2025年上海崇明區(qū)高三一模高考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

高三數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂(選擇題)或?qū)?非選擇題)

在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼等相關(guān)信息.

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，其中1?6題每題4分，7?12題每題5分)

【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1

1.已知集合/={1,2,3,4,5},8={無|尤>有},則/口2=.

2.不等式三二L<0的解為________.

2x+l

3.若復(fù)數(shù)z滿足2z+』=l+i,其中i是虛數(shù)單位，貝!Jz=.

4.(x-1)’的二項(xiàng)展開式中/的系數(shù)為.

5.雙曲線X?-匕=1的漸近線方程是

4

6.已知為正實(shí)數(shù)，且滿足4x+y=40,則xj的最大值是.

7.已知萬=(1,2),3=(2,左)，如果則實(shí)數(shù)左的值為.

8.已知"X)=2:1，X：:，關(guān)于x的方程“X)=2的解x=_________.

x-l,xW1.

9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1,2,3)關(guān)于xOv平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

10.某校四個(gè)植樹小隊(duì)，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為10,尤,10,8,若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

和平均數(shù)相等，那么.

11.已知/'(x)=4sin10x+|^(/>O,0>O),若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[0,2加上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

和1個(gè)極小值點(diǎn)，則①的取值范圍是.

12.已知函數(shù)了=/(X)的定義域。=[1,2,3,4},值域/={5,6,7},則函數(shù)y=/(無)為增函數(shù)的

概率是.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，其中13?14題每題4分，15?16題每題5分)

【每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，

否則一律得零分.1

13.下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是

A.y=x3B.y=exC.>=lgxD.y=sinx

14.已知直線/和平面a,則“/垂直于平面a內(nèi)的兩條直線”是“/_La”的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

15.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，

用了表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用(元,乃表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件E：x+y=8；事件尸：至少

有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件G:x>4；事件":y<4.則下列說法正確的是

A.事件￡與事件尸為互斥事件B.事件9與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨(dú)立D.事件G與事件X相互獨(dú)立

16.己知無窮數(shù)列｛%｝,若存在數(shù)列｛4｝滿足對(duì)任意正整數(shù)"，都有(%-4)(％+「則

稱數(shù)列｛0｝是｛%｝的交錯(cuò)數(shù)列.有下列兩個(gè)命題：①對(duì)任意給定的等差數(shù)列｛%｝,不存在

等差數(shù)列｛〃｝,使得｛〃｝是｛%｝的交錯(cuò)數(shù)列；②對(duì)任意給定的等比數(shù)列｛%｝,都存在等比

數(shù)列｛"｝，使得｛包｝是｛與｝的交錯(cuò)數(shù)列.下列結(jié)論正確的是

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)

【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】

17.(本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第(1)小題滿分7分，第⑵小題滿分7分)

如圖，在直三棱柱/3。一44。|中，E、9分別為4G、8C的中點(diǎn)，AA.=AB=BC=2

C^FIAB.

(1)求證：G尸〃平面4BE；

(2)求點(diǎn)C到平面/8E的距離.

B

18.(本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第⑴小題滿分6分，第⑵小題滿分8分)

在△4BC中，已知點(diǎn)。是3c邊上一點(diǎn)，且3。=1,CD=3.

(1)若MZABD=2ZACD,求的長(zhǎng)；

(2)若乙婚。=55。，ZACD=32°,求/。的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.01).

19.(本題滿分14分，本題共有3個(gè)小題，第(1)小題滿分4分，第⑵小題滿分4分，第(3)小題

滿分6分)

王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試(滿分100分)成績(jī)分成5組，繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖，現(xiàn)將［50,60)記作第一組，［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］分別記

作第二、三、四、五組.已知第一組、第二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

(1)估計(jì)此次考試成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替)；

(2)王老師將測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0,90)和［90,100］內(nèi)的試卷進(jìn)行分析，再?gòu)闹羞x2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀

答卷展示，求被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在［90,100］內(nèi)的概率；

(3)已知第二組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為65和40,第四組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分

別為83和70,據(jù)此計(jì)算第二組和第四組所有學(xué)生成績(jī)的方差.

A頻率/組距

0.045-----------------

b---T—

0.020----------------------

__“彳-!~I?一卜T一~I,

O5060708090100成績(jī)(分)

20.(本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題

滿分8分)

22

已知橢圓「￡+(=1,點(diǎn)耳、a分別是橢圓的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線/與橢圓

交于/、2兩點(diǎn).

(1)若直線/平行于x軸，求線段的長(zhǎng)；

..._______Q

(2)若點(diǎn)/在y軸左側(cè)，且耳/=求直線/的方程；

(3)已知橢圓上的點(diǎn)C滿足|C4|=|CB|,是否存在直線/使得△4BC的重心在x軸上？

若存在，請(qǐng)求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題

滿分8分)

定義：若曲線G和曲線有公共點(diǎn)尸，且曲線G在點(diǎn)P處的切線與曲線在點(diǎn)P處的切

線重合，則稱G與G在點(diǎn)尸處“一線切”?

(1)已知圓(工-0)2+/=/&>0)與曲線了=/在點(diǎn)(i,i)處“一線切，，，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)設(shè)/(無)=/+2方+。，g(x)=ln(x+l),若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在點(diǎn)尸處，一線切”,

求實(shí)數(shù)。的值；

(3)定義在R上的函數(shù)歹=/(無)的圖像為連續(xù)曲線，函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(無)，

［廣（龍）|河/（尤）|,

對(duì)任意的xcR,都有<成立.是否存在點(diǎn)P使得曲線V=/Wsinx和

.|/U）|<V2

曲線>=1在點(diǎn)尸處''一線切吆若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(高中數(shù)學(xué))

一、填空題

1.{3,4,5)；2.(—―,1)；3.—+i；4.35；5.y—i2x；6.100；

7.4；8.log23；9.(1,2,—3)；10.8或12；11.,—)；12..

二、選擇題

13.A；14.B；15.D；16.C.

三、解答題

17.(1)解取Z8中點(diǎn)G,連接RG,則EG〃-AC,................2分

=2

又^AC,所以EG〃GE,.......................................4分

所以四邊形EGEG是平行四邊形，所以G/〃EG,........................5分

又EG在平面4aE■內(nèi)，C/不在平面48E內(nèi)，所以C/〃平面45E；........7分

(2)取ZC中點(diǎn)連接E"、BH,則￡打，平面N3C,所以EH,

由題意仍=指，同理"=指，又AB=2,所以S4/BC=6，................2分

因?yàn)镚CL平面NBC,CXFVAB,由三垂線定理得C3L48,所以5仆4=2，..…4分

設(shè)點(diǎn)C到平面ABE的距離為h,

由「C-ABE=/-ABC得］AABE,"=)*^A^C'EH

所以力=迪，即點(diǎn)C到平面的距離為迪

..............................7分

55

A7)AF)

18.解(1)因?yàn)樗詔anNNBD=——，tanZACD=——

13

2tanNZCD

又NABD=2ZACD,所以tan/AaO=..............4分

l-tan2Z^CD

cAD

2x---

即AD=3解得百..................6分

1-1產(chǎn)

3

BCZC

(2)在△/BC中，由正弦定理得

sinZBACsinZABC

BC-sinZABC…，

所以AC=--------------h3.281,4分

smABAC

在△/CD中，由余弦定理得

AD=AC1+DC1-2ACDC-cosZACD?1.75...........8分

10。+106=0.3,a=0.005,

19.解(1)由題意得＜解得〈

10（0.045+0.020+（/）=0.7b=0.025.

所以平均數(shù)等于55x0.05+65x0.25+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74.5....4分

(2)由題意，［80,90)內(nèi)有8人，［90,100］內(nèi)有2人

所以被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在［90,100］內(nèi)的概率

為W

..........4分

(3)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為耳兀,由題意，第二組、第四組分別有10

人和8人，所以成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的平均數(shù)元=竺二空警=73

10+8

成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差

110_8_1f10——_8—__

2=x22

SwEGt-尤>+E(^-)]=-nE[(西-尤i)+(占-x)?+￡[(jy-x2)+(x2-x)]

1az=iy=i1X[[/=1j=l

:x[40+（65—73）1+：x[70+（83一73）1=一■

故估計(jì)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差是學(xué)................6分

20.解(1)由題意，片(0,-1)、7^(1,0),所以直線/的方程是y=l,

2v23

代入:v+j=1中，得》=±5,所以|Z8|=3...........................................4分

(2)設(shè)＜0),則即=(%,4+1),項(xiàng)=(%,%-1)

—■—■,9

所以//.乙/=%-+(%+1)8。_i)=a，

22［3

又江+江=1,所以「°=-5'所以/點(diǎn)坐標(biāo)是(—2』)或(―士—1)...................4分

43.22

Uo=±L1

4

所以直線/的方程是y=l或y=§x+l..........................................6分

22

(3)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=Ax+l,代入亍+1~=1中，得

(3+442)+6-9=0

設(shè)」(七,必)、B(x2,y2),C(x3,j3)

-6k-3k4

則國(guó)+》2=「一，所以48中點(diǎn)一一）

123k2+43左2+43左2+4

又△NBC的重心在x軸上，所以必+場(chǎng)+匕=。

8

即左(X]+/)+2+%=0，故為=-77^~A.......4分

3/C-I'I

因?yàn)閨。|=|。引，所以MCL48

/3k4

所以標(biāo)—(x-1---7---，%一＞區(qū)一%2，%一%）

33產(chǎn)+433左2+4

3k4

=區(qū)+>(再-々)(1,左)=0

3/+443-342+4

9左9k8

因?yàn)閄]-％70,所以x，所以。（3+4左2'-3A?+4)

33+4公

（8y（9ky

因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以3F+4+3+4/=],解得比=0或左=±也………6分

433

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,此時(shí)2、8恰為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)C為短軸頂點(diǎn),

滿足題意.

綜上所述，存在直線/使得△ABC的重心在x軸上，

V3

其方程為：y=土號(hào)x+1或y=l或x=0.....................8分

21.?（1）y'=2x,所以曲線y=/在點(diǎn)（1/）處的切線方程為了―l=2（x—