2025屆高三新概念壓軸背景下的數(shù)學(xué)選填壓軸試題匯編 含解析

新概念壓軸背景下的選填壓軸匯編一．基本原理1．新概念導(dǎo)向的壓軸概念是數(shù)學(xué)的核心之一，一個(gè)概念的產(chǎn)生往往需要經(jīng)歷一個(gè)完整的探究過(guò)程，教材上案例比比皆是.17分的綜合壓軸由于是考試，可能不會(huì)側(cè)重于概念的探究，而是轉(zhuǎn)為給出相關(guān)概念，利用有關(guān)概念（定義）來(lái)解決問(wèn)題，這就涉及到將抽象問(wèn)題具體化，從一般到特殊.考察學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和完整的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.于是，備考時(shí)，一定要側(cè)重對(duì)概念的理解，這一方面要求我們?cè)诟咭桓叨抡n講解過(guò)程中不應(yīng)該只顧“撈干貨”，忽視概念的引入，生成等環(huán)節(jié).另一方面，在高三復(fù)習(xí)中，遇到相關(guān)題目講解時(shí)，注意耐心感受概念的形式，必要時(shí)候，完全可以通過(guò)簡(jiǎn)單的枚舉，找特例來(lái)理解概念的具體含義，最后就是特別注意相關(guān)的表達(dá)與應(yīng)用.2．新運(yùn)算導(dǎo)向的壓軸運(yùn)算是數(shù)學(xué)的靈魂，相關(guān)題目以符號(hào)，新運(yùn)算為背景，就是要考察運(yùn)算素養(yǎng)和完整的數(shù)學(xué)表達(dá)，新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.3．新性質(zhì)為導(dǎo)向的壓軸新性質(zhì)問(wèn)題綜合了前面兩個(gè)的一些特色，然后讓我們判斷題干所給的問(wèn)題是否滿足相關(guān)性質(zhì)，完整的解答過(guò)程涉及到理解性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算和完整表達(dá)，對(duì)學(xué)生的各方面能用要求都很高.4．新背景為導(dǎo)向的壓軸這種背景主要指的是高觀點(diǎn)或者依托于教材的背景性資料，有的問(wèn)題可能純屬背景建構(gòu)，高中內(nèi)容解決，有的問(wèn)題則可能需要對(duì)材料中的新背景做分析整理，數(shù)學(xué)抽象，并在解題中利用相關(guān)內(nèi)容解決，有的則需要你掌握很多的知識(shí).5．新公式為導(dǎo)向的壓軸新公式為導(dǎo)向結(jié)合了運(yùn)算素養(yǎng)，需要準(zhǔn)備的理解公式與運(yùn)算形式，代入公式以后求得相關(guān)問(wèn)題，理解公式是關(guān)鍵，完整表達(dá)是重點(diǎn).綜上，新情境壓軸雖然沒(méi)有滿滿的“套路”可循，但也并非沒(méi)有一點(diǎn)規(guī)律，一方面要求我們?cè)诟咭?，高二教學(xué)中盡可能回歸學(xué)的本質(zhì)，注重情境和探究，減少以前課堂形式的“撈干貨，講例題，模仿練習(xí)”的形式，另外，高三備考中也要注意總結(jié)，剛開始做慢一點(diǎn)，這類題目的通法就是具體問(wèn)題具體分析，所以，先慢一點(diǎn)，注重我剛才上面分析的方式方法，積累信心，盡可能多拿分！二．典例分析1．新概念導(dǎo)向的壓軸例1．（2025·湖北武漢·二模）已知，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，為集合中的最小元素．若非空數(shù)集，且滿足，則稱集合為“階完美集”．記為全部階完美集的個(gè)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集C．若為階完美集，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為D．若為階完美集，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為【詳解】當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.根據(jù)“n階完美集”的定義，中大于等于的數(shù)有、、、共個(gè)，所以此時(shí)可以是、、、.當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.中大于等于的數(shù)有、、共個(gè)，所以此時(shí)可以是、、.當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.中大于等于的數(shù)有、共個(gè)，不滿足“n階完美集”的定義，所以中個(gè)元素的子集不滿足.同理，中含個(gè)元素的子集也不滿足.綜上，4階完美集有、、、、、、，所以，故A正確.若將“n階完美集”中元素全部加，中元素個(gè)數(shù)不變，但加變大，均不違背“階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個(gè)“階完美集”，故B正確.對(duì)于滿足“階完美集”的所有，屬于所有或不屬于所有，均可視為同一情形，即退化為“階完美集”的情況，總個(gè)數(shù)為.又因?yàn)?，所以滿足條件的集合要排除掉“階完美集”中只含有個(gè)元素的情形（排除個(gè)單元素集合），因此滿足條件的集合的個(gè)數(shù)均為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.例2．（2025·江西·一模）如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個(gè)全等且平行的正六邊形，，它們的中心分別為，，側(cè)面由12個(gè)全等的以正六邊形的邊為底的等腰三角形組成．若該“正六角反棱柱”的各棱長(zhǎng)都為2，則下列命題正確的是（

）A．異面直線與所成的角為B．平面C．該多面體外接球的表面積為D．直線與下底面所成角的正弦值為【詳解】對(duì)于A，設(shè)，在下底面的射影分別為，，則平分，為等邊三角形，所以異面直線與所成的角為，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，易知垂直于底面，所以，又平分，所以，因?yàn)槠矫妫云矫妫瑥亩矫?，故B正確．對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，在下底面上的射影為，上、下兩底面間的距離為，外接球的半徑為，則，，所以，，從而所求外接球的表面積為，故C正確．對(duì)于D，設(shè)直線與下底面所成的角為，由上面可知，所以，故D正確．故選：BCD.例3．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）給定，若集合，且存在，滿足，則稱P為“廣義等差集合”．記P的元素個(gè)數(shù)為，則（

）A．是“廣義等差集合”B．是“廣義等差集合”C．若P不是“廣義等差集合”，當(dāng)時(shí)，的最大值為4D．若P不是“廣義等差集合”，若的最大值為4，則n可以是13【詳解】對(duì)于A,取，則符合“廣義等差集合”的定義，故A正確，對(duì)于B，取故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，如時(shí)，設(shè)，由題意可知兩兩不相同，則矛盾，故，當(dāng)時(shí)，取,滿足P不是“廣義等差集合”，故的最大值為4，故C正確，對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，取，這與矛盾，故D錯(cuò)誤，故選：ABC例4．（2025·貴州六盤水·一模）定義集合，比如：若，則．把集合中滿足條件的元素組成的集合記為，已知集合，則（1）集合中的元素個(gè)數(shù)為；（2）若中的元素個(gè)數(shù)為56，則p的值為_________．【詳解】（1）集合中的元素滿足，且，列舉滿足條件的組合，共有5種，，即集合中有5個(gè)元素；（2）中的元素滿足，且，利用組合數(shù)公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將個(gè)相同的小球放入6個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)分別是，應(yīng)用隔板法即有種分法，既有個(gè)元素，已知中有56個(gè)元素，即，當(dāng)時(shí)，，因此.故答案為：5；9.例5．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在幾何學(xué)的世界里，阿基米德體以其獨(dú)特的形狀和美麗的對(duì)稱性吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛(ài)好者和科學(xué)家，它是一種半正多面體，其中每個(gè)面都是正多邊形，且各個(gè)面的邊數(shù)不全相同.如圖，棱長(zhǎng)為2的半正多面體是將一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體切掉4個(gè)頂點(diǎn)所在的小正四面體后所剩余的部分，已知A，B，C，D為該半正多面體的四個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P為其表面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【詳解】如圖：補(bǔ)全正四面體，連接,取分別為大正四面體棱的中點(diǎn)，連接,由于均為大四面體的棱的三等分點(diǎn)，故.平面，平面，平面，平面，故平面,平面.且平面，故平面平面，由于平面，因此平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，由于,故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故答案為：2．新運(yùn)算導(dǎo)向的壓軸例6．，運(yùn)算“”為，則（

）A． B．C． D．若，則【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，，要證，只需要證，即證，即證，即證，即證，因?yàn)?，，所以上式成立，所以，故D正確.故選：ABCD.3．新性質(zhì)為導(dǎo)向的壓軸例7．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知的定義域?yàn)榉橇阌欣頂?shù)集，且滿足下面三個(gè)性質(zhì)：①；②；③當(dāng)時(shí)，，其中下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．恰有兩個(gè)整數(shù)解C．若，，則，，中至少有兩個(gè)相等D．若，則【詳解】A：令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函數(shù)；因?yàn)?，，所以，A正確；B：假設(shè)選項(xiàng)正確，對(duì)于任意除1和以外的整數(shù)，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B錯(cuò)誤.C：，所以，若，結(jié)論顯然成立；若，則，即或，結(jié)論依然成立，C正確；D：，，，D錯(cuò)誤.故選：AC4．新背景為導(dǎo)向的壓軸例9．（2023年新高考2卷）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率解析：對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD5．新公式為導(dǎo)向的壓軸例10．信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.則（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC例11．給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒