2025年蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專練：一元一次方程的解法（解析版）

專題05一元一次方程的解法

嫌內(nèi)容早知道

今第一層鞏固提升練（9大題型）

目錄

題型一等式的基本性質(zhì)..........................................................................1

題型二一元一次方程的定義.....................................................................2

題型三已知方程的解求字母或代數(shù)式的值.........................................................4

題型四解一元一次方程..........................................................................5

題型五解一元一次方程錯(cuò)解復(fù)原問題.............................................................7

題型六已知含參數(shù)一元一次方程的解為整數(shù)解求參數(shù)的值.........................................10

題型七已知含參數(shù)一元一次方程的解求另一元一次方程的解.......................................11

題型八一元一次方程中與運(yùn)算有關(guān)的新定義型問題...............................................14

題型九解一元一次方程中的新定義型拓展問題...................................................15

。第二層能力提升練

臺(tái)第三層拓展突破練

-------------------------------------------------------------------------

題型一等式的基本性質(zhì)

☆技巧積累與運(yùn)用

等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果a=6,那么a土c=6土c.

等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個(gè)數(shù)或式（除數(shù)不能為零），所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果。=6,那么ac=6c,或區(qū)=2（＜;/0）.

CC

等式的傳遞性如果a=6、b=c,那么a=c。

例題:（23-24七年級(jí)上?廣西百色?期末）下列等式變形正確的是（）

A,若a=6,貝i|a+3=6+2B.若苫=了，貝！|x-2=2-y

若r=R,貝lj=2乃RD.若a=b,則色=2

C.

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等式的基本性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：A.若4=b,則a+3=6+3,故/不符合題意；

B.若％=九則x-2=y-2,故8不符合題意；

C.若廠=R,貝1]2"=2萬/?,故C符合題意；

D.若。=6,且c/0,則3=2,故。不符合題意；

CC

故選：C

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級(jí)上?貴州黔東南?期末）下列變形正確的是（）

ab

A.若。=b—1,貝！J〃一l=bB.若一=一，貝！=J

1y

Yx

C.若±1X=3,則x=±3D.若3+1=3-土，則x+l=6-x

2222

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)

【分析】本題考查等式的基本性質(zhì)，利用等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟練掌握等式的基本性

質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：4、若。=6-1,貝3+1=6,選項(xiàng)中的變形錯(cuò)誤，不符合題意；

B、若色=2,則改=砂，選項(xiàng)中的變形錯(cuò)誤，不符合題意；

xy

C、若gx=3,則尤=6,選項(xiàng)中的變形錯(cuò)誤，不符合題意；

x

D、若JY--I-1=3-：，則x+l=6-x,選項(xiàng)中的變形正確，符合題意；

22

故選：D.

2.（23-24七年級(jí)上?安徽阜陽?期末）下列說法正確的是（）

A.若/=〃，貝丘二方B.若◎=即，則"一1=0+1

C.若a=b,則,,二:'D.若x=y,則土=上

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：/、若/=〃，則或。=_人，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、若◎=即，則"原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、若。=6,因?yàn)樘K+i>o,則，=原說法正確，符合題意；

D、若'=y，且機(jī)*0,則二=上,原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

mm

故選c.

題型二一元一次方程的定義

☆技巧積累與運(yùn)用

一元一次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次

方程。

細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：

①只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為1;②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).

例題：（23-24六年級(jí)下?上海嘉定?期末）下列式子屬于一元一次方程的是（）

A.x-5x=UB.3x-5=yC.x2-4=0D.->\

【答案】/

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做

一元一次方程，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：/、x-5x=ll是一元一次方程，符合題意；

B、3x-5=y含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，不符合題意；

C、，-4=0未知數(shù)的次數(shù)不是1,不是一元一次方程，不符合題意；

。、不是方程，不是一元一次方程，不符合題意；

故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1Y

1.（23-24七年級(jí)上?廣東汕頭?期末）已知下列方程：①x-2=—；②0.2x=l；③；=x-3；@x-y=6.

x3

⑤x=0,其中一元一次方程有（）

2個(gè)氏3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義

【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1,一次項(xiàng)系數(shù)

不是0,這是這類題目考查的重點(diǎn).只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元

一次方程.它的一般形式是ax+b=0（。，b是常數(shù)且。/0）.

【詳解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程；

②0.2x=1是一元一次方程；

③：=是一元一次方程；

④x->=6,函數(shù)2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；

⑤x=0是一元一次方程.

一元一次方程有：②③⑤共3個(gè).

故選：B

2.（23-24七年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙,期末）已知（加-1時(shí)4-3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則加的值為一.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于加的方程求解即可得出

答案.

【詳解】解：?.?（〃/-1）--3=0是關(guān)于x的一元一次方程，

7〃-1R0且同=1,

解得：m=—l,

故答案為：-1.

題型三已知方程的解求字母或代數(shù)式的值

☆技巧積累與運(yùn)用

一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根

例題：（23-24七年級(jí)上?浙江金華?期末）已知x=3是方程辦-2=-a+6的解，則。=.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解

【分析】本題考查了方程解的定義，使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.

將尤=3代入原方程，可得出關(guān)于。的一元一次方程，解之即可得出a的值.

【詳解】解：將x=3代入原方程得3a-2=-a+6,

解得：a-2,

■?■a的值為2.

故答案為：2.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級(jí)上?河南洛陽?期末）已知x=2是關(guān)于x的一元一次方程2x+優(yōu)-5=0的解，則%-3=.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解、已知字母的值，求代數(shù)式的值

【分析】本題考查了一元一次方程的解，先把尤=2代入2x+"?-5=0,解得〃?的值，即可作答.

【詳解】解：???xn2是關(guān)于x的一元一次方程2X+〃L5=0的解，

二把元=2代入2x+m-5-0

得2x2+m-5=0

解得m=1

???加一3=1-3=-2

故答案為：-2

2.(23-24七年級(jí)上?江蘇徐州?期末)若x=0.5是關(guān)于x的方程2"-36-5=0的解，則代數(shù)式

3。-9b-10=?

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、方程的解

【分析】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型.將

x=0.5代入原方程即可求出a-3b=5,然后將其整體代入求值.

【詳解】解：將x=0.5代入原方程可得：。-36=5,

.-.3fl-%-10=3(a-36)-10=15-10=5,

故答案為：5

題型四解一元一次方程

☆技巧積累與運(yùn)用

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào),再去中括號(hào),最后去大括號(hào).

(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊.

⑷合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及賞數(shù)項(xiàng)，把方程化為》=6(aW0)的形式.

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=2QW0).

a

⑹檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解；若方程左右兩邊的值丕

相等，則不是方程的解.

例題：(24-25七年級(jí)上.全國(guó).期末)解方程：————

⑴5尤一6=3(龍一4)+2；⑵=2

【答案】⑴x=-2

(2)x=-13

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程(二)一一去括號(hào)、解一元一次方程(三)一一去分母、解一元一次方程(一)

一一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解一元一次方程的步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,即可求出答案；

(2)根據(jù)解一元一次方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,即可求出答案.

【詳解】(1)解：去括號(hào)，得5x-6=3x-12+2,

移項(xiàng)，得5x-3x=-12+2+6，

合并同類項(xiàng)，得2x=-4,

系數(shù)化為1,得x=-2；

（2）去分母，得4（2x-l）-3（3為-5）=24,

去括號(hào)，得8x-4-9x+15=24,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得-x=13,

系數(shù)化為1,得x=-13.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級(jí)上?貴州遵義期末）解下列方程:

⑴3x-4=4x+5；

,、2x-l_2x+l

2------+2=--------.

36

【答案］⑴》=-9

9

⑵「

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）一一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號(hào)、

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

（1）方程移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1,即可求出解；

（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1,即可求出解；

【詳解】（1）解:3x-4=4x+5

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，-x=9

系數(shù)化為1得，x=-9；

2x-l、2x+l

(2)解:-------+2=--------

36

去分母得,2（2x—l）+12=2x+l

去括號(hào)得，4x-2+12=2x+l

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，2x=-9

系數(shù)化為1得，x=

2.（22-23七年級(jí)上?北京西城?期末）解方程:

（1）7%—20=2（3-3x）；

2x-33x-l

(2)+1.

52

【答案】⑴x=2

（2）x=-l

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（二）一一去括號(hào)、解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）

——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解此題的關(guān)鍵.

（1）先去括號(hào)，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1即可得出答案；

（2）先去分母，再去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1即可得出答案.

【詳解】（1）解：去括號(hào)得：7x-20=6-6x,

移項(xiàng)得：7x+6x=6+20,

合并同類項(xiàng)得：13x=26,

系數(shù)化為1得：x=2；

（2）解：去分母得：2（2x-3）=5（3x-l）+10,

去括號(hào)得：4x-6=15x-5+10,

移項(xiàng)得：4x-15x=-5+10+6,

合并同類項(xiàng)得：-Hx=ll,

系數(shù)化為1得：x=-L

題型五解一元一次方程錯(cuò)解復(fù)原問題

☆技巧積累與運(yùn)用

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

（2）去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào),再去中括號(hào),最后去大括號(hào).

（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊.

⑷合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),把方程化為辦=6（aW0）的形式.

（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以耒細(xì)數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=2QWO）.

a

⑹檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解；若方程左右兩邊的值丕

相等，則不是方程的解.

例題：（23-24七年級(jí)上?河南鄭州?期末）下面是小穎解方程f=1的過程：

解:,得4（2x-l）=3（x+2）-12（第一步）

去括號(hào)，得8x-4=3x+6-12（第二步）

移項(xiàng)，得8x-3x=6-12-4（第三步）

合并同類項(xiàng)，得5x=T0（第四步）

方程兩邊同除以5,得x=-2（第五步）

請(qǐng)認(rèn)真閱讀上面的過程，解答下列問題：

⑴以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是，這一步的依據(jù)是；

⑵以上求解步驟中，第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

⑶請(qǐng)寫出正確的解方程過程.

【答案】⑴去分母；等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式

⑵三

2

(3)x=--,過程見解析

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程(三)一一去分母

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等式的基本性質(zhì)解答即可；

(2)根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；

(3)按照解一元一次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是去分母，這一步的依據(jù)是等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù),

所得結(jié)果仍是等式

故答案為：去分母；等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式；

(2)解：以上求解步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

故答案為：三；

(3)解:去分母,得4(2x-l)=3(x+2)-12,

去括號(hào)，得8x-4=3x+6-12,

移項(xiàng)，得8x-3x=6-12+4,

合并同類項(xiàng)，得5x=-2,

系數(shù)化為1,得工=-(.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期末)下面是小明同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

解方程：:-與=1

2o

解：，得3x-(x-2)=6第一步

去括號(hào)，得3x-x+2=6第二步

移項(xiàng)，得3x-x=6+2第三步

合并同類項(xiàng)，得2x=8第四步

方程兩邊同除以2,得x=4第五步

⑴以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是；

⑵以上求解步驟中，第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

⑶請(qǐng)寫出正確解方程的過程.

【答案】⑴去分母

⑵三

⑶見解析

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；

（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；

（3）按照解一元一次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是去分母，

故答案為：去分母；

（2）解：以上求解步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體的錯(cuò)誤是移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，

故答案為：三；

（3）解：3-丫=1

兩邊同乘6得：3x-（x-2）=6￡［，

去括號(hào)得：3x-x+2=6,

移項(xiàng)得：3x-x=6-2,

合并同類項(xiàng)得：2x=4,

兩邊同除以2,得x=2.

2.（23-24七年級(jí)上?貴州黔南?期末）下面是小紅解一元一次方程三匚=牛-2的主要過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀小

紅的解題過程，

解決下列問題.

解:去分母,得：3（x-7）=2（l+x）-2.①

去括號(hào)，得3x-21=2+2x-2.②

移項(xiàng)，得3x-2x=2-2+21.③

合并同類項(xiàng)，得x=21.④

⑴小紅在以上解方程過程中，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)的錯(cuò)誤是.

⑵請(qǐng)寫出正確的解答過程.

【答案】（1）①；漏乘常數(shù)項(xiàng)

⑵見解析

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本題考查了去分母解一元一次方程

（1）根據(jù)解方程的基本步驟，觀察解答即可.

（2）利用去分母法解方程即可.

【詳解】（1）根據(jù)解題步驟，得到第①步錯(cuò)誤；主要錯(cuò)誤是漏乘常數(shù)項(xiàng)，

故答案為：①；漏乘常數(shù)項(xiàng).

去分母，得3（x-7）=2（l+無）-12,

去括號(hào)，得3x-21=2+2x-12,

移項(xiàng)，得3x-2x=2-12+21,

合并同類項(xiàng)，得x=U.

題型六已知含參數(shù)一元一次方程的解為整數(shù)解求參數(shù)的值

☆技巧積累與運(yùn)用

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母⑵去括號(hào)⑶移項(xiàng)⑷合并（5）系數(shù)化為1（6）檢驗(yàn).

例題：（23-24七年級(jí)上?重慶九龍坡?期末）已知關(guān)于x的方程苫-與竺=鼻-1有負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條

件的整數(shù)a的值之和為.

【答案】-5

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程解的綜合應(yīng)用、方程的解

【分析】本題考查一元一次方程的特殊解問題，先解方程，再根據(jù)負(fù)整數(shù)解求解即可得到答案；

【詳解】解：解方程=得，

???方程有負(fù)整數(shù)解，

3+2a等于-1或-2或-3或-6,

59

解得：a=-2或一；或一3或°=一彳，

22

,:a是整數(shù)，

.??滿足條件的整數(shù)a的值之和為：-2+（-3）=-5,

故答案為：-5.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級(jí)上?廣東廣州?期末）已知關(guān)于x的方程2X-6=-MX（加為正整數(shù)）有整數(shù)解，則加的值

為_____

【答案】1或4

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程解的綜合應(yīng)用、方程的解

【分析】本題考查一元一次方程的整數(shù)解問題，先解方程根據(jù)解是整數(shù)求解即可得到答案;

【詳解】解：解方程得，

6

，

x=32Z+m

?.?方程2x-6=-〃zx(加為正整數(shù))有整數(shù)解，

.?.2+%是6的因數(shù)，

???m=1或4,

故答案為：1或4.

2.(23-24七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期末)若關(guān)于x的方程2G=(a+l)x+6的解為正整數(shù)，整數(shù)。的值是.

【答案】2或3或4或7

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程(二)一一去括號(hào)

【分析】首先解方程表示出x的值，然后根據(jù)解為正整數(shù)求解即可.本題主要考查方程的解和解一元一次方

程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

【詳解】解：2ax=(a+l)x+6,

移項(xiàng)得：2ox-(a+l)x=6,

合并同類項(xiàng)得：("l)x=6,

系數(shù)化為1得：X=

???關(guān)于X的方程2ax=(a+l)x+6的解為正整數(shù)，

...》=二為正整數(shù)，

a-v

。一1=1或。-1=2或q-l=3或〃-1=6

。=2或。=3或。=4或Q=7.

故答案為：2或3或4或7

犀型七已知含參數(shù)一元一次方程的解求另一元一次方程的解

☆技巧積累與運(yùn)用

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母⑵去括號(hào)⑶移項(xiàng)⑷合并(5)系數(shù)化為1(6)檢驗(yàn).

Y

例題：(23-24七年級(jí)上?浙江嘉興?期末)已知。為實(shí)數(shù)，關(guān)于1的方程+的解為％=5,則關(guān)

2024

于y的方程^1+0+4048=2024y的解為y=____.

2024

【答案】7

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解

【分析】本題考查了一元一次方程的解，正確掌握轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.兩個(gè)方程形式相似，第一個(gè)方

程3+”2024x的解為x=5,則第二個(gè)方程中歹-2與％對(duì)應(yīng)，可得歹—2=5,可得結(jié)果?

2024

【詳解】解：關(guān)于X的方程z三+a=2024x的解為X=5,

2024

v—2

則—+Q+4048=2024y

2024

+a=2024y-4048=2024（y-2）,

J-2=5,

"=7.

故答案為7

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級(jí)上?江蘇南通?期末）若關(guān)于x的一元一次方程2笠0231x+加=2x-4的解為x=-4,則關(guān)于V

2024

的一元一次方程曷（5-#-機(jī)=14-2y解為了=.

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解

【分析】本題考查了一元一次方程的解，將一元一次方程W（5-y）-"z=14-2y變形可得歹-5=-4是方

2024'/

程施什-5）+加=2（y-5）-4的解，即可得出答案，解題的關(guān)鍵是得出＞-5=-4是方程

竭（了一5）+加=2（廣5）-4的解.

【詳解】解：將一元一次方程而j（5-田-〃?=14-2了變形得：（y_5）+a=2（y-5）-4,

???關(guān)于x的一元一次方程20嬴23x+加=2x-4的解為x=-4,

??.y_5=_4是方程髭（y_5）+m=2（y_5）_4的解，

解得：＞=1，

故答案為：1.

2.（23-24七年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末）定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為2,我們就稱這兩個(gè)方程為“成

雙方程”.例如：方程2x-1=2和21=0為"成雙方程

⑴請(qǐng)判斷方程4x-（尤+5）=1與方程-21-＞=3是否互為"成雙方程"；

Y

⑵若關(guān)于X的方程2+加=0與方程3X-2=X+4互為"成雙方程"，求加的值；

⑶若關(guān)于x的方程焉xT=0與焉x+l=3x+k互為"成雙方程"，求關(guān)于》的方程

貴(y+2)+l=3y+左+6的解.

【答案】⑴不是互為"成雙方程"，理由見解析：

⑶>=-2024.

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解、解一元一次方程(三)一一去分母、一元一次方程解的綜合應(yīng)用

【分析】本題考查方程的解，解一元一次方程.掌握“成雙方程"的定義，是解題的關(guān)鍵.

(1)求出兩個(gè)方程的解，再根據(jù)"成雙方程”的定義，進(jìn)行判斷即可；

(2)求出兩個(gè)方程的解，再根據(jù)"成雙方程”的定義，列出關(guān)于〃?的方程，進(jìn)行求解即可；

(3)先求出焉x-l=0的解，根據(jù)"成雙方程”的定義，得到焉x+l=3x+左的解，進(jìn)而得到

上71V+2)+1=3y+左+6中y+2的值，進(jìn)一步求解即可.

2024

【詳解】(1)解：方程4x-(x+5)=l與方程-2y-y=3不是互為“成雙方程〃；

解4x-(x+5)=l,得：x=2；

解-2歹一尸3,得：歹=-1,

???2—l=lw2,

故方程4》-(》+5)=1與方程-2'-〉=3不是互為"成雙方程"；

V

(2)+m=0,

2

???x=-2m,

3x-2=x+4,

x-3,

Y

???方程7+m=o與方程3x-2=x+4互為”成雙方程〃，

2

???3-2m=2,

1

2

???x=2024,

「方程高無-1=0與焉X+1=3x+上互為"成雙方程”,

20242024

x+l=3x+k的解為2-2024=-2022,

2024

?.?^^(>+2)+1=3>+左+6=3(>+2)+左,

y+2=—2022,

.?)=—2024.

題型八一元一次方程中與運(yùn)算有關(guān)的新定義型問題

☆技巧積累與運(yùn)用

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母⑵去括號(hào)⑶移項(xiàng)⑷合并(5)系數(shù)化為1(6)檢驗(yàn).

例題：(23-24七年級(jí)上?寧夏銀川?期末)定義一種新運(yùn)算"°食，”的含義為：a^b=-2a+b.例如：

3^(-4)=-2x3+(-4)=-10,若(3x-7)^(3-2x)=2,則x的值為.

【答案】v

O

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程解的綜合應(yīng)用

【分析】已知等式利用題中新定義化簡(jiǎn)，整理即可求出X的值.

本題考查新定義運(yùn)算及解一元一次方程算，解題關(guān)鍵是弄清題中的新定義.

【詳解】解：5☆6=-2。+6,

(3x-7悶3-2x)=-2(3x-7)+(3-2x)=2,

整理得：-6x+14+3-2x=2,

解得：x=

O

故答案為：--.

O

【變式訓(xùn)練】

加+〃(加之0)

；■\若工※(-8)=5,貝！Jx=_

(m-n(m<0)一

【答案】13或-3

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程解的綜合應(yīng)用

【分析】本題主要考查了在新定義下解一元一次方程，根據(jù)新定義分情況：當(dāng)xNO和x<0時(shí)解題即可求出

x值.

【詳解】當(dāng)時(shí)，無※(-8)=》+(-8)=5,

解得：x=13,

當(dāng)無<0時(shí)，x※(-8)=x-(-8)=5,

解得：x=-3.

故答案為：13或-3.

2.(23-24七年級(jí)上?貴州畢節(jié),期末)對(duì)于任意有理數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算:a*b——a+—,等式右邊是

b

通常的加法、減法運(yùn)算，如：2*；=-2+3=1.

⑴求(-3)*2的值；

⑵若(2勿)*1=機(jī)*5,求機(jī)的值.

7

【答案】⑴]

(2)?

【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)、一元一次方程解的綜合應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于理解新定義.

(1)根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算，一個(gè)變負(fù)數(shù)，一個(gè)變倒數(shù)計(jì)算即可，

(2)首先根據(jù)新定義分別表示出等號(hào)兩邊的，然后在求出m即可；

【詳解】(1),?*b=—a+—

（2）（2m）*l=-（2m）+l=l-2m,m*5=-m+,

1cI

/.I—2m=—m+—

5

4

:.m=—.

5

題型九解一元一次方程中的新定義型拓展問題

☆技巧積累與運(yùn)用

解一元一次方程的一般步驟：

(I)去分母⑵去括號(hào)⑶移項(xiàng)(4)合并(5)系數(shù)化為I(6)檢驗(yàn).

例題：(23-24七年級(jí)上?湖北孝感?期末)定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為2,我們就稱這兩個(gè)方程

為”和諧方程〃.例如：方程2x—7=3和x+3=0為〃和諧方程〃.

⑴方程3x-(x+5)=l與方程尸2歹=1是，，和諧方程〃嗎？請(qǐng)說明理由；

Y

⑵若關(guān)于X的方程3x-4=x+6與方程彳+加=0是"和諧方程”，求加的值；

⑶若關(guān)于X方程2x-〃+3=0與x+5〃-l=0是"和諧方程"，求〃的值.

【答案】(1)是“和諧方程"，理由見解析

3

(2)^=-

⑶〃=1

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程(二)一一去括號(hào)

【分析】本題以新定義題型為背景，考查了一元一次方程的求解，熟記相關(guān)求解步驟是解題關(guān)鍵.

(1)分別求解方程3x-(x+5)=l、y-2y=l即可判斷；

(2)分另U求解方程3x-4=x+6、j+m=O,根據(jù)"和諧方程"的定義可得5+(-2加)=2,即可求解；

(3)分別求解方程2x-〃+3=0、x+5〃-l=0,根據(jù)"和諧方程"的定義可得5+(-2相)=2,即可求解.

【詳解】(1)解：方程3x-(x+5)=l與方程了-2y=1是"和諧方程〃，理由如下：

由3x-(x+5)=l,解得x=3；

由了-2y=l,解得y=-l.

??-3+(-1)=2,

方程3x-(x+5)=1與方程了-2y=1是"和諧方程〃.

(2)解：由3x-4=x+6,解得x=5；

X

由一+加=0,解得x=-2m.

2

Y

?.?方程3x—4=%+6與方程2+加=0是"和諧方程〃，

.-.5+(-2m)=2,

解得加=；3.

n—3

(3)解：由2x—〃+3=0,解得x=---；

由x+5〃-1=0,解得％=1—5〃；

???關(guān)于x方程2x-幾+3=0與x+5〃-1=0是"和諧方程"，

n-31__

-------F1—5〃=2,

2

解得

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級(jí)上?江蘇鹽城?期末)定義：關(guān)于x的方程如-6=0與方程法-。=0(°、6均為不等于0

的常數(shù))稱互為“伴生方程"，例如：方程2x-l=0與方程x-2=0互為"伴生方程

(1)若關(guān)于X的方程2x-3=0與方程3x-c=0互為"伴生方程"，貝IjC=；

⑵若關(guān)于x的方程4x+3優(yōu)+1=0與方程5工-〃+2=0互為"伴生方程"，求"?、〃的值；

⑶若關(guān)于x的方程5x-6=0與其"伴生方程"的解都是整數(shù)，求整數(shù)6的值.

【答案】⑴2

(2)m=-2,n=6

⑶b的值為5或-5

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程解的綜合應(yīng)用

【分析】本題考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定義，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“伴生方程"的定義，即可得出C的值；

(2)根據(jù)“伴生方程〃的定義，得到3加+1=-5,”2=4,求解即可；

(3)求出兩個(gè)方程的解，根據(jù)解都是整數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：?.?關(guān)于x的方程2》-3=0與方程3x-c=0互為"伴生方程"，

*'?c=2；

故答案為：2；

(2)由題意，得：3m+l=-5,2=4,

m=—2,〃=6；

(3):5x-b=0,

b

*.x——,

5x-6=0的"伴生方程"是bx-5=0,

解得：x=1

b

???健均為整數(shù),

5b

6=±5.

2.(23-24七年級(jí)上,湖南邵陽,期末)【定義】若關(guān)于x的一元一次方程◎=/)的解滿足x=6+”，則稱該方

程為“友好方程"，例如：方程2x=-4的解為》=-2,而-2=-4+2,則方程2x=-4為"友好方程

【運(yùn)用】

(1)①-2x=4,②3x=-4.5,③x=-l三個(gè)方程中，為“友好方程"的是_(填寫序號(hào))；

⑵若關(guān)于x的一元一次方程3x=6是"友好方程"，求6的值；

⑶若關(guān)于x的一元一次方程-2尤=加"+"(〃/0)是“友好方程"，且它的解為X=",求加、”的值.

【答案】⑴②；

9

(2)^=--;

⑶加=-3,77=-|

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解、一元一次方程解的綜合應(yīng)用、解一元一次方程（一）一一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；

（2）根據(jù)題中的新定義列出有關(guān)6的方程，求出方程的解即可得到6的值，利用題中的新定義確定出所求

即可；

（3）根據(jù)“友好方程"的定義即可得出關(guān)于“、”的二元二次方程組，解之即可得出入、"的值；

此題考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【詳解】（1）①-2x=4

解得：x=-2,

而-2*-2+4,不是"友好方程"；

②3x=-4.5

3

解得：x=--,

3

--=-4.5+3,是〃友好方程〃；

@x=-l

-+1，不是“友好方程"；

故答案為：②；

（2）方程：3x=6的解為x=g,

???關(guān)于］的一元一次方程3x=b是〃友好方程〃

：.—=3+b,

3

9

解得6=-1:

（3）?.?關(guān)于龍的一元一次方程-2x=%〃+",它的解為X=〃，

???-2n=mn+n,

;川w0,

-2=m+1,解得：加=一3,

,??關(guān)于X的一元一次方程-2x=加〃+〃（〃W0）是“友好方程"，它的解為X=n,

2

n=mn+n-2,解得：〃=-§.

一、單選題

1.（23-24七年級(jí)下?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）下列各式是方程的是（）

A.4x+5=9B.3x-4<1C.6x-5xD.3+5=8

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義

【分析】本題考查方程的定義，根據(jù)含未知數(shù)的等式叫做方程，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：/、4x+5=9是方程，符合題意；

B、3x-4<l,不是等式，不符合題意；

C、6x-5x,不是等式，不符合題意；

D、3+5=8,不含未知數(shù)，不符合題意；

故選

2.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?期末）已知x=2是關(guān)于x的方程gx-2a=0的解，則代數(shù)式2.-1的值是（）

2

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、方程的解

【分析】本題考查了方程的解，代數(shù)式求值，把x=2代入方程可得2a=5,再代入代數(shù)式計(jì)算即可求解，

掌握方程解的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?；x=2是關(guān)于x的方程gx-2a=0的解，

一x2—2a=0,

2

???2a=5,

.?.2Q—1=5—1=4,

故選：B.

3.（23-24七年級(jí)上?廣東汕頭?期末）下列說法正確的有（）

oh

①若貝!Jac=bc；②若ac=be,貝!JQ=6；③若一二—,貝④若。=6,貝!!—二—；⑤若

CCCC

a=b,則：=?；⑥若a/=后,貝ljq=b；⑦若/=/,貝九。=6..

c+1c+1

4.2個(gè)5.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都

加或減同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立，等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立，等式的

兩邊都除以同一個(gè)不等于0的數(shù)或式子，等式仍成立.根據(jù)等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：;"b,

二等式兩邊都乘c,得ac=bc,故①正確；

當(dāng)c=0時(shí)，由ac=bc不能推出,故②錯(cuò)誤；

..a_b

,一=一，

cc

..?等式兩邊都乘C,得a=6,故③正確；

當(dāng)c=0時(shí)，由不能推出3=2,故④錯(cuò)誤；

CC

:不論C為何值，C2+1>h

.,.由a=6能推出2"，=:、，故⑤正確；

c+1c+1

當(dāng)c=0時(shí)，由℃2=兒2不能推出。=6,故⑥錯(cuò)誤；

當(dāng)。=2,6=-2時(shí)/=62,但。二方，故⑦錯(cuò)誤；

即正確的個(gè)數(shù)是3,

故選:B

4.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?期末）下列方程變形中，正確的是（）

45

A.方程未知數(shù)系數(shù)化為1,得x=-l

54

B.方程3x+5=4x+l,移項(xiàng)，得3x-4x=-l+5

C.方程3x—7（x-l）=3-2（x+3）,去括號(hào)，得3x—7+7=3—2x-3

1_7rI1

D.方程y竺=上尸-3,去分母后化成7（l-2x）=3（3x+l）-63

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（二）一一去括號(hào)、解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）

一—合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、等式的性質(zhì)1

【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵.A.根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到

答案；B.根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到答案；C.根據(jù)去括號(hào)法則即可得到答案；。.根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊

同時(shí)乘21,可得答案.

【詳解】4方程￡4X=-5-,未知數(shù)系數(shù)化為1,得x=25原變形不正確，故不符合題意；

5416

B.方程3無+5=4x+l,移項(xiàng)，得3x-4x=l-5,原變形不正確，故不符合題意；

C.方程3x-7（x-l）=3-2（x+3）,去括號(hào)，得3x-7x+7=3-2x-6,原變形不正確，故不符合題意；

D.=-3,去分母得7（1-2x）=3（3x+l）-63,原變形正確，故不符合題意.

故選：D.

5.（23-24七年級(jí)下?四川內(nèi)江?期末）若關(guān)于x的方程8-3=履+2有整數(shù)解，那么滿足條件的整數(shù)人的取

值個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（一）一一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【分析】本題考查的是一元一次方程的解與方程的解法，掌握"方程的整數(shù)解的含義以及求解整數(shù)解的方法"

是解本題的關(guān)鍵.

先解方程可得x=三，再根據(jù)關(guān)于x的方程5x-3=fcc+2有整數(shù)解，左為整數(shù)，可得5-左=土1或

5-k=+5,從而可得答案.

【詳解】解：:5。-3=丘+2,

■?■5x-kx=5,即（5-左）x=5,

當(dāng)5-kNO時(shí)，

???關(guān)于x的方程5尤-3=區(qū)+2有整數(shù)解，%為整數(shù)，

5-左=±1或5一4=±5,

解得：左=4或％=6或左=0或左=10,

.??滿足條件的整數(shù)上的取值個(gè)數(shù)是4,

故選：C.

二、填空題

6.（23-24七年級(jí)上?甘肅定西,期末）方程從4x+21=x-7到4x-x=-7-21變形的依據(jù)是.

【答案】等式的性質(zhì)1

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)

【分析】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等

式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立..

根據(jù)等式的基本性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：?.?方程4x+21=x-7的兩邊同時(shí)減去x,再同時(shí)減去21,即可得到4x-x=-7-21,

???依據(jù)是等式的性質(zhì)1.

故答案為：等式的性質(zhì)1.

7.（23-24七年級(jí)下?河南駐馬店?期末）若關(guān)于x的方程2%+左=3的解為x=l,則左的值為.

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】方程的解

【分析】本題考查方程的解，將x=l代入方程，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：把％=代入2%+左=3,得：2+左=3,

?,?左二1；

故答案為：1.

8.（23-24七年級(jí)上?全國(guó)?期末）若4加-5的值與心-3的值互為相反數(shù)，則加的值為.

【答案】If

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（二）一一去括號(hào)、相反數(shù)的定義

【分析】此題主要考查相反數(shù)的定義及一元一次方程的應(yīng)用.先根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列出

方程，然后解關(guān)于m的一元一次方程即可求出m的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：（4加一5）+（加一；|=0,B|J5m-y=0,

解得：加=||，

心小4二36

故答案為：—.

9.（23-24七年級(jí)下?重慶萬州?期末）若（加-2）W--2=5是關(guān)于x的一元一次方程，則加的值是—.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義

【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義可得|加|-1=1,加-2x0,求解即可.

【詳解】由題意得：同T=1,解得：m=±2

丁加一2w0,即〃/w2

/.m=—2

故答案為：-2.

10.（23-24七年級(jí)上?吉林四平?期末）對(duì)于有理數(shù)x,V,定義一種新運(yùn)算〃。〃，規(guī)定

%。>=|%+>|+|%-川.若。。%）。（％+1）=8,則x值為.

【答案】2或-2

【知識(shí)點(diǎn)】化簡(jiǎn)絕對(duì)值、解一元一次方程（一）一一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【詳解】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，一元一次方程的解法及絕對(duì)值，能對(duì)1的取值范圍進(jìn)行準(zhǔn)確

的分類是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題中定義的新運(yùn)算，建立關(guān)于1的方程即可解決問題.

【分析】解：由題知，

因?yàn)椋y=|%+y|+|%-歹|,

所以xG）x=|x+x|+|%-x|=|2x|.

又因?yàn)?1）=8,

則當(dāng)x20時(shí)，

|2,x+x+11+12x—x—11=8,

3x+1x-11=7,

當(dāng)xNl時(shí)，

3x+x-1=7,

解得x=2；

當(dāng)0?x<1時(shí),

3x-x+1=7,

解得x=3,

不符合題意，故舍去.