莫頓期權定價模型

11.0第十一章布萊克-休爾斯-莫頓期權定價模型1973年，美國芝加哥大學教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權價格，在學術界和實務界引起了強烈反響；同年，RobertC.Merton獨立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。在本章中，我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導出衍生證券定價的一般方法。

1Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克-休爾斯-莫頓期權定價模型基本思路11.1我們?yōu)榱私o股票期權定價，必須先了解股票本身的走勢。因為股票期權是其標的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權有效期、無風險利率和標的資產(chǎn)收益的情況下，期權價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權價格的最根本因素。因此，要研究期權的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復制期權，并以此為依據(jù)給期權定價。在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學的語言來描述這種定價的思想。2Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗運動11.2.1

布朗運動（BrownianMotion）起源于英國植物學家布郎對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。

標準布朗運動兩大特征：特征1

(正態(tài)分布)特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。(獨立增量）

3Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008維納過程的性質[z(T)–z(0)]也是正態(tài)分布均值等于0方差等于T標準差等于

方差可加性為何使用布朗運動？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)復利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程維納過程在數(shù)學上對時間處處不可導和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質，與股票收益率在時間上存在轉折尖點等性質也是相符的Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,20085市場有效理論與隨機過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說

根據(jù)眾多學者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內在一致的。因此我們可以用數(shù)學來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次6Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗運動11.2.1

標準布朗運動的擴展：普通布郎運動，令漂移率為a，方差率為b2，：

or:x(t)=x0+at+bz(t)

遵循普通布朗運動的變量x是關于時間和dz的動態(tài)過程：

adt為確定項，意味著x的漂移率是每單位時間為a；

bdz是隨機項，代表著對x的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機波動，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。7Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布朗運動11.2.1普通布朗運動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為1、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。

2、標準布朗運動為普通布朗運動的特例。

8Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤過程與伊藤引理11.3

普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到

這就是伊藤過程（ItoProcess）。其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

9Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤過程與伊藤引理11.3

在伊藤過程的基礎上，數(shù)學家伊藤（K.Ito）進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，dz是一個標準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。

10Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008泰勒展開式忽略比

Dt高階的項在常微分中，我們得到在隨機微分中我們得到：因為最后一項的階數(shù)為Dt將Dx代入e2Dt取極限伊藤引理的運用

如果我們知道x遵循的隨機過程，通過伊藤引理

可以推導出G

(x,t

)遵循的隨機過程。由于衍生產(chǎn)品價格是標的資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)，因此隨機過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。股票價格的變化過程：幾何布朗運動11.2.4一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過程（即幾何布朗運動）來表示：之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個：

一是可以避免股票價格為負從而與有限責任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。

17Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008伊藤過程與伊藤引理11.3案例11.1運用伊藤引理推導lnS所遵循的隨機過程假設變量S服從其中μ和σ都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機過程？由于μ和σ是常數(shù)，S顯然服從，的伊藤過程，我們可以運用伊藤引理推導lnS所遵循的隨機過程。令，則代入式我們就可得到所遵循的隨機過程為由于dlnS是股票的連續(xù)復利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù)復利收益率服從期望值，方差為的正態(tài)分布。**隨機微積分與非隨機微積分的差別18Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008股票價格的變化過程：幾何布朗運動11.2.4從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價格服從幾何布朗運動，則有

1從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負數(shù)。2股票價格的對數(shù)服從普通布朗運動，股票價格和連續(xù)復利收益率服從對數(shù)正態(tài)分布19Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008股票價格的變化過程：幾何布朗運動11.2.4

3.T－t期間年化的連續(xù)復利收益率可以表示為，可知隨機變量服從正態(tài)分布是股票連續(xù)復利收益率的年化標準差，它也被稱為股票價格的波動率（Volatility）4.百分比收益率與連續(xù)復利收益率。20Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008預期收益率與波動率11.2.5:1、幾何布朗運動中的期望收益率。2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，取決于該證券的系統(tǒng)性風險、無風險利率水平、以及市場的風險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益率是無關的。3、較長時間段后的連續(xù)復利收益率的期望值等于<，這是因為較長時間段后的連續(xù)復利收益率的期望值是較短時間內收益率幾何平均的結果，而較短時間內的收益率則是算術平均的結果。

21Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008預期收益率與波動率11.2.51、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標準差2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標準差，再對時間標準化，得到年標準差，即為波動率的估計值。在計算中，一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太短也不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。

:22Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008衍生品價格所服從的隨機過程11.2.６當股票價格服從幾何布朗運動時，由于衍生證券價格G是標的證券價格S和時間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下過程：比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價格G和股票價格S都受同一個不確定性來源dz的影響，這點對于以后推導衍生證券的定價公式很重要。23Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1假設：1、證券價格遵循幾何布朗運動，即和為常數(shù)；2、允許賣空標的證券；3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內標的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5、存在無風險套利機會；6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內，無風險利率r為常數(shù)。24Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1由于證券價格S遵循幾何布朗運動，因此有：其在一個小的時間間隔中，S的變化值為：在一個小的時間間隔中，f的變化值為：設f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：25Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1為了消除風險源

，可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：在時間后，該投資組合的價值變化為：代入和可得26Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1中不含任何風險源，因此組合必須獲得無風險收益，即代入上式可得化簡為**這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。27Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1

觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設：在對衍生證券定價時，所有投資者對于dz所蘊涵的風險都是風險中性的。在所有投資者對dz都是風險中性的條件下（有時我們稱之為進入了一個關于dz的“風險中性世界”），所有風險源為dz的證券的預期收益率都等于無風險利率r，因為風險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有風險源為dz的現(xiàn)金流都應該使用無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風險中性定價原理。28Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1

假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。

由于歐式期權不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權價值為0。風險中性定價原理的應用29Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008為了找出該期權的價值，我們可構建一個由一單位看漲期權空頭和單位的標的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于(11－0.5)元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風險狀態(tài)，我們應選擇適當?shù)闹?，?個月后該組合的價值不變，這意味著：11－0.5=9=0.25因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.130Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008假設現(xiàn)在的無風險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應為：由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此：

這就是說，該看漲期權的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.131Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1從該例子可以看出，在確定期權價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界中，無風險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：P=62.66%。32Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價模型11.3.1又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：P=69.11%。可見，投資者厭惡風險程度決定了股票的預期收益率，而股票的預期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權的價值都等于0.31元。33Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.2在風險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權到期時（T時刻）的期望值為：其中，表示風險中性條件下的期望值。根據(jù)風險中性定價原理，歐式看漲期權的價格c等于將此期望值按無風險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：34Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.2對右邊求值是一種積分過程，結果為：

N（x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。

這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定價公式。35Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200836Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200837

布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.238Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008

布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.239Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008

布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.240Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.2無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權的定價公式根據(jù)歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的定價公式：41Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.2無收益資產(chǎn)美式看漲期權的定價公式在標的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權的定價公式同樣是：42Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.3有收益資產(chǎn)的歐式期權的定價公式對于有收益標的資產(chǎn)的歐式期權，在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權有效期內已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風險部分。當期權到期時，這部分現(xiàn)值將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風險部分的證券價格。σ表示風險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接套用公式:分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權和看跌期權的價值。43Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008因此，當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（S－I）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格。一般來說，期貨期權、股指期權和外匯期權都可以看作標的資產(chǎn)支付連續(xù)復利收益率的期權。其中，歐式期貨期權可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權；股指期權則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權標的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風險利率。布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.344Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008有收益資產(chǎn)的美式看漲期權的定價當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權的定價較為復雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理，若不合理，則按歐式期權處理；若在提前執(zhí)行可能是合理價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。

時刻到期的歐式看漲期權的的，則要分別計算在T時刻和布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.345Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008美式看跌期權的定價美式看跌期權無論標的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應的看漲期權也不存在精確的平價關系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權的價值。布萊克—舒爾斯—默頓期權定價公式11.3.346Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008B-S-M期權定價公式的參數(shù)估計11.3.４我們已經(jīng)知道，B-S-M期權定價公式中的期權價格取決于下列五個參數(shù)：標的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風險利率和標的資產(chǎn)價格波動率（即標的資產(chǎn)收益率的標準差）。在這些參數(shù)當中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風險利率和標的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。47Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008B-S-M期權定價公式的參數(shù)估計11.3.４（一）估計無風險利率在發(fā)達的金融市場上，很容易獲得無風險利率的估計值，但在實際應用時仍然需要注意幾個問題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無風險的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉化為連續(xù)復利的形式，才可以在B-S-M公式中應用。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風險利率的估計值，在中國過去通常使用銀行存款利率，現(xiàn)在則可以從銀行間債券市場的價格中確定國債即期利率作為無風險利率。其次，要注意選擇利率期限。如果利率期限結構曲線傾斜嚴重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權到期日最近的利率作為無風險利率。48Copyright?Z