吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．5名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、排球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)為（）A．15 B．8 C．35 D．2．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若f'A．1 B．2 C．－1 D．－23．若圓M：(x?2)2+y2=A．1 B．2 C．2 D．24．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=kA．(1,+∞) B．(0,+∞) C．5．已知數(shù)列{aA．a(chǎn)n=nC．a(chǎn)n=n6．已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，f'(x)為A．f(1)?f(0)>f'(1)>C．f'(0)>f(1)?f(0)>f7．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)FA．23 B．12 C．348．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，a1+a4=a3．設(shè)A．5 B．6 C．7 D．8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列函數(shù)求導(dǎo)正確的有（）A．(xsinx)'C．[ln(x10．某同學(xué)在研究“有一個(gè)角為π3A．若這個(gè)角的正弦值是另外兩個(gè)角正弦值的等差中項(xiàng)，則該三角形為等邊三角形B．若這個(gè)角的余弦值是另外兩個(gè)角余弦值的等差中項(xiàng)，則該三角形不一定是等邊三角形C．若這個(gè)角的正弦值是另外兩個(gè)角正弦值的等比中項(xiàng)，則該三角形不一定是等邊三角形D．若這個(gè)角的余弦值是另外兩個(gè)角余弦值的等比中項(xiàng)，則該三角形是等邊三角形11．已知函數(shù)f(x)=xlnx?emx，對(duì)定義域內(nèi)任意x1A．1e B．13 C．1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．一個(gè)柜臺(tái)銷售的智能手機(jī)中，國(guó)產(chǎn)品牌有5種，國(guó)外品牌有3種，要從中選擇1個(gè)品牌進(jìn)行購(gòu)買，不同的選法種數(shù)為．13．在數(shù)列{an}中，a1=2，a214．過(guò)直線x?2y?4=0上一點(diǎn)P向圓x2+y2=1引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|的最小值為；已知直線MN過(guò)定點(diǎn)Q四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，（1）求{a（2）求數(shù)列{an?log16．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC（1）證明：EG⊥平面BC（2）求平面BC1D17．已知函數(shù)f(x)=x3?a（1）求a，b的值；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)與曲線18．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線（1）求拋物線C的方程；（2）已知點(diǎn)A(?p2,m)，B(?p2,n)（m≠n）是l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x19．已知函數(shù)f(x)=ae（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：方程f(x)=e

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)槊棵瑢W(xué)都有3種不同的報(bào)名方法，故不同報(bào)法的種數(shù)為35故選：C【分析】本題考查分布乘法計(jì)數(shù)原理.根據(jù)題意可得：每名同學(xué)都有3種不同的報(bào)名方法，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閒'(2)=1，即所以limΔx→0故選：C【分析】本題考查導(dǎo)函數(shù)的定義.已知f'3．【答案】A【解析】【解答】解：雙曲線C的漸近線方程為y=±x，不妨取y=x，點(diǎn)M(2,0)到直線y=x因?yàn)閳AM與雙曲線C的漸近線相切，所以m=1．故選：A【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系.先根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程，根據(jù)直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出距離為21+14．【答案】D【解析】【解答】解：an=kn2?n?2有k(n+1)2?(n+1)?2>kn2n=1時(shí)(12n+1)max=13故選：D【分析】本題考查數(shù)列的單調(diào)性.根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列可得：an+1>an(n∈N*)，解不等式可得5．【答案】A【解析】【解答】解：A、an+1B、a1=?6，C、a5=25，D、a1故選：A.【分析】本題考查數(shù)列的單調(diào)性.根據(jù)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得：a6．【答案】D【解析】【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的意義可知，f'(1)和f'(0)分別表示所以由圖像可知，f'而f(1)?f(0)=f(1)?f(0)1?0表示過(guò)點(diǎn)由圖像可知，f'故選：D.【分析】本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義分析出：f'(1)和f'(0)表示的意義，觀察圖形可得：7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)F1(?c,0)，則直線直線PF1的斜率為直線PF1的方程為令x=0，得y=c2b因?yàn)閨PF所以(3a3故選：B.【分析】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).先根據(jù)條件求得直線PF1的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：P(0,8．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè){an}因?yàn)閍1所以a2=0，則an=2?n，bn因?yàn)镾m=6316，所以故選：B【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a1+a4=a2+a3=a39．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、(xB、(π+2C、因?yàn)?lnx)'=1D、(x故選：BC【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則.根據(jù)積的導(dǎo)函數(shù)運(yùn)算法則可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)常數(shù)求導(dǎo)結(jié)果為0，可判斷B選項(xiàng)；利用簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)和差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和差，可判斷D選項(xiàng).10．【答案】A,D【解析】【解答】解：不妨設(shè)C=πA、因?yàn)閟inA+則sinA+即sin(A+π6)=1，且則A+π6=B、因?yàn)閏osA+所以cosA?且0<A<2π3，可得則A+π6=C、因?yàn)閟inA則sinA可得34sin2A?且0<A<2π3，可得則2A?π6=D、因?yàn)閏osA則cosA可得34sin2A?且0<A<2π3，可得則2A?π6=故選：AD.【分析】本題考查等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)，三角恒等變換.不妨設(shè)C=π3.對(duì)于A：根據(jù)等差中項(xiàng)可得：sinA+sinB=3，再利用兩角和的正弦公式變形可推出A=π3，進(jìn)而判斷A選項(xiàng)；對(duì)于B：根據(jù)等差中項(xiàng)可得：cosA+cosB=111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)閤1<x所以f(x1)?f(即f(x1)?則有對(duì)于定義域內(nèi)任意x1<x所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以在(0,因?yàn)閒'(x)=lnx+1?me因?yàn)閤∈(0,+∞)，所以xln令g(x)=xlnx(x>0)，g'(x)=ln所以當(dāng)x∈(0,1e)時(shí)，當(dāng)x∈(1e,+∞)時(shí)，xlnx≤emx?ln(emx由g(x)=xlnx(x>0)，可知當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)<0，當(dāng)根據(jù)g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性以及有：若g(x)≤g(emx)，則x≤emx即m≥lnxx在x>0上恒成立；令t(x)=t'(x)=0，解得x=e，所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí)，當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí)，t'所以x=e時(shí)，t(x)取得最大值，tmax(x)=t(e)=1因?yàn)?e=1e，1>1故選：ACD.【分析】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題.根據(jù)已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xlnx≤emx?ln(emx)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx(x>0)，xlnx≤emx?ln(12．【答案】8【解析】【解答】解：若從國(guó)產(chǎn)品牌購(gòu)買，則有5種不同的選法，若從國(guó)外品牌購(gòu)買，則有3種不同的選法，所以不同的選法種數(shù)為5+3=8種.故答案為：8.【分析】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理.先求出從國(guó)產(chǎn)品牌購(gòu)買和從國(guó)外品牌購(gòu)買的選法，再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可求出答案.13．【答案】1【解析】【解答】解：a1=2，a2=5，a3=3，a4a8=1，a9=1，可知{a則a2023=a7+672×3=故答案為：1【分析】本題考查數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性.先利用數(shù)列的遞推公式求出a3至a14．【答案】555；【解析】【解答】解：由題知，圓心為O(0,0)，半徑r=1，圓心到直線y=1因?yàn)椤鱌MO為直角三角形，且PM⊥MO，所以|PM|=|PO|當(dāng)且僅當(dāng)PO與直線x?2y?4=0垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以|PM|的最小值為555設(shè)P(x0,以點(diǎn)P為圓心，|PM|為半徑的圓的方程為(x?x即x2將圓P的方程與x2+y2=1因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0即xx0+y(由x+12y=0?2y?1=0，解得x=1故答案為：555；(【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系.先求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式可推出|PM|=|PO|2?r2≥d2?1，利用圓切線的性質(zhì)可求出|PM|的最小值；先寫出以點(diǎn)P為圓心，|PM|為半徑的圓的方程，與圓的方程：x15．【答案】（1）解：由Sn+1?3S兩式相減，得an+1?3a因?yàn)閍1=3，所以(a1+所以{an}（2）解：因?yàn)閍n=3因?yàn)門n所以3T兩式相減，得?2T所以T【解析】【分析】本題考查an、Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

（1）根據(jù)題目式子寫出前一個(gè)式子可得：Sn?3S（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得：an?log316．【答案】（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=2，則D(0,0,0)，B(2,DB=(2,2,0)∵DB?EG=0，DC1?∵DB∩DC1=D，∴EG⊥（2）解：由（1）可知平面BC1D易得F(2,1,0)，設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y取x=1，則y=?2，z=3，得平面DEF的一個(gè)法向量為n=(1∴平面BC1D【解析】【分析】本題考查利用空間向量證明直線與平面垂直，利用空間向量求平面與平面所成的角.

（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，通過(guò)驗(yàn)證可得：DB?EG=0（2）由（1）知平面BC1D17．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=x3?a因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=2處取得極值－2，所以f(2)=8?4a?2b+10=?2f'(2)=12?4a?b=0驗(yàn)證：當(dāng)a=1，b=8時(shí)，f'由f'(x)>0，得x>2或x<?43，由所以f(x)在x=2處取得極小值，滿足題意．（2）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x因?yàn)閒'所以切線方程為y?(x因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以即x03?2x0所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)與曲線y=f(x)相切的切線方程為8x+y?10=0或【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，曲線的切線方程的求法.（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，再根據(jù)題意由點(diǎn)(2,?2)在函數(shù)上和極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零即（2）設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，由導(dǎo)數(shù)的意義可得切線的斜率為18．【答案】（1）解：因?yàn)榻裹c(diǎn)F(p2,0)到準(zhǔn)線所以拋物線C的方程為y（2）解：由題知直線PA的方程為y?m=y化簡(jiǎn)得(y因?yàn)樵c(diǎn)到直線PA的距離為3，所以|3(y所以9(因?yàn)閤0>3，所以化簡(jiǎn)得同理，有(x所以m，n是關(guān)于t的方程(x根據(jù)韋達(dá)定理得m+n=?6y0所以|AB|2因?yàn)閥02=12因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0所以S△PAB令x0則S△PAB因?yàn)棣?+3當(dāng)且僅當(dāng)λ=6時(shí)，等號(hào)成立．所以S△PAB≥372+360+288=365【解析】【分析】本題考查拋物線線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系.（1）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于P，據(jù)此可得p=6，進(jìn)而可求出拋物線C的方程；（2）分別表示出PA,PB的直線方程，利用原點(diǎn)到直線PA，PB的距離均為3，通過(guò)化簡(jiǎn)可得m,n是關(guān)于t的方程(x0?3)t2+6y0t?9(x019．【答案】（1）解：f'當(dāng)a<?1時(shí)，a+1a>0，令f'(x)>0，得x<ln所以f(x)在(?∞,lna+1a當(dāng)?1≤a≤0時(shí)，f'(x)≤0恒成立，所以f(x)在當(dāng)a>0時(shí)．令f'(x)>0，得x>lna+1a所以f(x)在(?∞,lna+1a（2）解：當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閒(0)≤0，所以不滿足f(x)≥0，所以a>0．由（1）知當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(?∞,lna+1a所以f(x)由(a+1)(1?lna+1a)≥0，得即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1（3）證明：令g(x)=ae則g'當(dāng)a≤0時(shí)，令g'(x)>0，得x<0，令g'所以f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,所以g(x)<0恒成立，此時(shí)方程f(x)=e當(dāng)0<a<1時(shí)，令g'(x)>0，得x<0或x>?lna，令所以g(x)在(?∞,0)和(?ln因?yàn)間(?ln所以g(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)=e當(dāng)a=1時(shí)，g'(x)≥0恒成立，所以g(x)在所以g(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，