《線性變換的有理標準型及矩陣的相似不變量分析》4500字（論文）

PAGE14線性變換的有理標準型及矩陣的相似不變量分析目錄TOC\o"1-2"\h\u32133線性變換的有理標準型及矩陣的相似不變量 1266821矩陣的最小多項式 1161441.1基本概念與性質 2132091.2最小多項式求解 3289402線性變換的有理標準型 553753矩陣相似的完全不變量 7194473.1相抵標準型與初等因子 7224103.2域F上矩陣相似的充分必要條件 11摘要：本文將通過研究矩陣最小多項式的不同情形，進而研究線性變換的有理標準型，尋求最簡單的矩陣描述形式，探索空間分解的方法.關鍵詞：最小多項式、有理標準型、矩陣的相似不變量.1矩陣的最小多項式1.1基本概念與性質定義1.1.1假設是域上的線性空間V上的一個線性變換，在的所有非零的零化多項式中，次數(shù)最低的且首項系數(shù)為1的多項式稱為的最小多項式.定義1.1.2假設是域上的一個級矩陣，的所有非零的零化多項式中，次數(shù)最低的且首項系數(shù)為1的多項式稱為矩陣的最小多項式.證明假設是域上的維線性空間V上的一個線性變換，是在V的一個基下的矩陣.因為為的一個零化多項式，當且僅當為的零化多項式，所以，由為的最小多項式，推出也為矩陣的最小多項式.性質1.1.3級矩陣的最小多項式唯一，.性質1.1.4為的一個最小多項式，是的任一零化多項式，特別的，有，.證明必要性假設為的一個零化多項式，做帶余除法，得：用代入上式，則.因為，所以.因此為的一個零化多項式，，所以.充分性假設，存在，使.代入，得.所以為的一個零化多項式.性質1.1.5設為的一個最小多項式，為的特征多項式，則與有相同根（可以有不同重數(shù)）.證明因為，所以的每個根也都為的根.設為的其中一個根，因此為的一個特征值.于是，存在，，使.設，則又因為，則.所以是的一個根.性質1.1.6相似矩陣有相同的最小多項式.證明設為矩陣的最小多項式，為矩陣的最小多項式.因為，可知，可逆.因此，.又由性質1.1.4可知，，同理可得，.又因為與的首項系數(shù)都是1，所以.性質1.1.7設是維線性空間的線性變換，則在中一定存在一組基，使在這組基下的矩陣是Jordan形.1.2最小多項式求解矩陣的最小多項式求解方法多種多樣，通過對以上概念性質的學習，下面主要探討四種基本的求解方法.1.2.1由特征多項式求解最小多項式設是矩陣的所有不同的特征值，，則的特征多項式為由性質1.1.5可知，矩陣的最小多項式一定有下列形式：如果矩陣的特征值是單根，則；如果矩陣的特征多項式，則，其中，是能使的最小次數(shù).1.2.2待定系數(shù)法設是矩陣的最小多項式，且，則可按以下步驟求解：當，對求解；若有解，則；若無解，進行第二步；當，對求解；若有解，則；若無解，進行第三步；當，對求解；若有解，則；若無解，進行下一步；按上述方式循環(huán)，直至求出使矩陣方程成立的為止.1.2.3初等變換法設矩陣的特征矩陣為，則其為一個矩陣，對此特征矩陣進行初等變換（行/列）化為標準型，然后通過求得的標準型，求出矩陣的所有不變因子，則特征矩陣的最后一個不變因子就是矩陣的最小多項式，即.或者也可以先求出特征矩陣的階與階行列式因子，則可求出的最小多項式.1.2.4利用Jordan標準型求解設是矩陣的所有不同的特征值，，則：當為單特征值，為一階Jordan塊；當為矩陣的重特征值，則為以為對角元素的Jordan塊的階數(shù)的和.設為以為對角元素的Jordan塊的最大階數(shù)，則的最小多項式為：又因為當矩陣化為標準型后，每個Jordan塊一一對應于的初等因子，則由性質1.1.7可知的最小多項式就是所有這些初等因子的最小公倍式.2線性變換的有理標準型2.1循環(huán)子空間定義2.1.1假設是域F上的線性空間V上的一個線性變換，若存在，可使線性無關，可以由線性表出，亦或，則可稱是由生成的（強）循環(huán)子空間.定理2.1.2假設是域F上的線性空間V上的一個線性變換,V是一個循環(huán)子空間，當且僅當?shù)淖钚《囗検脚c特征多項式相等.記為.2.2多項式的友矩陣與不變因子定義2.2.1是域F上的一個多項式，則是多項式的友矩陣.定義2.2.2矩陣的標準型，其中的首項系數(shù)為1，且，則主對角線上的所有非零元素稱為矩陣的不變因子.性質2.2.3多項式的友矩陣的特征多項式與最小多項式相等.即性質2.2.4（1）多項式的友矩陣的行列式為.（2）多項式的友矩陣的不變因子是1（個）與.（3）為有理標準型矩陣的不變因子，其中1的個數(shù)為的次數(shù)和減.2.3循環(huán)分解與有理標準型定理2.3.1（循環(huán)分解）設是域上的一個維線性空間，是的線性變換，則：其中，為由生成的非零循環(huán)子空間.注：的最小多項式、特征多項式及的最小零化子，三者相等.定理2.3.2設是域上維線性空間的線性變換，是域上的首一不可約多項式，，是線性變換的最小多項式，是線性變換的特征多項式.若，則該線性空間能分解為個維的循環(huán)子空間的直和，且.則線性空間中存在一個基，使線性變換在此基下的矩陣為：其中，是的友矩陣，則矩陣稱為的一個有理標準型.注：線性變換的有理標準型唯一.2.4有理標準型求解根據(jù)有理標準型的定義，按下列步驟進行求解計算：設是域上的任一階方陣，則：第一步求出方陣的所有不變因子；第二步寫出每個次數(shù)大于零的不變因子所對應的友矩陣；第三步寫出的有理標準型3矩陣相似的完全不變量3.1相抵標準型與初等因子定理3.1.1任一非零級矩陣與一個對角矩陣相抵：若，且所有非0的的首項系數(shù)為1，則稱是的一個相抵標準型，也稱Smith標準型.證明設任一非零級矩陣，，對交換兩行或兩列，使，且次數(shù)最小.（1）若不能整除或，對其作帶余除法：且.將第一列的倍加到第列，交換第1列與第列，使為第1行第1列的元素.同樣的，如果，經過一系列初等變換，使為第1行第1列的元素.于是經過有限次變換后，第1行與第1列中的元素均能被整除.再將變換后的矩陣的第1行（或第1列）的適當倍加到各行（或各列），則可化為（2）對作相同的初等行列變換，則變?yōu)榍?若，作帶余除法：且，重復上述步驟（1）與步驟（2），最終將矩陣化為且，經一系列初等行列變換，.根據(jù)數(shù)學歸納法，最終可得.定理3.1.2設級矩陣，其特征矩陣的相抵標準型為且，，首項系數(shù)都為1；并且，是矩陣的特征多項式.證明利用定理3.1.1，可以知道，因為，所以的相抵標準型的行列式的值為.因此每個，且首項系數(shù)都為1，則.定理得證.定義3.1.3矩陣的所有階非零子式的首一最大公因式記為，稱為的行列式因子.定理3.1.4相抵的矩陣的行列式因子相同.證明即證初等變換不改變矩陣各階行列式因子.設則的階子式是的階子式的線性組合，所以的各個階子式的首一最大公因式可以整除，從而的各個階子式的首一最大公因式可以整除的各個階子式的首一最大公因式.因為初等變換可逆，則同理可得.于是，又因為它們的首項系數(shù)都為1，所以.設則的任一階子式要么等于的某個階子式的倍，要么等于的某個階子式.所以的階子式的首一最大公因式與的階子式的首一最大公因式相等.設則的任一階子式要么等于的某個階子式的倍，要么等于的某個階子式.所以的階子式的首一最大公因式與的階子式的首一最大公因式相等.綜上，定理得證.定義3.1.5級非零矩陣的相抵標準型里主對角線上的非零元稱作的不變因子.定理3.1.6級非零矩陣的相抵標準型唯一.證明根據(jù)定理3.1.1與定理3.1.4，可知的行列式因子與其相抵標準型的行列式因子相同，為于是，的行列式因子決定著其相抵標準型里的不變因子，因此，初等變換也不改變的不變因子.定理得證.綜上，我們可知，兩個矩陣相抵，當且僅當它們的行列式因子組相同，或不變因子組相同.定義3.1.7設級矩陣，若有Jordan標準型，則把中所有Jordan塊的最小多項式稱作的初等因子.因為矩陣的Jordan標準型除Jordan塊的排序外唯一，所以對有Jordan標準型的矩陣來說，其初等因子除排序外也唯一.定義3.1.8設級非零矩陣，將的不變因子中所有次數(shù)大于0的多項式分解為中兩兩互不相等的首項系數(shù)為1的不可約多項式的方冪的乘積，則稱所有這些不可約多項式的方冪（相同的按其出現(xiàn)次數(shù)計算）為的初等因子.定義3.1.9設級矩陣，其特征矩陣的初等因子稱為的初等因子.3.2域F上矩陣相似的充分必要條件定義3.2.1設兩個級矩陣，若存在階可逆矩陣，使，則稱矩陣與相似.命題3.2.2設級矩陣，若都有Jordan標準型，則與相似，當且僅當與有相同的Jordan標準型（除Jordan塊的排序外）.證明設分別為矩陣的Jordan標準型，則有.因此，，則和可以被看做域上維線性空間上的同一線性變換在不同基下的矩陣.所以，和都是線性變換的Jordan標準型，它們除了Jordan塊的排序外都是一樣的.于是，由定義3.1.6與命題3.2.2，可得：命題3.2.3設級矩陣，若都有Jordan標準型，則與相似，當且僅當與有相同的初等因子（除排序外）.因為復數(shù)域（或代數(shù)封閉域）上級矩陣都有Jordan標準型，所以由上述命題3.2.3，可得：推論3.2.4復數(shù)域（代數(shù)封閉域）上兩個級矩陣相似的充要條件為它們有相同的初等因子（除排序外）.于是，在復數(shù)域（或代數(shù)封閉域）上所有級矩陣組成的集合中，初等因子是矩陣相似關系下的一組完全不變量.定理3.2.5相似矩陣的特征多項式相等，相似矩陣的特征值相同.證明設級矩陣，，則存在階可逆矩陣，使.則定理3.2.6設兩個級矩陣相似，當且僅當與相抵.證明必要性設級矩陣，，則存在階可逆矩陣，使，則即可以由經過一系列初等變換得到，所以與相抵.充分性設與相抵，即可以由經過一系列初等變換得到，則存在可逆的矩陣與，使.則.假設存在級矩陣，與域上的級矩陣，使將其代入上述式子，整理上式，得.則：（1）當，式子右邊的矩陣為；（2）當，式子右邊的矩陣為；則左邊方括號里的矩陣應為域上的級矩陣，記為.則整理可得，將代入，得，整理可得，因為是域上得矩陣，所以式子右邊必須為零矩陣，則.于是，矩陣在域上可逆.則，于是，因此，綜上，與相似.定理3.2.7設兩個級矩陣相似，當且僅當它們有相同的不變因子.證明設級矩陣，，則與相抵，所以它們有相同的不變因子.注：的不變因子與其行列式因子互相唯一確定.于是，由兩矩陣,相似可知，它們的不變因子相同，因此，它們的的行列式因子相同.又由初等因子得定義可知，矩陣的不變因子可以唯一確定其初等因子，則初等因子也相同.由此可得，特征多項式、矩陣的秩、特征值、最小多項式都是矩陣相似的完全不變量.在域上由所有級矩陣組成的集合里，不變因子、行列式因子以及初等因子都是相似關系下的幾組完全不變量.參考文獻[1]丘維聲.高等代數(shù)（上冊）[M].北京：清華大學出版社，2010.[2]陳影影.最小多項式的性質及應用[J].當代教育實踐與教學研究，2020(05)：165-166.[3]安軍.最小多項式的一個重要性質的多種證法及應用[J].高等數(shù)學研究，2020，23(01)：111-114.[4]馮福存.矩陣的最小多項式的求解及其應用[J].寧夏師范學院學報，2017，38(06)：28-32.[5]譚玉明.特征多項式與最小多項式相等的充要條件及其應用[J].滁州學院學報，2010，12(05)：1-3.[6]魏洪增.矩陣理論與方法[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005．

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