數(shù)學(xué)分析在經(jīng)濟(jì)模型中的應(yīng)用練習(xí)題

數(shù)學(xué)分析在經(jīng)濟(jì)模型中的應(yīng)用練習(xí)題姓名_________________________地址_______________________________學(xué)號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細(xì)閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、選擇題1.下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增？

a.f(x)=x^2

b.f(x)=2x1

c.f(x)=1/x

d.f(x)=e^x

2.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)=0，那么f(x)在區(qū)間[a,b]上的性質(zhì)是什么？

a.一定有極值

b.一定有最大值

c.一定有最小值

d.沒有確定的性質(zhì)

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，那么在區(qū)間[a,b]上是否存在某個(gè)c，使得f(c)=0？

a.存在

b.不存在

c.無法確定

d.需要更多信息

4.下列哪個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)？

a.f(x)=x

b.f(x)=x^2

c.f(x)=e^x

d.f(x)=sin(x)

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)=0，那么f(x)在區(qū)間[a,b]上的性質(zhì)是什么？

a.一定有極值

b.一定有最大值

c.一定有最小值

d.沒有確定的性質(zhì)

6.下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減？

a.f(x)=x^2

b.f(x)=2x1

c.f(x)=1/x

d.f(x)=e^x

7.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，那么在區(qū)間[a,b]上是否存在某個(gè)c，使得f(c)=0？

a.存在

b.不存在

c.無法確定

d.需要更多信息

8.下列哪個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)？

a.f(x)=x

b.f(x)=x^2

c.f(x)=e^x

d.f(x)=sin(x)

答案及解題思路：

1.答案：d

解題思路：在區(qū)間[0,1]上，e^x的增長速度超過x^2,2x1和1/x，因此單調(diào)遞增。

2.答案：a

解題思路：根據(jù)費(fèi)馬定理，如果f'(x)=0，那么x可能是極值點(diǎn)，所以函數(shù)可能有極值。

3.答案：a

解題思路：根據(jù)羅爾定理，如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)c，使得f(c)=0。

4.答案：b,c,d

解題思路：x^2,e^x和sin(x)在它們的定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，而x在x=0處不可導(dǎo)。

5.答案：a

解題思路：同第2題的解題思路，f'(x)=0可能意味著x是極值點(diǎn)。

6.答案：c

解題思路：在區(qū)間[0,1]上，1/xx的增加而減小，因此它是單調(diào)遞減的。

7.答案：a

解題思路：同第3題的解題思路，根據(jù)羅爾定理，一定存在c使得f(c)=0。

8.答案：b,c,d

解題思路：同第4題的解題思路，這些函數(shù)在它們的定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。二、填空題1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^22x1\)，求\(f'(x)\)的值。

解：函數(shù)\(f(x)=x^22x1\)是一個(gè)二次函數(shù)，對其求導(dǎo)得：

\[

f'(x)=\fracyc48kqs{dx}(x^22x1)=2x2

\]

2.求函數(shù)\(f(x)=3x^24x2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。

解：對函數(shù)\(f(x)=3x^24x2\)求導(dǎo)，代入\(x=1\)：

\[

f'(x)=\fracasasiyy{dx}(3x^24x2)=6x4\quad\text{因此}\quadf'(1)=6(1)4=2

\]

3.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f'(x)\)的值。

解：函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的導(dǎo)數(shù)是：

\[

f'(x)=\fracmoie8iu{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}

\]

4.求函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)。

解：函數(shù)\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)就是自身，代入\(x=0\)：

\[

f'(x)=\fracmkggumi{dx}(e^x)=e^x\quad\text{因此}\quadf'(0)=e^0=1

\]

5.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x\)，求\(f'(x)\)的值。

解：由于絕對值函數(shù)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因此\(f'(x)\)的值為：

\[

f'(x)=\begin{cases}

1\text{ifx>0\\

1\text{ifx0\\

\text{不可導(dǎo)}\text{ifx=0

\end{cases}

\]

6.求函數(shù)\(f(x)=x^33x^22x1\)的導(dǎo)數(shù)。

解：對多項(xiàng)式\(f(x)=x^33x^22x1\)求導(dǎo)得：

\[

f'(x)=\fracgs2ewmo{dx}(x^33x^22x1)=3x^26x2

\]

7.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)，求\(f'(x)\)的值。

解：函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的導(dǎo)數(shù)是：

\[

f'(x)=\frackwyssoq{dx}(\sin(x))=\cos(x)

\]

8.求函數(shù)\(f(x)=x^2x1\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。

解：對函數(shù)\(f(x)=x^2x1\)求導(dǎo)，代入\(x=1\)：

\[

f'(x)=\fracewgoyke{dx}(x^2x1)=2x1\quad\text{因此}\quadf'(1)=2(1)1=1

\]

答案及解題思路：

答案：

1.\(f'(x)=2x2\)

2.\(f'(1)=2\)

3.\(f'(x)=\frac{1}{x}\)

4.\(f'(0)=1\)

5.\(f'(x)\)在\(x>0\)時(shí)為1，在\(x0\)時(shí)為1，在\(x=0\)不可導(dǎo)。

6.\(f'(x)=3x^26x2\)

7.\(f'(x)=\cos(x)\)

8.\(f'(1)=1\)

解題思路：

對于每一題，我們使用了基本的導(dǎo)數(shù)規(guī)則來求導(dǎo)，這些規(guī)則包括冪法則、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和絕對值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對于某些特定函數(shù)，我們直接使用已知導(dǎo)數(shù)公式，如\(e^x\)的導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)。在計(jì)算具體點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們通常將\(x\)的值代入求得的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。三、解答題1.求函數(shù)\(f(x)=x^22x1\)的單調(diào)區(qū)間。

答案：

解析函數(shù)\(f(x)=(x1)^2\)，由于這是一個(gè)二次函數(shù)，它的圖形是一個(gè)開口向上的拋物線。該函數(shù)在頂點(diǎn)\(x=1\)處達(dá)到最小值。因此，函數(shù)在\(x=1\)的左側(cè)是單調(diào)遞減的，在\(x=1\)的右側(cè)是單調(diào)遞增的。

解題思路：

計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=2x2\)。令導(dǎo)數(shù)等于零求得臨界點(diǎn)\(x=1\)。然后檢查該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號以確定單調(diào)性。

2.求函數(shù)\(f(x)=3x^24x2\)的極值點(diǎn)。

答案：

求得導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=6x4\)，令導(dǎo)數(shù)等于零得\(x=\frac{2}{3}\)。二次導(dǎo)數(shù)\(f''(x)=6\)是正數(shù)，因此\(x=\frac{2}{3}\)是極小值點(diǎn)。

解題思路：

使用二次導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)法來確定極值類型，即首先找到函數(shù)的臨界點(diǎn)，然后計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)。如果二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)為正，則該點(diǎn)是極小值點(diǎn)；如果為負(fù)，則是極大值點(diǎn)。

3.求函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的反函數(shù)。

答案：

函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的反函數(shù)是\(f^{1}(x)=e^x\)，其中\(zhòng)(x\)必須滿足\(x>0\)。

解題思路：

為了求出反函數(shù)，將\(y=\ln(x)\)改寫為\(x=e^y\)。然后解\(x\)關(guān)于\(y\)得到反函數(shù)的表達(dá)式。

4.求函數(shù)\(f(x)=e^x\)的反函數(shù)。

答案：

函數(shù)\(f(x)=e^x\)的反函數(shù)是\(f^{1}(x)=\ln(x)\)，其中\(zhòng)(x\)必須滿足\(x>0\)。

解題思路：

類似于前一個(gè)問題，將\(y=e^x\)改寫為\(x=e^y\)，然后解\(y\)關(guān)于\(x\)得到反函數(shù)的表達(dá)式。

5.求函數(shù)\(f(x)=x\)的導(dǎo)數(shù)。

答案：

函數(shù)\(f(x)=x\)的導(dǎo)數(shù)是：

\[

f'(x)=\begin{cases}

1,\text{ifx>0\\

0,\text{ifx=0\\

1,\text{ifx0

\end{cases}

\]

解題思路：

使用導(dǎo)數(shù)的定義和絕對值的性質(zhì)，將函數(shù)\(f(x)\)分段，并分別對每個(gè)分段求導(dǎo)。

6.求函數(shù)\(f(x)=x^33x^22x1\)的極值點(diǎn)。

答案：

函數(shù)\(f(x)=x^33x^22x1\)的導(dǎo)數(shù)是\(f'(x)=3x^26x2\)，令導(dǎo)數(shù)等于零得\(x=1,2/3\)。檢查這兩個(gè)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)以確定它們是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。

解題思路：

首先找到一階導(dǎo)數(shù)的臨界點(diǎn)，然后利用二次導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)法確定極值點(diǎn)的類型。

7.求函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的反函數(shù)。

答案：

函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的反函數(shù)是\(f^{1}(x)=\arcsin(x)\)，其中\(zhòng)(x\)必須滿足\(1\leqx\leq1\)。

解題思路：

確定反三角函數(shù)\(\arcsin\)的定義域和值域，然后使用三角函數(shù)的恒等式來表示反函數(shù)。

8.求函數(shù)\(f(x)=x^2x1\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。

答案：

函數(shù)\(f(x)=x^2x1\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是\(f'(1)=11=2\)。

解題思路：

計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=2x1\)，然后代入\(x=1\)得到在指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。四、證明題1.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)=0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上為常數(shù)函數(shù)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)=0。對于任意的x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在某個(gè)ξ∈(x1,x2)，使得

f(x2)f(x1)=f'ξ(x2x1)。

由于f'(x)=0，所以f'ξ=0，從而f(x2)f(x1)=0，即f(x2)=f(x1)。因此，f(x)在區(qū)間[a,b]上為常數(shù)函數(shù)。

2.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則存在某個(gè)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)。根據(jù)零點(diǎn)定理，由于f(a)和f(b)異號，則存在某個(gè)c∈(a,b)，使得f(c)=0。又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a,c]和[c,b]上連續(xù)，根據(jù)羅爾定理，存在某個(gè)ξ1∈(a,c)和ξ2∈(c,b)，使得f'(ξ1)=0和f'(ξ2)=0。因此，至少存在一個(gè)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

3.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)≠0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)≠0。設(shè)f'(x)>0，則對于任意的x1,x2∈[a,b]，且x1x2，有

f(x2)f(x1)=f'ξ(x2x1)>0。

因此，f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。同理，若f'(x)0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減。

4.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)存在，則f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)存在。對于任意的x∈[a,b]，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有

f'(x)=lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h。

由于f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故f(xh)和f(x)在xh→0時(shí)均趨近于f(x)，因此

lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h=f'(x)。

所以f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

5.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。設(shè)f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則對于任意的x1,x2∈[a,b]，且x1x2，有

f'(x1)≤f'(x2)。

根據(jù)拉格朗日中值定理，存在某個(gè)ξ∈(x1,x2)，使得

f(x2)f(x1)=f'ξ(x2x1)。

由于f'(ξ)≥f'(x1)，故f(x2)f(x1)≥0，即f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。同理，若f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減。

6.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)存在，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)存在。對于任意的x∈[a,b]，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有

f'(x)=lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h。

由于f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故f(xh)和f(x)在xh→0時(shí)均趨近于f(x)，因此

lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h=f'(x)。

所以f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

7.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。對于任意的x∈[a,b]，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在某個(gè)ξ∈(x,xh)，使得

f(xh)f(x)=f'ξh。

由于f'(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，故f'(ξ)≤max{f'(x),f'(xh)}，因此

f(xh)f(x)≤max{f'(x),f'(xh)}h。

當(dāng)h→0時(shí)，f(xh)f(x)→0，即f(xh)→f(x)。因此，f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

8.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)存在，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

證明：

由題意知，f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)存在。對于任意的x∈[a,b]，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有

f'(x)=lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h。

由于f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故f(xh)和f(x)在xh→0時(shí)均趨近于f(x)，因此

lim(h→0)[f(xh)f(x)]/h=f'(x)。

所以f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

答案及解題思路：

1.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上為常數(shù)函數(shù)。

解題思路：利用拉格朗日中值定理，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上任意兩點(diǎn)處的函數(shù)值相等。

2.答案：存在某個(gè)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

解題思路：利用零點(diǎn)定理和羅爾定理，證明存在一個(gè)點(diǎn)c，使得f'(c)=0。

3.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，證明f'(x)的正負(fù)與f(x)的單調(diào)性之間的關(guān)系。

4.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

解題思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

5.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和拉格朗日中值定理，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)。

6.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

解題思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

7.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和拉格朗日中值定理，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

8.答案：f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

解題思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。五、應(yīng)用題1.一輛汽車以v(t)=20t5(t≤5)的速度行駛，求在0到5秒內(nèi)汽車行駛的距離。

解答：

要求汽車在0到5秒內(nèi)行駛的距離，需要對速度函數(shù)v(t)在0到5秒的時(shí)間區(qū)間上進(jìn)行積分。

\[s=\int_0^5v(t)\,dt=\int_0^5(20t5)\,dt\]

\[s=\left[\frac{20}{2}t^25t\right]_0^5=(5025)(00)=25\]

汽車在0到5秒內(nèi)行駛的距離為25單位距離。

2.一個(gè)物體以a(t)=4t^22t1的加速度運(yùn)動(dòng)，求從0到2秒內(nèi)物體的位移。

解答：

要求物體的位移，需要對加速度函數(shù)a(t)在0到2秒的時(shí)間區(qū)間上進(jìn)行積分兩次，先得到速度函數(shù)v(t)，再積分得到位移函數(shù)s(t)。

\[v(t)=\inta(t)\,dt=\int(4t^22t1)\,dt\]

\[v(t)=\left[\frac{4}{3}t^3t^2t\right]_0^2=\left(\frac{32}{3}42\right)(000)=\frac{32}{3}2\]

\[s(t)=\intv(t)\,dt=\int\left(\frac{32}{3}t2tt\right)\,dt\]

\[s(t)=\left[\frac{16}{3}t^2t^2\frac{1}{2}t^2\right]_0^2=\left(\frac{16}{3}\cdot44\frac{1}{2}\cdot4\right)(000)=\frac{64}{3}42\]

\[s(t)=\frac{64}{3}2\]

物體在0到2秒內(nèi)的位移為\(\frac{64}{3}2\)單位距離。

3.一家公司年銷售額為y=5000t^2200t1000，求該公司第5年的銷售額。

解答：

第5年的銷售額即t=5時(shí)的年銷售額，將t=5代入銷售額公式中。

\[y(5)=5000\cdot5^2200\cdot51000\]

\[y(5)=5000\cdot2510001000\]

\[y(5)=12500010001000\]

\[y(5)=125000\]

該公司第5年的銷售額為125000單位。

4.一個(gè)函數(shù)f(x)=3x^24x2在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，求f(1)和f(2)的值。

解答：

單調(diào)遞增意味著在該區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)大于0。首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)。

\[f'(x)=6x4\]

然后求出在x=1和x=2時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。

\[f'(1)=6\cdot14=2\]

\[f'(2)=6\cdot24=8\]

導(dǎo)數(shù)都大于0，所以函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增。

\[f(1)=3\cdot1^24\cdot12=342=1\]

\[f(2)=3\cdot2^24\cdot22=1282=6\]

f(1)的值為1，f(2)的值為6。

5.一個(gè)物體以v(t)=5t^23t2的速度運(yùn)動(dòng)，求從0到3秒內(nèi)物體的位移。

解答：

要求物體的位移，需要對速度函數(shù)v(t)在0到3秒的時(shí)間區(qū)間上進(jìn)行積分。

\[s=\int_0^3v(t)\,dt=\int_0^3(5t^23t2)\,dt\]

\[s=\left[\frac{5}{3}t^3\frac{3}{2}t^22t\right]_0^3=\left(\frac{5}{3}\cdot27\frac{3}{2}\cdot92\cdot3\right)(000)\]

\[s=\frac{135}{3}\frac{27}{2}6=4513.56\]

\[s=37.5\]

物體在0到3秒內(nèi)行駛的位移為37.5單位距離。

6.一個(gè)函數(shù)f(x)=x^33x^22x1在區(qū)間[0,1]上有極值，求f(0)和f(1)的值。

解答：

要求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的極值，需要先求導(dǎo)數(shù)f'(x)。

\[f'(x)=3x^26x2\]

然后求導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)。

\[3x^26x2=0\]

這是一個(gè)二次方程，求解得到x的值。但是這里只需要求f(0)和f(1)的值。

\[f(0)=0^33\cdot0^22\cdot01=1\]

\[f(1)=1^33\cdot1^22\cdot11=1321=1\]

f(0)的值為1，f(1)的值也為1。

7.一個(gè)公司年銷售額為y=2t^33t^25t4，求該公司第7年的銷售額。

解答：

第7年的銷售額即t=7時(shí)的年銷售額，將t=7代入銷售額公式中。

\[y(7)=2\cdot7^33\cdot7^25\cdot74\]

\[y(7)=2\cdot3433\cdot49354\]

\[y(7)=6147354\]

\[y(7)=574\]

該公司第7年的銷售額為574單位。

8.一個(gè)函數(shù)f(x)=x^2x1在區(qū)間[2,3]上連續(xù)，求f(2)和f(3)的值。

解答：

函數(shù)f(x)=x^2x1是一個(gè)二次多項(xiàng)式，它在整個(gè)實(shí)數(shù)域上都是連續(xù)的。因此，在區(qū)間[2,3]上的任何點(diǎn)都是連續(xù)的，包括端點(diǎn)2和3。

\[f(2)=(2)^2(2)1=421=3\]

\[f(3)=3^231=931=13\]

f(2)的值為3，f(3)的值為13。

答案及解題思路：

1.求解速度函數(shù)在給定時(shí)間區(qū)間的積分得到位移。

2.先對加速度函數(shù)積分得到速度函數(shù)，再對速度函數(shù)積分得到位移。

3.將年數(shù)代入年銷售額公式中計(jì)算銷售額。

4.檢查函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值。

5.對速度函數(shù)積分得到位移。

6.通過導(dǎo)數(shù)求解極值，并計(jì)算函數(shù)在特定點(diǎn)的值。

7.將年數(shù)代入年銷售額公式中計(jì)算銷售額。

8.函數(shù)為連續(xù)多項(xiàng)式，直接計(jì)算在端點(diǎn)的值。六、計(jì)算題1.求極限：lim(x→0)(sin(x)/x)

2.求極限：lim(x→∞)(x^22x1)/(x^23x2)

3.求極限：lim(x→0)(x^33x2)/(x1)

4.求極限：lim(x→∞)(1e^(x))

5.求極限：lim(x→0)(xsin(x)/(1cos(x)))

6.求極限：lim(x→0)(sin(3x)/(x3))

7.求極限：lim(x→∞)(1/x^22/x^3)

8.求極限：lim(x→0)(ln(1x)/x)

答案及解題思路：

1.答案：1

解題思路：這是一個(gè)著名的極限，可以使用洛必達(dá)法則或者泰勒展開來求解。通過泰勒展開，sin(x)在x=0附近可以展開為xx^3/6O(x^5)，因此sin(x)/x可以近似為1x^2/6O(x^4)，當(dāng)x→0時(shí)，極限為1。

2.答案：1

解題思路：首先對分子和分母同時(shí)除以x^2，得到lim(x→∞)(12/x1/x^2)/(13/x2/x^2)。當(dāng)x→∞時(shí)，所有含x的項(xiàng)都趨于0，因此極限為1。

3.答案：2

解題思路：將分子x^33x2中的x^33x分解出來，得到lim(x→0)(x^33x2)/(x1)=lim(x→0)(x(x^23)2)/(x1)。將x^23因式分解，得到lim(x→0)(x(x√3)(x√3)2)/(x1)。由于x→0時(shí)，x√3和x√3不為0，極限存在且為2。

4.答案：1

解題思路：當(dāng)x→∞時(shí)，e^(x)→0，因此1e^(x)→1。

5.答案：0

解題思路：使用洛必達(dá)法則或者泰勒展開，sin(x)在x=0附近可以展開為xx^3/6O(x^5)，cos(x)在x=0附近可以展開為1x^2/2O(x^4)。因此，(1cos(x))在x=0附近可以近似為x^2/2，所以原極限可以化簡為lim(x→0)(x(xx^3/6)/(x^2/2))，進(jìn)一步化簡后得到0。

6.答案：3

解題思路：使用洛必達(dá)法則或者泰勒展開，sin(3x)在x=0附近可以展開為3x(3x)^3/6O((3x)^5)，因此sin(3x)/(x3)可以近似為(3x(3x)^3/6)/(x3)。當(dāng)x→0時(shí)，所有含x的項(xiàng)都趨于0，因此極限為3。

7.答案：0

解題思路：當(dāng)x→∞時(shí)，1/x^2和2/x^3都趨于0，因此整個(gè)表達(dá)式的極限為0。

8.答案：1

解題思路：使用洛必達(dá)法則或者泰勒展開，ln(1x)在x=0附近可以展開為xx^2/2O(x^3)，因此ln(1x)/x可以近似為(1x/2O(x^2))/x。當(dāng)x→0時(shí)，所有含x的項(xiàng)都趨于0，因此極限為1。七、綜合題1.求函數(shù)\(f(x)=x^24x5\)在區(qū)間\([1,2]\)上的最大值和最小值。

2.求函數(shù)\(f(x)=e^xx1\)在區(qū)間\([0,1]\)上的單調(diào)區(qū)間。

3.求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\)在區(qū)間\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的連續(xù)性。

4.求函數(shù)\(f(x)=(x2)^3x^2\)在區(qū)間\([2,1]\)上的可導(dǎo)性。

5.求函數(shù)\(f(x)=(x1)^4x^3\)在區(qū)間\([0,2]\)上的單調(diào)性。

6.求函數(shù)\(f(x)=x^22x1\)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間\([0,2]\)上的連續(xù)性。

7.求函數(shù)\(f(x)=(1x)^3x^4\)