2025年中考數(shù)學一輪專題復習強化練習第14課時　二次函數(shù)的圖象與性質 （含答案）

第14課時二次函數(shù)的圖象與性質

1.(2024·石家莊模擬)對于二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象,下列說法正確的是()

A.開口向下B.對稱軸是直線x=-1

C.頂點坐標是(1,2)D.與y軸的交點為(0,2)

2

2.(2024·廣東)若點(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函數(shù)y=x的圖象上,則()

A.y3>y2>y1B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y3>y1>y2

3.(2024·包頭)將拋物線y=x2+2x向下平移2個單位后,所得新拋物線的頂點式為()

A.y=(x+1)2-3B.y=(x+1)2-2C.y=(x-1)2-3D.y=(x-1)2-2

22

4.(2024·石家莊模擬)如圖,☉O的半徑為2,C1是函數(shù)y=x的圖象,C2是函數(shù)y=-x的圖象,則陰影部

分的面積是()

A.πB.2πC.4πD.6π

5.(2024·貴州)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為

(-1,4),則下列說法正確的是()

A.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1

B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2

C.當x<-1時,y隨x的增大而減小

D.二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3

6.(2024·達州)拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于兩點,其中一個交點的橫坐標大于1,另一個交點的橫

坐標小于1,則下列結論正確的是()

A.b+c>1B.b=2

C.b2+4c<0D.c<0

7.(2024·瀘州)已知二次函數(shù)y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自變量)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則實數(shù)

a的取值范圍為()

A.1≤a<B.0<a<

93

82

C.0<a<D.1≤a<

93

8(),2

8.(2024·邯鄲三模)函數(shù)y=的圖象大致是()

()-()

?+1?≥1

32

4?+11?<1

ABCD

9.(2024·湖北)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)的頂點坐標為(-1,-2),與y軸的交點在x軸

上方,下列結論正確的是()

A.a<0B.c<0C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0

10.(2024·邯鄲叢臺區(qū)二模)已知二次函數(shù)y=mx2-2mx+3(m為常數(shù),且m≠0),當-1≤x≤2時,函數(shù)有最小

值2,則m的值是()

A.1B.C.1或D.1或-

111

11.(2024·寧夏)若二次函數(shù)3y=2x2-x+m的圖象與x軸3有交點,則m的取值范圍3是.

12.(2024·遼寧)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A,B,點B的坐標為

(3,0),若點C(2,3)在拋物線上,則AB的長為.

13.(2024·邯鄲一模)在平面直角坐標系中,設函數(shù)y=ax2+bx+1(a,b是常數(shù),a≠0).

(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,0)和(2,1)兩點,求函數(shù)的解析式.

(2)已知a=b=1,當x=p,q(p,q是實數(shù),p≠q)時,該函數(shù)對應的函數(shù)值分別為P,Q,若p+q=2,求

證:P+Q>6.

222

1.(2024·石家莊裕華區(qū)二模)已知a>0,設函數(shù)y1=a(x-1),y2=a(x-2),y3=a(x-3).直線x=m與函數(shù)

y1,y2,y3的圖象分別交于點A(m,c1),B(m,c2),C(m,c3),下列說法正確的是()

A.若m<1,則c2<c3<c1

B.若1<m<2,則c1<c2<c3

C.若2<m<3,則c3<c2<c1

D.若m>3,則c3<c2<c1

2.(2024·任丘一模)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(-1,0),對稱軸為直線x=1.則下列結論:

①abc<0;②2a+3b>0;③函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為-4a;④若關于x的方程ax2+bx+c=a+5有兩

個相等的實數(shù)根,則a=-2.正確結論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2

3.(2024·河北模擬)如圖,已知拋物線y1=-x+1,直線y2=-x+1,下列判斷中:

①當x<0或x>1時,y1<y2;

②當x=-2或x=3時,y2-y1=6;

③當x>時,y1-y2隨x的增大而增大;

1

2

④使|y1-y2|=的x的值有3個.

1

其中正確的個3數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

2

4.(2024·保定二模)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線l:y=-(x-3)+2,點M(x1,m),N(x2,m)是

l上兩點,且x1<x2,將MN上方拋物線沿MN向下翻折,翻折后得到一個形如“”的新圖象.當這個

新圖象與直線y=-2恰好只有2個公共點時,關于m的取值范圍,甲說:m<-2;乙說:m=-2;丙說:

-2<m≤0;丁說:0<m<2,則()

A.甲、丁的說法合在一起才正確

B.乙、丙的說法合在一起才正確

C.乙、丁的說法合在一起才正確

D.甲、丙的說法合在一起才正確

【詳解答案】

基礎夯實

1.C解析:∵二次函數(shù)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,

∴該函數(shù)圖象開口向上,故選項A錯誤,不符合題意;

對稱軸是直線x=1,故選項B錯誤,不符合題意;

頂點坐標為(1,2),故選項C正確,符合題意;

與y軸的交點為(0,3),故選項D錯誤,不符合題意.故選C.

2.A解析:∵二次函數(shù)y=x2,

∴該二次函數(shù)圖象的開口向上,且對稱軸為y軸.

∴當x≥0時,y隨x的增大而增大,

∵0<1<2,∴y1<y2<y3.故選A.

3.A解析:y=x2+2x=(x+1)2-1.將拋物線y=x2+2x向下平移2個單位后,所得新拋物線的頂點式為y=(x+1)2-3.故選

A.

22

4.B解析:∵C1是函數(shù)y=x的圖象,C2是函數(shù)y=-x的圖象,

∴兩函數(shù)圖象關于x軸對稱,

∴陰影部分面積即是半圓面積,

∴陰影部分的面積S=π×22=2π.故選B.

1

2

5.D解析:A.∵頂點坐標為(-1,4),∴對稱軸為直線x=-1,故A錯誤;

B.由對稱性可知,(-3,0)關于直線x=-1對稱的點為(1,0),故B錯誤;

C.圖象開口向下,當x<-1時,y隨x的增大而增大,故C錯誤;

D.設二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)2+4,將(-3,0)代入得4a+4=0,解得a=-1,

∴y=-(x+1)2+4,令x=0,得y=3,

∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3,故D正確.故選D.

2

6.A解析:拋物線y=-x+bx+c與x軸交于兩點,分別設為(x1,0)和(x2,0),且x1<1,x2>1,

∴x1-1<0,x2-1>0,

∴(x1-1)(x2-1)<0,

∴x1x2-(x1+x2)+1<0,

由根與系數(shù)的關系可得,-c-b+1<0,∴b+c>1.故選A.

7.A解析:∵函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限,

-

∴->0,∴0<a<,

2?33

2?2

又a-1≥0,Δ=(2a-3)2-4a(a-1)>0,解得1≤a<,

9

8

∴a的取值范圍為1≤a<.故選A.

9

(8),

8.A解析:∵y=

()-(),

?+1?≥1

32

∴當x≥1時,函數(shù)圖4?象+為1直線1,?且<k>10,當x<1時,函數(shù)圖象為對稱軸為直線x=-1的拋物線,

當x=1時,y=1+1=2,代入二次函數(shù)解析式得y=×(1+1)2-1=2,

3

4

∴兩段函數(shù)圖象是連續(xù)的.故選A.

9.C解析:∵拋物線的頂點為(-1,-2),

∴可設拋物線的解析式為y=a(x+1)2-2.

∴y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2.

又拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

∴b=2a,c=a-2.

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方,

∴c=a-2>0.

∴a>2>0,故A、B均不正確.

又拋物線的頂點為(-1,-2),

∴當x=-1時,y=a-b+c=-2,故C正確.

由b=2a,c=a-2,

得b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0,故D錯誤.故選C.

10.D解析:∵二次函數(shù)的解析式為y=mx2-2mx+3,

∴拋物線的對稱軸為直線x=1.

∵當-1≤x≤2時,函數(shù)值y的最小值為2,

∴①當m>0時,x=1時,y=2,

則m-2m+3=2,解得m=1.

②當m<0時,

∵對稱軸是直線x=1,

∴當x=-1時,y取最小值2,

則m+2m+3=2,解得m=-.

1

3

故m的值為1或-.故選D.

1

3

11.m≤解析:∵二次函數(shù)y=2x2-x+m的圖象與x軸有交點,

1

8

∴Δ=(-1)2-4×2×m≥0,解得m≤,

1

8

即m的取值范圍為m≤.

1

8

12.4解析:∵拋物線y=ax2+bx+3過B(3,0),C(2,3),

∴,-,

,,

9?+3?+3=0?=1

∴

∴拋4?物+線2的?解+3析=式3為y=?-x=2+2x+3.

∴拋物線的對稱軸是直線x=-=1.

(-)

2

2×1

∵拋物線與x軸的一交點為B(3,0),

∴另一交點為A(1-2,0),即A(-1,0).

∴AB=3-(-1)=4.

,,

13.解:(1)由題意,得解得

,-,

?+?+1=0?=1

∴該函數(shù)的解析式為4?y+=x2-?2x++1.=1?=2

(2)證明:由題意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,

∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1

=p2+q2+4

=(2-q)2+q2+4

=2(q-1)2+6≥6,

由條件p≠q,知q≠1.

∴P+Q>6.

能力提升

1.D解析:如圖所示,

A.由圖象可知,若m<1,則c1<c2<c3,故選項錯誤,不符合題意;

B.由圖象可知,若1<m<2,則c2≤c1<c3或c1≤c2<c3,故選項錯誤,不符合題意;

C.由圖象可知,若2<m<3,則c3≤c2<c1或c2≤c3<c1,故選項錯誤,不符合題意;

D.由圖象可知,若m>3,則c3<c2<c1,故選項正確,符合題意.故選D.

2.C解析:∵拋物線開口向下,∴a<0,

∵拋物線交y軸于正半軸,∴c>0,

∵->0,∴b>0,∴abc<0,故①正確.

?

2?

∵拋物線的對稱軸是直線x=1,

∴-=1,∴2a+b=0,∵b>0,

?

2?

∴2a+b+2b>0,

∴2a+3b>0,故②正確.

∵拋物線交x軸于點(-1,0),(3,0),

∴可以設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),

當x=1時,y的值最大,最大值為-4a,故③正確.

∵ax2+bx+c=a+5有兩個相等的實數(shù)根,

∴a(x+1)(x-3)=a+5有兩個相等的實數(shù)根,

∴ax2-2ax-4a-5=0,Δ=0,

∴4a2-4a(-4a-5)=0,

∴a(a+1)=0,

∴a=0(舍去)或a=-1,故④不正確.故選C.

2

3.C解析:由題意,可得y1=-x+1和y2=-x+1圖象的交點為(0,1),(1,0),

∴當x<0或x>1時,y1<y2,故①正確.

22

令y2-y1=-x+1-(-x+1)=x-x=6,

∴x=3或x=-2.

∴當x=-2或x=3時,y2-y1=6,故②正確.

2

∵y1-y2=x-x=-,

121

?2?4

又y1-y2對應拋物線開口向上,

∴當