2025年蘇科版九年級數(shù)學(xué)寒假專練：等可能條件下的概率（解析版）

專題06等可能條件下的概率

嫌內(nèi)容早知道

G第一層鞏固提升練（6大題型）

目錄

題型一等可能性事件............................................................................1

題型二根據(jù)概率公式計算概率...................................................................3

題型三幾何概率................................................................................4

題型四列舉法求概率............................................................................6

題型五列表法或樹狀圖法求概率.................................................................8

題型六概率的應(yīng)用.............................................................................10

3第二層能力提升練

--------CHlhO"?"?--------

題型一等可能性事件

☆技巧積累與運用

一般地，設(shè)一個試驗的所有可能發(fā)生的結(jié)果有〃個，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗有且只有其中的一個

結(jié)果出現(xiàn).如果每個結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等，那么我們說這〃個事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個試驗的結(jié)

果具有等可能性.

例題：（2024九年級?全國?競賽）在一個不透明的盒子中有20個不同顏色的玻璃球，其中白色玻璃球有9

個，黑色玻璃球有6個，紅色玻璃球有5個.現(xiàn)從中任取10個玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2個但

不多于8個，黑色玻璃球至多3個，紅色玻璃球不少于2個，那么上述取法共有（）

A.19種B.18種C.17種D.16種

【答案】D

【分析】本題考查列舉法（樹狀圖法）.利用樹狀圖法首先確定紅球的個數(shù)，然后確定黑球的個數(shù)，最后

確定對應(yīng)的白球的個數(shù)即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：

紅球的個數(shù)

黑球的個數(shù)

白球的個數(shù)87657654

則取法的種數(shù)是16.

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級下?河北衡水?期中）在一次數(shù)學(xué)活動課上，某數(shù)學(xué)老師將1~10共十個整數(shù)依次寫在十張

不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個數(shù)字，每一個數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝

下），他先像洗撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同學(xué)叫到講臺上，隨機(jī)

地發(fā)給每位同學(xué)兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，寫出的結(jié)果依

次是：甲：7；乙：12；丙：17；T：3；戊：16根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）

A.戊同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和7

B.丙同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和8

C.乙同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是4和8

D.甲同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是2和5

【答案】B

【分析】正確的推理判斷即可求解.

【詳解】解：因為丁同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和是3,所以丁拿的卡片只能是1和2,則甲同學(xué)手

里拿的就只能是3和4.

如果戊同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和7,

則乙同學(xué)拿的就是6和6,因為不能重復(fù)，所以“是錯誤的；

如果丙同學(xué)拿的是9和8,則乙同學(xué)拿的是5和7,戊同學(xué)拿的就是10和6,符合數(shù)學(xué)的演繹推理，是正確

的.

根據(jù)數(shù)學(xué)選擇題的四選一原則，就選艮

故選：B.

【點睛】本題考查數(shù)學(xué)演繹推理，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行正確的演繹推理是解決本題的關(guān)鍵，

2.（2021?遼寧沈陽?中考真題）下列說法正確的是（）

4.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)一定是奇數(shù)

氏"從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王"是必然事件

C.了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，s甲2=0.3,s/=0.02,則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

【答案】C

【分析】依據(jù)隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)不一定是奇數(shù)，故原說法錯誤，不合題意；

B.“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是隨機(jī)事件，故原說法錯誤，不合題意；

C.了解一批冰箱的使用壽命，適合采用抽樣調(diào)查的方式，說法正確，符合題意；

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，s看=0.3,s2=0.02,則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故原說法錯誤，不合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個

量.方差越大，則各數(shù)據(jù)與平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越

小，穩(wěn)定性越好.

犀型二根據(jù)概率公式計算概率

☆技巧積累與運用

一般地，如果一個試驗有〃個等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的加個結(jié)果之一出現(xiàn)時，事件N發(fā)生，那么事件

/發(fā)生的概率PC4）=—（其中機(jī)是指事件/發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，〃是指所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果

n

數(shù)）.

麗九年級上?山西臨汾?階段練習(xí)）在寒假到來之際，王強(qiáng)計劃從平遙古城、皇城相府、壺口瀑

布、雁門關(guān)四個旅游景點中任意選擇一個去游玩.如圖，他將這四個旅游景點的圖片制作成四張卡片（除

內(nèi)容外，其余完全相同）.并將這四張卡片背面朝上，洗勻后隨機(jī)抽取一張，恰好抽到平遙古城的概率為

()

平遙古城皇城相府壺口瀑布雁門關(guān)

【答案】C

【分析】本題考查了簡單的概率計算.熟練掌握簡單的概率計算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)簡單的概率計算公式求解作答即可.

【詳解】解：由題意知，恰好抽到平遙古城的概率為;,

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?福建三明?期中）不透明的袋子中裝有1個紅球和3個黃球，這兩種球除顏色外無其他

差別，從中隨機(jī)摸出一個小球，摸到黃球的概率是（）

11「23

A.—B.-C.—D.一

3234

【答案】D

【分析】本題考查的是概率公式，熟知隨機(jī)事件A的概率尸（4）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)與所有可能出現(xiàn)

的結(jié)果數(shù)的商是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)概率計算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???不透明的袋子里裝有1個紅球，3個黃球，

，從袋子中隨機(jī)摸出一個，摸到黃球的概率為三3=［3；

故選：D.

2.（24-25九年級上?山東濟(jì)南?期中）為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，某校開設(shè)了《寫給孩子的數(shù)學(xué)之美》、《給

孩子的數(shù)學(xué)思維課》和《數(shù)學(xué)家的眼光》3個整本書閱讀項目，甲、乙兩名同學(xué)都通過抽簽的方式從這三個

閱讀項目中隨機(jī)抽取1個，則他們恰好抽到同一個閱讀項目的概率是—.

【答案】|

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關(guān)鍵.列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及他們恰好抽到同一個閱讀項目的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得

出答案.

【詳解】解：將這三個閱讀項目分別記為A,B,C,

列表如下：

ABc

A(44)(40(A,C)

B(8,/)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(GC)

共有9種等可能的結(jié)果，其中他們恰好抽到同一個閱讀項目的結(jié)果有3種,

31

他們恰好抽到同一個閱讀項目的概率為.

故答案為：

題型三幾何概率

☆技巧積累與運用

利用陰影部分的面積比上總面積，計算概率

例題：（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）一只小狗在如圖的方磚上走來走去，最終停在陰影方磚上的概率是

【答案】B

【分析】本題考查了概率的計算，熟練掌握概率的計算公式是解題的關(guān)鍵.結(jié)合圖形可得一共有15塊方磚,

陰影方磚有5塊，利用概率的計算公式即可解答.

【詳解】解：由圖可得，一共有3x5=15塊方磚，陰影方磚有5塊，

???停在陰影方磚上的概率P=A=；.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖是一個飛鏢游戲板，大圓的直徑把一組同心圓分成四等份，假設(shè)

飛鏢擊中圓面上每一個點都是等可能的，則飛鏢落在黑色區(qū)域的概率是（）

【答案】A

【分析】本題考查了幾何概率.兩個同心圓被均分成四等份，飛鏢落在每一個區(qū)域的機(jī)會是均等的，且黑

色區(qū)域的面積等于白色區(qū)域的面積，利用幾何概率的計算方法解答即可.

【詳解】解：因為兩個同心圓等分成四等份，飛鏢落在每一個區(qū)域的機(jī)會是均等的，其中黑色區(qū)域的面積

與白色區(qū)域的面積相等，

所以P（飛鏢落在黑色區(qū)域）=；.

故選：A.

2.（24-25九年級上?全國?期末）如圖，在口4BCD中，AC.BD交于點、O,直線E尸過。點，交CD、AB

于點￡、F.若向口48CD內(nèi)丟一顆小石子，則小石子落在陰影部分的概率是

【答案】-/0.25

4

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，幾何概率問題，用到的知識點為：概

率=相應(yīng)的面積與總面積之比.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得△。成＞四△OFB,則陰影部分面積等于△048的面

積，即為平行四邊形面積的;，然后根據(jù)幾何概率的意義求解.

【詳解】解：???平行四邊形/BCD中，對角線4C、相交于點O,

：.OD=OB,ZEDO=ZFBO,

??.ZEOD=ZFOB,

小OEDaOFB（ASA）,

S&ODE=SQBF，

???陰影部分面積等于△0/8的面積，即為平行四邊形面積的;,

???小石子落在陰影部分的概率是:.

故答案為：

題型四列舉法求概率

☆技巧積累與運用

當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，

通常采用列舉法.

例題：（2024?浙江?模擬預(yù)測）編號為1,2,3,4的四位同學(xué)隨機(jī)地坐到編號為1,2,3,4的四個位置上,

其中沒有一對編號相同的概率為（）

113

A.—B.—C.~D.—

12848

【答案】D

【分析】本題考查的是用列舉法求概率.找出總情況數(shù)及所有所求情況數(shù)即可求解.理解并掌握概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】以（。,仇c,d）表示編號為0,b,c,d的同學(xué)依次坐在第1,2,3,4這四個位置上.共有以下24

種坐法.

(1,2,3,4)(1,2,4,3)(1,3,2,4)(1,3,4,2)(1,4,2,3)(1,4,3,2)

(2,1,3,4)(2,1,4,3)(2,3,1,4)(2,3,4,1)(2,4,1,3)(2,4,3,1)

(3,1,2,4)(3,1,4,2)(3,2,1,4)(3,2,4,1)(3,4,1,2)(3,4,2,1)

(4,1,2,3)(4,1,3,2)(4,2,1,3)(4,2,34)(4,3,1,2)(4,3,2,1)

沒有一對編號相同的情況有9種：(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1).所以所求概率為三9二3，

248

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測)2024年“甲骨文杯"安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設(shè)全程馬拉松、半程

馬拉松和歡樂跑項目.現(xiàn)從這三個項目中隨機(jī)選擇兩項進(jìn)行推廣，則選到歡樂跑項目的概率是()

A.—B.—C.JD.—

6323

【答案】B

【分析】本題主要考查了用列舉法求概率，通過列舉找出共有的選擇數(shù)量，然后再選出選到歡樂跑項目的

數(shù)量，然后根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：從這三個項目中隨機(jī)選擇兩項進(jìn)行推廣，則有①全程馬拉松、半程馬拉松；②全程馬拉松，

歡樂跑項目；③半程馬拉松，歡樂跑項目一共3種選擇，

其中選到歡樂跑項目有2種選項，

2

故選到歡樂跑項目的概率是：-

故選：B.

2.(24-25九年級上?河南焦作?期中)小穎有紅、黃、藍(lán)三支彩筆，這三支彩筆的筆桿與筆帽的顏色一致,

完成繪畫后她隨機(jī)將三個筆帽蓋在筆桿上，每個筆帽與筆桿的顏色都不匹配的概率為—.

【答案】|

【分析】本題考查了用列舉法求概率.列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配

的結(jié)果，利用概率公式計算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得，共有6種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍(lán)藍(lán)；紅紅，藍(lán)黃，黃藍(lán)；黃紅，紅黃，藍(lán)藍(lán)；黃

紅，藍(lán)黃，紅藍(lán)；藍(lán)紅，紅黃，黃藍(lán)；藍(lán)紅，黃黃，紅藍(lán)；

其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有2種結(jié)果，

21

??.每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是二=二，

故答案為：—

題型五列表法或樹狀圖法求概率

☆技巧積累與運用

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和

方式，并求出概率的方法.

樹狀圖

當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱

樹形圖、樹圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次

數(shù)和方式，并求出概率的方法.

例題：（24-25九年級上?山西運城?期中）經(jīng)過某路口的汽車，可能直行，也可能左拐或右拐.假設(shè)這三種

可能性相同，現(xiàn)有兩輛車經(jīng)過該路口，求至少有一輛車直行的概率為（）

1353

A.-B.—C.-D.—

35910

【答案】c

【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出至少有一

輛車直行的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩輛車均直行的結(jié)果有1種，只有一輛車直行的結(jié)果有4種,

可知至少有一輛車直行的結(jié)果有5種，概率為g,

故選C.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上,廣東深圳?階段練習(xí)）通常情況下酚酬遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅

色.一次化學(xué)課上，學(xué)生用酚酸溶液檢測四瓶標(biāo)簽被污染無法分辨的無色溶液的酸堿性.已知四瓶溶液分

別是/：鹽酸（呈酸性），B：硝酸鉀溶液（呈中性），C：氫氧化鈉溶液（呈堿性），D-.氫氧化鉀溶液

（呈堿性）.小周將任選的兩瓶溶液滴入酚酥溶液進(jìn)行檢測，則兩瓶溶液恰好都變紅色的概率是.

【答案】|

6

【分析】本題考查了列表法求概率，根據(jù)列表可得共有12種等可能的結(jié)果，其中兩瓶溶液恰好都變紅色的

結(jié)果有：（C,D）,（D,C）,共2種，進(jìn)而根據(jù)概率公式計算即可求解.

【詳解】解：列表如下：

ABcD

A(4切(A,C)（4。）

B(民/)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)（C。）

D(。⑷(D,B)(AC)

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩瓶溶液恰好都變紅色的結(jié)果有：共2種，

21

二兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為G.

1276

故答案為：—.

6

2.（2025?甘肅?模擬預(yù)測）甘肅歷史跨越八千余年，是中華民族和華夏文明的重要發(fā)祥地之一，也是中醫(yī)

藥學(xué)的發(fā)祥地之一，被譽為"河岳根源、羲軒桑梓”.李老師為了讓學(xué)生深入地了解甘肅文化，將正面印有“黃

河文化""邊塞文化""根祖文化”"紅色文化”的4張卡片背面朝上放在桌面上（這4張卡片除正面外，其他完全

相同），邀請小甘上講臺隨機(jī)抽取1張卡片，并向大家介紹卡片上相對應(yīng)的文化內(nèi)容.

黃河文化邊塞文化根祖文化紅色文化

⑴求小甘從中隨機(jī)抽取到的卡片上印有"根祖文化”的概率;

⑵若小甘先上講臺，從4張卡片中隨機(jī)抽取1張（放回重新排列），小肅后上講臺，也從4張卡片中隨機(jī)

抽取1張，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小甘、小肅兩人至少有一人抽中"黃河文化”的概率.

【答案】⑴:

【分析】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，

適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況

數(shù)與總情況數(shù)之比.

（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可.

【詳解】（1）小甘從中隨機(jī)抽取到的卡片上印有"根祖文化"的概率為:;

（2）將印有"黃河文化""邊塞文化""根祖文化〃"紅色文化"的卡片分別記作4B,C,D,列表如下:

小肅小甘ABcD

A[A,A)(A,B)(A,C)(4D)

B(B,A)(B,B)(B,C)仍，D）

C(C,A)(C,B)(C,C)(C，D)

D(D,A){D,B](D,C)①,D)

由上表可知，一共有16種等可能的情況，其中小甘、小肅兩人至少有一人抽中"黃河文化”的情況有7種,

7

二小廿、小肅兩人至少有一人抽中"黃河文化”的概率為二.

題型六概率的應(yīng)用

☆技巧積累與運用

游戲的公平性轉(zhuǎn)盤抽獎中計算概率是否相等來判定

例題：（2024,湖南長沙?模擬預(yù)測）"交通文明，讓長沙與我一起白頭偕老自長沙開展"文明城市創(chuàng)建"以

來，我市學(xué)生更加自覺遵守交通規(guī)則.某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時都要經(jīng)過一個路口，該路口有紅、

黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到綠燈的概率為:，遇到黃燈的概率為那么他遇到紅燈的概率為

210

（）

A.yB.-C.-D.-

2355

【答案】C

【分析】本題主要考查了概率的應(yīng)用.掌握事件的所有情況的概率之和為1成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)事件的所有情況的概率之和為1解答即可.

【詳解】解：???他在路口遇到綠燈的概率為:，遇到黃燈的概率為1,

210

112

.?他遇到綠燈的概率是：1