2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第18講 圖形認(rèn)識(shí)初步（含解析+考點(diǎn)卡片）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第18講圖形認(rèn)識(shí)初步

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，∠MON的度數(shù)可能是（）

A．50°B．60°C．70°D．120°

2．如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，則原正方體中與“的”字所在的面相對(duì)的面上標(biāo)的漢字是（）

A．祖B．國(guó)C．厲D．害

3．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數(shù)為（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

4．如圖，電腦屏幕上，設(shè)計(jì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)的光點(diǎn)P，點(diǎn)P先沿水平直線從左向右勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在A點(diǎn)向

右轉(zhuǎn)70°后，再沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，在B點(diǎn)向左轉(zhuǎn)100°后，再沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在C點(diǎn)再

向右轉(zhuǎn)45°后，沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M在C點(diǎn)的（）

A．南偏東15°B．南偏西45°C．南偏東75°D．南偏東85°

5．如圖，從點(diǎn)O處觀測(cè)點(diǎn)A，點(diǎn)D的方向，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東30°方向上

B．點(diǎn)D在點(diǎn)O的東南方向上

C．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東60°方向上

D．點(diǎn)D在點(diǎn)O的南偏東45°方向上

6．如圖，將兩塊三角板的直角∠AOB與∠COD的頂點(diǎn)O重合在一起，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)三角板AOB，使兩塊

三角板仍有部分重疊，且∠AOD＝3∠BOD，則∠AOC的度數(shù)為（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

7．兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC與DG交于點(diǎn)F．若

∠EDB＝58.1°，則∠AFD的大小為（）

A．63.1°B．73.1°C．76.9°D．58.1°

8．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列有關(guān)實(shí)例（如圖）所應(yīng)用的最主要的幾何知識(shí)，說(shuō)法不正

確的是（）

A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應(yīng)用了“三角形的穩(wěn)定性”

B．圖②中建筑工人砌墻時(shí)，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應(yīng)用了“兩點(diǎn)之間，線段最短”

C．圖③中體育課上，測(cè)量立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)，應(yīng)用了“點(diǎn)到直線的距離是指點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度”

D．圖④中車(chē)輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等”

9．如圖，取一根長(zhǎng)100cm的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)O并將其吊起來(lái)．在中點(diǎn)O的左側(cè)距離中

點(diǎn)O25cm（L1＝25cm）處掛一個(gè)重9.8N（F1＝9.8N）的物體，在中點(diǎn)O右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，使木

桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點(diǎn)O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足FL＝F1L1.

若彈簧秤的示數(shù)F不超過(guò)7N，則L的取值范圍是（）

A．0＜L＜35B．L＞35C．0＜L≤35D．35≤L≤50

10．小欣同學(xué)用紙（如圖）折成了個(gè)正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，

選出墨水在哪個(gè)盒子中（）

A．B．C．D．

二．填空題（共5小題）

11．一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開(kāi)圖如圖①所示．在一張不

透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和

最大是．

12．若∠A與∠B互為補(bǔ)角，并且∠B度數(shù)的一半比∠A的度數(shù)小30°，則∠B的度數(shù)為．

13．如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船A位于北偏西54°的方向，同時(shí)輪船B在南偏東15°的方向，那么∠

AOB＝．

14．如圖，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路的走向?yàn)楸逼珫|70°，如果A、B兩地同

時(shí)開(kāi)工，那么∠B為°時(shí)，才能使公路準(zhǔn)確接通．

15．有一個(gè)正六面體骰子放在桌面上，若將骰子沿如圖所示的順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，每滾動(dòng)90°為一次，則滾

動(dòng)第2023次后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別

為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長(zhǎng)為a的正方形．

（1）立體圖形①的名稱(chēng)是；

（2）請(qǐng)問(wèn)立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？（用含a和的式子表示，圓錐，圓柱

122

π?=3????=???)

17．如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°

方向，求∠ACB的度數(shù)．

18．一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的展開(kāi)圖如圖所示．

（1）該盒子的底面的長(zhǎng)為（用含a的式子表示）．

（2）若①，②，③，④四個(gè)面上分別標(biāo)有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對(duì)兩個(gè)面上的整式

的和相等，求x的值．

（3）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)充一個(gè)長(zhǎng)方形，使該展開(kāi)圖折疊成長(zhǎng)方體盒子后有蓋．

19．【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點(diǎn)O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板

COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．

【解決問(wèn)題】

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)∠AOC、∠BOD中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱(chēng)射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請(qǐng)直接

寫(xiě)出所有滿足條件的t值．

20．某風(fēng)景區(qū)A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)在一條直線上，圖中數(shù)據(jù)為各景點(diǎn)之間的距離（單位：千米）．

（1）求景點(diǎn)C，D之間的距離．（用含m的代數(shù)式表示）

（2）若景點(diǎn)C到景點(diǎn)A的距離與景點(diǎn)C到景點(diǎn)D的距離相等，求景點(diǎn)B，D之間的距離．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形認(rèn)識(shí)初步

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，∠MON的度數(shù)可能是（）

A．50°B．60°C．70°D．120°

【考點(diǎn)】角的概念；平行線的性質(zhì)．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)量角器的用法將量角器移至正確位置即可判定求解．

【解答】解：由量角器的位置可判斷ON與70°的刻度線接近平行，

∴將量角器右移，使點(diǎn)O與量角器的中心點(diǎn)位置重合時(shí)，ON與70°刻度線接近重合，

∴∠MON是70°，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的概念，平行線的性質(zhì)，掌握量角器的用法是解題的關(guān)鍵．

2．如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，則原正方體中與“的”字所在的面相對(duì)的面上標(biāo)的漢字是（）

A．祖B．國(guó)C．厲D．害

【考點(diǎn)】專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字．

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念．

【答案】B

【分析】根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的特征進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”可知，

“祖”與“厲”是相對(duì)的面，

“國(guó)”與“的”是相對(duì)的面，

“我”與“害”是相對(duì)的面，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的展開(kāi)與折疊，掌握正方體表面展開(kāi)圖的特征，正確判斷正方體展開(kāi)圖中“相對(duì)

的面”是正確解答的關(guān)鍵．

3．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數(shù)為（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】由題意可得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，再利用余角的定義即可求解．

【解答】解：由題意知：∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，

得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，

所以∠1的余角為90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余角及角的和差關(guān)系，解答的關(guān)鍵是由圖形得到∠1的度數(shù)．

4．如圖，電腦屏幕上，設(shè)計(jì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)的光點(diǎn)P，點(diǎn)P先沿水平直線從左向右勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在A點(diǎn)向

右轉(zhuǎn)70°后，再沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，在B點(diǎn)向左轉(zhuǎn)100°后，再沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在C點(diǎn)再

向右轉(zhuǎn)45°后，沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M在C點(diǎn)的（）

A．南偏東15°B．南偏西45°C．南偏東75°D．南偏東85°

【考點(diǎn)】方向角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】如圖，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ADB＝30°，然后再計(jì)算出∠FCM＝75°，根據(jù)方向角的定

義即可得出答案．

【解答】解：如圖，

∵∠ADB＝100°﹣70°＝30°，∠CED＝90°，

∴∠DCF＝30°+90°＝120°，

∴∠FCM＝120°﹣45°＝75°，

∴此時(shí)點(diǎn)M在C點(diǎn)的南偏東75°．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角，關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)和方向角的定義．

5．如圖，從點(diǎn)O處觀測(cè)點(diǎn)A，點(diǎn)D的方向，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東30°方向上

B．點(diǎn)D在點(diǎn)O的東南方向上

C．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東60°方向上

D．點(diǎn)D在點(diǎn)O的南偏東45°方向上

【考點(diǎn)】方向角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)方向角的定義，逐一判斷即可解答．

【解答】解：A、點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東60°方向上，故A符合題意；

B、點(diǎn)D在點(diǎn)O的東南方向上，故B不符合題意；

C、點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東60°方向上，故C不符合題意；

D、點(diǎn)D在點(diǎn)O的南偏東45°方向上，故D不符合題意；

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．

6．如圖，將兩塊三角板的直角∠AOB與∠COD的頂點(diǎn)O重合在一起，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)三角板AOB，使兩塊

三角板仍有部分重疊，且∠AOD＝3∠BOD，則∠AOC的度數(shù)為（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【考點(diǎn)】角的計(jì)算．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，

可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解．

【解答】解：根據(jù)題意得：∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，

∴∠AOC＝∠BOD，

∵∠AOD＝3∠BOD，

∴∠AOD＝3∠AOC，

∴3∠AOC+∠BOC＝180°，

∴2∠AOC+∠AOB＝180°，

∴2∠AOC+90°＝180°，

解得：∠AOC＝45°．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的和與差，解題的關(guān)鍵是正確推理．

7．兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC與DG交于點(diǎn)F．若

∠EDB＝58.1°，則∠AFD的大小為（）

A．63.1°B．73.1°C．76.9°D．58.1°

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】B

【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到∠EDG＝45°，再由平角的定義得到∠ADF＝76.9°，則由三角形內(nèi)

角和定理可得∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°．

【解答】解：∵∠DGE＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDG＝180°﹣∠G﹣∠E＝45°，

∵∠EDB＝58.1°，

∴∠ADF＝180°﹣∠EDB﹣∠EDG＝76.9°，

∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．

8．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列有關(guān)實(shí)例（如圖）所應(yīng)用的最主要的幾何知識(shí)，說(shuō)法不正

確的是（）

A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應(yīng)用了“三角形的穩(wěn)定性”

B．圖②中建筑工人砌墻時(shí)，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應(yīng)用了“兩點(diǎn)之間，線段最短”

C．圖③中體育課上，測(cè)量立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)，應(yīng)用了“點(diǎn)到直線的距離是指點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度”

D．圖④中車(chē)輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等”

【考點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；點(diǎn)到直線的距離；三角形的穩(wěn)定性；線段垂直平

分線的性質(zhì)．

【專(zhuān)題】幾何圖形；幾何直觀．

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，兩點(diǎn)確定一條直線，垂線段最短，圓的認(rèn)識(shí)進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應(yīng)用了“三角形的穩(wěn)定性”，故本選項(xiàng)不合題意；

B．圖②中建筑工人砌墻時(shí)，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線”，故本選項(xiàng)

符合題意；

C．圖③中體育課上，測(cè)量立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)，應(yīng)用了“點(diǎn)到直線的距離是指點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度”，

故本選項(xiàng)不符合題意；

D．圖④中車(chē)輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等”，故本選項(xiàng)不合題意．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，兩點(diǎn)確定一條直線，垂線段最短，圓的認(rèn)識(shí)等知識(shí)點(diǎn)，熟記相

關(guān)的性質(zhì)或定理即可．

9．如圖，取一根長(zhǎng)100cm的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)O并將其吊起來(lái)．在中點(diǎn)O的左側(cè)距離中

點(diǎn)O25cm（L1＝25cm）處掛一個(gè)重9.8N（F1＝9.8N）的物體，在中點(diǎn)O右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，使木

桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點(diǎn)O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足FL＝F1L1.

若彈簧秤的示數(shù)F不超過(guò)7N，則L的取值范圍是（）

A．0＜L＜35B．L＞35C．0＜L≤35D．35≤L≤50

【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離．

【專(zhuān)題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)彈簧秤平衡的結(jié)論FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可．

【解答】解：由于彈簧秤在木桿的中點(diǎn)O的右側(cè)，所以L≤50，

又∵FL＝F1L1，即F7，

?1?19.8×25

∴L≥35，=?=?≤

所以35≤L≤50．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，理解“杠桿平衡的條件”以及F不超過(guò)7N的意義，列不等式進(jìn)行解答

解答即可．

10．小欣同學(xué)用紙（如圖）折成了個(gè)正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，

選出墨水在哪個(gè)盒子中（）

A．B．C．D．

【考點(diǎn)】展開(kāi)圖折疊成幾何體．

【專(zhuān)題】推理填空題；空間觀念．

【答案】B

【分析】在驗(yàn)證立方體的展開(kāi)圖時(shí)，要細(xì)心觀察每一個(gè)標(biāo)志的位置是否一致，然后進(jìn)行判斷．

【解答】解：根據(jù)展開(kāi)圖中各種符號(hào)的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的表面展開(kāi)圖及空間想象能力．易錯(cuò)易混點(diǎn)：學(xué)生對(duì)相關(guān)圖的位置想象不準(zhǔn)確，

從而錯(cuò)選，解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，不妨動(dòng)手實(shí)際操作一下，即可解決問(wèn)題．

二．填空題（共5小題）

11．一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開(kāi)圖如圖①所示．在一張不

透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和

最大是53．

【考點(diǎn)】專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字．

【專(zhuān)題】展開(kāi)與折疊；空間觀念．

【答案】53．

【分析】分別求出最右邊的正方體、最上邊的正方體、左下角的正方體所能看到的數(shù)字之和最大的情況即

可．

【解答】解：要使幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大，

最右邊的那個(gè)正方體所能看到的4個(gè)數(shù)字為3，4，5，6，和為18；

最上邊的那個(gè)正方體所能看到的6個(gè)數(shù)字為2，3，4，5，6，和為20；

左下角的那個(gè)正方體所能看到的3個(gè)數(shù)字為4，5，6，和為15；

所以這個(gè)幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大為：18+20+15＝53，

故答案為：53．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，掌握正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”是解題

的關(guān)鍵．

12．若∠A與∠B互為補(bǔ)角，并且∠B度數(shù)的一半比∠A的度數(shù)小30°，則∠B的度數(shù)為100°．

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】100°．

【分析】根據(jù)互為補(bǔ)角的和等于180°，然后根據(jù)題意列出關(guān)于∠A、∠B的二元一次方程組，求解即可．

【解答】解：根據(jù)題意可得：∠A+∠B＝180°①，且∠B＝∠A﹣30°②，

1

2

由①得：∠A＝180°﹣∠B③，

把③代入②得：∠B＝180°﹣∠B﹣30°，

1

解得∠B＝100°．2

故答案為：100°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為補(bǔ)角的和等于180°的性質(zhì)，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

13．如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船A位于北偏西54°的方向，同時(shí)輪船B在南偏東15°的方向，那么∠

AOB＝141°．

【考點(diǎn)】方向角．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】首先計(jì)算出∠3的度數(shù)，再計(jì)算∠AOB的度數(shù)即可．

【解答】解：由題意得：∠1＝54°，∠2＝15°，

∠3＝90°﹣54°＝36°，

∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．

故答案為：141°．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意找出圖中角的度數(shù)．

14．如圖，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路的走向?yàn)楸逼珫|70°，如果A、B兩地同

時(shí)開(kāi)工，那么∠B為110°時(shí)，才能使公路準(zhǔn)確接通．

【考點(diǎn)】方向角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】110．

【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠A+∠B＝180°，進(jìn)而得出答案．

【解答】解：∵使公路準(zhǔn)確接通，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝70°，

∴∠B＝110°．

故答案為：110．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方向角，靈活利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15．有一個(gè)正六面體骰子放在桌面上，若將骰子沿如圖所示的順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，每滾動(dòng)90°為一次，則滾

動(dòng)第2023次后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是5．

【考點(diǎn)】專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字；規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)．

【專(zhuān)題】展開(kāi)與折疊；空間觀念．

【答案】5．

【分析】根據(jù)題意可得：3和4是相對(duì)面，2和5是相對(duì)面，且朝下一面的點(diǎn)數(shù)依次為2，3，5，4，且4

次一循環(huán)，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【解答】解：由題意得：

3和4是相對(duì)面，2和5是相對(duì)面，且朝下一面的點(diǎn)數(shù)依次為2，3，5，4，且4次一循環(huán)，

∵2023÷4＝505...3，

∴滾動(dòng)第2023次后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是5，

故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別

為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長(zhǎng)為a的正方形．

（1）立體圖形①的名稱(chēng)是圓錐；

（2）請(qǐng)問(wèn)立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？（用含a和的式子表示，圓錐，圓柱

122

π?=3????=???)

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面、體；列代數(shù)式．

【專(zhuān)題】推理能力．

【答案】（1）圓錐；

（2）立體圖形②比立體圖形①的體積大．

13

??

【分析】（1）根據(jù)立體圖形的定義即可解答3；

（2）設(shè)圖形①、②的體積分別為V1、V2，然后分別求得圖形①、②的體積，然后作差即可解答．

【解答】解：（1）以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸得到的立體圖形為圓錐．

故答案為：圓錐．

（2）設(shè)圖形①、②的體積分別為V1、V2，

則，，

122323

?1=???2?=???2=????=??

∴33．即立體圖形②比立體圖形①的體積大．

3231313

?2??1=?????=????

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考3查了圓3錐的定義、圓錐的體積、圓柱的體積等知識(shí)點(diǎn)3，掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)成為解題

的關(guān)鍵．

17．如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°

方向，求∠ACB的度數(shù)．

【考點(diǎn)】方向角．

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】90°．

【分析】先根據(jù)題意得出∠BAC的度數(shù)，由AE∥DB可得出∠DBA的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠ABC的度數(shù)，

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ACB的度數(shù)．

【解答】解：根據(jù)題意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE

＝45°+30°

＝75°．

∵AE∥DB，

∴∠DBA＝∠BAE＝45°，

∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA

＝60°﹣45°

＝15°，

∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC

＝180°﹣15°﹣75°

＝90°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)

象所處的射線為終邊，故描述方位角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．

18．一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的展開(kāi)圖如圖所示．

（1）該盒子的底面的長(zhǎng)為3a（用含a的式子表示）．

（2）若①，②，③，④四個(gè)面上分別標(biāo)有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對(duì)兩個(gè)面上的整式

的和相等，求x的值．

（3）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)充一個(gè)長(zhǎng)方形，使該展開(kāi)圖折疊成長(zhǎng)方體盒子后有蓋．

【考點(diǎn)】專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字；列代數(shù)式；整式的加減．

【專(zhuān)題】整式；幾何直觀．

【答案】（1）3a；

（2）4；

（3）見(jiàn)解答過(guò)程．

【分析】（1）依據(jù)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的高為a，底面的寬為2a，即可得到底面的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)該盒子的相對(duì)兩個(gè)面上的整式的和相等，列方程求解即可；

（3）依據(jù)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特征，即可在圖中補(bǔ)充一個(gè)長(zhǎng)方形，使該展開(kāi)圖折疊成長(zhǎng)方體盒子后有蓋．

【解答】解：（1）由題可得，無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的高為a，底面的寬為3a﹣a＝2a，

∴底面的長(zhǎng)為5a﹣2a＝3a，

故答案為：3a；

（2）∵①，②，③，④四個(gè)面上分別標(biāo)有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對(duì)兩個(gè)面上的整式

的和相等，

∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，

解得x＝4；

（3）如圖所示：（答案不唯一）

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)

圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

19．【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點(diǎn)O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板

COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．

【解決問(wèn)題】

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系∠AOC+∠BOD＝180°；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)∠AOC、∠BOD中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱(chēng)射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請(qǐng)直接

寫(xiě)出所有滿足條件的t值．

【考點(diǎn)】角的計(jì)算；角平分線的定義．

【專(zhuān)題】三角形；推理能力．

【答案】（1）∠AOC+∠BOD＝180°；（2）有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由略；（3）t＝4或8．

【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫(huà)出圖形可得結(jié)論．

（2）依據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然后分別計(jì)算出角的度數(shù)可得解．

（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類(lèi)討論可得t的值．

【解答】解：（1））①如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．

理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．

∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝

180°．

②如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．

理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．

∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝

180°．

綜上，∠AOC+∠BOD＝180°．

（2）由題意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如圖所示，

理由如下：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，∠AOC＝15°×9＝135°，

∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．

∵∠COD＝90°，

∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．

∴∠BOC＝∠BOD＝45°．

∴OB平分∠COD．

又∠BOD＝45°∠AOB，

1

∴OD平分∠AOB=．2

（3）由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．

當(dāng)∠BOD＝2∠AOC時(shí)，

又∠AOC+∠BOD＝180°，

∴∠AOC＝60°．

∴15t＝60，解得t＝4．

當(dāng)2∠BOD＝∠AOC時(shí)，

又∠AOC+∠BOD＝180°，

∴∠AOC＝120°．

∴15t＝120，解得t＝8．

綜上，t＝4或8．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的計(jì)算，解題時(shí)需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．

20．某風(fēng)景區(qū)A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)在一條直線上，圖中數(shù)據(jù)為各景點(diǎn)之間的距離（單位：千米）．

（1）求景點(diǎn)C，D之間的距離．（用含m的代數(shù)式表示）

（2）若景點(diǎn)C到景點(diǎn)A的距離與景點(diǎn)C到景點(diǎn)D的距離相等，求景點(diǎn)B，D之間的距離．

【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離；列代數(shù)式．

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．

【答案】（1）（3+3m）千米；（2）13千米．

【分析】（1）景點(diǎn)C，D之間的距離等于B，D之間的距離減去B，C之間的距離；

（2）根據(jù)景點(diǎn)C到景點(diǎn)A的距離與景點(diǎn)C到景點(diǎn)D的距離相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案．

【解答】解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，

答：景點(diǎn)C，D之間的距離為（3+3m）千米；

（2）由題意得5+（6﹣m）＝3+3m，

解得m＝2，

∴BD＝9+2m＝13，

答：景點(diǎn)B，D之間的距離13千米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，掌握題意正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片

1．列代數(shù)式

（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．

（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，

先讀的先寫(xiě)，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起

來(lái)．④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě)．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，

數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)

什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題

1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．

2．要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫(xiě)作“?”或

者省略不寫(xiě)．

3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫(xiě)在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式．

2．規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)

的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)

量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．

（2）利用方程解決問(wèn)題．當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)

出其他未知數(shù)，然后列方程．

3．整式的加減

（1）幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)．

（2）整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類(lèi)項(xiàng)．

（3）整式加減的應(yīng)用：

①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；

②根據(jù)題意列出算式；

③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問(wèn)題．

【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問(wèn)題

1．整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)．一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)．

2．去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“﹣”時(shí)，

去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．

4．點(diǎn)、線、面、體

（1）體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點(diǎn)．

（2）從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看

點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．點(diǎn)、線、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩

的圖形世界．

（3）從幾何的觀點(diǎn)來(lái)看

點(diǎn)是組成圖形的基本元素，線、面、體都是點(diǎn)的集合．

（4）長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡(jiǎn)稱(chēng)體．

（5）面有平面和曲面之分，如長(zhǎng)方體由6個(gè)平面組成，球由一個(gè)曲面組成．

5．展開(kāi)圖折疊成幾何體

通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開(kāi)圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再

從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形．

6．專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字

（1）對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對(duì)展開(kāi)圖理解的基礎(chǔ)上直接想象．

（2）從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立

空間觀念，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

（3）正方體的展開(kāi)圖有11種情況，分析平面展開(kāi)圖的各種情況后再認(rèn)真確定哪兩個(gè)面的對(duì)面．

7．線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短

線段公理

兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．

簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短．

8．兩點(diǎn)間的距離

（1）兩點(diǎn)間的距離

連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離．

（2）平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，學(xué)習(xí)此概念時(shí)，注意強(qiáng)調(diào)最

后的兩個(gè)字“長(zhǎng)度”，也就是說(shuō)，它是一個(gè)量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長(zhǎng)度才是兩點(diǎn)

的距離．可以說(shuō)畫(huà)線段，但不能說(shuō)畫(huà)距離．

9．角的概念

（1）角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線

是角的兩條邊．

（2）角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中

間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表

示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠，∠，∠、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表

示．αβγ

（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線

時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝

60″．

10．方向角

方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所