǎn)a稱為該鄰域的中心；δ稱為該鄰域的半徑.

顯然,U(a,δ)表示與點(diǎn)a距離小于δ的點(diǎn)x的全體.如圖1-2所示.

如果把點(diǎn)a的δ鄰域的中心a去掉，所得到的集合稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，記作

(a,δ),即

(a,δ)=(a-δ,a)U(a,a+δ)

點(diǎn)a的去心δ鄰域如圖1-3所示.圖1-2圖1-3

2.函數(shù)的定義及表示法

在自然現(xiàn)象或生產(chǎn)過(guò)程中，同時(shí)出現(xiàn)的某些變量往往存在著相互依賴、相互制約的關(guān)系，這種關(guān)系在數(shù)學(xué)上稱為函數(shù)關(guān)系.

定義1.1設(shè)x和y是兩個(gè)變量，若當(dāng)變量x在非空數(shù)集D內(nèi)任取一數(shù)值時(shí)，變量y依照某一規(guī)則f總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y為變量x的函數(shù)，記作y=f(x).

這里x稱為自變量；y稱為因變量或函數(shù)；集合D稱為函數(shù)的定義域；相應(yīng)地，y值的集合稱為函數(shù)的值域；f是函數(shù)符號(hào)，表示y與x的對(duì)應(yīng)規(guī)則，有時(shí)函數(shù)符號(hào)也可用其他字母來(lái)表示，如y=g(x)或y=φ(x)等.函數(shù)的表示法通常有三種：公式法、表格法和圖形法.

(1)以數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫公式法.如y=x2,y=cosx.公式法的優(yōu)點(diǎn)是便于理論推導(dǎo)和計(jì)算.

(2)以表格形式表示函數(shù)的方法叫表格法.它是將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列為表格，如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等.表格法的優(yōu)點(diǎn)是所求的函數(shù)值容易查得.

(3)以圖形表示函數(shù)的方法叫圖形法或圖像法.這種方法在工程技術(shù)上應(yīng)用很普遍，其優(yōu)點(diǎn)是直觀、形象，可看到函數(shù)的變化趨勢(shì).

3.分段函數(shù)

在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)遇到一類函數(shù)，在定義域的不同區(qū)間用不同的式子來(lái)表達(dá)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).例如，

(3)取整函數(shù)y=[x]=n(n≤x<n+1,n∈Z).根據(jù)取整函數(shù)的定義可以看出，記號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[4.8]=4,[0.6]=0,[-7.3]=-8,[-5]=-5等.

上述三個(gè)函數(shù)的圖像如圖1-4所示.

對(duì)于分段函數(shù),我們要能夠正確求其定義域及自變量為x0時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，下面舉例說(shuō)明.圖1-4

這就是說(shuō)分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫味x域的并集.

4.反函數(shù)

定義1.2設(shè)y=f(x)是x的函數(shù)，其值域?yàn)镽，如果對(duì)于R中的每一個(gè)y值，都有一個(gè)確定的且滿足y=f(x)的x值與之對(duì)應(yīng)，則得到一個(gè)定義在R上的以y為自變量、x為因變量的新函數(shù)，我們稱之為y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y),并稱y=f(x)為直接函數(shù).

顯然，由定義可知，單值函數(shù)一定有反函數(shù).習(xí)慣上，我們總是用x表示自變量，用y表示因變量，所以通常把

x=f-1(y)改寫(xiě)為y=f-1(x).從上面的定義容易得出，求反函數(shù)的過(guò)程可分為兩步：第一步，從y=f(x)中解出x=f-1(y)；

第二步,交換字母x和y.

例1-3求y=2x-1的反函數(shù).

解由y=2x-1解得x=1+lby,然后交換x和y,得y=1+lbx,即y=1+lbx是y=2x-1的反函數(shù).

可以證明，函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱.例1-5下列各組函數(shù)是否相同？

(3)f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2x.

解(1)不同.因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),g(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),它們的定義域不同，故不是同一函數(shù).

(2)不同.雖然兩個(gè)函數(shù)定義域均為(-∞,+∞),但對(duì)應(yīng)法則不同.例如：f(-1)=-1,g(-1)=1.

(3)相同.因?yàn)閒(x)、g(x)的定義域都是(-∞,+∞)，且對(duì)任意x∈(-∞,+∞),都有1=sin2x+cos2x,即f(x)=g(x),亦即對(duì)應(yīng)法則相同，所以f(x)、g(x)為同一函數(shù).1.1.2函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的奇偶性

定義1.3設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于任意x∈D,都有

f(-x)=-f(x)

成立，則稱f(x)為奇函數(shù).如果對(duì)于任意x∈D,都有

f(-x)=f(x)

成立，則稱f(x)為偶函數(shù).例如：函數(shù)f(x)=x3是奇函數(shù)，因?yàn)閒(-x)=(-x)3=-x3=

-f(x)；函數(shù)f(x)=x4是偶函數(shù)，因?yàn)閒(-x)=(-x)4=x4=f(x)；函數(shù)f(x)=x2+x3既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因?yàn)樗粷M足定義1.3的條件.

奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,參見(jiàn)圖1-5.

例1-6討論y=x4-2x2的奇偶性.

解因?yàn)閒(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),所以

y=x4-2x2為偶函數(shù),如圖1-6所示.圖1-5圖1-6

2.函數(shù)的單調(diào)性

定義1.4設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I

D.如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

f(x1)<f(x2)

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(參見(jiàn)圖1-7),區(qū)間I稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間；如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

f(x1)>f(x2)

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的(參見(jiàn)圖1-8),區(qū)間I稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，單調(diào)增加和單調(diào)減少的區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間.圖1-7圖1-8例1-7討論函數(shù)y=3x,y=x2的單調(diào)性.

解觀察圖1-9可知，函數(shù)y=3x在區(qū)間(-∞,+∞)上是單調(diào)增加的；y=x2在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是單調(diào)減少的，在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的，而在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)不是單調(diào)的.圖1-9

3.函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在正常數(shù)M，使得對(duì)于區(qū)間I內(nèi)所有x,都有

|f(x)|≤M

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界.如果這樣的M不存在，則稱f(x)在區(qū)間I上無(wú)界.

例如：y=sinx在(-∞,+∞)上滿足|sinx|≤1,所以函數(shù)y=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界函數(shù)，如圖1-10(a)所示；而函數(shù)y=在(0,+∞)內(nèi)是無(wú)界函數(shù)，如圖1-10(b)所示.圖1-10

4.周期性

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)常數(shù)T≠0,使得對(duì)任意的x∈D有x±T∈D,且f(x±T)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的周期.周期函數(shù)的周期通常是指它的最小正周期.

例如：函數(shù)y=sinx,y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=tanx是以π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=x2不是周期函數(shù).1.1.3初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)有以下五類：

(1)冪函數(shù)y=xμ,μ是常數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a是常數(shù)且a>0,a≠1),x∈(-∞,+∞).

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a是常數(shù)且a>0,a≠1),x∈(0,+∞).

(4)三角函數(shù)：

正弦函數(shù)y=sinx,x∈(-∞,+∞),y∈[-1,1].

余弦函數(shù)y=cosx,x∈(-∞,+∞),y∈[-1,1].

反余切函數(shù)y=arccotx,x∈(-∞,+∞),y∈(0,π).

這些常用的基本初等函數(shù)及其定義域與值域、圖像、特性列于表1-1中.

2.復(fù)合函數(shù)

定義1.5設(shè)y是u的函數(shù)，y=f(u),u是x的函數(shù),u=φ(x),當(dāng)x在u=φ(x)的定義域或其一部分取值時(shí)，φ(x)的值均在y=f(u)的定義域內(nèi)，從而得到一個(gè)以x為自變量、y為因變量的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[φ(x)],其中u稱為中間變量.

3.初等函數(shù)

定義1.6由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成，并且可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).

則不是初等函數(shù).1.1.4建立函數(shù)關(guān)系舉例

在解決工程技術(shù)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常需要先找出問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、

數(shù)學(xué)方法去分析、研究、解決這些問(wèn)題.由于客觀世界中變量之間的函數(shù)關(guān)系是多種多樣的，往往要涉及幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等各門(mén)學(xué)科的知識(shí)，因此建立函數(shù)關(guān)系式?jīng)]有一般規(guī)律可循，只能是具體問(wèn)題具體分析.不過(guò)，一般可以這樣著手解決：

(1)先把題意分析清楚，有時(shí)也可以畫(huà)出草圖，借助草圖幫助分析和理解題意.

(2)根據(jù)題意確定哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量，如果總體變量多于兩個(gè)，還要進(jìn)一步分析，找出除因變量以外的其他若干個(gè)變量之間的關(guān)系.因?yàn)槲覀冞@里是要建立一元函數(shù)的關(guān)系式，最終應(yīng)歸結(jié)為一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的關(guān)系式.

下面舉幾個(gè)較簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明建立函數(shù)關(guān)系式的方法.例1-9有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，將它的四角剪去大小相同的小正方形，制成一只無(wú)蓋盒子，求盒子的體積與小正方形邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為x,盒子的體積為V，如圖1-11所示，則圖1-11例1-10由直線y=x、y=2-x及x軸所圍成的三角形如圖1-12所示，在底邊上任取一點(diǎn)x∈[0,2]，過(guò)x作x軸的垂線，求圖中陰影部分的面積A與x的關(guān)系.圖1-12例1-11如圖1-13所示，求陰影部分的面積A與x的關(guān)系.

解當(dāng)0≤x≤1時(shí),有

當(dāng)1<x≤2時(shí)，則所以

例1-10和例1-11中所得函數(shù)都有兩個(gè)式子.在定義域內(nèi)不同區(qū)間上用不同式子表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).1.1.5經(jīng)濟(jì)分析中常見(jiàn)的函數(shù)

1.需求函數(shù)與供給函數(shù)

市場(chǎng)上的消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求量除與該種商品的價(jià)格有關(guān)外，還與消費(fèi)者的收入、待用商品的價(jià)格、消費(fèi)者的人數(shù)等等有關(guān).現(xiàn)在我們只考慮商品的需求量與價(jià)格的關(guān)系，而將其他各種量看做常量，這樣，商品的需求量Q就是價(jià)格P的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作Q=Q(P).

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)商品的價(jià)格增加時(shí)，商品的需求量將會(huì)減少.因此，通常需求函數(shù)是單調(diào)遞減的函數(shù).常見(jiàn)的需求函數(shù)有：線性需求函數(shù)Q=a-bp(a>0,b>0,a,b都是常數(shù)),二次曲線需求函數(shù)Q=a-bP-cP2(a>0,b<0,

c<0,a、b、c都是常數(shù))，指數(shù)需求函數(shù)Q=ae-bP(a>0,b>0,a、b都是常數(shù))等.

市場(chǎng)上影響商品供給量的主要因素也是商品的價(jià)格，因此，商品的供給量Q也是價(jià)格P的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，

記作Q=φ(P).

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)商品的價(jià)格增加時(shí)，商品的供給量將會(huì)增加，因此通常供給函數(shù)是單調(diào)遞增的函數(shù).常見(jiàn)的供給函數(shù)有：Q=aP-b(a>0,b>0,a、b都是常數(shù)),

(a>0,b>0,m>0,an>bm)等.

如果將某種商品的需求函數(shù)圖像(稱為需求曲線)與供給函數(shù)的圖像(稱為供給曲線)畫(huà)在同一坐標(biāo)中(參見(jiàn)圖1-14),

通常它們會(huì)交于一點(diǎn)(

),稱為該商品的市場(chǎng)平衡點(diǎn).在交點(diǎn)處，需求量恰好等于供給量，該商品在市場(chǎng)上處于平衡狀態(tài)，這時(shí)的商品價(jià)格叫做市場(chǎng)平衡價(jià)格.圖1-14

2.成本函數(shù)

總成本是生產(chǎn)一種產(chǎn)品所需的全部費(fèi)用.通常總成本可分為兩部分：一部分是在短時(shí)間內(nèi)不發(fā)生變化或變化很小的，如廠房、設(shè)備、保險(xiǎn)費(fèi)，管理人員的工資、廣告費(fèi)等，稱為固定成本，常用C1表示；另一部分是隨產(chǎn)品數(shù)量的變化而直接變化的，如原材料費(fèi)、能源消耗費(fèi)、生產(chǎn)工人工資、包裝費(fèi)等，稱為可變成本，常用C2表示.它是產(chǎn)品數(shù)量Q的函數(shù)，即

C2=C2(Q)圖1-15

因此，生產(chǎn)Q個(gè)單位時(shí)某商品的總成本C等于固定成本C1與可變成本C2之和，即

C=C(Q)=C1+C2(Q)

總成本函數(shù)是一個(gè)單調(diào)增加的函數(shù)，總成本函數(shù)的圖像叫做總成本曲線(參見(jiàn)圖1-15)，它從左往右是上升的，與C軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為C1.

總成本函數(shù)有：

線性函數(shù)C(Q)=a+bQ(a>0,b>0)；

二次函數(shù)C(Q)=a+bQ+cQ2；

三次函數(shù)C(Q)=a+bQ+cQ2+dQ3等.

3.收入函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)

總收入是銷售者售出一定數(shù)量商品的全部收入，若商品的數(shù)量為Q，價(jià)格為P，則總收入R為

R=PQ

稱為總收入函數(shù).

如果某產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量為Q，價(jià)格為P，兩者所確定的需求函數(shù)為Q=Q(P),求其反函數(shù)P=Q-1(Q),則收入函數(shù)可表示為

R=Q-1(Q)Q例1-13設(shè)某商品的需求關(guān)系2Q+P=40,其中Q是商品量，P是該商品的價(jià)格，求銷售10件時(shí)的總收入.

解由已知條件得商品的價(jià)格為

P=40-2Q

于是，所求總收入函數(shù)為

R=PQ=(40-2Q)Q=40Q-2Q2

所以

R(10)=40×10-2×102=200生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收入與總成本之差就是它的總利潤(rùn)，記作L，即

L=L(Q)=R(Q)-C(Q)

其中,Q是產(chǎn)品的數(shù)量；總利潤(rùn)是產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)，稱為利潤(rùn)函數(shù).例1-14設(shè)某工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品每噸售價(jià)2萬(wàn)元，每天生產(chǎn)Q(t)的總成本為C(萬(wàn)元)，且C=Q2-4Q+5,求每天分別生產(chǎn)2t、5t、7t時(shí)的總利潤(rùn)各為多少?

解由題意知，收入函數(shù)為R=2Q,成本函數(shù)為C=Q2-4Q+5,所以總利潤(rùn)函數(shù)為

L=R(Q)-C(Q)=2Q-(Q2-4Q+5)=-Q2+6Q-5

當(dāng)Q=2時(shí)，總利潤(rùn)為L(zhǎng)(2)=(-Q2+6Q-5)|Q=2=3萬(wàn)元.

當(dāng)Q=5時(shí)，總利潤(rùn)為L(zhǎng)(5)=(-Q2+6Q-5)|Q=5=0萬(wàn)元.

當(dāng)Q=7時(shí)，總利潤(rùn)為L(zhǎng)(7)=(-Q2+6Q-5)|Q=7=-12萬(wàn)元.從上例可以看到，利潤(rùn)函數(shù)出現(xiàn)了三種情況：

(1)L(Q)=R(Q)-C(Q)>0,利潤(rùn)為正值，生產(chǎn)處于盈余狀態(tài)；

(2)L(Q)=R(Q)-C(Q)<0,利潤(rùn)為負(fù)值，生產(chǎn)處于虧損狀態(tài)；

(3)L(Q)=R(Q)-C(Q)=0,利潤(rùn)為零，生產(chǎn)處于無(wú)盈虧狀態(tài)，我們把無(wú)盈虧生產(chǎn)時(shí)的產(chǎn)量Q0稱為無(wú)盈虧點(diǎn)(或保本點(diǎn)).無(wú)盈虧分析常用于企業(yè)管理和經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)各種定價(jià)、生產(chǎn)、決策的分析.例1-15(1)求例1-14中該廠生產(chǎn)的無(wú)盈虧點(diǎn)；

(2)若該廠每天至少生產(chǎn)7t產(chǎn)品，為了不虧本，單價(jià)應(yīng)定為多少錢(qián)？

解(1)由L=-Q2+6Q-5=0解得Q1=1,Q2=5,即該廠無(wú)盈虧點(diǎn)為兩個(gè)，分別為生產(chǎn)1t和生產(chǎn)5t.

(2)設(shè)單價(jià)定位P(萬(wàn)元)，則銷售7t的收入應(yīng)為

R=7P萬(wàn)元

這時(shí)的成本為

C(7)=(Q2-4Q+5)|Q=7=26萬(wàn)元為使生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)不虧本，則必須L=7P-26≥0,即

P≥3.7143萬(wàn)元

所以，只有銷售單價(jià)不低于3.7143萬(wàn)元，才能不虧本.實(shí)訓(xùn)1.1

1.求下列函數(shù)的定義域.

2.求下列函數(shù)的值.

3.判別下列函數(shù)的奇偶性.

4.下列各組函數(shù)是否相同，為什么？

5.將下列函數(shù)看做是由簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，適當(dāng)引入中間變量，寫(xiě)出復(fù)合步驟.

8.阿甘同學(xué)做徒步旅行，若他按3km/h的速度前進(jìn)，在離家2h的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)一騎車人的自行車壞了，他幫助這個(gè)人將自行車修好，用了1h，隨后他又上路了(仍保持3km/h的速度)，5h后他到達(dá)目的地.請(qǐng)把阿甘離家的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)用圖形描述出來(lái)，并寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式.

*9.某商品的需求規(guī)律為P+3Q=95,供求規(guī)律為Q=2P-15,求市場(chǎng)平衡價(jià)格.

*10.設(shè)生產(chǎn)與銷售某種商品的總收入函數(shù)R是產(chǎn)量x的二次函數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得知,當(dāng)產(chǎn)量分別為0、2、4時(shí)，總收入R分別0、6、8,試確定R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并指明其定義域.*11.某廠生產(chǎn)毛巾，每一百條毛巾需耗費(fèi)原料、動(dòng)力、勞力等費(fèi)用(叫做單位變動(dòng)成本)為250元，工廠每天還要固定支付(叫做固定成本)300元，試問(wèn)工廠每天的生產(chǎn)總成本C(元)與產(chǎn)量x(百條)的函數(shù)關(guān)系是什么？又知每一百條毛巾的出廠價(jià)為400元，試問(wèn)每天生產(chǎn)多少條毛巾才能達(dá)到收支平衡(也叫做盈虧平衡)?(假設(shè)產(chǎn)出的毛巾可全部售出)

*12.在某產(chǎn)品的總成本中，固定成本C1為20000元，單位產(chǎn)品變動(dòng)成本為200元，單位產(chǎn)品售價(jià)P為400元，求總成本函數(shù)C(Q)、收益函數(shù)R(Q)、利潤(rùn)函數(shù)L(Q)及平均單位成本.

1.2函數(shù)的極限

本節(jié)首先討論數(shù)列的極限，然后將其推廣到一般函數(shù)的極限.

1.2.1數(shù)列的極限

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)列的概念，現(xiàn)在將進(jìn)一步考查當(dāng)自變量n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列an=f(n)的變化趨勢(shì)，先看下列兩個(gè)數(shù)列：歸納這兩個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)可知,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列{an}的項(xiàng)an都分別無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù).一般地，我們給出下面的定義：

定義1.7如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列{an}的項(xiàng)an無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫做數(shù)列{an}的極限或說(shuō)數(shù)列{an}收斂于A，記為根據(jù)數(shù)列極限的定義可知：由此可以推得下列的結(jié)論：

還需注意，并不是任何數(shù)列都是有極限的.

例如，數(shù)列an=3n,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an也無(wú)限增大，不能無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列沒(méi)有極限.對(duì)于上述沒(méi)有極限的數(shù)列，也說(shuō)數(shù)列的極限不存在.數(shù)列極限不存在又稱數(shù)列發(fā)散.例1-16觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，指出它們的極限.

解下面用列表法和圖像法，列出數(shù)列在項(xiàng)數(shù)n很大時(shí)的取值情況，并繪出相應(yīng)的圖像.

(1)列表，如表1-2所示；繪制圖像，如圖1-16所示.

從表1-2和圖1-16可以看出，圖1-16

列表，如表1-3所示；繪制圖像，如圖1-17所示.

從表1-3和圖1-17可以看出，

(3)列表，如表1-4所示；繪制圖像，如圖1-18所示.

圖1-17圖1-18從表1-4和圖1-18可以看出，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列{(-1)n}不趨于一個(gè)確定的值，所以不存在.

極限概念產(chǎn)生于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解.極限的思想和分析方法廣泛地應(yīng)用在社會(huì)生活和科學(xué)研究的各個(gè)方面，例如：

(1)在研究復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，常先用簡(jiǎn)單算法(如以常代變、以直代曲等)求出近似值，通過(guò)取極限得到精確解；

(2)用極限對(duì)事物的發(fā)展作某種預(yù)測(cè)(包括中長(zhǎng)期分析和遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)).例如研究事物的運(yùn)動(dòng)或發(fā)展規(guī)律、傳染性疾病的傳播規(guī)律、

產(chǎn)品銷售量的中長(zhǎng)期分析，以及投入與產(chǎn)出的中長(zhǎng)期分析等.

從圓面積的計(jì)算過(guò)程，我們能體會(huì)到如何運(yùn)用極限分析方法由近似解得到精確解，在以后導(dǎo)數(shù)和定積分知識(shí)的學(xué)習(xí)中，還將進(jìn)一步加深對(duì)極限的學(xué)習(xí)和理解.例1-17在分形幾何中常提及的Koch雪花可通過(guò)遞歸方法生成.設(shè)有單位邊長(zhǎng)正三角形，如圖1-19所示，其周長(zhǎng)為P1=3,面積為A1=

.將其每邊三等分，以中間三分之一段為邊向外做正三角形，如圖1-20所示,每一條邊生成四條新邊，新邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的,同時(shí),生成的三個(gè)新三角形每個(gè)的面積為原三角形面積的,故總周長(zhǎng),總面積；依次進(jìn)行下去，得

試討論當(dāng)n→∞時(shí)周長(zhǎng)Pn和面積An的極限.圖1-19圖1-20解如圖1-21和圖1-22所示，為求通項(xiàng)Pn和An的表達(dá)式,

在遞推中:①每一條邊生成四條新邊，且邊長(zhǎng)縮短率為；②四條新邊共生成四個(gè)新的小三角形，且面積縮小率為

,得到于是圖1-21每條邊生成四條新邊圖1-22四條新邊共生成四個(gè)新的小三角形1.2.2函數(shù)的極限

函數(shù)極限就是研究自變量在各種變化過(guò)程中對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢(shì).x的變化過(guò)程可以分成六種，因此，函數(shù)極限也有六種不同的形式。這六種函數(shù)極限僅有敘述形式上的區(qū)別，它們的實(shí)質(zhì)是相同的，下面分別來(lái)介紹.

1)當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

定義1.8如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大(即x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)在x→∞時(shí)的極限,記為或者f(x)→A

(x→∞)

在以上函數(shù)極限的定義中，自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大指的是：x既可以取正值，也可以取負(fù)值，但其絕對(duì)值無(wú)限增大.

定義1.9如果當(dāng)x僅取正值(或僅取負(fù)值)而絕對(duì)值無(wú)限增大，即x→+∞(或x→-∞)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)在x→+∞(或x→-∞)時(shí)的極限,記為或者

f(x)→A(x→+∞)(或者f(x)→A(x→-∞))

應(yīng)當(dāng)注意的是,包含兩種情形:

且；反之，只有當(dāng)

時(shí)，才有

.例1-18討論極限

解觀察函數(shù)y=arctanx的圖像(參見(jiàn)圖1-23),可以得到,圖1-23一般地，如果和都存在且相等，則存在,且；如果和中只要有一個(gè)不存在，

或者雖然都存在但不相等，則不存在.

2)當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

定義1.10如果當(dāng)x無(wú)限接近于定值x0時(shí)，即當(dāng)x→x0時(shí)

(在x0處f(x)可以無(wú)定義)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的極限,記為

根據(jù)定義1.10可得：

3)當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的左極限與右極限

當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)的極限中，x既從x0的左側(cè)無(wú)限接近于x0(記為x→x0或x→x0-0),又從x0的右側(cè)無(wú)限接近于x0(記為x→x+0或x→x0+0).下面給出當(dāng)x→x0或x→x+0時(shí)函數(shù)極限的定義.定義1.11如果當(dāng)x→x+0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的右極限,記為

如果當(dāng)x→x-0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)在x→x-0時(shí)的左極限,記為根據(jù)左、右極限的定義可知：

如果

那么圖1-24

前面我們討論了數(shù)列的極限，因?yàn)閿?shù)列是以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，所以討論數(shù)列的極限,也就是討論函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量x取正整數(shù)而無(wú)限增大時(shí)的極限.實(shí)訓(xùn)1.2

1.觀察下列數(shù)列當(dāng)n→∞時(shí)的變化趨勢(shì)，寫(xiě)出它的極限.

2.求下列極限.

3.設(shè),求當(dāng)x→0時(shí)，f(x)的左、右極限，并說(shuō)明f(x)在x=0處的極限是否存在.并說(shuō)明當(dāng)x→1時(shí)函數(shù)的極限是否存在.

1.3無(wú)窮小與無(wú)窮大

1.3.1無(wú)窮小

我們經(jīng)常遇到極限為零的變量,例如，當(dāng)x→∞時(shí)，

→0；當(dāng)x→2時(shí)，x-2→0.對(duì)于這樣的變量，我們給出下面的定義：

定義1.12如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，那么函數(shù)f(x)稱為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.

例如，因?yàn)?所以函數(shù)f(x)=x-2是當(dāng)x→2時(shí)的無(wú)窮?。灰?yàn)?所以是當(dāng)n→∞時(shí)的無(wú)窮小.注意：

(1)當(dāng)說(shuō)一個(gè)函數(shù)f(x)是無(wú)窮小時(shí)，必須指明自變量x的變化趨勢(shì)；

(2)不要把一個(gè)絕對(duì)值很小的常數(shù)說(shuō)成無(wú)窮小，這是因?yàn)槌?shù)的極限為它本身，并不一定是零；

(3)常數(shù)中只有“0”可以看成是無(wú)窮小，但無(wú)窮小量不一定是零.

在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1.1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小.

性質(zhì)1.2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

性質(zhì)1.3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.圖1-251.3.2無(wú)窮大

定義1.13如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么函數(shù)f(x)稱為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大.

根據(jù)極限的定義，如果f(x)是當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大，那么它的極限是不存在的.但為了描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)，我們也稱“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”，并記作

limf(x)=∞例如，當(dāng)x→1時(shí)，無(wú)限增大，所以

如果x在某個(gè)變化過(guò)程中，f(x)只取正值無(wú)限增大，那么f(x)叫做正無(wú)窮大，記作limf(x)=+∞.例如，

.如果x在某個(gè)變化過(guò)程中，f(x)只取負(fù)值而|f(x)|無(wú)限增大，那么f(x)叫做負(fù)無(wú)窮大，記作limf(x)=-∞.例如，.注意：

一般地，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量之間有如下倒數(shù)關(guān)系：

在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大量，則是無(wú)窮小量；反之，如果f(x)是無(wú)窮小量，且f(x)≠0,

則為無(wú)窮大量.實(shí)訓(xùn)1.3

1.下列各說(shuō)法是否正確，為什么?

(1)無(wú)窮小是比任何數(shù)都小的數(shù)；

(2)零是無(wú)窮??；

(3)無(wú)窮小是零；

(4)無(wú)窮小是越來(lái)越小的量；

(5)-∞是無(wú)窮小.

2.當(dāng)x→0時(shí)，下列函數(shù)哪些是無(wú)窮大，哪些是無(wú)窮??？

1.4極限的運(yùn)算法則與極限運(yùn)算

1.4.1極限的運(yùn)算法則

定理1.1如果limf(x)=A,limg(x)=B,則

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；

(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；下面我們僅證明定理1.1中的(2).

證明因?yàn)閘imf(x)=A,limg(x)=B,由函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，得

f(x)=A+α,g(x)=B+β

其中,α、β都是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小.于是有

f(x)·g(x)=(A+α)·(B+β)=AB+(Aβ+Bα+αβ)

由無(wú)窮小的性質(zhì)可知，Aβ+Bα+αβ是無(wú)窮??；再由函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，得

lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B

定理1.1中的(1)、(2)可推廣到有限個(gè)具有極限的函數(shù)的情形.

由定理1.1中的(2),還可得到如下推論：

推論若limf(x)=A,C為常數(shù)，k∈N+,則

(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)=CA；

(2)lim[f(x)]k=[limf(x)]k=Ak.

注意:上述法則都只有在limf(x)、limg(x)存在的條件下才能成立.1.4.3無(wú)窮小的比較

雖然無(wú)窮小都以零為極限，但它們趨向于零的過(guò)程卻有“快”、“慢”之別，這種趨向于零的快、慢程度我們可用兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限來(lái)衡量.

定義1.14設(shè)α(x)、β(x)是自變量的同一個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小.顯然，等價(jià)無(wú)窮小是同階無(wú)窮小的特殊情形.

如當(dāng)x→0時(shí)，x2,x都是無(wú)窮小，因?yàn)?所以當(dāng)x→0時(shí)，x2是比x高階的無(wú)窮小，即x2=o(x)；相應(yīng)地，x是比x2低階的無(wú)窮小.

因?yàn)?在下一節(jié)會(huì)作介紹)，所以當(dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小，即sinx~x(x→0).

下面引入等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)，它在計(jì)算某些無(wú)窮小的商的極限時(shí)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.定理1.2設(shè)α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),且存在，則

(1)sinx～x；(2)arcsinx～x；

(3)tanx～x；(4)arctanx～x；實(shí)訓(xùn)1.4

1.下列各極限的運(yùn)算是否正確？為什么？如果不正確，寫(xiě)出正確的做法和結(jié)果.

3.當(dāng)x→0時(shí)，2x-x2與x2-x3相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮小?

4.判斷x→0時(shí),下列各對(duì)是不是等價(jià)無(wú)窮小.

(1)sin2x～x；(2)tanx2～x2；

(3)ln(1+3t)～3x；(4)e2x-1～x.

5.利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì),求下列極限.

1.5兩個(gè)重要極限

1.5.1第一個(gè)重要極限

第一個(gè)重要極限為

表1-5列出了函數(shù)在x無(wú)限接近于零時(shí)的一些函數(shù)值.

從表1-5和圖1-26中可以看出，當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)

(將在第3章驗(yàn)證).圖1-26為了正確使用這個(gè)重要極限，要特別注意這個(gè)極限的形式.為了強(qiáng)調(diào)它的形式，我們不妨把要注意的內(nèi)容用□表示出來(lái)，即

其中，方框(□)中的變量應(yīng)該是一樣的，而且它一定要趨向于零.1.5.2第二個(gè)重要極限①

第二個(gè)重要極限為

表1-6列出了函數(shù)在x取正值無(wú)限增大時(shí)的一些函數(shù)值.

從表1-6可以看出：(將在第3章驗(yàn)證)，其中數(shù)e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，e=2.718281828459045….實(shí)訓(xùn)1.5

求下列極限.

1.6函數(shù)極限應(yīng)用舉例

例1-36(游戲銷售)當(dāng)推出一種新的電子游戲程序時(shí)，在短期內(nèi)銷售量會(huì)迅速上升，然后開(kāi)始下降，其函數(shù)關(guān)系為,t為月份，如圖1-27所示.

(1)請(qǐng)計(jì)算游戲推出后第6個(gè)月、第12個(gè)月、第36個(gè)月的銷售量.

(2)如果要對(duì)該產(chǎn)品的長(zhǎng)期銷售做出預(yù)測(cè)，則請(qǐng)建立相應(yīng)的表達(dá)式.圖1-27

(2)從上面的數(shù)據(jù)可以看出，隨著時(shí)間的推移，該產(chǎn)品的長(zhǎng)期銷售量應(yīng)為時(shí)間s→+∞時(shí)的銷售量，即

上式說(shuō)明,當(dāng)時(shí)間t→+∞時(shí)，銷售量的極限為零，即人們購(gòu)買(mǎi)此游戲會(huì)越來(lái)越少，從而轉(zhuǎn)向購(gòu)買(mǎi)新的游戲.例1-37(細(xì)菌培養(yǎng))已知在時(shí)刻t(單位:min)容器中的細(xì)菌個(gè)數(shù)為y=104×2kt(k為常數(shù))(參見(jiàn)圖1-28).問(wèn):

(1)若經(jīng)過(guò)30min,細(xì)菌個(gè)數(shù)增加1倍，求k值；

(2)預(yù)測(cè)當(dāng)t→+∞時(shí)容器中細(xì)菌的個(gè)數(shù).解(1)解方程104×2k(t+30)=2×104×2kt,得

(2)因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)間無(wú)限增大時(shí)，容器中的細(xì)菌個(gè)數(shù)也無(wú)限增大.圖1-28實(shí)訓(xùn)1.6

1.(傳染人數(shù))假定某種疾病流行t天后，感染的人數(shù)N由下式給出:

問(wèn)：

(1)從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，將有多少人感染上這種??？

(2)有可能某天會(huì)有100萬(wàn)人染上病嗎？50萬(wàn)人呢？25萬(wàn)人呢？

2.(放射物衰減)一放射性材料的衰減模型為

N=100e-0.026t(單位：毫克).求：

(1)最初有多少？

(2)衰減10%所需要的時(shí)間?

(3)給出t→+∞時(shí)的衰減規(guī)律.

3.(火爐物體溫度)一物體放在溫度恒為150的火爐上，它的溫度滿足如下模型T=-100e-0.029t+100.問(wèn)：

(1)物體達(dá)到100所需要的時(shí)間？

(2)t→+∞時(shí)，物體的溫度為多少？

4.(人口預(yù)測(cè))已知某一地區(qū)時(shí)刻t的人口數(shù)量滿足N(t)=200e-2e-0.5t,請(qǐng)預(yù)測(cè)該地區(qū)人數(shù)數(shù)量的變化趨勢(shì).

5.(細(xì)菌培養(yǎng))100個(gè)細(xì)菌放在培養(yǎng)器中，其中有足夠的食物，但空間有限.對(duì)空間的競(jìng)爭(zhēng)使得細(xì)菌總數(shù)滿足模型(如圖1-29所示):

.問(wèn):

(1)7h后，容器中的細(xì)菌總數(shù)是多少？

(2)容器中最多能容下多少細(xì)菌？

6.(電路電阻)一個(gè)5Ω的電阻器與一個(gè)電阻為R的可變電阻并聯(lián)，電路的總電阻為,求它在R→+∞時(shí)的極限，并解釋其實(shí)際意義.圖1-29

1.7函數(shù)的連續(xù)性

1.7.1函數(shù)連續(xù)性的概念

在自然界中，很多現(xiàn)象如某晝夜的氣溫、植物的生長(zhǎng)等，都是連續(xù)不斷地在運(yùn)動(dòng)變化著的，即當(dāng)時(shí)間改變很小時(shí)，其相應(yīng)的變化也很小，這種現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)的函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性.

1.增量

定義1.15設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2,終值與初值的差u2-u1叫做變量u的增量，記為Δu,即Δu=u2-u1.變量的增量也稱為變量的改變量或變化量，增量Δu可以是正的，也可以是負(fù)的.在Δu為正時(shí)，變量u從u1變到u2=u1+Δu是增大的；在Δu為負(fù)時(shí)，變量u從u1變到u2=u1+Δu是減小的.

2.連續(xù)函數(shù)的概念

1)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義

定義1.16設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，自變量x在點(diǎn)x0取得增量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量為Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若當(dāng)Δx→0時(shí),極限,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).事實(shí)上，設(shè)x=x0+Δx,則Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(x)-f(x0),

且Δx→0就是x→x0,所以f(x)=f(x0)+Δy,等價(jià)于,于是得到函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義.

定義1.17設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)x→x0時(shí)，極限,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).

2)f(x)在區(qū)間上連續(xù)性的定義

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)x=a處右連續(xù)，右端點(diǎn)x=b處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù).

注意:f(x)在左端點(diǎn)x=a處右連續(xù)是指,在右端點(diǎn)x=b處左連續(xù)是指.

仿照函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)及閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)性的定義，請(qǐng)讀者思考函數(shù)f(x)在半開(kāi)區(qū)間(a,b]與[a,b)及開(kāi)區(qū)間

(-∞,+∞)內(nèi)的連續(xù)性的定義.

4.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

1)函數(shù)的間斷點(diǎn)

定義1.18若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0滿足下列條件之一，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).

(1)f(x)在點(diǎn)x0無(wú)定義；

2)間斷點(diǎn)的分類

(1)第一類間斷點(diǎn).極限與都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)又分為兩種情形，即可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn).

①可去間斷點(diǎn)：若與都存在，

且即存在，但是f(x)在點(diǎn)x0無(wú)定義或f(x)≠f(x0),則稱點(diǎn)x0為f(x)的可去間斷點(diǎn).例1-40討論下列指定的點(diǎn)是否為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

下面給出閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)重要性質(zhì)，它們的正確性不難從幾何圖形上看出.

定理1.6(最值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.

這一性質(zhì)的正確性，可以直觀地從圖1-30中反映，但“閉區(qū)間”和“連續(xù)”這兩個(gè)條件是不可少的.例如，函數(shù)

在(0,1)上連續(xù)，但無(wú)法取得最值；又如函數(shù)y=tanx在[0,π]內(nèi)的處間斷，也無(wú)法取得最值圖1-30定理1.7(介值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值：f(a)=A,f(b)=B,則無(wú)論C是A與B之間怎樣的一個(gè)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

f(ξ)=C,a<ξ<b

定理1.7的幾何解釋參見(jiàn)圖1-31.

定理1.8(零點(diǎn)定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0,則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.如圖1-32所示.圖1-31圖1-32例1-48證明方程x3-x-1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)根.

證明因?yàn)閒(x)=x3-x-1在閉區(qū)間[1,2]上連續(xù)，又

f(x)=-1<0,f(2)=5>0

根據(jù)零點(diǎn)定理，在(1,2)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0,即

ξ3-ξ-1=0

這表明方程x3-x-1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)根.

1.8用MATLAB求函數(shù)的極限

1.MATLAB簡(jiǎn)介

MATLAB(矩陣實(shí)驗(yàn)室)是MA