高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何第6講空間坐標(biāo)系與空間向量配套理

第6講空間坐標(biāo)系與空間向量1/36考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解空間向量概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能利用向量數(shù)量積判斷向量共線與垂直.4.了解直線方向向量與平面法向量.5.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直和平行關(guān)系年新課標(biāo)以四棱錐為背景，考查求二面角余弦值大??；年新課標(biāo)以三棱柱為背景，考查求二面角大??；年新課標(biāo)Ⅰ以三棱柱為背景，考查求線面所成角正弦值；年新課標(biāo)Ⅰ以三棱柱背景，考查求二面角余弦值；年新課標(biāo)Ⅰ考查求直線與直線所成角余弦值；年新課標(biāo)Ⅰ考查利用空間向量求二面角；年新課標(biāo)Ⅰ考查利用空間向量求二面角.能較易建立空間直角坐標(biāo)系，盡量建立空間直角坐標(biāo)系；要注意向量運(yùn)算與基本性質(zhì)相結(jié)合敘述，這是今后方向，能夠“形到形”，能夠“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合2/36或AB.空間向量能夠在空間內(nèi)自由平行移動(dòng).1.空間向量概念在空間，現(xiàn)有大小又有方向量，叫做空間向量，記作a→3/36(1)加法：AB＋BC＝AC(三角形法則：首尾相連，指向終點(diǎn)).(2)減法：AB－AC＝CB(三角形法則：共點(diǎn)出發(fā)，指向被減).2.空間向量運(yùn)算→→→→→→(3)數(shù)乘向量：λa(λ∈R)仍是一個(gè)向量，且λa與a共線，|λa|＝|λ||a|.(4)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一個(gè)實(shí)數(shù).3.空間向量運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)普通不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4/36

4.空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

叫做點(diǎn)P坐標(biāo). (2)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么

a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；λa＝_________________；a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(λx1，λy1，λz1)5/366/36余弦值為，則λ＝(D.2或－1.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b夾角89)CA.2B.－2C.－2或

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2557/36A.一定不共面C.不一定共面B.一定共面D.無(wú)法判斷B

∴P，A，B，C四點(diǎn)共面.故選B.8/36A

圖D639/364.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(2，－1，2)，標(biāo)為_(kāi)__________.10/3611/36考點(diǎn)1空間向量線性運(yùn)算

圖8-6-112/3613/3614/36

【規(guī)律方法】(1)選定空間不共面三個(gè)向量作基向量，這是用向量處理立體幾何問(wèn)題基本要求.用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.

(2)首尾相接若干向量之和，等于由起始向量始點(diǎn)指向末尾向量終點(diǎn)向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法多邊形法則.(3)向量線性運(yùn)算有一個(gè)慣用結(jié)論：假如B是線段AC算.15/36【互動(dòng)探究】

1.(年河南鄭州模擬)如圖8-6-2，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC中點(diǎn)，則x＋y＋z＝______.圖8-6-216/36答案：5617/36向量OG＝_______________.

2.如圖8-6-3，已知空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且OM＝2MA，N為BC中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且→圖8-6-318/3619/36考點(diǎn)2空間向量數(shù)量積運(yùn)算

例2：(2016年山西太原模擬)如圖8-6-4，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A中點(diǎn).

(3)求證：A1B⊥C1M.

圖8-6-420/36(1)解：如圖

D64，建立空間直角坐標(biāo)系.圖D6421/3622/36

【規(guī)律方法】利用數(shù)量積處理問(wèn)題兩條路徑：一是依據(jù)數(shù)量積定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.可處理相關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題.①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；23/36

例3：(2015年新課標(biāo)Ⅰ)如圖

8-6-5，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證實(shí)：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角余弦值.圖8-6-524/3625/3626/36圖D6527/36

【規(guī)律方法】(1)求幾何體中兩個(gè)向量夾角能夠把其中一個(gè)向量平移到與另一個(gè)向量起點(diǎn)重合，從而轉(zhuǎn)化為求平面中角大小.(2)由兩個(gè)向量數(shù)量積定義，得cos〈a，b〉＝

a·b|a||b|，求〈a，b〉大小,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量數(shù)量積及兩個(gè)向量模,求出〈a，b〉余弦值，進(jìn)而求〈a，b〉大小.在求a·b時(shí)注意結(jié)合空間圖形，把a(bǔ)，b用基向量表示出來(lái),進(jìn)而化簡(jiǎn)得出a·b值．28/36【互動(dòng)探究】

3.(年綱領(lǐng))三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1

所成角余弦值為_(kāi)______.29/3630/36

4.(選修2-1P105-例1改編)如圖8-6-6，在平行六面體

ABCD-A1B1C1D1

中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.圖8-6-631/3632/3633/36易錯(cuò)、易混、易漏⊙向量夾角不明致誤

例題：如圖8-6-7，在120°二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為