2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：高級(jí)應(yīng)用函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對(duì)稱性特性以解析函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題（講義）（原卷版）

專題04高級(jí)應(yīng)用函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對(duì)稱性特

性以解析函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

自家

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................7

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用8

題型二：函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用10

題型三：已知大幻=奇函數(shù)+M11

題型四：利用軸對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題12

題型五：利用中心對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題13

題型六：奇偶性對(duì)稱偏移15

題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性'奇偶性'周期性、對(duì)稱性16

題型八：雙對(duì)稱與周期性18

題型九：雙函數(shù)與對(duì)稱性19

題型十：類周期與倍增函數(shù)21

重難點(diǎn)突破：函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)23

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

從近五年的高考情況來(lái)看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)

容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充

分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)計(jì)2025年高考中，題目

將更傾向于以小題（如選擇題

或填空題）的形式來(lái)考察學(xué)生，

這些小題將可能融合在解答題

2024年新高考I卷第8題，5分

的解答過(guò)程中，作為一個(gè)相對(duì)

2024年新高考II卷第11題，6分

獨(dú)立的考察點(diǎn)。具體來(lái)說(shuō)，可

2023年新高考H卷第4題，5分

掌握函數(shù)性質(zhì)，熟2023年新高考I卷第4題，5分以預(yù)見(jiàn)的是：

函數(shù)的性質(zhì)

練解題應(yīng)用2022年乙卷第12題，5分（1）題目將采用選擇題或填空

2022年新高考II卷第8題，5分題的形式，旨在檢驗(yàn)學(xué)生的綜

2021年甲卷第12題，5分

合邏輯推理和解析能力。

2021年新高考II卷第8題，5分

（2）考試的熱點(diǎn)將聚焦于函數(shù)

的單調(diào)性、奇偶性以及對(duì)稱性

這三個(gè)特性的綜合應(yīng)用和分

析。

般地,設(shè)函數(shù)/(.v)的定義域?yàn)椤?,區(qū)間。SU：

如果對(duì)于Z)內(nèi)的任意兩個(gè)1rl變量的值MAv

當(dāng)XRM都有/(xJv/CJ，則/C汪區(qū)間0上是增函數(shù).

般地,設(shè)函數(shù)/(.v)的定義域?yàn)椋^(qū)間DG：

如果對(duì)于D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值

當(dāng)巧〈三時(shí)，都有/(.vj,則/(.?在區(qū)間0上是減函數(shù).

單調(diào)性

卜”里潤(rùn)區(qū)門(mén)的相如果函數(shù)產(chǎn)/W在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,

>產(chǎn)騎區(qū)㈣的足乂JI則函如-=/(.v)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間/ml做＞?=/(")的單調(diào)區(qū)間

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從"同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函

《復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性數(shù),內(nèi)層函數(shù)是熠(減)函數(shù),復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù),內(nèi)層函

數(shù)是減(增)函數(shù),復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

"圖像關(guān)門(mén)軸對(duì)稱

奇偶性

圖像關(guān)丁?原點(diǎn)對(duì)東:

對(duì)于函數(shù)/(2的定義域內(nèi)任意一個(gè)M都有/(-.V)=-/(A)

對(duì)于函數(shù)『=/“),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,

使得與V取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/(、?+r)=f(x),

那么就稱函數(shù)r=/(、)為周期函數(shù)

高級(jí)應(yīng)用函數(shù)的周期

性、單調(diào)性、奇偶性及f(x)=f(x+a)=^T=\a\

對(duì)稱性特性以解析函數(shù)/(工)=./口+〃)=7=2|倒)

周期性

性質(zhì)問(wèn)題

/(?*很萬(wàn)

人懺五兩S同

常用周期結(jié)論

人"")=逢=7=2間

叱小踹5■?同

/(.v+a)=l--=>T=3|

【(/(.v)=/(.v+a)+/(w〃)=T=6|a|J

若函即=/(K+Q)為偶函數(shù),則函數(shù)尸/(.V)關(guān)『x=a對(duì)稱

若函數(shù)尸/(.v+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)*/(*)而癡a,0)對(duì)稱

對(duì)稱性

若/")=/(2℃),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

若/(2/(2az)=2①則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱

㈤3

1、單調(diào)性技巧

（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)百，X2是/'（X）定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且

②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)

區(qū)間.

（3）記住幾條常用的結(jié)論：

①若/（尤）是增函數(shù)，則-/（X）為減函數(shù)；若/（元）是減函數(shù)，則-/（X）為增函數(shù)；

②若/（元）和g（x）均為增（或減）函數(shù)，則在和g（x）的公共定義域上/（x）+g（x）為增（或減）函

數(shù)；

③若/（x）＞0且/（x）為增函數(shù)，則函數(shù)77而為增函數(shù)，一一為減函數(shù)；

/（x）

④若/（x）＞0且/（幻為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，,為增函數(shù).

/（X）

2、奇偶性技巧

（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（2）奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/（幻是偶函數(shù)。函數(shù)了（幻的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)/（x）是奇函數(shù)o函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

（3）若奇函數(shù)＞=/（元）在x=0處有意義，則有『（0）=0；

偶函數(shù)y=/（x）必滿足/（x）=/（|x|）.

（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(無(wú))能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形

式?記g(x)=g"(x)+/(-x)],/z(x)=；"(x)-/(-x)],則/(x)=g(x)+〃(x)?

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得

的函數(shù)，tnf(X)+g(x),f{x)-g(x),f(x)xg(x),f(x)4-g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇x(十)奇=偶;奇義(+)偶=奇；偶義(十)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)f(x)=制“+1)(XNO)或函數(shù)/(尤)=〃?("T).

(2-16/+1

②函數(shù)/(x)=±3-「).

③函數(shù)f(x)=log“三辿=logfl(l+3-)或函數(shù)f(x)=loga=log“(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

④函數(shù)/(x)=log“(J-+1+x)或函數(shù)/(x)=log.(J/+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫(xiě)成函數(shù)〃x)=m+2L(xwO)或函數(shù)/(x)=m-

ax-1優(yōu)+1

偶函數(shù)：①函數(shù)〃x)=±3+「).

②函數(shù)/(x)=log.d+l)-三?

③函數(shù)/(I尤I)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

f(x+T)=-/(%)2T

/(x+T)=-3—;/(x+D=-一—

2T

fM/(尤)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

ff(a+x)=f(a-x)

2(。—〃)

\f(b+x)=f(b-x)

"(a+x)=/(a7)

2a

[/(尤)為偶函數(shù)

[/(a+無(wú))=-/(a-x)

2(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[/(?+x)=-f(a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

[于(a+x)=f(a-x)

4(b—〃)

f(b+x)=-f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

4a

[7(x)為奇函數(shù)

/(a+無(wú))=-/(a-x)

4a

/(尤)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸兄=。，x=b{a<b),則函數(shù)/(兄)是周期函數(shù)，且T=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),3,c)(a<b),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心(dO)(a<Z?),則函數(shù)y=/(%)是周期函數(shù)，且

7=4(/?一々).

5、對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線％=〃對(duì)稱，則-.

(2)若函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(diǎn)(Q,。)對(duì)稱，IjliJf(a+x)+f[a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(。+%)與丁=/(a-％)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=/(〃+%)與y=-/(々一%)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

0

〃二真題班拚精御皿\\

1.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時(shí)

f{x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10X1000D./(20)<10000

2.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(幻=2尤3一3"?+1,則()

A.當(dāng)。>1時(shí)，/(尤)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)°<0時(shí)，x=0是的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)為曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

3.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)己知了(刈=二二是偶函數(shù)，則a=()

e"-1

A.-2B.-1C.1D.2

4.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(xy)=//(x)+x7(y),

則()?

A./(0)=0B.f(l)=0

C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為“X)的極小值點(diǎn)

5.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)若/(耳=@-1)2+辦+$畝|^+5］為偶函數(shù)，則“=.

6.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且

22

f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則￡/(%)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

7.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)/(尤),g(尤)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-X)=5,g(x)-/(X-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g⑵=4,則()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

8.(多選題)(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(尤)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為R,記

g(x)=/'(x),若/弓-2x],g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.gf-|j=OC./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

9.（2。22年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若”上…占+人是奇函數(shù)'則,b-

10.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,，（尤+1）為奇函數(shù)，/（x+2）為偶

函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，f^=ax2+b.若/（0）+〃3）=6,則（）

11.（2021年全國(guó)新高考H卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,/（x+2）為偶函數(shù)，/（2x+l）為奇

函數(shù)，則（）

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D."4)=0

12.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)“X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃1+X）=〃T）.若/

㈤5

H核心精講?題型突破\\

題型一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用

【典例1-1]若函數(shù)〃力=/-2可在區(qū)間化-2㈤內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（）

A.（-1,3）B.[-1,3]C.[-1,3）D.[2,3]

【典例1-2】已知函數(shù)y=/（X+2）是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意%,％e[2,+8）,且%/%都有＞。成

立.若a=/(log318),b=f\Inc，則。，"c的大小關(guān)系是(

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

函數(shù)單調(diào)性常與奇偶性、對(duì)稱性結(jié)合，用于求解最值、解不等式、證明數(shù)列單調(diào)性等。通過(guò)導(dǎo)數(shù)法或

定義法判斷單調(diào)性，結(jié)合圖像直觀分析，可簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題，提高解題效率。

【變式1-1]定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足條件：①對(duì)任意的%,％>0,恒有[”菁)-〃%)](%-％)>0；

②/⑺―/(一力=0；③〃-3)=。，則不等式⑻'(力<。的解集是()

A.(f,-3)U(0,3)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,0)(3,+oo)D.(-00,-3)u(3,+oo)

【變式1-2】已知函數(shù)/'(尤+1)是偶函數(shù)，當(dāng)1"時(shí)，[/(%)-〃%)](不一工2)>0恒成立，設(shè)

b=f(2),c=/⑶，則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

I命題預(yù)測(cè)

、--------------------------

1.已知函數(shù)/(尤)=ln|x-l|,若王<電<1，且再+退>2,則()

A.”&)</(%)</(%2)B./(x3)</(x2)</(x1)

C./(x1)</(x2)</(x3)D./(x2)</(^)</(x3)

2.設(shè)函數(shù)/。)=111|彳-〃|在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-°o,3]B.(-℃,2]C.[2,+oo)D.[3,+oo)

3.已知〃x),g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且/(尤)是奇函數(shù)，晨元)是偶函數(shù)，滿足/(x)+g(x)=^+x+2,

若對(duì)任意的1<為<三<2,都有g(shù)&)-g(%)>_3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

%一工2

A.[0,+8)B.-i°

33

一,+8

44

題型二：函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

【典例2-1】（2024?河南.模擬預(yù)測(cè)）已知〃x）=x31nA，貝U〃％+2）>八3*-2）的解集為（）

3-x

A.(-3,3)C.(0,2)D.(0,1)

【典例2-2】（2024?陜西商洛?一模）已知函數(shù)/（尤）=-2尤3-3》+2,若不等式f⑷—l）+f（-〃-5）>4成立,

則a的取值范圍是（）

A.(-co,-2)o(3,+oo)B.(一2,3)C.(一一3)(2,+a))D.(-3,2)

函數(shù)的奇偶性是一個(gè)強(qiáng)大的工具，它能幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算，快速求解問(wèn)題。通過(guò)驗(yàn)證函數(shù)是否滿足奇

函數(shù)或偶函數(shù)的定義，我們可以利用這一性質(zhì)來(lái)預(yù)測(cè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的行為，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程。此外，

奇偶性還可以用于求解參數(shù)、判斷函數(shù)圖像的對(duì)稱性、輔助求解最值問(wèn)題。掌握函數(shù)的奇偶性，不僅能使

我們的解題過(guò)程更加高效，還能培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)直覺(jué)和邏輯推理能力。

【變式2-1]（2024?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,y）上單調(diào)遞減，

滿足"l°g2”）一Al°gl"）42/（3）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

2

A.（。加）B.@，8C.（0,8]D.[8,+oo）

【變式2-2]（2024?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）已知定義在[-3,3]上的函數(shù)/（"=/-尸-2%+1,若

/（加）+"〃-2）42,則m的取值范圍是（）

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,百]D.[-1』

命題預(yù)測(cè)D

1.己知函數(shù)/(x)=ln(x+77W)+x3_2,若/(1。83。)+/(1。8丁)4-4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[§,3]B.(0,—]o[3,+oo)

C.[1,1)(1,3]D.(0,+8)

/、tan^-tan(x+^1「兀兀

2.已知函數(shù)/x=是一由7,中7上的奇函數(shù)，貝han6=()

l-2tan(xJ+6>)20242024J

A.2B.-2C.4D.--

22

3.已知〃x)=x2g(x)為定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)的解析式可以為()

A.8(町=111^^B.g(x)=l-

C.=D.g(x)=\x-2\-\x+2\

題型三：已知/(%)=奇函數(shù)+M

【典例3-1］［新考法］已知函數(shù)/(力=產(chǎn)+4+2國(guó)，當(dāng)xe［-2,2］時(shí)，記函數(shù)”X)的最大值為加⑷，則/(4)

的最小值為.

【典例3-2】已知函數(shù)/(x)=丁方+3在區(qū)間［—2023,2023］±的最大值為M,最小值為優(yōu)，則H+m=.

已知/(尤)=奇函數(shù)+Af,xe\—a,a\,貝U

⑴/(-%)+/(x)=2M

⑵=2M

【變式3-11［新考法］函數(shù)〃%)=(尤2-6小m(尤-3)+尤+a(xe［0,6］)的最大值為M,最小值為加，若

〃+加=8,則〃=.

【變式3-2】已知函數(shù)/(》)=/+加達(dá)彳-2(。6片。)，若〃加)=2,則.

命題預(yù)測(cè)

1.設(shè)函數(shù)〃到=2°23(*?)]+*您(_34犬43)的最大值為河,最小值為租，則/+機(jī)=

2tx2+0/sin-I-x

2.若關(guān)于尤的函數(shù)“、/八、的最大值和最小值之和為4,貝心=

〃x)=—C°)

2x2+cosx

3.函數(shù)/(%)=(/-6x)sin(x-3)+x+<2(xe[0,6])的最大值為M,最小值為加，若〃+租=10,則。=

題型四：利用軸對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題

【典例4-1】已知偶函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的無(wú)滿足了(-x)=〃x+2),且〃x)在區(qū)間(TO)上單

調(diào)遞減，若。=1嗎3,b=log3變，c=?。.2拒，則〃a),f?,〃c)的大小關(guān)系為()

814

A./(c)>/(a)>/(Z?)B.f(c)>/(/?)>f(a)

C.f(cz)>/(/?)>/(c)D./(?)>/(c)>f(&)

【典例4-2】(2024.遼寧?一模)已知函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)記2時(shí)，/⑺=logJ尤?-以+7),若

7

/(?)>/(&),則()

A.(a+。—4)(〃—Z?)<0B.{CL+b—4)(a—Z?)>0

C.(a+b+4)(a-b)<0D.(Q+Z?+4)(Q-Z?)>0

軸對(duì)稱的特性表現(xiàn)為：等式兩側(cè)的外部符號(hào)保持相同；其求解方法是：通過(guò)計(jì)算兩側(cè)的平均值

來(lái)找出對(duì)稱軸。

⑴已知函數(shù)“X)滿足/(-x)=/(x),則/(%)的對(duì)稱軸為直線x=0.

⑵已知函數(shù)/(九)滿足/(a-x)=/(。+%),則/(尤)的對(duì)稱軸為直線x=a.

⑶已知函數(shù)"可滿足"a-%）=/（b+x）,則/（力的對(duì)稱軸為直線片也.

【變式4-1X2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/⑴=2023一+"用（。工0）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且函數(shù)/（x）

的最小值為1,則不等式/0）22023的解集為（）

A.{x|0<x<4}B.{x|或xv。}

C.{x|0<x<4}D.{x\x>4^x<0}

人

【變式4-2】函數(shù)〃x）=（f+2磯/+雙+4滿足：對(duì)VX￡R,都有/。+力=〃1一力，貝UQ+為（）

A.0B.1C.2D.3

命題預(yù)測(cè)[

1.已知函數(shù)〃司=3.+2,且滿足〃5+x)=〃3—x),則/⑹=().

A.29B.11C.3D.5

2.已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關(guān)于直線*=1對(duì)稱，則函數(shù)/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為

A.(0,2)B.[0,1)C.(-oo,1]D.(0,1]

3.己知a是方程log“x+x=2018(a>0,awl)的根，々是方程疝+》=20183>0,。片D的根，則玉+%的

值為()

A.2016B.2017C.2018D.1009

題型五：利用中心對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題

（,1\2016（女、

【典例3（2024.廣東廣州.一模）已知函數(shù)…幻+M-〒，則^痂的值為（）

A.2016B.1008C.504D.0

【典例5?21［新考法］已知：定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/。）的圖象關(guān)于點(diǎn)3"（。））對(duì)稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)

/'（%）的圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱.任給實(shí)數(shù)加，〃滿足加―3根2+5根—1=0,"_3/+5〃—5=0,貝=

（）

A.1B.2C.3D.4

點(diǎn)對(duì)稱的特性是：等式兩邊外部的符號(hào)不相同；其求解方法是：通過(guò)計(jì)算等式兩邊的中點(diǎn)(即

平均值)來(lái)確定對(duì)稱中心的位置。

(1)已知函數(shù)/(%)滿足/(-%)=-/(%),則/(%)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(0,0).

(2)已知函數(shù)滿足/(a-x)=-/(a+力,則的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(a,0).

(3)已知函數(shù)/(%)滿足+=則〃尤)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(a,b).

(4)已知函數(shù)〃%)滿足“a-x)+/°+"=2c,則/(%)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)[審,c)

【變式5-1](2024.四川宜賓.一模)已知函數(shù)/(x)?xeR)滿足/("=〃4—江若函數(shù)y=卜/+4%-3|與

y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(％,yj(3,%)，…，(王，笫)，則2七=

i=\

A.加B.2mC.3mD.4m

【變式5-2](2024.高三.山西期中)已知函數(shù)〃尤)=(x+l[+：in1其中/'⑺為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則

/(2020)+f(-2020)+f(2019)-f(-2019)=()

A.0B.2C.2019D.2020

【變式5-3](2024?寧夏石嘴山?一模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)任意的占,馬?。，且占+3=2。,

恒有〃為)+/優(yōu))=力，則稱函數(shù)/(x)具有對(duì)稱性，其中點(diǎn)3b)為函數(shù)＞=/(無(wú))的對(duì)稱中心，研究函數(shù)

AxXx+l+U+tanCrT)的對(duì)稱中心，求了(盛］+磊)+/［蔡］+f［^\=()

X—lyZUZZJ\ZUZZ)\ZUZZ)\ZUZZ)

A.2022B.4043C.4044D.8086

命題預(yù)測(cè)

1.設(shè)函數(shù)y=的定義域?yàn)?。，若?duì)于任意看、x#D,當(dāng)玉+%=2a時(shí)，恒有〃占)+/(%)=?,則

稱點(diǎn)(。,6)為函數(shù)y=〃x)圖象的對(duì)稱中心.研究函數(shù)〃x)=x+sin萬(wàn)x-3的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱

中心的上述定義，可得到了(烹[40301J4031V,、

+/+7+…+/〔2016)"(2016)的值為z(,

(2016,IQoj12016J

A.-4031B.4031c.-8062D.8062

2.已知函數(shù)/(x)=x3xsin^rx,則/120131+/f—Vm()

)12013J+4黯+d

A.4025B.-4025c.8050D.-8050

3.若函數(shù)/(x)=sin無(wú)｛lg(2，+l)+7回的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.-1g2B.-lgV2C.-4D.-2

題型六：奇偶性對(duì)稱偏移

【典例6-1】(2024?高三?浙江?期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且+"是偶函數(shù)，1)是奇函

數(shù)，貝U()

A."0)=0B./[1]=0

C."1)=0D./⑶=0

【典例6-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,若〃1T)為奇函數(shù)，/(x—1)為偶函數(shù).設(shè)/(-2)=1,則/⑵二

A.-1B.0C.1D.2

(1)若/(%)為奇函數(shù)，貝！J/(x+a)=—/(—x—a).

(2)若/(x+a)為奇函數(shù)，貝!J/(%+〃)=一/(一%+”).

(3)若/(%)為偶函數(shù)，貝！J/(%+“)=/(一工一〃).

(4)若/(x+a)為偶函數(shù)，則/(X+Q)=/(—X+Q).

【變式6-1】已知/'(x-l)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g(x)=/(2x+3)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則()

A.g⑵=0B.g⑶=0C.〃3)=OD.45)=0

【變式6-2】已知/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)0<x42時(shí)，/?=log22%,則

“2022)=()

A.2B.-2C.-1D.1

【變式6-3](多選題)已知“X)是定義在R上的奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，且/(2)=10,則()

A./(4)=-10B.“X)的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱

C.“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,0)中心對(duì)稱D.”206)=-10

命題預(yù)測(cè)

1.設(shè)〃元)是定義域R的奇函數(shù)，*尤+1)是偶函數(shù)，且當(dāng)xe(O,l],f(x)=ax(x-2).^f(-1)+/(2)=-1,

貝"g)=()

33

A.—1B.—C.1D.一

42

2.奇函數(shù)的定義域