2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓 壓軸解答題練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓壓軸解答題練習(xí)題

—.解答題(共25小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的半徑為2,對于點尸，。和O。的弦A3,給出如下定義：若弦A2上

存在點C,使得點尸繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點Q重合，則稱點Q是點尸關(guān)于弦的“等邊旋轉(zhuǎn)

點”.

(1)如圖，點尸(-2,0),直線尤=1與。O交于點A,B.

①點B的坐標(biāo)為，點B(填“是”或“不是”)點P關(guān)于弦AB的“等

邊旋轉(zhuǎn)點”；

②若點P關(guān)于弦AB的”等邊旋轉(zhuǎn)點”為點Q,則PQ的最小值為,當(dāng)PQ與O。相切時，點

Q的坐標(biāo)為；

(2)已知點D(f,0),￡(-1,0),若對于線段OE上的每一點都存在的長為2遮的弦G8,

使得點M是點。關(guān)于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出f的取值范圍.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,對于的弦AB和不在直線4B上的點C,給出如下定

義：若/ACB=a,且點C關(guān)于弦A8的中點M的對稱點在O。上或其內(nèi)部，則稱點C為弦AB的“a

關(guān)聯(lián)點”.

(1)已知點4(—2，孚)，B(l,0).

①在點C1(—1,一1),。2(2,0),C3(0,遮)中，點是弦的關(guān)聯(lián)點，其中a=.

②若直線y=-岳+6上存在A8的“60°關(guān)聯(lián)點”，則b的取值范圍是；

(2)若點C是A3的“60°關(guān)聯(lián)點”，且。。=聲，直接寫出弦AB的最大值和最小值.

備用圖

3.(1)如圖1,在扇形A08中，點。為扇形所在圓的圓心，AO=2V3,NAO3=120°,點C是獨(dú)上一

點，則△ABC面積的最大值為；

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZBAD=ZBCD^9Q°,連接AC.若AC=6,求四邊形

ABCD的面積；

(3)如圖3,菱形A8CZ)是一個廣場示意圖，其中菱形邊長為120米，ZA=60°,市政部門準(zhǔn)備

在這塊菱形廣場中修建一個四邊形景觀區(qū)DEBF,這塊四邊形區(qū)域需要滿足BE=BF,/EBF=60°,

/EDF=75°,則這塊四邊形區(qū)域。的面積是否存在最小值？若存在，請計算出面積的最小值及此

時線段BF的長，若不存在，請說明理由.(結(jié)果保留根號)

4.(1)課本再現(xiàn)：如圖1,PA,尸2是O。的兩條切線，切點分別為A,B.則圖中的B4與尸8,ZAPO

與N3P。有什么關(guān)系？請說明理由.

(2)知識應(yīng)用：如圖，PN、PD、DE分別與相切于點A、B、C,且DE〃PN,連接OP,延

長PO交0O于點交DE于點E,過點、M作MN〃OD交PN于N.

①求證：是。。的切線；

②當(dāng)OD=3cm,OP=4c機(jī)時，求。。的半徑及圖中陰影部分的面積.

DCE

圖1

5.如圖1,在正方形A8CD中，AB=8,點。與點8重合，以點。為圓心，作半徑長為5的半圓。交

A8于點E,交43的延長線于點足點M,N是弧EF的三等分點(點〃在點N的左側(cè)).將半圓。繞

點E逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a(90°),旋轉(zhuǎn)后,點尸的對應(yīng)點為點P.

圖2備用圖

當(dāng)EF'經(jīng)過點N時.

①求a的度數(shù)；并求硒的長；

②連接FP,求FP與前的長度，并比較大??；(遍取1.7,口取3)

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓。與正方形ABCD的邊相切，請直接寫出點A到切點的距離.

6.如圖是由小正方形組成的6X6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，。。經(jīng)過A,B,C三個格點.僅

用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖(1)中畫我的中點。；

(2)如圖(2),延長8A至格點P處，連接CE

①直接寫出/尸的度數(shù)，/F=(度)；

②尸為C尸上一點，連接BP,將PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到QB,畫出線段并簡要說明.

7.定義：對于凸四邊形，對角線相等的四邊形稱為“等對”四邊形，對角線垂直的四邊形稱為“垂對”

四邊形.

(1)請你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“J”，錯誤的打“X”)

①平行四邊形一定不是“等對"四邊形；

②“垂對”四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半；

③順次連接“等對"四邊形四邊中點而成的四邊形是“垂對"四邊形；

(2)如圖1,已知四邊形ABC。(ADWBC)既是“等對”四邊形，又是“垂對”四邊形，且四邊形的

四個頂點都在O。上，連接四邊形的對角線AC,BD交于點P.

①記△&1)「，ABCP,四邊形ABCD的面積分別為Si,S2,S,求證：小=店+&；

②如圖2,點M為A8的中點，連接MP并延長交CD于點N,若AO+8C=機(jī)，MN=n,求。。的半徑

(用含m,n的式子表示).

圖1圖2

8.我們在八年級上冊曾經(jīng)探索：把一個直立的火柴盒放倒(如圖1),通過對梯形ABC。面積的不同方法

計算，來驗證勾股定理.a、b、c分別是RtA4BE和Rt/XCOE的邊長，易知力。=&c,這時我們把關(guān)

于x的形如a/+V2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾氏方程”.

請解決下列問題：

(1)方程X2+2X+1=0(填“是”或“不是”)“勾氏方程”；

(2)求證：關(guān)于x的“勾氏方程"a/+V2cx+b=0必有實數(shù)根；

(3)如圖2,OO的半徑為10,AB.CD是位于圓心。異側(cè)的兩條平行弦，AB=2m,CD=2n,m^n.若

關(guān)于x的方程+io近X+n=o是“勾氏方程"，連接?！ǎ琌B,求的度數(shù).

9.課本再現(xiàn)

(1)在圓周角和圓心角的學(xué)習(xí)中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).課本中先從四邊形一條對

角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進(jìn)一步論證其正確性，這種數(shù)

學(xué)思維方法稱為“由特殊到一般”

如圖1,四邊形ABCO為。。的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，則度，ZBAD+ZBCD

=度.

(2)如果的內(nèi)接四邊形A3。的對角線AC不是。。的直徑，如圖2、圖3,請選擇一個圖形證明：

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

知識運(yùn)用

(3)如圖4,等腰三角形ABC的腰AB是。。的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點。，E.點,F

是線段CE的中點，連接。F,求證：。尸是。。的切線.

10.［模型建立］

如圖①、②，點尸分別在。。外、在內(nèi)，直線尸。分別交。。于點A、B,則也是點尸到上的

點的最短距離，尸3是點P到OO上的點的最長距離.

請就圖①中EB為何最長進(jìn)行證明.

［初步應(yīng)用］

(1)已知點尸到。。上的點的最短距離為3,最長距離為7.則。。的半徑為.

(2)如圖③，在△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6.點￡在邊BC上，且CE=2,動點尸在半徑

為2的上，則AP的最小值是.

［拓展延伸］

如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點，其中A8=4,ZAOC=120°,尸為上的動點，連接AP,

取AP中點Q,連接CQ,則線段CQ的最大值為

11.4B為。。的直徑，BC為。。的弦，AB=y[2BC.

(1)如圖1,求證：AC=BC-,

(2)如圖2,AD,AE為。。的弦，交于點孔連接EF,OGLAE,點G為垂足，過G作EF

的平行線交AF于點打，求證：AH=HF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CO交A尸于點P,點。在49上，連接尸。交OC于點/,連接

HI,FQ+QO=OB,PC=8,BQ=23,求H/的長.

12.如圖1,在銳角△ABC中，AB=AC,是△4BC的外接圓，連結(jié)80并延長交AC于點D,交。。

于點G,設(shè)/BAC=a.

圖1圖2備用圖

(1)填空：當(dāng)a=20°時，則/BOC=.

(2)如圖2,當(dāng)0°<a<60°時，在BG左側(cè)圓弧上取點E,使蹄=就,連結(jié)AE,DE,EG,設(shè)EG

與AC交于點F.

①求證：EG平分/AED.

②若△EDG的一邊與平行，且AP=1,求。E的長.

13.如圖1,C,。是半圓ACB上的兩點，若直徑4B上存在一點P,滿足則稱/CP。

是弧C。的“幸運(yùn)角”.

(1)如圖2,AB是。。的直徑，弦CELAB,。是弧BC上的一點，連接DE交AB于點P,連接CP.

①/CP。是弧C。的“幸運(yùn)角”嗎？請說明理由;

②設(shè)弧CD的度數(shù)為n,請用含n的式子表示弧CD的“幸運(yùn)角”度數(shù);

求CE的長.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點TG,0),。7的半徑為1,它的一條弦MN作兩次變換：關(guān)于點

M作中心對稱后得到線段MP,關(guān)于點N作中心對稱后得到線段NQ.我們稱點尸、。為OT的對稱點,

稱線段尸。為OT的對稱弦.

(1)如圖，點A,B,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段AB,AD,CB,C。中，。。的對稱弦是

②若線段AC上的點都是的對稱點，求f的取值范圍;

(2)若O。的對稱弦PQ過點(1,0),直線y=Wx+b與線段PQ有公共點，b的取值范圍

是

yjkyk

15.數(shù)學(xué)課上，小明同學(xué)遇到了這樣的一個問題：如圖，點A、B、C、。在。。上，連結(jié)A8,AD,BC,

CD,AC為O。的一條直徑，過點A作2。交2D于點E.設(shè)NAOE=a.

【證明】老師說：利用所學(xué)習(xí)的“圓的知識”可以證明△ABES△Ac。，請你幫助小明網(wǎng)學(xué)完成，4ABE

s/\ACD的證明過程.

【應(yīng)用】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，利用△ABEs△ACD可以解決如下問題：

①若:"BE=’，貝!1Sina=；

SACD9

Q

②若A￡>=5,C￡?=10,sina=|,則BD的長為.

備用圖

16.如圖，4B是。。的直徑，AB=8,點C在直徑A8上運(yùn)動，PCLAB,垂足為C,PC=5,在PC右側(cè)

作O。的切線PT，切點為T,連接尸。.

(1)如圖1,當(dāng)點C與點A重合時，連接2T.

①求證：B4=PT；

②直接寫出此時尸。與BT的位置關(guān)系(不說理由)；

(2)設(shè)線段。尸與O。交于點。，如圖2,當(dāng)47=4-夕時，求劣弧凹的長；

(3)直接寫出PT長的最小值.

17.在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,點P從點C出發(fā)，在線段CB上向點B以每秒2cm的速度移動,

以點P為圓心，為半徑作。P.設(shè)運(yùn)動時間為f秒.解答下列問題:

(1)如圖1,當(dāng)0P過點。時，求時間/的值.

(2)如圖2,若在運(yùn)動過程中，是否存在f的值，使得OP與直線AC相切？若存在，求出f的值；若

不存在，請說明理由;

(3)如圖3,當(dāng)。尸與直線AO相切時，切點為E,T為弧BE上的任意一點，過點T作。P的切線分

別交AB,4。于點M,N,設(shè)長度為無.

PT

119

②記AAMN的面積為Si,APMN的面積為S2,當(dāng)一+---=一時，求x的值.

S12s28

圖2圖3

互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點.

(1)如圖1,AB,AC是。。的等垂弦，OE_LAC垂足分別為。，E.

求證：四邊形AOOE是正方形;

(2)如圖2,AB是。。的弦，作。。J_OA,OCJ_O8分別交。。于。，C兩點，連接CD分別交A3、

與點M、點E.

求證：AB,CZ)是。。的等垂弦；

(3)已知。。的直徑為10,AB.C。是。。的等垂弦，P為等垂點.若AP=3BP求A8的長.

19.如圖1,以A8為直徑的。。與△ABC的邊BC交于點。，/CAD=NABC,點M是直徑A3下方半圓

上的一動點，連接AM,DM.DM交AB于點P.

(1)若A8=4,BC=2V6,求tanM；

(2)①記△AC。的面積為S^ACD,^ABD的面積為SAABD,若S—CD：S“ABD=$00的半徑為遙.求

線段CD的長；

②如圖2,當(dāng)動點M運(yùn)動到恰好使得P為DM的中點時，ZABC的角平分線交DM于點E,交于

一,DEDF-

點、F,求丁+二的值；

DPAD

(3)如圖3,連接記△APD的面積為Si,的面積為S2,四邊形的面積為S,若滿

足遮=6+/用,試判斷四邊形的形狀，并說明理由.

圖1圖2圖3

20.【問題提出】

(1)如圖1,在四邊形ABCD中，連接AC,BD,若48=AC=A￡>,ZBAC=50°,則/BOC的度數(shù)

為°；(提不：以點A為圓心，A8為半徑作OA)

【問題解決】

(2)如圖2,在矩形A3CD中，已知AB=3,BC=4,點尸是BC邊上一動點(點尸不與2,C重合)，

連接AP,作點8關(guān)于直線A尸的對稱點連接MC,求線段MC的最小值；

【實踐應(yīng)用】

(3)如圖3,有一塊形狀為等腰直角三角形的空地AC。，ZCA￡)=90°,在空地旁邊有一條與CO邊

平行的小路。，小路。經(jīng)過點A,現(xiàn)計劃在小路a上找一點在D4的延長線上找一點P,沿著8C,

2尸修兩條水渠,同時保證NCBP=90°,當(dāng)BP=50魚米，A￡>=80米時，求兩條水渠的交匯點2到A

的距離.

B

圖1圖2圖3

21.【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切,小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方

形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°(如圖2),這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方

形面積的倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略;

圖1圖2

【操作實踐】

(2)如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按

所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點

尸為端點的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

圖3圖4

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中/IMP

存在最大值.若PE=8,PF=5,當(dāng)/D4P最大時，求的長；

22.如圖，以AB為直徑作OO,C為。。上一點，ZX。。尸父△ABC,。。與BC交于點G,AC=6,8C=8.

(1)如圖1,當(dāng)OP經(jīng)過點C時，PC=.

(2)在(1)的條件下，求證：BG=CG.

(3)如圖2,將△OQP從圖1的位置開始繞點。順時針旋轉(zhuǎn)(。尸與重合時停止轉(zhuǎn)動)，0P與BC

交于點H,設(shè)尸。的中點M到BC的距離為d.

①當(dāng)。尸_LA8時，求的長；

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中d的最大值.

23.已知，四邊形ABC。內(nèi)接于詼=皿，點T在BC的延長線上.

(1)如圖1,求證：CD平分/ACT；

(2)如圖2,若AC是。。的直徑，BE平分NABC交CD延長線于E,交。。于F,連接AE,AF,

DF.

①求/AED的度數(shù)；

_CZ)525

②若△￡＞所的面積等于工，求AC的長.

AB89

E

A

圖1圖2

24.在△ABC中，ZACB=90°，AC=3,BC=4,延長BC到點。，使CZ）=1,P是BC邊上一點（不與

點、B,C重合）.點Q在射線8A上，PQ=BP,以點尸為圓心，尸。的長為半徑作。尸，交AC于點E,

連接尸。，設(shè)尸C=x.

（DABBD（填“<'*'="或">"），如圖1,當(dāng)點。在OP上時,x的值為

（2）如圖2,當(dāng)C為尸。中點時，連接PE,求扇形。尸E的面積.

CD

（3）如圖3,當(dāng)。尸與42相切時，求:7的值.

下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù).

關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組

研究對象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念一性質(zhì)一判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行

研究.

研究方法：觀察（測量、實驗）一猜想一推理證明

研究內(nèi)容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、

相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖①，我們學(xué)習(xí)過的菱形

(正方形除外)就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊

形……

【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖②，如果六邊形ABCZJEF是等邊半正六邊形，那么

=EF=FA,NB=ND=NF,且NAWNB.

A

上

D

圖2性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性

內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為__________°.

對角線：...

任務(wù)：

(1)直接寫出研究報告中處空缺的內(nèi)容：;

(2)如圖③，六邊形A8COEF是等邊半正六邊形.連接對角線A。，猜想NBA。與/胡。的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

(3)如圖④，已知△ACE是正三角形，。。是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形ABCZJEF

(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

圖3

參考答案與試題解析

解答題(共25小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，。。的半徑為2,對于點P,。和的弦給出如下定義：若弦AB上

存在點C,使得點P繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與點。重合，則稱點。是點P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)

點”.

(1)如圖，點尸(-2,0),直線x=l與。。交于點A,B.

①點B的坐標(biāo)為(-1,V3)_，點B是(填“是”或“不是”)點尸關(guān)于弦的“等邊旋轉(zhuǎn)

點”；

②若點P關(guān)于弦AB的”等邊旋轉(zhuǎn)點”為點Q,則PQ的最小值為3,當(dāng)PQ與。。相切時，點Q

的坐標(biāo)為(-2,-2V3)；

(2)已知點。0),E(-1,0),若對于線段OE上的每一點M,都存在。。的長為2百的弦G”，

使得點M是點D關(guān)于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出t的取值范圍.

【考點】圓的綜合題.

【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推

理能力.

【答案】(1)①(1,—V3),是；

②3,(-2,-2^3)；

(2)-2W/W—竽或10W”一.

【分析】(1)①連接04,OB,設(shè)交x軸于點C,可求得/AOB=2/AOC=120°,AC=BC=V3,

進(jìn)一步得出結(jié)果；

②將PB繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°至尸夕，可得出48'上點是點P關(guān)于的“等邊旋轉(zhuǎn)點"，當(dāng)PQ_L

AB'Ht,PQ最小，當(dāng)尸。與（DO相切時，點。在夕處，進(jìn)一步得出結(jié)果；

（2）將點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°得。'，則點。'在直線y=后上，對于線段OE上的每一點點M

是點。關(guān)于GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”需要滿足在以。'為圓心，半徑為1和半徑為2形成的圓環(huán)覆蓋OM,

分類：當(dāng)半徑為2的圓過點0時；當(dāng)半徑為1的OO'與OD相切時，作軸于H,則

8=1；當(dāng)半徑為1的。與x軸相切時，OD=O，。=1；當(dāng)半徑為2的O。'過點E時，連接O'E,

作。于E則。'E=2,分別求得f的值，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】解：（1）①如圖1,

連接。4,OB,設(shè)A8交x軸于點C,

nr1

?.,A5_Lx軸，cosNAOC=初=a，

ZAOC=60°,

?：OA=OB,

：.ZAOB=2ZAOC=120°,AC=BC=OB^sinZAOC=2?cos60°=V3,

-1

：.ZP=^AOB=60°,AP=BP,B（1,一遮），

△ABP是等邊三角形，

.?.點B是點尸關(guān)于弦AB的”等邊旋轉(zhuǎn)點”，

故答案為：（1,—\/3）,是；

②如圖2,

圖2

將PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至PB',

:.點、B'是點尸關(guān)于弦A8的“等邊旋轉(zhuǎn)點”,

,/點B是點尸關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，

：.AB'上點是點尸關(guān)于A3的“等邊旋轉(zhuǎn)點”，

.?.當(dāng)時，PQ最小=苧尸8=苧48=^x2遮=3,

MPBB'是等邊三角形,

：.ZBPB'=60°,

VZPBO=30°,

：.ZB'PO=90°,

：.B'PLOP,

：.B'P是O。的切線，

當(dāng)尸。與o。相切時，點。在夕處,

：.Q(-2,-2V3),

故答案為：3,(-2,-2V3)；

(2)如圖3-1,

yjk

圖3—1

將點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°得O',則點。'在直線y=島上，

對于線段?！晟系拿恳稽c點M是點。關(guān)于GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點”需要滿足在以。'為圓心，半徑

為1和半徑為2形成的圓環(huán)覆蓋OM,

當(dāng)半徑為2的圓過點。時，

?.?△OO'。是等邊三角形，

：.OD=O'D=2,此時f=-2,

如圖3-2,

圖3—2

當(dāng)半徑為1的與。。相切時，作O'軸于H,則O'H=l,

：.OH=^-O'H=學(xué)

：.OD=2OH=受,

此時仁-苧，

如圖3-3,

當(dāng)半徑為1的。。與x軸相切時，OD=O'0=1,

此時t=1,

圖3—4

當(dāng)半徑為2的。0，過點E時，連接0,E,作0尸，。E于尸，則O'E=2,

設(shè)0/=尸。=4,貝Uo'F=V3a,EF=l+a,

'：ZO'FE=90°,

:.o'F2+EF1=O'序，

(V3a)2+(1+a)2=22,

?V13-1—tx—V13_1z\

.?〃=-3—或〃=1(舍去)，

4,4

：.0D=2a="T，

?..1YW寫1,

綜上所述：-2W右一竽或1<r<"T.

【點評】本題在新定義的基礎(chǔ)上，考查點和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵根據(jù)定義作旋轉(zhuǎn)的輔助線.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O。的半徑為1,對于O。的弦48和不在直線AB上的點C,給出如下定

義：若/ACB=a,且點C關(guān)于弦AB的中點M的對稱點在O。上或其內(nèi)部，則稱點C為弦AB的“a

關(guān)聯(lián)點”.

(1)已知點4(—-^)>B(1,0).

①在點C1(—1,-1),金(2,0),。3(。，8)中，點C3是弦48的關(guān)聯(lián)點,其中a=60°.

②若直線產(chǎn)-V3x+b上存在AB的“60°關(guān)聯(lián)點”，則b的取值范圍是0<fe<2+V3；

(2)若點C是48的“60°關(guān)聯(lián)點”，且。。=次，直接寫出弦48的最大值和最小值.

備用圖

【考點】圓的綜合題.

【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推

理能力.

【答案】（1）①C3,60°；

②0C6W2+W；

（2）AB最小=1,AB最大=

【分析】（1）①畫出圖形，直觀判定；

②作等邊三角形ABC,作△ABC的外接圓，當(dāng)直線/：y=與。/相切于點E時，連接AC3,連

接/￡,作于凡設(shè)/交y軸于點。，則的半徑為花=1,可得/OC3/=NOAC3=60°,

AC3〃直線/,進(jìn)一步得出結(jié)果；

（2）當(dāng)△ABC是等邊三角形時，A8最小，此時。CLA8,設(shè)。C交于在Rt/VlO。根據(jù)勾股定

理列出方程，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)/CA8=90°時，4B最大，作。。_LA8于作。E_LAC于E,設(shè)

AC=2x,AE=OB=y,則AB=小1AC=2A/3X,OD=B久在RtAAOD和RtZ\COE中，根據(jù)勾股定理列

出方程組，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】解：（1）①如圖1,

yjk

圖i

點Ci和C2關(guān)于A8的中點的對稱點在O。外，

'?*C3'（1——0>0+-V3）,即（1,—）,

2222

???（|）2+（字）2=1,

...點C3’在圓上，

.?.點C是弦AB的關(guān)聯(lián)點，

../,z-tc1A/3^

?tanZAC（?=—--=/，

九一力3

ZACO=60°,

同理可得：ZBCO=30°,

???NAC8=60°,

故答案為：Q,60°；

作等邊三角形ABC,作△ABC的外接圓,

當(dāng)直線Z：y=Tx+b與。/相切于點E時，連接ACs,連接IE,作CiFLDE于R設(shè)/交y軸于點D,

則。/的半徑為/E=l,可得/”73/=/。4。3=60°,AC3〃直線/,

：.C3F=IE=1,

.,.OC3=2C3f'=2,

：.b=OC?,+CE=2+43,

當(dāng)直線y=-遮乂+6過點B時，6=0,

：.G〈bW2+也;

(2)如圖3,

當(dāng)△ABC是等邊三角形時，最小，此時OC_L4B,設(shè)0c交AB于D

：.AD=BD=%B,NACD=NBCD=^Z.ACB=30°,

?.CD=WAD,

在RtAAOD中,

'."AEr+ODr^OA1,

：.0D2+(V3-V3XD)2=l2,

：.AD=I，

：.AB=l,

如圖4,

當(dāng)NC4B=90°時，AB最大，

作0。J_AB于D,作OEJ_AC于E,

設(shè)AC=2x,AE=OB=y,則AB=小1AC=2百x,OD=V3x

在RtAAOD和RtACOE中，

由OEr+AD1=OA2,C^+OEr=0C2得,

)2+y2—l2

)2+(2x+y)2=(V3)2

1

X-

-2

1

y-

-2

A3AB

勤

最大-V3

b=

【點評】本題在新定義的基礎(chǔ)上，考查了直線和圓，圓與圓位置關(guān)系，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，勾

股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是確定點的運(yùn)動位置.

3.(1)如圖1,在扇形中，點。為扇形所在圓的圓心，AO=2A/3,NAOB=120°,點C是而上一

點，則△ABC面積的最大值為_3舊_;

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB^AD,/BAD=/BCD=90°,連接AC.若AC=6,求四邊形

ABCD的面積；

(3)如圖3,菱形A8CD是一個廣場示意圖，其中菱形邊長為120米，ZA=60°,市政部門準(zhǔn)備

在這塊菱形廣場中修建一個四邊形景觀區(qū)。加R這塊四邊形區(qū)域需要滿足NEBF=60°,

/EDF=I5。，則這塊四邊形區(qū)域。防廠的面積是否存在最小值？若存在，請計算出面積的最小值及此

時線段8尸的長，若不存在，請說明理由.(結(jié)果保留根號)

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)3V3；

(2)18；

(3)四邊形DEBF的最小值為(3600次一3600a+3600)m2,BF=(60\/3-60V2+60)m.

1

【分析】(1)過。作OHLAB于H,延長。/交扇形AOB于D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NAO8=/

ZAOB=x120°=60。，OH=^OA=V3,根據(jù)勾股定理得到AH=y/OA2-OH2=3,求得AB=2.AH

=6,得到。H=2必一舊=舊，當(dāng)點C到AB的距離最大時，AABC的面積最大，當(dāng)點C與點。重

合時，點C到AB的距離最大，于是得到結(jié)論；

(2)將△ACZ)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE,說明/ABE+/A8C=180°,則點E、B、C三點

共線，得四邊形ABCD的面積=S?CE=18；

(3)連接CF,2。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD=BC,ZZ)BC=60°,根據(jù)全等三角形的判定定

理得到(SAS),得至！JSADEBFMSAEBD+SABDFMSABFC+SZXBDF,求得NZ)FC=135°,作^

。尸C的外接圓，圓心為。，連接0。，OC,OF,得至!JO￡)=OP=OC=60&c?t,過。作OALLOC于N,

交O。于聲，過廠作FMLCD于M,過。作OHLFM于H,由FO^HF,四邊形是矩形，F(xiàn)'

O=FO,得到F'O—HF,F'O-ON^FH-MH,推出F'N^FM,當(dāng)F與P重合時，F(xiàn)M最大為F'

N,求得PN=(60V2-60)m,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)過。作。H_LA8于H,延長。H交扇形AQB于。，

D

：AO=BO=2A/I,

11

ZAOH=^ZAOB=x120°=60°,

OH=^OA=V3,

：.AH^>JOA2-OH2=3,

：.AB=2AH=6,

.?.DH=2V3-V3=V3,

當(dāng)點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，

，當(dāng)點C與點。重合時，點C到AB的距離最大，

**?S^ACB=那B，DH=x6xV3=3百；

即△ABC面積的最大值是3V3；

故答案為：3v5；

(2)如圖，將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A3E,

ZADC=ZABE,AC=AEfZEAC=90°,

'：ZBAD=ZDCB=90°,

ZADC+ZABC=180°,

AZABE+ZABC=180°,

.?.點E、B、C三點共線，

/./XACE是等腰直角三角形，

，四邊形ABCD的面積=SMCE=/X6X6=18；

(3)連接CKBD,

,四邊形ABCD是菱形，44=60°,

△DBC是等邊三角形，

：.BD=BC,Z￡)BC=60°,

VZEBF=60°,BE=BF,

:./EBD=NFBC,

:.LEBD沿AFBC(SAS),

SADEBF—S&EBD+SABDF=S&BFC+SABDF,

■:NEDF=15°,

AZE+ZDFB=36Q°-60°-75°=225°,

AZBFC+ZDFB=225°,

：.ZDFC=135°,

作△。尸C的外接圓，圓心為O,連接O。，OC,OF,

VZDFC=135",OC^120m,

：.ZDOC^90°,

：.OD=OF=OC=60V2cm,

過。作ON1.OC于N,交。。于「，過/作FMl.Cf)于過。作O”_LFAf于H,

,：FO^HF,四邊形MNOH是矩形，F(xiàn)'O=FO,

：.F'ONHF,F'O-ON^FH-MH,

：.F'N^FM,

.?.當(dāng)尸與聲重合時，F(xiàn)M最大為PN,

1

DN=NO=CN=20c=60(m),

：.F'N=(60V2-60)m,

2

：.SADFC的最大值=^DC'F'N=*X120X(60V2—60)=(360V2-360)tn,

:&BDF+SABFC的最大值=5.(7-SADFC=:X1202-(3600&-3600)=3600百-3600a+3600,

.??四邊形。防尸的最小值為(3600次—3600&+3600)nT,

此時，BF=60V3-F'N=60W—(60應(yīng)-60)=(60V3-60V2+60)m.

E

【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理等知識，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰直角三角形是解決問題(3)的關(guān)鍵.

4.(1)課本再現(xiàn)：如圖1,PA,尸8是OO的兩條切線，切點分別為A,B.則圖中的B4與尸8,ZAPO

與NB尸O有什么關(guān)系？請說明理由.

(2)知識應(yīng)用：如圖，PN、PD、OE分別與OO相切于點A、B、C,S.DE//PN,連接OZ)、OP,延

長PO交。。于點M,交。E于點E,過點、M作MN〃OD交PN于N.

①求證：是O。的切線；

②當(dāng)OZ)=3c〃z,0P=4C?J時，求O。的半徑及圖中陰影部分的面積.

【考點】圓的綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)PA^PB,ZAPO=ZBPO；

(2)①證明見解析；

②。。的半徑是2.4cm圖中陰影部分的面積是(6-1.44-n)on2.

【分析】(1)連接04和08,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得Rtz^AO尸之RtaBOP,即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)題意求證MN〃。。，即可得出MN_L0M,即可得出答案；

②根據(jù)4poo=*0P-。。=*PD-OB，求出。8的長，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案.

【解答】(1)解：PA^PB,ZAPO=ZBPO；理由如下：

如圖1,連接。4和0B,

圖1

VB4和PB是O。的兩條切線，

：.OA±AP,OBIBP,

在RtAAOP和RtABOP中，

(OA=OB

top=OP'

.,.RtAAOP^RtABOP(HL),

：.PA=PB,/APO=NBPO；

(2)①證明：：PN、PD、OE分別與OO相切于點A、B、C,

：.OD,。尸分別平分/POE、ZDPN,

又,：DE//PN,

：.ZPDE+ZDPN^180°,

11

?"ODP+乙DPO=.(4PDE+乙DPN)=.x180°=90°,

：.ZPOD=90°.

：.0D±DE,

又,：MN〃0D,

：.MN,LOM,

又〈MN經(jīng)過半徑OM的外端點M,

???MN是。。的切線.

②解：連接OB,則05_LPQ,

：.PD=y/OD2+OP2=V32+42=5(cm),

一11

:?SAPOD=2OP?OD=qPD?OB,

PD

OB=0p^=2.4cm,

即O。的半徑為2.4cm.

i907rx2.42

:?S陰影=[x3x4--------250-----=(6—1.4471)cm2,

綜上所述：OO的半徑是2.4C",圖中陰影部分的面積是(6-1.44-rt)cm2.

【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查圓的切線的證明、扇形的面積計算等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌

握圓的知識點，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計算等.

5.如圖1,在正方形ABC。中，AB=8,點。與點2重合，以點。為圓心，作半徑長為5的半圓O,交

于點E,交AB的延長線于點R點M,N是弧所的三等分點(點M在點N的左側(cè)).將半圓。繞

點E逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<aW90°),旋轉(zhuǎn)后,點廠的對應(yīng)點為點/.

備用圖

①求a的度數(shù)；并求EN的長;

②連接,求PF'與前的長度，并比較大??；(百取1.7,TT取3)

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓。與正方形ABC。的邊相切，請直接寫出點A到切點的距離.

【考點】圓的綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)①a=30°；EN=5V3；

57r

②FN的長為w~；Fr=5V6-5V2；FF'＞前的長度；

(2)VTF或VH或3.

【分析】⑴①連接BN,過點B作BUEN于點L則EN=2EL根據(jù)題意可得NNBF=1x180°=60°,

再由8E=BN,以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解；

②根據(jù)弧長公式求出前的長；過點尸'于點W,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得/'勿=*EF'=5,

從而得到EW=5V3,進(jìn)而得到WF=10-5V3,再由勾股定理可得尸產(chǎn)成=200—100V3?30,即可求

解；

(2)分類討論當(dāng)半圓。與CD、AD,AB相切的三種情況，畫出對應(yīng)的幾何圖，根據(jù)切線的性質(zhì)即可

求解.

【解答】解：(1)①如圖2,連接BN,過點8作BCEN于點3貝IEN=2E3

:點M,