2025年中考數學總復習38 微專題 簡單幾何證明與計算 學案（含答案）

微專題38簡單幾何證明與計算

類型一與三角形有關的證明與計算

1.如圖，已知△ABC是銳角三角形，過點A作AD⊥BC于點D，延長DA至點

E，使DE＝BC，點F在邊AC上，連接DF，EF，使∠CDF＝∠BAD，FD＝AB.

求證：FE＝AC.

第1題圖

2.（2024浙江）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，

AD＝6，tan∠ACB＝1.

（1）求BC的長；

（2）求sin∠DAE的值.

第2題圖

3.如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，點D，E，F分別在AB，BC，

AC邊上，DE⊥DF，∠DEF＝45°.

第3題圖

（1）求證：△BDE∽△CEF；

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（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的長.

類型二與四邊形有關的證明與計算（2021.23）

考向1與圖形性質有關

1.如圖，在正方形ABCD的外側，以CD邊為腰作等腰△CDE，使得DE＝CD，

連接AE.

（1）求證：∠DAE＝∠DEA；

（2）若DE＝4，∠CDE＝30°，求∠DAE的度數和△ADE的周長.

第1題圖

2.（2024東莞一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊上一點，∠EAB

＝∠EBC.

（1）求證：△ABE∽△BEC；

（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的長.

第2題圖

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3.如圖，在△ABC中，D是AB上一點，DE垂直平分AC，交AC于點E，過

點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，連接CD，AF，BE.

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若∠ABC＝90°，BE＝5，BC＝6，求△BDC的面積.

第3題圖

考向2與圖形變化有關（2021.23）

1.如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，C'為點C的對應點，C'B與AD交

于點E.

（1）求證：BE＝DE；

（2）若BE＝2EC'，求∠DBC的度數.

第1題圖

2.（2024梅州模擬）如圖，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝3，PB＝2，

PC＝1.將線段BP繞點B逆時針旋轉90°得到線段BP'，連接AP'，PP'；

（1）求證：△PBC≌△P'BA；

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（2）求∠BPC的度數.

第2題圖

3.在正方形ABCD中，BD為對角線，點E在BD上（不與點B，D重合），

作點E關于直線AB的對稱點F，連接DF，且G為DF的中點，連接AG，EG.

（1）若DF平分∠ADB，求證：EG⊥DF；

（2）若DE＝4，求線段AG的長.

第3題圖

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類型一與三角形有關的證明與計算

1.證明：∵AD⊥BC，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，

∵∠CDF＝∠BAD，

∴∠ABD＝∠ADF，

在△ABC和△FDE中，

＝

＝，

????

＝

∠???∠???

∴?△?AB?C?≌△FDE(SAS)，

∴FE＝AC.

2.解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，

∴由勾股定理，得BD＝－＝8，

22

∵tan∠ACB＝1，????

∴CD＝AD＝6，

∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14；

(2)∵AE是BC邊上的中線，

∴BE＝CE＝7，

∴DE＝BD－BE＝1，

在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝＋＝，

22

????37

∴sin∠DAE＝＝.

??37

3.(1)證明：∵?A?B＝3A7C，∠A＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝135°，

第5頁共11頁

∵∠DEF＝45°，

∴∠BED＋∠CEF＝180°－∠DEF＝135°，

∴∠BDE＝∠CEF，

∴△BDE∽△CEF；

(2)解：如解圖，過點E作EH⊥AB，垂足為點H，

∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，

∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，

∵∠ADF＋∠EDB＝90°，∠ADF＋∠AFD＝90°，

∴∠AFD＝∠EDB，

∵∠A＝∠EHD＝90°，

∴△ADF≌△HED，

∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，

∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，

∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD＋DH＋HB＝4，

∵BC＝AB＝4，22

∴EC＝BC2－BE＝32.

2

第3題解圖

類型二與四邊形有關的證明與計算

考向1與圖形性質有關

1.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，

∵DE＝CD，

∴AD＝DE，

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∴∠DAE＝∠DEA；

(2)解：如解圖，過點D作DF⊥AE于點F，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝120°，

由(1)知，∠DAE＝∠DEA，AD＝DE＝4，

∴∠DAE＝∠DEA＝30°，

AF＝AD＝2，AF＝EF，

3

∴AE＝22AF＝43，

∴△ADE的周長3＝AD＋DE＋AE＝8＋4.

3

第1題解圖

2.(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，

又∵∠EAB＝∠EBC，

∴△ABE∽△BEC；

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC＝AB＝4，

∵DE＝3，

∴CE＝1，

由(1)知△ABE∽△BEC，

∴＝，

????

∴B??E2＝??AB·CE＝4×1＝4，

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∴BE＝2(負值已舍去).

3.(1)證明：∵DE垂直平分AC，

∴AE＝CE，∠AED＝∠CEF＝90°，

∵CF∥AB，

∴∠DAE＝∠FCE，

在△AED和△CEF中，

＝

＝，

∠???∠???

＝

????

∴∠△??A?ED≌∠?△?C?EF(ASA)，

∴DE＝FE，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵DE⊥AC，

∴四邊形ADCF是菱形；

(2)解：∵∠ABC＝90°，E是AC的中點，

∴AE＝CE＝BE＝5，∴AC＝10，

在Rt△ABC中，AB＝－＝－＝8，

2222

由(1)知，四邊形ADCF是??菱形?，?106

∴AD＝CD，

設BD＝x，則AD＝CD＝8－x，

在Rt△CDB中，CD2＝BD2＋CB2，

即(8－x)2＝x2＋62，

解得x＝，即BD＝，

77

44

∴S△BDC＝BD·BC＝××6＝.

11721

考向2與2圖形變化2有關44

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1.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CBD＝∠ADB，

由折疊的性質得，∠CBD＝∠C'BD，

∴∠DBE＝∠ADB，

∴BE＝DE；

(2)解：∵BE＝DE，BE＝2EC'，

∴DE＝2EC'.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，

由折疊的性質得，∠DC'E＝∠BCD＝90°，

∴在Rt△DEC'中，sin∠EDC'＝＝，

??'1

∴∠EDC'＝30°，∴∠DEC'＝6?0?°，2∴∠BED＝120°，

∵BE＝DE，∴∠DBC＝∠DBE＝(180°－∠BED)＝30°.

1

2.(1)證明：∵四邊形ABCD是正2方形，線段BP繞點B逆時針旋轉90°得到線

段BP'，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，BP＝BP'，∠P'BP＝90°，

∴∠P'BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠PBC，

∴∠P'BA＝∠PBC，

在△PBC和△P'BA中，

＝

＝，

????'

＝

∠???∠?'??

∴?△?PB?C?≌△P'BA(SAS)；

(2)解：由(1)知，△PBC≌△P'BA，

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∵PA＝3，PB＝2，PC＝1，

∴P'A＝PC＝1，PP'＝PB＝2，

∴P'A2＋P'P2＝1＋8＝322＝PA2，2

∴∠AP'P＝90°，

∵BP＝BP'，∠P'BP＝90°，

∴∠BP'P＝45°，

∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P＋∠BP'P＝90°＋45°＝135°.

3.(1)證明：如解圖，連接EF交AB于點H，由對稱的性質，得EF⊥AB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB⊥AD，∴AD∥EF，

∴∠ADF＝∠F.

∵DF平分∠ADB，

∴∠ADF＝∠BDF，

∴∠F＝∠BDF，

∴△DEF為等腰三角形.

又∵G是DF的中點，

∴EG⊥DF；

第3題解圖

(2)解：如解圖，連接HG并延長交AB于點I，

由(1)知，AD∥EF，

∴∠GDI＝∠F.

在△DGI和△FGH中，

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