2025年高考數(shù)學重難點復習：復數(shù)的概念（解析版）

第07講復數(shù)的概念

模塊導航素養(yǎng)目標

模塊一思維導圖串知識1..理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應關(guān)系

模塊三核心考點舉一反三2.掌握實軸、虛軸、模、共甄復數(shù)等概念

模塊四小試牛刀過關(guān)測3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法

模塊一思維導圖串知識

7.1.1復數(shù)的概念

復平面

7.1.2復數(shù)的幾何意義

幾何意義1:復數(shù)"a+而QbeR),-T應，上平面內(nèi)的點Z(a])

幾何意義

I幾何意義2:復數(shù)"a+&(a0eR).――應.平面向量次=(45)

令模塊二基礎(chǔ)知識全梳理

知識點1實數(shù)系

(1)實數(shù)系的分類

正整數(shù)N*

自然數(shù)N4

0

整數(shù)Z

負整數(shù)

實數(shù)R有理數(shù)Q

〔分數(shù)

無理數(shù)

(2)實數(shù)的性質(zhì)

①實數(shù)對四則運算是封閉的，即兩個實數(shù)進行四則運算的結(jié)果仍是實數(shù);

②加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律,乘法對加法滿足分配律；

③實數(shù)和數(shù)軸上的點可以建立一一對應關(guān)系.

知識點2復數(shù)的概念

(1)復數(shù)的引入

為了解決式+1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，設想引入一個新數(shù)，，使得x=i是方程

三+1=0的解,即使得『=—1,并且，可與實數(shù)進行四則運算,且原有的加法與乘法的運算律仍成立.

所以實數(shù)系R經(jīng)過擴充后得到的新數(shù)集是C={a+bi\a,b^R].

(2)復數(shù)的概念

我們把形如a+方,a力eR的數(shù)叫做復數(shù),其中，叫做虛數(shù)單位,滿足?=-1.全體復數(shù)所構(gòu)成的集合

。=伍+4|4/6尺}叫做復數(shù)集.

復數(shù)的表示:復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beH,其中的。與6分別叫做復數(shù)z的實部與虛

(3)復數(shù)相等

在復數(shù)集C={a+初la/eH}中任取兩個數(shù)。+初，c+di,(a,b,c,d^R),我們規(guī)定

\a=c

a+bi=c+di.

知識點3復數(shù)的分類

對于復數(shù)。+初(a,beR),當且僅當b=0時，它是實數(shù)；當且僅當a=5=0時，它是實數(shù)0；當bwO時,

它叫做虛數(shù)；當a=0且bw0時,它叫做純虛數(shù).這樣,

z=a+bi可以分類如下:

知識點4復數(shù)的幾何意義

(1)復數(shù)的幾何意義一一與點對應

復數(shù)的幾何意義1：復數(shù)z=a+應(a/eR),一一對應，復平面內(nèi)的點Z(a,b)

(2)復數(shù)的幾何意義一一與向量對應Z:a+bi

復數(shù)的幾何意義2：復數(shù)z=a+6i(a力eH);一一對應、平面向量OZ=(a,6)

知識點5復數(shù)的模

向量OZ的模叫做復數(shù)z=a+應a/eR)的模，記為|z|或|a+切

公式：\z\=\a+bi\=y/a2+b2>其中a/eR

復數(shù)模的幾何意義：復數(shù)Z=。+應在復平面上對應的點z（a,b）到原點的距離；

特別的，5=0時，復數(shù)z=a+應是一個實數(shù)，它的模就等于I。1（。的絕對值）.

知識點6共軌復數(shù)

（1）定義

一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共朝復數(shù)；虛部不等于0的兩

個共飄復數(shù)也叫共朝虛數(shù).

（2）表示方法

表示方法：復數(shù)z的共軻復數(shù)用工表示，即如果z=a+〃，則I=q-次.

模塊三核心考點舉一反三

考點一：虛單位，及其性質(zhì)

41.（23-24高一下?全國?課堂例題）計算：①i2=；②若犬=-1,則工=.

【答案】-1±i

【知識點】根據(jù)相等條件求參數(shù)、虛數(shù)單位i及其性質(zhì)

【分析】①根據(jù)規(guī)定i2=-l可得，②設x=a+歷（a,》eR）,根據(jù)復數(shù)相等解方程即可

【詳解】根據(jù)規(guī)定知i2=-l；

設x=a+6i(a,beR),

a2-b1=-1Ja=0

得（“+歷『=—1=>o2—b2+2abi=-1=>

2ab=0=〔6=1

所以x=±i

故答案為：-1;±i

【變式1-1］（23-24高一下?山東棗莊?期中）i2023=.

【答案】-i

【知識點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的周期性求解.

【詳解】i2023=i4x55+3=i3=-i,

故答案為：-i

【變式1-2］（23-24高一下?河北張家口?階段練習）l+i+P+i3++［2。23=.

【答案】0

【知識點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)

【分析】利用虛數(shù)單位i的性質(zhì)進行計算即可.

【詳解】l+i+i2+i3++i2ffi3=l+505（i+i2+i3+l）+i+i2+i3=0,

故答案為：0.

【變式1-3］（24-25高一上?上海?課堂例題）-5的平方根為.

【答案】士后

【知識點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)

【分析】利用平方根的定義計算即可

【詳解】-5的平方根為土4零=±府'=±占，

故答案為：±&i.

考點二：復數(shù)的基本概念

'例2.（2024高一?全國?專題練習）給出下列四個命題:

①兩個復數(shù)不能比較大?。?/p>

②若實數(shù)。與應對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應；

③純虛數(shù)集相對復數(shù)集的補集是虛數(shù)集；

④以2為實部的復數(shù)有無數(shù)個.

其中真命題是.（填寫序號）

【答案】④

【知識點】復數(shù)的基本概念

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念一一分析即可.

【詳解】①中當這兩個復數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小，故①為假命題；

②若。=0,則M不是純虛數(shù)，故②為假命題；

③純虛數(shù)集相對復數(shù)集的補集不是虛數(shù)集，因為復數(shù)中還包含實數(shù)，則③為假命題;

④對于復數(shù)2+ai（acR），。有無數(shù)個取值，故④為真命題.

故答案為：④.

【變式2-1］（23-24高一下?全國?課后作業(yè)）判斷題

（1）判斷：實數(shù)集在復數(shù)集中的補集是虛數(shù)集.（）

（2）判斷：滿足，=-1的數(shù)x只有i.（）

（3）判斷：形如為geR）的數(shù)不一定是純虛數(shù).（）

（4）判斷：兩個復數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等.（）

（5）判斷：復數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成.（）

【答案】正確錯誤正確正確錯誤

【知識點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)、復數(shù)的基本概念、求復數(shù)的實部與虛部、復數(shù)的分類及辨析

【分析】對于（1）（5）：根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念分析判斷；對于（2）：根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)以及復數(shù)的乘

法分析判斷；對于（3）：根據(jù)純虛數(shù)的概念分析判斷；對于（4）：根據(jù)復數(shù)相等分析判斷.

【詳解】對于（1）（5）：因為復數(shù)集由實數(shù)集、虛數(shù)集構(gòu)成，

即復數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)兩個部分，故（5）錯誤，

即實數(shù)集在復數(shù)集中的補集是虛數(shù)集，故（1）正確；

對于（2）：因為（土i）2=i2=-l,所以滿足丁=-1的數(shù)》有刊，故（2）錯誤；

對于（3）：例如3=0,可知歷=0為實數(shù)，故（3）正確；

對于（4）：因為復數(shù)相等的充要條件為：實部相等且虛部相等，

若兩個復數(shù)的虛部不相等，則這兩個復數(shù)不相等，

所以個復數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等，故（4）正確；

故答案為：正確；錯誤；正確；正確；錯誤.

【變式2-2］（24-25高一上?上海?課前預習）3+后>2+右.（）

【答案】錯誤

【知識點】復數(shù)的基本概念

【分析】由復數(shù)不能比較大小即可判斷.

【詳解】因為復數(shù)不能比較大小，所以3+6>2+6是錯誤的.

故答案為：錯誤.

【變式2-3］（24-25高一上?上海?課堂例題）若復數(shù)二i>zz，貝!］4、z?一定都是實數(shù).（）

【答案】正確

【知識點】復數(shù)的基本概念

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念即可判斷.

【詳解】兩個實數(shù)可以比較大小，但是兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，它們之間就不能比較大小，只能說相

等或不相等.

故判斷為：正確.

考點三：復數(shù)的實部與虛部

|'、例3.（23-24高一下?全國?課堂例題）分別寫出下列各復數(shù)的實部與虛部.

（D-3+2i；

⑵3-5i；

⑶-7；

（4）8i；

⑸-2+；i；

（64；

⑺i-1;

1+i

⑻行

（9）2-V2Z;

(10)-；；

(ll)V2+i;

(12)i.

【答案】⑴實部為-3,虛部為2

⑵實部為3,虛部為-5

(3)實部為-7,虛部為0

(4)實部為0,虛部為8

⑸實部為-2,虛部為g

(6)實部為當，虛部為0

⑺實部為-1,虛部為1

(8)實部為《，虛部為好

(9)實部為2,虛部為一0

(10)實部為0,虛部為

(11)實部為虛部為1

(12)實部為0,虛部為1

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部

【分析】根據(jù)復數(shù)的實部和虛部的概念進行求解.

【詳解】(D-3+2i的實部為-3,虛部為2

(2)3-5i的實部為3,虛部為-5

(3)-7的實部為-7,虛部為0

(4)8i實部為0,虛部為8

(5)-2+；i的實部為—2,虛部為:

(6)也的實部為正，虛部為0

22

(7)i—l的實部為—1,虛部為1

(8)甲=坐+坐i的實部為號，虛部為g

V22222

(9)的實部為2,虛部為-近

(10)的實部為0,虛部為

(11)a+i的實部為應，虛部為1

(12)i的實部為0,虛部為1

【變式3-1](2024高一下?全國?專題練習)復數(shù)z=l-/，則()

A.z的實部為一1B.z的虛部為一立

C.z的虛部為一/D.z的虛部為1

【答案】B

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部

【分析】利用復數(shù)的虛部與實部的定義求解.

【詳解】復數(shù)z=l-"的實部為1,虛部為-0,

故選：B.

【變式3-21(23-24高三上?北京?階段練習)已知復數(shù)2=3120+i-sin(-60),則復數(shù)z的實部為.

【答案】-3-0.5

【知識點】特殊角的三角函數(shù)值、求復數(shù)的實部與虛部

【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值將復數(shù)化簡，再判斷其實部即可.

【詳解】解：z=cosl20+isin(-60)=cos(180—60i-sin60

=—cos60—i?sin60

所以復數(shù)Z的實部為-；；

故答案為：-萬

【變式3-3](23-24高一?全國?課后作業(yè))3+4i的實部等于3,虛部等于4i()

【答案】錯誤

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部

【分析】利用復數(shù)的概念即可求解.

【詳解】3+4i的虛部是4.

故答案為;錯誤.

考點四：復數(shù)相等

|'j例4.(23-24高一下?新疆克孜勒蘇?期中)已知i為虛數(shù)單位，x,y為實數(shù)，若"2i=3+yi,則=

()

A.1B.-5C.5D.-1

【答案】C

【知識點】復數(shù)的相等

【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件可得x=3,y=-2,即可求解.

[詳解]由x_2i=3+yi可得尤=3,y=—2,所以x-y=5,

故選：C

【變式4-1](23-24高一下?湖南?期末)已知無，veC,貝心尤=y=1”是“x+yi=1+i”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識點】復數(shù)的相等、判斷命題的充分不必要條件

【分析】利用復數(shù)相等的概念，以及條件的變化為yec,再用是否推出思想來判斷充分不必要條件.

【詳解】當x=y=l時，x+W=l+i顯然成立，所以x=y=l是x+W=l+i的充分條件；

當x=i,y=-i時，x+yi=l+i,

則x=〉=l是x+W=l+i的不必要條件；

故選：A.

【變式4-2](23-24高一下?廣西南寧?期中)若實數(shù)機，〃滿足〃L2i=l+〃i,則相-"=()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】B

【知識點】復數(shù)的相等

【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件求出加，〃的值，即可得解.

【詳解】因為實數(shù)機，“滿足機-2i=l+〃i,

所以｛，則機一〃=1一(-2)=3.

故選：B

【變式4-3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))設x,yeR,(x+2)-2xi=-3y+(y-l)i,求x,y的值.

【答案】x=l,y=-\

【知識點】復數(shù)的相等

【分析】根據(jù)相等復數(shù)的條件建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題意知，(x+2)-2xi=-3y+(y-l)i,

由復數(shù)相等的定義，得歸2=汽，解得尸=\,

[-2x=y_][y=-1

所以x=l,y=-l.

考點五：復數(shù)分類

、1例5.(23-24高二下?吉林遼源)已知復數(shù)z=a+l+(機-l)i(aeR).

(1)機取什么值時，z為實數(shù)；

(2)加取什么值時，z為純虛數(shù).

【答案】(1)m=l(2)m=-1

【知識點】復數(shù)的分類及辨析、已知復數(shù)的類型求參數(shù)

【分析】(1)直接由虛部為0求解，〃值;(2)由實部為0且虛部不為0求解TH值.

【詳解】(D復數(shù)z=a+l+(a—l)，(》ieR),

若z為實數(shù)，則冽-1=0,HPmMl

("7+1=0

(2)若z為純虛數(shù)，貝IJ

[〃z-1W0

解得=—1

【點睛】本題主要考查了復數(shù)的相關(guān)概念，考查了運算能力，屬于容易題.

【變式5-1](多選)(23-24高一下?江蘇泰州?期中)對于復數(shù)2=“+歷(a,6eR),則下列結(jié)論中錯誤的是

()

A.若a=0,貝+歷為純虛數(shù)B.若z=3-2i,貝1]4=3,6=2

C.若人=0,貝!ja+歷為實數(shù)D.若。=6=0,貝!Jz不是復數(shù)

【答案】ABD

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部、復數(shù)的分類及辨析

【分析】A.由。=0力=。判斷；B.由復數(shù)的實部和虛部判斷；C.復數(shù)的分類判斷；D.由復數(shù)的分類判斷.

【詳解】A.當。=0力=0時，為實數(shù)，故錯誤；

B.若z=3-2i,貝！]。=3]=一2,故錯誤；

C.若6=0,則。+歷為實數(shù)，故正確；

D.若。=>=0,貝!Jz是實數(shù)，故錯誤；

故選：ABD

【變式5-2](24-25高一上?上海?隨堂練習)下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)？哪些是虛數(shù)？哪些是純虛數(shù)？

1一后，(l-73)i,-73i2,(1-V3)i2,2i-括，2i2-V3.

【答案】答案見解析

【知識點】復數(shù)的基本概念、復數(shù)的分類及辨析

【分析】根據(jù)復數(shù)的分類及復數(shù)運算分類即可.

【詳解】-而,(1-V3)i2,W是實數(shù);

1-后,(1-V3)i,2i-石是虛數(shù)；

(1-百)i是純虛數(shù).

【變式5-3](23-24高一下?全國?課堂例題)指出下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，

為什么？l+>/7,3,14,|i,0,-i,3i+4,5-20i,i(l+若)，石

【答案】實數(shù)為1+77,3.14,0；虛數(shù)為gi,-i,3i+4,5-2夜i,i(l+道)，退一倉；

純虛數(shù)為gi「i,i(l+也)

【知識點】復數(shù)的分類及辨析

【分析】根據(jù)復數(shù)為實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件，判斷出實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù).

【詳解】實數(shù)為1+77,3.14,0；

虛數(shù)為|i,-i,3i+4,5-26,i(l+君)，括一6；

純虛數(shù)為gi「i,i(l+K).

【變式5-4](23-24高二下?四川成都?期中)實數(shù)，〃取什么數(shù)值時，復數(shù)Z=W-〃L2+(加-l)i分別是:

⑴實數(shù)？

⑵虛數(shù)？

(3)純虛數(shù)？

【答案】⑴加=1或〃7=-1

(2)”2/1且《1/一1

(3)m=2

【知識點】復數(shù)的分類及辨析、已知復數(shù)的類型求參數(shù)

【分析】(1)復數(shù)為實數(shù)，則虛部為零，即可得出答案.

(2)復數(shù)為虛數(shù)，則虛部為不為零，即可得出答案.

(3)復數(shù)為純虛數(shù)，則實部為零，虛部為不為零，即可得出答案.

【詳解】⑴當“_i=o,即〃2=1或〃=-1時，復數(shù)z是實數(shù)；

(2)當〃/_1片0,即相片1且znw-l時，復數(shù)z是虛數(shù)；

?——2=0

2~,即機=2時，復數(shù)z是純虛數(shù).

m-1^0

【變式5-5](23-24高一下?安徽池州?階段練習)已知復數(shù)2=/-1+(4+1川”尺).

⑴若復數(shù)z是虛數(shù)，求實數(shù)。的值；

⑵若復數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)。的值.

【答案】⑴aH—1；

(2)1.

【知識點】復數(shù)的分類及辨析、已知復數(shù)的類型求參數(shù)

【分析】(1)根據(jù)虛數(shù)的概念求解即可；

(2)根據(jù)純虛數(shù)的概念由虛部不為0,實部為0建立關(guān)系式求解即可.

【詳解】(D因為z=/7+(a+l)iSeR)是虛數(shù)，

所以〃+1。0,解得aw—1,

(2)因為z=4—+￡R)是純虛數(shù)，

所以卜二1二°，解得

考點六：復數(shù)的坐標表示

|'j例6.(23-24高一下?山東青島?期中)在復平面內(nèi)，復數(shù)Z對應的點為Z](1,2),復數(shù)4對應的點為

4(2,1),則ZZ?對應的復數(shù)為()

A.3+3iB.1-iC.-1+iD.2+2i

【答案】B

【知識點】復數(shù)的坐標表示

【分析】利用向量減法法則得到Z|Z2=(1,-1)，求出z22對應的復數(shù).

【詳解】由題意得2名=(2,1)-(1,2)=(1,-1),故Z￡對應的復數(shù)為l-i.

故選：B

【變式6-1](23-24高一下?山西太原?期中)在復平面內(nèi)，復數(shù)z=l-i對應的點的坐標是()

A.(1,1)B.(1,-1)C.(TDD.(-L-1)

【答案】B

【知識點】復數(shù)的坐標表示

【分析】求出復數(shù)的實部、虛部可得答案.

【詳解】在復平面內(nèi)，復數(shù)z=l-i對應的點的坐標是

故選：B.

【變式6-2](23-24高一下?湖南株洲?期中)復數(shù)z=-2+3i在復平面直角坐標系中對應的點的坐標為()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(3,-2)

【答案】B

【知識點】復數(shù)的坐標表示

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義直接得出結(jié)果.

【詳解】由z=-2+3i可得其在復平面直角坐標系中對應的點的坐標為(-2,3).

故選：B

【變式6-3](24-25高一上?上海?課堂例題)已知M(l,3),N(4,-l),P(0,2),Q?0),。為復平面的原

點，試寫出OAf、ON、OP，。。所表示的復數(shù)；

【答案】表示的復數(shù)為l+3i；ON表示的復數(shù)為4-i；。尸表示的復數(shù)為2i；OQ表示的復數(shù)為T.

【知識點】復數(shù)的坐標表示

【分析】由復數(shù)集與復平面內(nèi)的向量所成的集合一一對應的關(guān)系直接求解.

【詳解】0M=（1,3）,所以OM表示的復數(shù)為l+3i；

同理可得：0N表示的復數(shù)為4-i；0P表示的復數(shù)為2i；。。表示的復數(shù)為T.

考點七：復數(shù)的點對應的象限，坐標軸

j':例7.（23-24高一下?全國?單元測試）若復數(shù)（儲-9）+（爐-1）i所對應的點在第二象限，則％的取

值范圍為.

【答案】-3<%<-1,或1<左<3.

【知識點】在各象限內(nèi)點對應復數(shù)的特征

【分析】

根據(jù)復數(shù)所對應的點在第二象限，則得到實部小于零，虛部大于零，解不等式得出結(jié)果.

【詳解】

因為復數(shù)（〃-9）+（然一1）i所對應的點在第二象限，

上2一9<0,且左2_1>0,

解得：-3<左<-1或1<%<3.

故答案為：-3（左<—1或1<々<3.

【變式7-1］（23-24高一下?浙江?階段練習）若復數(shù)z=〃?+l+（機-l）i（〃zeZ）對應的點在第四象限，則山的

值為（）

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】B

【知識點】在各象限內(nèi)點對應復數(shù)的特征、根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)

【分析】由復數(shù)表示的點在第四象限，可得實部為正且虛部為負即得.

fm+1>0

【詳解】由］八，可得又相為整數(shù)，所以m=0.

故選：B.

【變式7-2］（23-24高二下?青海?期末）復數(shù)（3-i）根-（1+i）對應的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù)機的取值范圍

是（）

A.m<iB.m<-lC.D.無解

【答案】C

【知識點】在各象限內(nèi)點對應復數(shù)的特征

【分析】根據(jù)復數(shù)對應的點在第三象限，讓實部虛部均小于0,計算得解.

【詳解】解：化簡可得：復數(shù)（3—i）m—（l+i）=（3帆—l）—（m+l）i,

3m-l<0i

因為其對應的點在第三象限內(nèi)，所以_（機+1）<0，解得

故選：C.

【變式7-3］（多選）（23-24高一下?浙江湖州?階段練習）若，e（兀,2兀），則復數(shù)cos，+isin，在復平面內(nèi)對

應的點可能在（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】CD

【知識點】已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號、判斷復數(shù)對應的點所在的象限、在各象限內(nèi)點對應

復數(shù)的特征

【分析】分。［埒］與9若2《兩種情況下得到余弦和正弦值的正負，得到答案.

【詳解】當6c卜g）時，cos8<0,sine<0,故復數(shù)cos，+isin〃在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，

當時，cos0>0,sind<0,故復數(shù)cosO+isin。在復平面內(nèi)對應的點在第四象限.

故選：CD

考點八：復數(shù)的模

A.2B./C.5D.75

【答案】D

【知識點】求復數(shù)的模

【分析】根據(jù)復數(shù)模長公式求出答案.

【詳解】|-l+2i|=7（-l）2+22=75.

故選：D

【變式8-1］（23-24高二下?云南?期末）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=3-4i,貝!||z|=（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【知識點】求復數(shù)的模

【分析】根據(jù)復數(shù)的模公式計算即可.

【詳解】由z=3-4i,則以=收+（-=5.

故選：C.

【變式8-2］（24-25高三上?上海?期中）記i是虛數(shù)單位，設復數(shù)z=l+bi（b>0）且忖=2,則復數(shù)2的虛部

為.

【答案】W

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部、由復數(shù)模求參數(shù)

【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)模長的計算公式，即可求解.

【詳解】因為z=l+歷，忖=2,則，1+匕2=2,得到加=3,

又6>0,所以6=則復數(shù)z的虛部為拓，

故答案為：瓜

【變式8-3](23-24高一?上海?課堂例題)已知|1-4衍|=5,其中左eR.求左的值.

【答案】k=七忌

2

【知識點】由復數(shù)模求參數(shù)

【分析】由已知利用復數(shù)模的計算公式列方程求解.

【詳解】由|1一4同=J1+16/=5,

得1+16公=25,

即左2=[,解得/=±逅.

考點九：根據(jù)復數(shù)對應的坐標特點求參數(shù)

|'j例9.(23-24高一?上海?課堂例題)求實數(shù)機的值或取值范圍，使得復數(shù)

z=(m2-8根+15)+(蘇-5〃I4)i在復平面上所對應的點Z分別位于

⑴實軸上；

⑵虛軸上；

(3)第四象限.

【答案】(1)m=7或〃z=-2

(2)=3或m—5

(3)(-2,3)。(5,7)

【知識點】根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)

【分析】(1)根據(jù)題意可得川一5〃L14=0,運算求解即可；

(2)由加-8加+15=0求，"，代入z驗證，即可得結(jié)果；

(3)由｛2U.xc求出m的氾圍即可.

[m—5??1-14<0

【詳解】(1)由題意可得：14=0,解得〃z=7或%=-2.

(2)由題設，〃/-8〃z+15=(“2-3)(m-5)=0,可得〃z=3或〃？=5,

當力=3時，z=-20i對應點在虛軸上;

當機=5時，z=-14i對應點在虛軸上;

綜上，機=3或〃?=5.

m2-8m+15=(m—3)(m—5)>0

(3)由題設可得加e(-2,3)u(5,7).

nr—5m-14=(m—l)(m+2)<0>

【變式9-1](2024?四川成都?模擬預測)在復平面內(nèi)，復數(shù)z=(a-2)+(l+2a)i對應的點位于第二象限,

則實數(shù)a的取值范圍為().

A.BC.(2,+oo)D.卜2,；)

【答案】A

【知識點】根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)

【分析】利用復數(shù)的幾何意義得出對應不等式即可得結(jié)果.

【詳解】復數(shù)z=(a-2)+(l+2a)i,其對應的點(。-2,1+2。)在第二象限,

Q—2<01

則l+2a>0'解得一5<“<2-

故選：A

【變式9-2](23-24高一下?江蘇蘇州?期中)復數(shù)平面內(nèi)表示復數(shù)z=m2—8〃Z+15)+(M—5〃z—14)i的點分

別滿足下列條件:

(1)位于第四象限;

⑵位于第一象限或第三象限;

(3)位于直線y=x上.求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)—2<機<3或5<7〃<7

(2)加<-2或3<<5或加>7

(3)m=y

【知識點】根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)、在各象限內(nèi)點對應復數(shù)的特征

【分析】(1)結(jié)合復數(shù)的幾何意義與第四象限的點的特點計算即可得；

(2)結(jié)合復數(shù)的幾何意義與第一象限或第三象限的點的特點計算即可得；

(3)由題意可得病—8?1+15=+2—5萬—14,計算即可得.

【詳解】⑴由題意，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(，/-8加+15,相2-5加-14).

-8m+15>0m>5或根<3

當點位于第四象限時，則

-5m-14<0-2<m<7

故—2〈根<3或5vmv7；

(2)當點位于第一象限或第三象限時,

則(蘇—8m+15^m2—5m—14)>0,

即(加_3)(根-5乂機_7)(m+2)〉0,

故＜-2或3＜機＜5或＞7.

29

（3）當點位于直線＞上，貝!|根2-8相+15=7〃2-5〃2一14,解得《?=彳.

【變式9-3］（23-24高一下?上海?期末）當實數(shù)"?為何值時，復數(shù)z=（3療-4機-4）+（2療-3"-2》為:

⑴實數(shù)；

⑵純虛數(shù)；

⑶對應點在第二象限？

【答案】（1）%=一;或加=2；

2

（2）/w=--；

21

（3）——＜m＜——.

32

【知識點】已知復數(shù)的類型求參數(shù)、根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)

【分析】（1）結(jié)合實數(shù)的概念，即可求解；

（2）結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求解；

（3）結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】（1）復數(shù)z=（3〃，一4加一4）+（2二一3m-2）i為實數(shù)，則2--3〃?一2=0,

所以根=-：或根=2.

3〃產(chǎn)-4〃?-4=0

（2）復數(shù)z=（3，*一4機一4）+（2機2—3”2-2》為純虛數(shù)，貝?。?/p>

2m2—0'

2

所以根=-§.

f3m2—4/7?—4＜091

（3）復數(shù)z對應點在第二象限，貝?。?-,解得-（＜加＜-：,

\2m-3m-2＞032

所以實數(shù)加的取值范圍是-2;＜加＜-;1.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24高二下?云南?期末）已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=l+i在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【知識點】判斷復數(shù)對應的點所在的象限

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】復數(shù)z=l+i在復平面內(nèi)對應的點為（1,1）,位于第一象限.

故選：A.

2.（23-24高一下?四川遂寧?階段練習）復數(shù)二=2+3i,下列說法不正確的是（）

A.z的實部為2B.z的虛部為3i

C.z=2-3iD.\z\=y/13

【答案】B

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部、求復數(shù)的模、共朝復數(shù)的概念及計算

【分析】根據(jù)復數(shù)的實部、虛部、共朝復數(shù)、模等知識確定正確答案

【詳解】因為z=2+3i,所以實部為2,虛部為3,z=2-3i，|Z|=713.

故選：B

3.（23-24高二下?四川達州?期中）已知復數(shù)z=2-i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點Z位于第（）象

限

A.-B.二C.三D.四

【答案】D

【知識點】復數(shù)的坐標表示、判斷復數(shù)對應的點所在的象限

【分析】由復數(shù)的幾何意義得復數(shù)對應的點的坐標，可求所在象限.

【詳解】復數(shù)z=2-i在復平面內(nèi)所對應的點Z（2,-l）,位于第四象限.

故選：D.

4.（23-24高一下?北京豐臺?期末）設復數(shù)z=l+i,則以=（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】B

【知識點】求復數(shù)的模

【分析】利用復數(shù)模的定義計算即得.

【詳解】復數(shù)z=i+i,貝J|Z|=JFTF=0.

故選：B

5.（24-25高二上?廣西南寧?階段練習）設z=3-2i,則在復平面內(nèi)N對應點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【知識點】共物復數(shù)的概念及計算、判斷復數(shù)對應的點所在的象限

【分析】由共物復數(shù)，及復數(shù)幾何意義可得答案.

【詳解】因z=3-2i,則］=3+2i,其在復平面內(nèi)對應的點為（3,2）,在第一象限.

故選：A

6.（2024高三?全國?專題練習）在復平面內(nèi)，O為坐標原點，復數(shù)4i對應的向量為OZ,將OZ繞點。按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后，再將模變?yōu)樵瓉淼氖?，得到向量則OZ1對應的復數(shù)的實部是（）

A.6B.-6C.273D.-2由

【答案】B

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部、復數(shù)的向量表示

【分析】根據(jù)復數(shù)的向量表示形式，結(jié)合復數(shù)的幾何意義、復數(shù)實部定義進行求解即可.

【詳解】因為復數(shù)4i對應的向量為OZ,

所以應=（0,4）,

OZ繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后變?yōu)閛z2=14cos怎+94sin「+n=（-273,2）,

再將模變?yōu)樵瓉淼?倍，得。乙4-6,26），對應的復數(shù)的實部是-6,

故選：B

7.（24-25高三上?廣東?階段練習）在復平面內(nèi)，復數(shù)Z繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)g得1+Gi,則復數(shù)Z的虛部為

（）

A.V3B./C.-1D.-i

【答案】C

【知識點】求復數(shù)的實部與虛部

【分析】利用復數(shù)的幾何意義求解即可

【詳解】1+后對應的點的坐標為（L君），順時針旋轉(zhuǎn)5后坐標為（A-1）,對應的虛數(shù)為A/3-L虛部為-1.

故選：C.

8.（2024高二下?云南?學業(yè)考試）已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=-2-6i在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【知識點】判斷復數(shù)對應的點所在的象限

【分析】由復數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】復數(shù)z=-2-6i在復平面內(nèi)對應的點為（-2,-6）,它在第三象限，

故選：C

二、多選題

9.（24-25高三上?廣東肇慶?階段練習）已知復數(shù)z=6T+（a+l）i,aeR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則。=±1

B.若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則ae(-1,1)

C.若。=0,貝！lz=-1-i

D.若a=0,貝!|忖=1

【答案】BC

【知識點】根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)、共軌復數(shù)的概念及計算、求復數(shù)的模、已知復數(shù)的類型求參

數(shù)

【分析】對于A,若z為純虛數(shù)，貝!]z的實部為0,虛部不為0,列出方程求解即可；對于B,若z在復平

面內(nèi)對應的點位于第二象限，則實部小于0且虛部大于0,列出不等式求解即可；對于C,若。=0,求出z,

進而求其共軌復數(shù)；對于D,若。=0,求出z,咋求模即可.

【詳解】對于A,若z為純虛數(shù)，即/一i=o且。+1片0,貝!).=1,故A錯誤；

對于B,若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，貝?二0'解得-即故B正確；

對于C,若〃=0,貝！)z=—l+i,貝匹=_故C正確；

對于D,若a=。，則忖=0,故D錯誤.

故選：BC.

10.(23-24高一下?河南商丘?期中)已知復數(shù)z=7〃2-l+(〃z+l)i(wieR),則下列命題正確的是()

A.若z為純虛數(shù)，則根=1

B.若z為實數(shù)，則z=0

C.若z在復平面內(nèi)對應的點在直線y=2x上，則加=]

D.z在復平面內(nèi)對應的點可能在第三象限

【答案】AB

【知識點】判斷復數(shù)對應的點所在的象限、已知復數(shù)的類型求參數(shù)

【分析】根據(jù)復數(shù)的分類，即可列出方程或不等式，進而判斷A,B;根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可列出方程或

不等式，進而可以判斷C,D.

ffTJ^—1—Q

【詳解】對于A,若z為純虛數(shù)，貝!|一,解得加=1,A正確；

[m+1^0

對于B,若z為實數(shù)，則根+1=0,所以根=-1,此時z=0,B正確；

對于C,z在復平面內(nèi)對應的點為(加2一1,根+1),

3

所以根+1=2(/-1),BP2m2-m-3=0,解得m=一1或機=/,C錯誤；

加2—1<0

對于D,若z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，貝！)無解，

m+l<0

所以Z在復平面內(nèi)對應的點不可能在第三象限，D錯誤.

故選：AB.

三、填空題

11.(2024?甘肅白銀?一模)復數(shù)|石-2i|+2i的實部與虛部之和為.

【答案】5

【知識點】求復數(shù)的模、求復數(shù)的實部與虛部

【分析】根據(jù)復數(shù)模長可得|斯-4=3,即可根據(jù)虛部和實部定義求解.

【詳解】由題意得|6-2i|+2i=3+2i,所以復數(shù)|逐-2i|+2i的實部與虛部之和為5.

故答案為：5

12.(2024?福建泉州?模擬預測)已知事函數(shù)y=/(x)的圖象過點(2,0),則復數(shù)z=f(2)+/(5>i(其中i

為虛數(shù)單位)的模的大小=.

【答案】不

【知識點】求復數(shù)的模、求幕函數(shù)的解析式、求幕函數(shù)的值

【分析】設出/(尤)=/,代入(2,a),求出解析式，計算出/(2)=0,〃5)=6，求出z=0+6.i,計

算出模長.

【詳解】設基函數(shù)/(x)=x〃，因為函數(shù)圖象過點(2,0),

L11

所以2"=也，解得所以/5)=戶，

所以7(2)=25=后,/(5)=5?=石，

.-.z=/(2)+/(5)-i=V2+>/5-i,

:.\z\=y/l.

故答案為：幣.

四、解答題

13.(23-24高一?上海?課堂例題)當復數(shù)z滿足下列條件時，分別指出z在復平面上所對應的點Z的位置:

(l)z是正實數(shù)；

(2)z是負實數(shù)；

(3)z是實部小于零、虛部大于零的虛數(shù)；

(4)z是虛部小于零的純虛數(shù).

[a>0/、

【答案】(1),八，此時z對應的點z(a,o)在實軸的正半軸上

(a<Q,、

(2)匕八，此時z對應的點Z(a,O)在實軸的負半軸上

\b=\j

\a<0/、

（3）b>0,此時z對應的點Z（o,》）在第二象限

（4）t<0，此時z對應的點Z（q,O）在虛軸的負半軸上

【知識點】判斷復數(shù)對應的點所在的象限、求復數(shù)的實部與虛部

【分析】根據(jù)復數(shù)的分類、幾何意義求出實部、虛部滿足的條件可得答案.

【詳解】（1）設2=。+歷（a,be