2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)：特殊四邊形 綜合壓軸題提升訓(xùn)練（含答案）

九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《特殊四邊形綜合壓軸題》專題提升訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，在平行四邊形2BCD中，AB=12cm,AD=8cm,^DAB=45°,點(diǎn)、E,尸分

別是線段CD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E以lcm/s的速度從點(diǎn)。出發(fā)沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)

尸以2cm/s的速度從點(diǎn)8出發(fā)，在B4上沿B玲/-8方向往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，

點(diǎn)、E,尸同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接4E,EF.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<12),請(qǐng)解答下列

問題：

⑴當(dāng)f為何值時(shí)，4E平分NZMB?

⑵在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻3使得以E,C,F,/四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶連接BE并延長，交4D的延長線與點(diǎn)P,連接PC.設(shè)APEC的面積為Scm2,求S與f

之間的關(guān)系式.

2.定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的凸四邊形稱為對(duì)補(bǔ)四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱

為對(duì)補(bǔ)線.

A

⑴下列三種圖形中：①平行四邊形，②矩形，③正方形，一定是對(duì)補(bǔ)四邊形的有

___________(填寫序號(hào))；

(2)如圖，在凸四邊形48C。中，AB=AC,AB1AC,當(dāng)夜4)+。。=8。時(shí)，判斷四邊

形48CD是否為對(duì)補(bǔ)四邊形，證明你的結(jié)論：

(3)在RtAEFG中，EF=1,GE=3,NGEF=90。，以GF為斜邊作等腰Rt△GHF,連接

EH,請(qǐng)直接寫出的長.

3.在正方形2BCD中，E是CD邊上一點(diǎn),

圖1圖2圖3

⑴將△2DE繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使4。、2B重合,得到A4BF,如圖1所示，觀察

可知：與DE相等的線段是,^AFB=Z.

（2）如圖2,正方形中，P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且NP4Q=45。，試通過旋

轉(zhuǎn)的方法證明：DQ+BP=PQ；

⑶在（2）題中，連接8。分別交4P、4Q于點(diǎn)M、N,求8M、MN、ND的數(shù)量關(guān)系.

4.定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質(zhì)初探】如圖1,已知，UiABCD,ZB=80°,點(diǎn)E是邊XD上一點(diǎn)，連接CE,四邊

形2BCE恰為等腰梯形.求NBCE的度數(shù)；

【性質(zhì)再探】如圖2,已知四邊形28CD是矩形，以8C為一邊作等腰梯形=CE,

連接BE、CF.求證：BE=CF-,

【拓展應(yīng)用】如圖3,回4BC0的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,AB=2,^ABC=45°,過點(diǎn)

。作4C的垂線交BC的延長線于點(diǎn)G,連接DG.若NCDG=90。，求BC的長.

5.如圖①，在正方形2BCD中，AB=4,M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（不與8、。重合）,

連接4%過點(diǎn)M作MN_LAM交邊CD于點(diǎn)N,連接4V.

圖①圖②

⑴【問題發(fā)現(xiàn)】在圖①中小明想過點(diǎn)M分別作2D、的垂線，發(fā)現(xiàn)4M和MN有特殊

的關(guān)系，請(qǐng)你判斷AAMN的形狀，并根據(jù)小明的方法給出證明；

(2)【問題解決】直接寫出圖①中SMMN的取值范圍：；

(3)【類比探究】如圖②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M為對(duì)角線BD上一點(diǎn),

且翳=|，貝I)SA4MN=.

6.【知識(shí)感知】(1)如圖1,四邊形4BCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O,我們把這種對(duì)角線

互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，屬于垂美四邊形的是

;(只填序號(hào))

【性質(zhì)探究】(2)如圖1,試探究垂美四邊形4BCD的四條邊ZB,CD,BC,AD之間有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；

【性質(zhì)應(yīng)用】(3)如圖2,分另IJ以RtAACB的直角邊4C和斜邊4B為邊向夕卜作正方形4CFG

和正方形28DE,連接CE,BG,GE,已知4C=10西，AB=S岳,求GE的長.

7.如圖，矩形4BCD中，AB=12cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸以2cm/s的速度從點(diǎn)/出發(fā)

沿折線4B-向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)。以2cm/s的速度從點(diǎn)D開始沿折線-4B向終

點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)尸、。同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間f秒，ACPQ的面積為S.

⑴當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)/,當(dāng)￡=時(shí)，點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)區(qū)

⑵當(dāng)/為何值時(shí)，AQ4P為等腰直角三角形？

⑶求出ACPQ的面積S(可用含有的代數(shù)式表示).

8.已知，矩形4BCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于

(1)如圖1,連接AF、CE,求4尸的長;

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從4、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△4FB和ACDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，

即點(diǎn)P自4-F-BrA停止，點(diǎn)Q自C-D-E-C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5on,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)4、C、P、

Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值.

②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b(單位：cm,ab0),已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

9.如圖①，在平行四邊形48CD中，乙4nB=90°,AD=24，BD=475,點(diǎn)尸從點(diǎn)4出

發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線4B方向運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)尸出發(fā)后,

過點(diǎn)F作4B的垂線，交折線4。-DC于點(diǎn)E,以EF為邊向右作矩形EFMN,使EF=

2FM.設(shè)矩形EFMN與ABCD重疊部分的面積為S.

圖①圖②

⑴當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，求t的值;

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段4B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示線段8M的長；

⑶當(dāng)矩形￡川如7與4BCD重疊部分的圖形不是三角形時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑷如圖②，點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，連接。N,0M,設(shè)矩形EFMN與AOMN的面積比為k,當(dāng)

時(shí)，直接寫出t的取值范圍.

10.如圖，在四邊形ABCD中，AD\\BC,AD=12cm,BC=15cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分另U從/、

C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度由/向。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，其中

一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)AP=cm,PD=cm,BQ—cm,(分別用含有t的式子表示)；

⑵當(dāng)四邊形PQCD的面積是四邊形4BQP面積的2倍時(shí)，求出t的值.

⑶當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形4PQB為平行四邊形？

⑷當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDQB為平行四邊形？

11.綜合與探究

如圖1,一次函數(shù)y=x+4的圖象與坐標(biāo)軸交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)。是

⑴直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)及直線BC的解析式；

(2)如圖1,連接CD,當(dāng)△4CD的面積等于AAOB的面積時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過點(diǎn)。作直線BC的平行線I,在直線1上是否存在一點(diǎn)E,使四邊形BCDE是菱

形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

12.如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

⑴概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂

美四邊形的是.

⑵性質(zhì)探究：如圖2,已知四邊形4BCD是垂美四邊形，求證:+九2=AB2+CD2.

⑶問題解決：如圖3,分別以RtAACB的直角邊4C和斜邊4B為邊向外作正方形4CFG和

正方形ABDE,連接CE,BG,GE,CE交4B于點(diǎn)M,已知4C=4,AB=5,求GE的長.

13.如圖，在平行四邊形4BCD中，ABAD=LBDC,點(diǎn)、E為BC邊上一點(diǎn)、,連結(jié)4E交對(duì)

角線BD于點(diǎn)尸.

(1)如圖，若乙4DB=60。，AE=2BE=4,求4B的長度；

(2)如圖，若N2DB=120°,點(diǎn)G,〃為4E邊的兩點(diǎn)，連接。G,DH,BG,且滿足NHDG=

ZDGS=60°.求證：DG-BG=2DH.

AB

⑶如圖，若NADB=60°,BD=6,將AADF沿射線DB方向平移，得到連接

A'C,CD',當(dāng)C?+C4的值最小時(shí),請(qǐng)直接寫出CD，+C4的最小值.

DC

/

\//B\

F'

A'

14.如圖，已知正方形48CD的邊長為2,點(diǎn)E是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，2F平分NB4E交邊BC

于點(diǎn)上

(1)①當(dāng)點(diǎn)F恰好是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DE長；②當(dāng)點(diǎn)E恰好是邊CD的中點(diǎn)時(shí)，求

線段BF長.

(2)猜想線段4E,DE,8F之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶直接寫小4。后與44BF面積和的最大值.

15.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以"矩形的折疊"為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

圖1

⑴操作判斷

操作一：正方形透明紙片4BCD,點(diǎn)E在邊上，如圖1,連接4E,沿經(jīng)過點(diǎn)B的直線

折疊，使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落4E在上，如圖2,把紙片展平，得到折痕BF,如圖3,折痕

BF交AE于點(diǎn)G.

根據(jù)以上操作，請(qǐng)直接寫出圖3中2E與BF的位置關(guān)系：,BE與CF的數(shù)量關(guān)

系：;

⑵遷移探究

小華將正方形透明紙片換成矩形透明紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將矩形透明紙片4BCD按照(1)中的方式操作，得到折痕BF,折痕BF交4E于點(diǎn)G,如

圖4.^mAB^nAD,改變點(diǎn)E在8C上的位置，那么笠的值是否能用含的代數(shù)式表

AE

示？如果能，請(qǐng)推理裝的值，如果不能，請(qǐng)說明理由；

⑶拓展應(yīng)用

如圖5,已知正方形紙片4BCD的邊長為2,動(dòng)點(diǎn)E在AD邊上由點(diǎn)/向終點(diǎn)。勻速運(yùn)

動(dòng),動(dòng)點(diǎn)尸在。C邊上由點(diǎn)。向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E,廠同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，且速度相

同，連接NRBE,交于點(diǎn)G,連接。G,則線段。G長度的最小值為：,

點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長度為：(直接寫出答案即可).

16.如圖1,已知矩形4BCD,將矩形4BCD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形4EFG,其中點(diǎn)

E,尸分別是點(diǎn)2,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

圖1圖2備用圖

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在對(duì)角線BD上時(shí)，

①若旋轉(zhuǎn)角為60。，求乙48。的大?。?/p>

②若4B=4,AD=3,求DG的長.

(2)若直線EB,DG交于點(diǎn)〃，求證：X是CF的中點(diǎn).

17.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形4BC。的邊。4在y軸正半軸上，邊。C在%軸的正

半軸上，且4(0,8),C(10,0),點(diǎn)E為8C上一點(diǎn)，將矩形沿4E翻折，使點(diǎn)B落在OC邊

上的點(diǎn)。處.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo).

⑵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿%軸向右運(yùn)動(dòng)，連接PE,設(shè)仆PDE的面積為

S,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3請(qǐng)用含t的式子表示△PDE的面積S,并直接寫出t的取值范圍.

⑶在(2)的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，在平面內(nèi)取一點(diǎn)Q,使P、D、E、Q四個(gè)點(diǎn)組成

的四邊形為菱形，請(qǐng)求出滿足條件的t值及Q點(diǎn)坐標(biāo).

18.某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行

探究，提出下列問題，請(qǐng)你給出證明：

⑴【圖形認(rèn)知】如圖①，在正方形28CD中，AF1DE,4F交DE于點(diǎn)G,則蕓=______

DE

(填比值)；

⑵【探究證明】如圖②，在矩形4BCD中，EFJ.GH,EF分另U交4￡＞、BC于點(diǎn)E、F,GH分

別交AB、OC于點(diǎn)G、H,求證：篇=煞

CrrlAL)

⑶【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，將矩形48CD沿EF折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)。重合，若48=2,BC

3.求折痕EF的長;

(4)【拓展運(yùn)用】如圖④，將矩形4BCD沿EF折疊，使得點(diǎn)。落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落

在點(diǎn)P處，得到四邊形EFPG,若48=2,BC=3,EF=^-,請(qǐng)求點(diǎn)尸到直線48的距

離.

G

圖④

19.在四邊形48CD中，E是BC上一點(diǎn)，連接4E,將△28E沿4E翻折得至！UAFE,2F落

在對(duì)角線4C上.將AAEC繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，使得4C落在直線2D上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,點(diǎn)

￡的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N.

(1)【特例探究】如圖1,數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，當(dāng)四邊形4BCD是正方形，且旋轉(zhuǎn)角小于90。

時(shí)，會(huì)有ACEFmAMDN,請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論;

⑵【再探特例】如圖2,當(dāng)四邊形4BCD是菱形，且旋轉(zhuǎn)角小于90。時(shí)，若NB4D=60。,

BE=2.連接DF交4N于點(diǎn)G.求DG的長;

圖1圖2

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,當(dāng)四邊形48C。是矩形時(shí)，當(dāng)M到點(diǎn)4、點(diǎn)。的距離，兩段距離

圖3備用圖

20.(1)如圖1,在正方形4BCD中，E、F分另！J為4B、BC邊上的點(diǎn)且BE=BF,延長4B

至G使得BG=BC,延長GF交CE于點(diǎn)H,求證：GH1CF；

(2)如圖2,在矩形48CD中，AB=3,BC=4,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AEBF,

且點(diǎn)E落在4C上，求sin/CEF的值；

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，2￡)||8C,N82D+NBC。=90°,CD=3y/3,sinzBCZ)=|,

連接AC,BD,當(dāng)△28。是以8。為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出4C的值.

圖1圖3備用圖

(2025年)

參考答案

1.解：(1)回四邊形/BCD是平行四邊形,

胤48||CD,

團(tuán)乙DE/=Z.EAF,

回ZE平分乙。48,

團(tuán)乙D/E=/.EAF,

^Z-DAE=Z.DEA,

團(tuán)。E=AD=8cm,

(2)假設(shè)存在合題意的f,使得以E,C,R4四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則CE=/F,

①當(dāng)0<t<6時(shí)，AF=12-2t,

12—2t=12—t,

解得t=0(舍)

②當(dāng)6<1<12時(shí)，AF=2t-12,

2t—12=12—t,

解得t=8

由①②可得當(dāng)t=8時(shí)，以￡,C,F,/四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

(3)過點(diǎn)B作BM14P交4P于點(diǎn)M,作BN1CD交CD于點(diǎn)N.

在RtAAMB中，^MAB=45°,

SiAM=BM,AM2+BM2=AB2=122,

回AM=6企，

同理可得，BN=4V2,

_BCBM

XPBC=-；-=24V2,

況=(12T)X4保=24a-2at,

22

IES=S2PBe-S2EBC=24A/2—(24V2—2V2t)=2&1t.

（2025年）

2.（1）解：①平行四邊形對(duì)角相等，不符合題意；

②矩形對(duì)角互補(bǔ)，符合題意，

③正方形對(duì)角互補(bǔ)，符合題意，

故答案為：②③；

（2）解：是對(duì)補(bǔ)四邊形.

理由：如圖，過點(diǎn)/作4M1AD,且=連接MD,MC.

■.■AB=AC,AD=AM,^BAC=^DAM=90°,

?-?/.BAC+/.CAD=/.DAM+/.CAD,

即NB4D=ACAM,

???ABADCAM,

???BD=CM,

■：AMLAD,且AM=4。

???^ADM=45。,MD=42AD

■：V24D+CD=BD=CM,

即MD+CD=CM

M.D、C在一直線上，

???^ADC=180°-^ADM=135°

???^ADC+乙ABC=180°,

團(tuán)四邊形ABCD是否為對(duì)補(bǔ)四邊形.

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)X、E在GF兩側(cè)時(shí),

(2025年)

將EH繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到M”，連接GM,

0AGFH為等腰直角三角形，

回NGHF=90°,GH=FH,

回NEHM=90°,

0ZEWM-乙EHG=乙GHF-乙EHG,即NE”F=乙MHG,

回MH=EH/EHF=/.MHG,GH=FH,

0AGHM三△FHE(SAS),

^GM=EF=1,MH=EH,乙MGH=LEFH,

回AEFG為直角三角形，AGF”為等腰直角三角形，

E1ZGFF+乙GHF=180°,

回NEG”+乙EFH=180°,

fflZfGW+^MGH=180°,即點(diǎn)Af、G、K共線，

EIEM=EG+MG=4,△MEH為等腰直角三角形，

根據(jù)勾股定理可得：EH2+MH2=2EH2=EM2=16,

解得：EH=2V2；

②當(dāng)點(diǎn)H、E在GF同側(cè)時(shí)，

將繞點(diǎn)"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到NH,連接HN,

SEH=NH./.EHN=90°,

EINN=乙HEN=45°,

0AGFH為等腰直角三角形，

0ZGHF=90°,GH=FH,

SiZ.EHN=90°,

(2025年)

G

?AEHN+乙FHE=乙GHF+乙FHE,即NE”G=乙NHF,

SINH=EH,Z.EHG=4NHF,GH=FH,

0AGHESAFH/V(SAS),

fflzHFG=Z_N=45°,EG=NF=3,

0ZFEW=90°+45°=135°,

團(tuán)乙HEN+乙FEH=45°+135°=180°,

回點(diǎn)N、E、尸共線，

ISEN=NF-EF=2,

根據(jù)勾股定理可得：EH2+NH2=2EH2=EN2=4,

解得：EH=正；

綜上：=&或2夜.

3.解：(1)如圖1,???A4DE繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使4。、重合，得到

DE=BF,Z.AFB=Z.AED,

故答案為：BF,AED-,

(2)將A4DQ繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，貝1。。與重合，得到A4BE,如圖2,

圖2

貝此。=/.ABE=90°,

???Z-ABP=90°,

??.Z.ABE+Z.ABP=180°

(2025年)

???點(diǎn)E、B、P共線，

由旋轉(zhuǎn)知，Z.EAQ=^BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,

???^PAQ=45°,

???/.PAE=45°,

???乙PAQ=Z.PAE,

在△APE和AAPQ中

AE=AQ

???Z.PAE=Z-PAQ,

AP=AP

???AAPE=AAPQ(SAS),

??.PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,

??.DQ+BP=PQ,

(3)BM2+DN2=MN2

理由：如圖3,

圖3

???四邊形4BCD為正方形，

???乙ABD=4ADB=45°,

如圖3,將A4DN繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，貝何。與4B重合，得到44BK,連接KM,

則N2BK=ZADN=45。，BK=DN,AK=AN,

回NK4N=90°,4PAQ=45°,

S1AKAM=乙NAM=45°,

團(tuán)4M=AM,

團(tuán)A/MN=A4MK(S/S),

回MN=MK,

???￡.MBA+Z.KBA=45°+45°=90°,

(2025年)

??.ABMK為直角三角形,

???BK2^-BM2=MK2,

???BM2+DN2=MN2.

4.解：［性質(zhì)初探］解：過點(diǎn)4作ZG交于G,過點(diǎn)E作交于”,

???目/BCD,

???AE||BC,

??.AG=EH,

???四邊形ABCE恰為等腰梯形，

-AB=EC,

???Rt△ABG=RtAECG(HL),

Z.B=Z-ECH,

???(B=80°,

???乙BCE=80°；

［性質(zhì)再探］證明：???四邊形ABC。是矩形，

???AE||BC,

???四邊形BCEF是等腰梯形，

??.BF=CE,

由(1)可知，乙FBC=LECB,

??.△BFC=△CEB(SAS),

??.BE=CF；

［拓展應(yīng)用］解：連接AC,過G點(diǎn)作GM14。交延長線于點(diǎn)M,

(2025年)

???四邊形ABC。是平行四邊形,

???。是AC的中點(diǎn)，

GO1AC,

AC=CG,

vAB||CD,AABC=45°,

???(DCG=45°,

???乙CDG=90°,

CD=DG,

BA=DG=2,

???Z.CDG=90°,

CG=2V2,

AG=2V2,

???(ADC=(DCG=45°,

???Z.CDM=135°,

??.Z.GDM=45°,

??.GM=DM=V2,

在RtZk/GM中，(2V2)2=(AD+V2)2+(V2)2,

AD=V6—V2,

BC=V6—V2.

5.(1)解：△/"可是等腰直角三角形.理由如下：

如圖：過點(diǎn)M作ME14)于E,MF1C。于尸，則四邊形MEDF為矩形,

圖①

回四邊形4BCD為正方形,

回乙4DB=乙CDB=45°,

（2025年）

回乙。ME=Z.DMF=45°,

回ME=DE,

回四邊形MEDF為正方形，

回ME=MF,乙EMF=90°,

又朋M1MN,

???乙AMN=90°,

??.匕AME=乙FMN,

又???AAEM=乙MFN,

0AAME=ANMF（AAS）,

財(cái)M=MN,

0A4MN為等腰直角三角形.

（2）解：IBA4MN為等腰直角三角形，

2

^S^MN=1AM-HN=^AM,

當(dāng)AM_LBD時(shí)，AM有最小值，

重48=4,

回SMMN最小值=1X（2V2）2=4,

又的不與3重合，

回SUMN>S.Be，即SUMN>8,

團(tuán)4<S—MN<8.

故答案為：4<S^AMN<8.

（3）解：過點(diǎn)M作MG1AB于G,延長GM交CD于77,則MH1CD,

圖②

回四邊形為矩形,

（2025年）

園4G=DH,GH=AD=3,

「

團(tuán)M一B=-2

BD5

回--=—2

DM3

國四邊形ABC。是矩形,

財(cái)B||CD,

[?!△BMGDMH,

=MG==2

DHMHDM3

AGMH3

團(tuán)GH=AD=3,AB=4,

回MG=l，MH=-,BG=-,AG=

5555

團(tuán)4M1AN,

^AMN=90°,

回NZMG+乙HMN=90°,

^AMG+AMAG=90°,

國上HMN=2LMAG,

回乙AGM=乙MHN,

[?]△AGMMHN,

回絲=咨

MHHN

126

爵=邑

IHN

9

WN=—,

io

2

SMN=NMH2+HN2=+舄）2=總遮，AM=y/AG2+MG2=+g）=

團(tuán)S-MN=-X-V5x—V5=—.

△AH"251010

故答案為：

10

6.解：知識(shí)感知：團(tuán)菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直，

團(tuán)屬于垂美四邊形的是③④；

(2025年)

性質(zhì)探究：AB2+CD2=AD2+BC2；

證明：■.AC1BD,

SAB2=OA2+OB2,DC2=OC2+OD2,AD2=OA2+OD2,BC2=OC2+OB2,

SAB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OD2+OC2+OB2,

^AB2+CD2=AD2+BC2；

性質(zhì)應(yīng)用：回正方形4CFG和正方形ABDE,

回GA=CA,AB=AE,/.GAC=4BAE=90°,

0Z.GXB=/.CAE,

0ACAESAGAB(SAS),

BZ.NBM=/-MEA,

又EINNMB=^AME,

回N8NM=/.BAE=90°,

EICE1BG,

0BC2+GE2=CG2+BE2,

連接CG,BE,

ERtAXCB,AC=10V5,AB=5VH,

BBC=7AB2—AC?=5,CG=y/AG2+AC2=lOVlO,BE=<AB2+AE2=5742,

22

EI52+GE2=(lOVlO)+(5V42),

回GE=45.

圖2

7.(1)解：?.?四邊形4BCD是矩形，BC=6cm,AB=12cm,

AD=BC=6cm,DA+AB=6+12=18cm,

:動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)。開始沿折線￡M-AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),

1=6+2=3時(shí)，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)力，

t=18+2=9時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)8,

故答案為：3,9；

(2025年)

(2)???四邊形4BCO是矩形，

，AD=BC=6cm,CD=AB=12cm,

由題意得：AP=2tcm,DQ=2tcm,

???AQ=AD—DQ=(6—2t)cm,

△QAP為等腰直角三角形，

AQ=AP9

即6-2t=23

解得:t=f,

即當(dāng)t為I時(shí)，為等腰直角三角形;

(3)分三種情況：

①當(dāng)0<tW3時(shí)，如圖1所示：

圖1

由題意得：AP=2tcm,DQ=2tcm,

??.AQ=AD—DQ=(6—2t)cm,BP=(12—2t)cm,

S=矩形4BCD的面積一△2PQ的面積一△BCP的面積一△CDQ的面積=12x6-|x2tx

(6-2t)-1x(12-2t)x6-|x12x2t=(2t2-12t+36)cm2；

②當(dāng)3WtW6時(shí)，如圖2所示：

??.PQ=AP-AQ=6cm,

(2025年)

11

S=-PQxBC=-x6x6=18cm2o；

圖3

由題意得：BP=(2t-12)cm,AQ=(2t—6)cm,

/.CP=6-BP=(18-2t)cm,BQ=12-AQ=(18-2t)cm,

.■.S=^CPxBQ=|x(18-2ty=(2t2-36t+162)cm2.

(2t2-12t+36(0<t<3)

綜上，S=118(3<t<6)

(2產(chǎn)—36t+162(6<t<9)

8.(1)解：?.?四邊形4BCD是矩形，

???ADWBC,

???Z-CAD=乙ACB,Z.AEF=乙CFE,

???EF垂直平分/C,垂足為。，

OA=OC,

/.△AOE=△COF(AAS),

??.OE=OF,

???四邊形/FCE為平行四邊形，

又EF1AC,

???四邊形4FCE為菱形，

設(shè)菱形的邊長/F=CF=xcm,貝ijBF=(8—x)cm,

在RtZkABF中，AB=4cm,

由勾股定理得42+(8-%)2=%2,

解得％=5,

???AF=5cm.

（2）①顯然當(dāng)P點(diǎn)在4F上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)4、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)在4B上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成

(2025年)

平行四邊形.

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形,

.?.以4、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA,

???點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

PC=5t,QA=CD+AD-4t=12-4t,即Q4=12—43

5t=12—4t,

解得"%

.??以4、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=（秒.

②由題意得，四邊形4PCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.

分三種情況：

i）如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在2尸上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

花）如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP,即12—b=a,得a+b=12；

山）如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在4B上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ,即12—a=b,得a+b=12.

綜上所述，Q與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是Q+b=12（ahH0）.

匚口4-------1_Q

BFCBPFCBFC

圖1圖2圖3

9.(1)解：如圖，

DC

川，/

AFMB

圖①，

???Z.ADB=90°,AD=2V5,BD=4V5,

(2025年)

j22

AB=<AD2+BD2=J（2V5）+（4A/5）=10,

???點(diǎn)尸從點(diǎn)a出發(fā)以每秒I個(gè)單位長度的速度沿射線4B方向運(yùn)動(dòng)t秒,

AF—t,

EF1AB,

???^AFE=乙ADB=90。,

???Z.EAF=Z-BAD,

???△AEFABD,

.AE_EF_AF叩絲_EF___t_

-AB~BD~AD"10-4V5-2忖

AE=EF=23

??.DE=AD-AE=2V5-V5t,

,??四邊形EFMN是矩形，

??.FM=EN,EN||FM,艮PEN||AB,

??.△DENDAB,

.EN_DE日REN_2V5-V5t

ABAD102V5

???EN=10-53

???EF=2FM,

2t=2(10—5t),

解得：t=l;

(2)解：由(1)得，AF=t,EF=2t,

???EF=2FM,

1

???FM=-EF=t,

2

當(dāng)owe<2時(shí)，點(diǎn)E在邊/D上，

BM=AB-AF-FM=10-t-t=10-23

當(dāng)2Vt<8時(shí)，點(diǎn)E在邊OC上，點(diǎn)M在邊AB上，如圖,

(2025年)

圖②

過點(diǎn)D作。H14B于點(diǎn)H,

則DHSB=?BD,即10OH=2V^X4近，

???DH=4,

EF=DH=4,

1

FM=-EF=2,

2

BM=AB-AF-FM=10-t-2=8-t,

當(dāng)8<t<10時(shí)，點(diǎn)M在線段48的延長線上，如圖,

圖③

■：AB=10,AF=t,FM=2,

BM=AF+FM-AB=t+2-10=t-8,

綜上所述，線段BM的長為10-2t(0<t<2)或8-t(2<t<8)或t-8(8<t<10)；

(3)解：如圖，當(dāng)2<tW8時(shí)，重疊部分為梯形EGKN,

圖④

過點(diǎn)。作DH于點(diǎn)H,

由(2)知：DH=4,

AH=y/AD2-DH2=J(2伺f-42=2,

■■■HF=AF-AH=t-2,

(2025年)

vDHLABfEFlAB,

??.DH||EF,

vAB||CD,

???四邊形OEFH是平行四邊形，

???乙DHF=90°,

???四邊形DEFH是矩形，

DE=HF=t-2,DN=t—2+2=3

EGNKADEGNK2^5

tanzCDB=—=—=—,R即n一=—=一，

DEDNBDt-2t4近

EG=—,NK=-,

22

S——x(EG+NK)xEN——x―F5)x2—t-1,

如圖，當(dāng)8<tW10時(shí)，重疊部分為五邊形EGBKN,

圖⑤

過點(diǎn)B作BT1CD于點(diǎn)T,

則87=4,BF=10-t,=2-(10-t)=t-8,

???FG=BF-tanzXBD=(10-t)x|=等，KM=2BM=2(t-8),

S=S矩形EFMN—S^BFG—SABMK

111

=8——x(10—t)x—x(10—t)——x(t—8)x2(t—8)

=--t2+21t-81,

4

(t—1(2<t<8)

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=5,2上

[―-tz+21t—81{8<t<10)

(4)解：如圖，過點(diǎn)。作OWLAB于點(diǎn)W,OLLMN于點(diǎn)3

(2025年)

圖⑥

當(dāng)0<t<2時(shí)，AF=FM=t,EF=2t,

???點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，

OB=OD,

???OW1AB,DH1AB,

??.OW||DH,

W是的中點(diǎn),

AB-AH10-2&

???BW=-----=-------=4,

22

??.OL=MW=AB-BW-AF-FM=10-4-t-t=6-2tf

?.?矩形石尸”可與仆OMN的面積比為k,

2d_

t(6-2t)-'

1

fc<1,

12t2

A-<——<1,

2-t(6-2t)一

解得：1<t<p

當(dāng)2<tW4時(shí),如圖,

則4F=3EF=MN=4,FM=2,0L=4-t,

?.?矩形OMN的面積比為k,

1

v-<fc<l,

(2025年)

此時(shí)無解，

Zo—Zt

當(dāng)4<t<12時(shí)，AF=t,EF=MN=4,FM=2,OL=t-4,

,矩形￡7"17與4OMN的面積比為k,

-^―=k,

2t-8

1

V-<fc<1,

A-<—<1,

2-2t-8-

解得：8<t<12,

總上所述，t的取值范圍為：1<1<|或8型412.

10.(1)解回點(diǎn)尸以lcm/s的速度由/向。運(yùn)動(dòng)，

胤4P=t,

回ZD=12cm

回PD=12—tcm,

團(tuán)點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，BC=15cm,

團(tuán)QC=3t,

回BQ=15—3t；

(2)解：設(shè)點(diǎn)4至UBC的距離為九,

???四邊形PQCD的面積是四邊形4BQP面積的2倍，

-11

=

團(tuán)S口PQCD2slzi/BQp,即&x(PD+QC)xh=2x-x(AP+BQ)xh,

?e?—x(12—t+3t)x/i=2x—x(t+15—31)x/i,

???t=3；

(3)解：vADIIBC,

???當(dāng)/尸=BQ時(shí)，四邊形APQB是平行四邊形，

t=15—33

t,=一15；

4

???運(yùn)動(dòng)號(hào)s時(shí)，四邊形4PQB是平行四邊形

4

(4)解：-：AD//BC,

.?.當(dāng)PD=BQ時(shí)，四邊形2PQB是平行四邊形，

（2025年）

12—t=15—3t,

??.t=-,

2

團(tuán)運(yùn)動(dòng)|s時(shí)，四邊形APQB是平行四邊形；

11.解：(1)?.?一次函數(shù)y=x+4的圖象與坐標(biāo)軸交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),

???/(-4,0),8(0,4),

??,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),

???直線BC的解析式：y=-2x+4；

(2)解：過點(diǎn)。作無軸的垂線，垂足為P,

???點(diǎn)。在線段上，橫坐標(biāo)為機(jī)，

???縱坐標(biāo)為(771+4),貝5尸=m+4,

ii

,*'S>ACD~2“0,DP,S^AOB=2,“°,B。=8,

??.-x6(m+4)=8,

解得，m=-1,m+4=|,

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(—表9，

(3)???四邊形BCDE是菱形，B(0,4),C的坐標(biāo)為(2,0)

BC=DC=BE=DE,

???CD2=BC2=OB2+OC2=20,

設(shè)￡)(771,771+4),其中―4<機(jī)<0,

0CD2=(2—m)2+(m+4)2=20,

解得：mi=-2,m2=0(不合題意舍去)，

即點(diǎn)。(—2,2),

???四邊形BCDE是菱形，

回點(diǎn)E坐標(biāo)為(一2-2,2+4)即(-4,6),

12.解：(1)團(tuán)在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱

形、正方形，

回菱形和正方形一定是垂美四邊形，

故答案為：菱形、正方形；

(2)證明：如圖，連接4C,8。交于點(diǎn)0.

(2025年)

???四邊形4BCD是垂美四邊形，

AC1BD,

：.AAOD=^AOB=Z-BOC=乙COD=90°.

由勾股定理，^AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

：.AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)如圖，連接CG,BE.

■：Z.CAG=/.BAE=90°,

???NCAG+乙BAC=ABAE+4BAC,即NGAB=乙CAE.

在△GAB和△C4E中，AG=AC,^GAB=/.CAE,AB=AE,

GAB三ACAE(SAS),

???Z.ABG=Z.AEC.

又：^AEC+AAME=90°,

???^ABG+^AME=90°.

又?：乙BMC=^AME,

???/.ABG+/.BMC=90°,

CEJ.BG,

???四邊形CGEB是垂美四邊形.

由(2)可知CG2+852=CE2+GE2,

■.■AC=4,AB=5,

由勾股定理，WCB2=AB2-AC2=9,CG2=2AC2=32,BE22aB2=50,

???GE2=CG2+BE2-CS2=32+50-9=73,

(2025年)

GE=V73.

13.(1)解：過點(diǎn)E作EH_L2B,垂足為H,

回在平行四邊形ABCD中，AB||CD,AD\\BC

S^DBA=/.BDC

回NB4D=4BDC,

^Z-BAD=乙BDA,

胤4。=BD,

^\Z.ADB=60°,ADWBC,

0AAOB是等邊三角形，/.ABD=乙DBC=60°,

國乙EBH=60°,

⑦乙BEH=30°,

又回4E=2BE=4,即：BE=2

國BH=-BE、x2=l,EH=y/BE2-EH2=V22-l2=V3,

22

團(tuán)在Rt2\AE”中，AH=-JAE2-EH2=J42-(V3)2=V13,

回AB=AH-BH=V13-1；

(2)證明：延長0"、GB交于點(diǎn)"，在。M上取點(diǎn)N,使MN=BG,

^Z.HDG=乙DGB=60°,

0ADMG是等邊三角形，

團(tuán)DG=GM=DM,4M=乙DGB=60°,

MNG會(huì)△GBD(SAS),

團(tuán)NG=BD,乙BDG=^NGM,

團(tuán)乙。NG=ZM+乙MGN=60°+乙MGN,

/-ADH=4ADB+乙BDG-乙DHG=120°+乙BDG-60°=60°+乙BDG

^ADH=(DNG,

(2025年)

由(1)可知40=BD,

胤4D=NG,

又同上AHD=乙GHN

0AAHD三△G”N(AAS),

即H=HN,

團(tuán)DN=2DH=DM—MN,

WG-BG=DM-MN=2DH.

(3)解：延長至IJ。，使CQ=BC,作等邊△BQP,在尸0上取一點(diǎn)〃，使QM=

連接CM、AQ,A'M,

Q

,，小

回BQ=2BC,

由平移可知，AAf=D?,且||DDL

^\Z.ADB=60°,BD=6,由(1)可知A。=BD,

0A4DB是等邊三角形，AD=AB=BD=6,乙ABD=60°,

團(tuán)在平行四邊形ABC。是菱形，乙DBC=Z.CDB=60°,

團(tuán)BC=AB=CQ=6,

團(tuán)在等邊^(qū)BQP中，2BQP=乙DBC=60°

回QM||BD,

回44z=DDr=QM,AAf||DDf||QM,

回四邊形44'QM是平行四邊形，

固4'M=AQ,BM=MD',

在△。0(和4QMC中，

CD=CQ

乙BDC=(CQM=60°,

DD'=QM

0ADD'C三匕QMC(SAS)

回CD'=CM,

(2025年)

回CO'+CA'=CM+CA'>A'M=AQ,

過點(diǎn)。作QHLBP,垂足為兄

團(tuán)在等邊ABQP中，^QBP=60°,BQ=2BC=12,

0SH=6,QH=y/BQ2-BH2=V122-62=6A/3,

EL4H=AB+BH=12,AQ=JAH2+QH2=J122+(6A/3)2=6夕,

B\A'M=AQ=6V7,

團(tuán)當(dāng)4,C,M三點(diǎn)共線時(shí)，+CA取得最小值4M=AQ=6V7,

此時(shí)，如圖，

回當(dāng)4,C,M三點(diǎn)共線時(shí)，4M交于K,

回“CM=4KCB

在4BCK中，

乙QCM=乙KCB

CQ=BC,

/CQM=乙CBK=60°

0AQCM=△BCK(ASA)

EIQM=BK,

團(tuán)四邊形44'QM是平行四邊形，

回QD'IIMK,

又I3QM||BD

回四邊形QMK。是平行四邊形，

SQM=D'K,

1

WD'=D'K=KB=-BD=2,

3

即：當(dāng)平移將AaDF沿射線DB方向平移2個(gè)單位時(shí),4,C,M三點(diǎn)共線，此時(shí)C?+CA=4Q,

值最小，

SCD'+CA'=2Q最小值為：6V7.

（2025年）

(方法2：如圖，4c與BD交于點(diǎn)連接AB、A'D\AC.取8C的中點(diǎn)N,連接2N、MN,

作NH1AB,

由方法1可知：AABC=120°,BN=^BC=3,

回乙NBH=60°,4BNH=30°,

SBH=-BN=NH=y/BN2-BH2=-V3,

222

SAH=6+|=y,AN=y/AH2+NH2=J（掙+（|V3）2=3夕,

由平移可知，AD=A'D',且⑷

又13在平行四邊形4BCD中，AD=BC,