2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線與圓易錯(cuò)題十大題型（解析版）

重難點(diǎn)12直線與圓易錯(cuò)題十大題型］口總、

眉邛題型解讀

滿分技巧/

易錯(cuò)一.斜率公式k=口中的條件0豐卬容易被忽略.

%2—％1

易錯(cuò)二.忽視直線斜率不存在的情況

由于直線的斜率k=tana,a為直線的傾斜角.，當(dāng)a=90。時(shí)k不存在，在解題時(shí)容易忽略.

易錯(cuò)三.混淆直線斜率與直線傾斜角的關(guān)系致錯(cuò)

直線的斜率是傾斜角的正切，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率，傾斜角為90。的直線沒(méi)有斜

率.

易錯(cuò)四忽略直線的截距為零的情況

在利用截距式工+(=1設(shè)方程時(shí)，容易忽略截距為零的情況.

ab

易錯(cuò)五.兩直線平行時(shí)忽略重合的情況

在求解兩條直線平行的問(wèn)題是，一定要檢驗(yàn)是否平行

易錯(cuò)六.忽視兩條平行直線距離公式系數(shù)統(tǒng)一

在運(yùn)用舉例公式時(shí)，不要忘記統(tǒng)一系數(shù)

易錯(cuò)七.半圓問(wèn)題不要忽略范圍

數(shù)形結(jié)合是通過(guò)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，來(lái)達(dá)到解題的目的，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)范圍的變化，在解題過(guò)

程中，應(yīng)注意.

易錯(cuò)八.圓的一般式方程忽視成立的條件

1.當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程，其圓心為

(DE)1I----------

-T,，半徑為r=;4D2+E2-4F.

(DE]

2.當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示點(diǎn)

V22)

3.當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何圖形.

易錯(cuò)九.求過(guò)一點(diǎn)的切線方程時(shí)忽略斜率不存在

求切線方程時(shí)，如果需要設(shè)直線的斜率時(shí)，需要考慮直線的斜率部存在的情況是否滿足題

意.

易錯(cuò)十.兩圓相切時(shí)忽略內(nèi)切外切兩個(gè)情況

圓與圓相切時(shí)，有兩種情況即內(nèi)切和外切，但是在題設(shè)告知相切的情形下，我們往往會(huì)考慮其中一種情況，

而忽視另外一種情況.

用覆題型提分練

題型1忽略斜率公式的應(yīng)用條件

【例題1](2023上?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第三十二中學(xué)校?？计谥?已知直線/：mx+y+1^0,

4(l,0),B(3,l)，則下列結(jié)論正確的是()

A.直線I恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)

B.當(dāng)m=1時(shí)，直線I的傾斜角為平

c.當(dāng)爪=0時(shí)，直線I的斜率不存在

D.當(dāng)m=2時(shí)，直線I與直線4B不垂直

【答案】B

【分析】山久+y+1=0中，令x=0時(shí),可求得I的必過(guò)點(diǎn)，可判定選項(xiàng)A；根據(jù)斜率公式求得直線I的斜

率，進(jìn)而可求得直線I的傾斜角，可判定選項(xiàng)B;當(dāng)爪=0時(shí)，求得直線I的斜率，即可判定選項(xiàng)C；當(dāng)m=2

時(shí)，求得直線I的斜率，在求得直線力B得斜率，即可判定兩者的位置關(guān)系，可判定選項(xiàng)D.

【詳解】l.mx+y+1=。中，令x=0時(shí)y=-1,

可得I恒過(guò)定點(diǎn)(0,-1),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)?n=1時(shí)，直線的斜率為m=-1,

則若傾斜角為a時(shí),tana=-1,且ae[o,])Ug,n),

則。=F，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)?n=0時(shí)，直線I為y=-1,斜率為0,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)m=2時(shí)，直線I的斜率為m=-2,

又%B=3=/

所以心B,即=；X(-2)=-1,

則直線I與直線4B垂直，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1-1]1.(2022上?江蘇連云港?高二期末)若4(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的

值為()

A.—2B.2C.—3D.3

【答案】D

【分析】先判定斜率存在，再由三點(diǎn)共線可得，任意兩個(gè)點(diǎn)組成直線斜率相等即可得結(jié)果

【詳解】因?yàn)?*1,直線力B斜率存在，a,B,C三點(diǎn)共線，則%B=kAC,

即方=#，解得爪=3.

故選：D

【變式1-1]2.（2023上云南曲靖?高三曲靖一中校考階段練習(xí)）若直線x+ysina+2=0（aeR）的傾斜

角的取值范圍是

【答案】曰

【分析】根據(jù)直線斜率求直線傾斜角范圍.

【詳解】設(shè)直線傾斜角為e,斜率為k=tan。,直線x+ysina+2=0（aeR）

當(dāng)sina=。時(shí)直線斜率不存在，止匕時(shí)傾斜角8為:；

當(dāng)sin"°時(shí)，化為斜截式為y=-熹％-導(dǎo)3eR），

仁一熹S6R），因?yàn)橐?Wsina<1,所以一熹￡（一%—1]u[1,+oo）,

即ke（―°°,—i]u[1,+co）,所以eGI；,]）u&雪;

綜上有：ee[；,?]?

故答案為：?用

【變式1-1]3.（2023上?河南三門(mén)峽?高二校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)4（科3）,8（-1,租）兩點(diǎn)的直線與直線I垂

直，直線I的斜率為-1，則6

【答案】1

【分析】根據(jù)直線垂直的條件，可得直線4B的斜率，利用斜率公式列式計(jì)算，即得答案.

【詳解】過(guò)點(diǎn)4（犯3）,B（-1,6）兩點(diǎn)的直線與直線I垂直，直線I的斜率為-1,

故直線4B的斜率為1,則小彳一1,且*合=1,m=1,

故答案為：1

【變式1-U4.（2023上?安徽亳州?高二蒙城縣第六中學(xué)校考期中）過(guò)430）,8（1,2）的直線的斜率大于2,

則滿足條件的一個(gè)a值可以為

【答案】|（滿足。<a<1的一個(gè)值即可）

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)檫^(guò)23,0）,8（1,2）的直線的斜率大于2,所以a力1,

則/c=>2,解得。<a<1.

1—a

故答案為：|（滿足0<a<1的一個(gè)值即可）

【變式1-1]5.（2023上?高二課時(shí)練習(xí)）已知4（-1,2）,8（科3）

Q）求直線AB的斜率k;

⑵已知實(shí)數(shù)爪e[-亨-1,。],求直線AB的傾斜角a的取值范圍.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

碇閘

【分析】（1）分巾=-1和小豐-1兩種情況，結(jié)合斜率公式可得；

（2）分巾=-1和小豐-1兩種情況，當(dāng)山力-1時(shí)，根據(jù)m的取值范圍求出斜率k的范圍，然后結(jié)合正切

函數(shù)圖象可解.

【詳解】（1）當(dāng)M=-1時(shí)，直線AB的斜率不存在，傾斜角為三；

當(dāng)m力—1時(shí)，由斜率公式得k=肅不=

（2）當(dāng)TH=-1時(shí)，直線AB的傾斜角為￡；

當(dāng)m豐一1時(shí)，因?yàn)閙G[-y-1,-1）U（-1,0],

所以m+le[-乎,O)U(O,1],

所以ke(―8,—代]u[1,+8).

由正切函數(shù)圖象可知，ae5u6,

>

X

綜上，傾斜角a的取值范圍為E,用

【變式1-U6.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知△48C中的兩個(gè)頂點(diǎn)是C(0,6),B(0,-6),AB邊與北邊所在直

線的斜率之積是］求頂點(diǎn)力的軌跡.

【答案】去掉頂點(diǎn)的雙曲線(—5=1(%羊0)

3681

【分析】設(shè)點(diǎn)4(x,y),進(jìn)而根據(jù)斜率之積直接計(jì)算即可得軌跡方程，再根據(jù)軌跡方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)力(x,y),因?yàn)锳ABC中的兩個(gè)頂點(diǎn)是C(0,6),B(0,-6),

所以，kAB=于,題。=呼，X#0

因?yàn)檫吪c2C邊所在直線的斜率之積是，

所以%B?%c=W=黑=；，整理得、Y=1H0)

所以，頂點(diǎn)力的軌跡方程為(-5=10片0),

OO01

所以，頂點(diǎn)4的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)，實(shí)軸為12,且去掉頂點(diǎn)的雙曲黛-5=1(%*0).

DOO1

題型2忽視直線斜率不存在

【例題212023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))"a?=1"是"直線x+ay=2與直線ax-y=2垂直"的條件(填

"充分不必要""必要不充分""充要"或"既不充分也不必要")

【答案】充分不必要

【分析】求出無(wú)論a為何值，均滿足兩條直線垂直，從而得到答案.

【詳解】當(dāng)a=。時(shí)，兩條直線方程分別為％=2和丫=-2,兩條直線垂直；

當(dāng)a力0時(shí)，直線x+ay-2的斜率的=—\直線ax—y—2的斜率0=a,

kr-k2=-l,兩直線垂直，

綜上，無(wú)論a為何值，均滿足兩條直線垂直，

所以"a?=J是"直線%+ay=2與直線a%一丫=2垂直”的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要

【變式(2023上?陜西西安?高二長(zhǎng)安一中?？计谥兄本€+y+1=0與直線=：4x+ay+2=0

平行，則實(shí)數(shù)a的值為

【答案】-2

【分析】利用兩直線平行時(shí)，利用法向量平行求解，求解出實(shí)數(shù)a的值后需要代入直線驗(yàn)證是否平行，若直

線重合則不符合題意應(yīng)舍去.

【詳解】法一：

直線L：ax+y+l=。的法向量為：&=(a,1)；

直線G：4x+ay+2-0的法向量為：(4,a)；

由于兩直線平行，則法向量平行，

所以1//E臺(tái)?=工，得到a=±2,

當(dāng)a=2時(shí)，兩直線重合，不符合題意；

當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線平行，故a=-2；

法二：

直線+y+1=0的斜率為七=-a；

直線%：4%+ay+2=0

當(dāng)a=。時(shí)，兩直線不平行；

當(dāng)a*。時(shí)，斜率為的=-;；

因?yàn)閮芍本€平行，則的=k2

所以-a='，貝11a=±2

a

當(dāng)a=2時(shí)，兩直線重合，不符合題意；

當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線平行，故a=-2

故答案為：-2

【變式2-1】2.(2020上天津?高二校聯(lián)考期中圮知點(diǎn)4(1,3)和點(diǎn)B(5,2)到直線珀勺距離相等且1過(guò)點(diǎn)(3,-1),

則直線1的方程為

【答案】x=3或x+4y+1=0.

【分析】求得4B的中點(diǎn)為M(3與及%B=，分直線/過(guò)線段4B的中點(diǎn)和直線/〃4B,兩種情況分類討論，

即可求解.

【詳解】由題意，點(diǎn)4(1,3)和點(diǎn)8(5,2),可得4B的中點(diǎn)為M(33,且％=-；，

因?yàn)辄c(diǎn)4(1,3)和點(diǎn)B(5,2)到直線/的距離相等，且/過(guò)點(diǎn)(3,-1),

當(dāng)直線2過(guò)線段48的中點(diǎn)M(3t)時(shí)，可得直線珀勺方程為％=3,此時(shí)點(diǎn)48到珀勺距離相等2,滿足題意；

當(dāng)直線，〃4B時(shí)，此時(shí)直線加勺斜率k=-1可得直線歷程為y-(-1)=-;(%-3),

即尤+4y+1=0,此時(shí)點(diǎn)2(1,3)和點(diǎn)B(5,2)到直線/的距離相等，

故答案為：工=3或x+4y+1=0.

【變式2-1J3.(2023上?四川涼山?高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期中)已知實(shí)數(shù)比,y滿足x-3y+5=0(1<x<4),

則箕的取值范圍為

【答案】(-8,-3]32,+8)

【分析】將胃轉(zhuǎn)化為％-3y+5=0(l<%<4)上的點(diǎn)和C(2,-1)構(gòu)成的直線的斜率，然后求斜率即可.

X—L

y可以看成X-3y+5=0(1<%<4)上的點(diǎn)和C(2,-1)構(gòu)成的直線的斜率,

X—Z

在％—3y+5=0(1<x<4)中令％=1得y=2,令％=4則y=3,

設(shè)4(1,2),8(4,3)，

則上"=怒=-3,kBC=言=2,

所以丐的范圍為(一8,—3]U2+8).

x—2

故答案為：(—8,—3]U[2,4-00)

【變式2-1]4.(多選)(2021上?河北邢臺(tái)?高二統(tǒng)考階段練習(xí))某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

分別為4(-3,-4),8(6,3)，交通樞紐C(0,-1),計(jì)劃經(jīng)過(guò)C修建一條馬路1(I看成一條直線,1的斜率為k),

則下列說(shuō)法正確的是()

A.若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路I的距離相等，貝此=竄垮

B.若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路I的距離相等，貝收=胡|

C.若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)位于馬路的兩側(cè)，則k的取值范圍為(右1)

D.若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)位于馬路的兩側(cè),則k的取值范圍為(-8,§u(1,+8)

【答案】AD

【分析】結(jié)合圖象，由兩點(diǎn)斜率公式求對(duì)滿足條件的直線的斜率.

【詳解】若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路I的距離相等，當(dāng)I與直線平行時(shí)，貝收=三3=(.

-3—0y

當(dāng)直線AB與I相交時(shí)，則直線過(guò)48的中點(diǎn)，又4B的中點(diǎn)為(|,一3,所以k=罷=[故k=拿%.

若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)位于馬路的兩側(cè)，則以°=芳=1,ABC=詈=；,故k的取值范圍為(-8,。u(1,+8),

故答案為：AD.

【變式2-1]5.（2023上?全國(guó)?高二專題練習(xí)）直線x+a2y+6=0和（a-2）%+3ay+2a=0無(wú)公共點(diǎn)，

則a的值為（）

A.-1或2B.0或3

C.-1或0D.-1或3

【答案】C

【分析】?jī)芍本€無(wú)公共點(diǎn)，由兩直線平行求解.

【詳解】當(dāng)a=。時(shí)，這兩條直線分別為x+6=。和久=0,無(wú)公共點(diǎn).

當(dāng)a于0時(shí)，等=,彳,，

解得a=-1.

綜上,a-0或a=-1.

故選：C

題型3混淆斜率與傾斜角的關(guān)系

【例題3]（2023上?遼寧?高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)直線的勺方程為x-ysirW-2=0,則直線珀勺傾

斜角a的范圍是（）

CY*]D.用電為

【答案】C

【分析】分sin。=0和sine豐0兩種情況討論，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.

【詳解】當(dāng)sine=0時(shí)，方程為x=2，傾斜角為a==

當(dāng)sin。中0時(shí)，直線的斜率k=tana=-^―,

因?yàn)閟in。G[—1,0)U(0,1]/貝(Jtana6(—00,—1]u[l,+oo),

所以a4討）ug刑;

綜上所述：線/的傾斜角a的范圍是仔,方

故選：C.

【變式3-1]1.（2023上?山東?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線sin60。久+cos30>+2=0的傾斜角是（）

A.30°B.60°C,135°D.150°

【答案】C

【分析】利用二倍的正弦公式求出斜率的值，再根據(jù)其與傾斜角之間的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】sin60°x+cos30°y+2=0,

則斜率為出史=-2sin30°cos30°=一2sin30。=-1,

則傾斜角tana=-1,又因?yàn)?。WaW180。，所以a=135。，

故選：C.

【變式3-1]2.（2023上河北石家莊?高二石家莊二中?？计谥校┲本€（4口2—24-2y+3=0（a為常數(shù)）

的傾斜角的取值范圍是（）

A.陪）陪沙.陪）U.]

C?需）u管,n）D.陪）唔,n）

【答案】D

【分析】求出直線的斜率的取值范圍，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可得出該直線傾斜角的取值范圍.

【詳解】設(shè)直線（4a2-2）x—2y+3=。的傾斜角為a，則0Wa<n,

直線的斜率為tana=^=2a2-l>-l,

當(dāng)一1<tana<0時(shí),則于<a<TT；

當(dāng)tana>0時(shí),則0<a<p

綜上所述，該直線的傾斜角的取值范圍是[。仁）U玲TI）.

故選：D.

【變式3-1]3.(2020上?浙江紹興,高二統(tǒng)考競(jìng)賽)已知點(diǎn)A(cos70°,sin7。。)，8(cos20°,sin20°),則直線AB

的傾斜角a=.

【答案】汐135。

【分析】先根據(jù)斜率公式表示出斜率，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后由斜率與傾斜角的關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(cos70o,sin70。),B(cos20°,sin20°),

所以直線48的斜率為k=器事

sin70°-cos(90°-20°)

=cos70°-sin(90°-20°)

_sin70°-cos700_1

cos70°-sin70°'

所以tana=-1,

因?yàn)閍G[0,n),所以a=平，

故答案為：雷.

【變式3-1]4.(2022?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)Q(-2,0),A(1,V3),B(1,-遮)，P為動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P

在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線PQ的傾斜角的取值范圍.

【答案】0°4a430°或150°4a<180°.

【分析】設(shè)直線PQ的傾斜角為a,線段AB與x軸的交點(diǎn)為M,然后結(jié)合圖象和傾斜角的定義可得答案.

【詳解】

設(shè)直線PQ的傾斜角為a,線段AB與x軸的交點(diǎn)為M.

當(dāng)點(diǎn)P在線段AM（含端點(diǎn)）上時(shí)，因?yàn)橐?QM=30。,所以0*a430。；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BM（含端點(diǎn)B但不含端點(diǎn)M）上時(shí)，因?yàn)镸QM=30。，所以150°<a<180°.

所以a的取值范圍為0°4a430°或150°4a<180°.

題型4截距式忽視過(guò)原點(diǎn)

【例題4】（多選）（2023上?陜西西安?高二?？计谥校┫铝忻}正確的是（）

A.任何直線方程都能表示為一般式

B.直線久+2y-4-。與直線2久-y+2-0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,2）

C.兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等

D.直線方程ax+（a+l）y=a（a+1）可化為截距式為+，=1

【答案】AB

【分析】根據(jù)一般式方程判斷A,求出方程組的解，即可判斷B,根據(jù)兩直線平行的充要條件判斷C,利用

特殊值判斷D.

【詳解】對(duì)于A:直線的一般是方程為：力x+By+C=0,

當(dāng)4=0,B力0時(shí)，方程表示垂直y軸的直線；

當(dāng)2不0,B=0時(shí)，方程表示垂直x軸的直線；

當(dāng)2力0,B力0時(shí)，方程表示任意一條不垂直于久軸和y軸的直線；故A正確.

對(duì)于B:聯(lián)立二:，解得二;，故B正確.

對(duì)于C：兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C錯(cuò).

對(duì)于D:若a=0或。=—1時(shí)，式子W+廿=1顯然無(wú)意義，故D錯(cuò).

a+1a

故選：AB.

【變式4-1】1.（多選）（2023上?安徽銅陵?高二校聯(lián)考期中）過(guò)點(diǎn)P（2,l）且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值

相等的直線方程為（）

A.x+y-3=0B.%+y+3=0C.x—y—1=0D.x-2y=0

【答案】ACD

【分析】利用截距式的求法，討論截距的絕對(duì)值相等的情況，在進(jìn)行截距式假設(shè)時(shí)，分截距為0,截距不為

0進(jìn)行假設(shè).

【詳解】當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的截距式方程為壬+（=1,

由題可得'+2=1,

l|a|=\b\,

所以％+g=L或k+片1,

解得《二閾二之,

所以直線方程為X+y-3=?；騒-丫-1=0,故A,C正確；

當(dāng)直線的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx,

由題可知k=|,故直線方程為久—2y=0,D正確.

故選：ACD

【變式4-1]2.（多選）（2023上浙江?高二校聯(lián)考期中）直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-3）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距

的絕對(duì)值相等，則直線I的方程可能是（）

A.3%+2y=0B.2%+3y=0C.x—y—5=0D.x+y+l=0

【答案】ACD

【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，分別設(shè)直線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線y=kx,則-3=2k，得k=-|,

即y=—|x,整理為3x+2y=0,

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)直線+?=1,

貝%+寧=1，得a=-1,方程為x+y+1=0,

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距相反時(shí)，設(shè)直線+孑=1,

貝%+言=1，得a=5,方程為x-y-5=0.

故選:ACD

【變式4-1]3.(2023上?湖北?高二員印日中學(xué)校聯(lián)考期中)已知直線I：(a+2)x+(l-a)y+a-7=0,

aGR.

⑴證明：直線I過(guò)定點(diǎn)P,并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)直線I與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,當(dāng)截距相等時(shí)，求直線I的方程.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析，P(2,3);

(2)y=或x+y—5=0.

【分析】(1)變形給定方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即得.

(2)按直線/是否過(guò)原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.

【詳解】(1)方程(a+2)x+(1—d)y+a—7-0變形為：a(x—y+1)+2x+y—7—0,

由｛2二710解得X=2，y=3,顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)a,當(dāng)久=2,y=3時(shí),方程恒成立,

所以直線I恒過(guò)定點(diǎn)P(2,3).

(2)由(1)知直線I過(guò)點(diǎn)P(2,3),

當(dāng)截距為0時(shí)，即直線I過(guò)原點(diǎn)，直線I方程為：y=|乂；

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線I方程為一+廿=1,則有？+三=1,解得a=5,

aaaa

此時(shí)直線I的方程為：X+y—5=0,

所以直線I的方程為：y=或無(wú)+y—5=0.

【變式4-1]4.(2023上?黑龍江哈爾濱?高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？计谥?已知(2即)為直

線1:x+y+l=0的方向向量，M(l,0),^(2m-l,m),A為MN的中點(diǎn).

(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)若直線〃過(guò)點(diǎn)A,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的]求直線，的方程；

【答案】(1)(-2,-1)

(2)x-2y—0或x+2y+4=0

【分析】(1)根據(jù)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系可得巾=-2,再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式運(yùn)算求解；

(2)分類討論直線?是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，利用直線截距式方程求解.

【詳解】(1)因?yàn)橹本€/：x+y+1=0的斜率k=-1,

由題意可得：￡=一1，解得m=-2,

則M(1,O),N(-5,-2),所以MN的中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(手,牛),即(-2,-1).

(2)因?yàn)橹本€，過(guò)點(diǎn)4(-2,-1),設(shè)直線，在x軸上的截距為a,則在v軸上的截距是的初,

則當(dāng)直線廠過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，符合題意，此時(shí)直線方程為y=,即x-2y=0；

當(dāng)直線1'的橫縱截距均不為零時(shí)，設(shè)直線，的方程為三+3=1,

a2a

代入點(diǎn)(―2,-1),得二+—=1,解得a=-4z

a產(chǎn)

此時(shí)直線r的方程為；+看=1,即％+2y+4=0,

—4—L

綜上所述：直線，的方程為X—2y=0或x+2y+4=0.

題型5平行問(wèn)題忽視重合

【例題5](2023上?四川涼山?高二統(tǒng)考期中)直線匕：2x+ay+2=0/2：(a=l)x+y-2=0,貝廣a=

2"是21%"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件，求得a的值，再根據(jù)a=2判定兩直線的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷兩命題的

關(guān)系.

【詳解】=早解得a=2或a=-l,a=-1時(shí)，與重合，不合題意

所以a=2

a=2時(shí)，l/x+y+1=0;I2；x+y-2=0,Z1//Z2

故選：C.

【變式5-1]1.（2023上?山東濰坊?高二統(tǒng)考期中）已知直線匕：（機(jī)+1）久+y+爪=0七：久+（爪+Dy-

2=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若L與1湘交,則小中一2B.若I]與q平行,則爪=-2

C.若匕與G垂直，則爪=-1D.若k與%重合,則機(jī)=0

【答案】C

【分析】先根據(jù)I"/%求解出小的可能值，然后檢驗(yàn)是否可能兩直線重合，由此可判斷ABD;然后根據(jù)匕112

列出等量關(guān)系求解出血的值，由此可判斷C.

【詳解】當(dāng)j/G時(shí)，（爪+1尸一1=0,解得爪=?；蜃?-2,

若巾=0,貝”i：x+y=0,l2:x+y-2=0,此時(shí)/"/G,

若m=-2,則乙:一刀+y-2-0,l2:x—y—2=0,此時(shí)乙//},

由上可知：LG不可能重合，故D錯(cuò)誤；

若匕與/湘交,則m豐-2且m片。，故A錯(cuò)誤；

若%/〃2，則爪=0或〃=-2,故B錯(cuò)誤；

若li112,則有（巾+l）xl+lx（m+l）=0,則m=-1,故C正確；

故選：C.

【變式5-1]2.（2023上福建泉州?高二泉州市城東中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線0：%-（a-l）y-a-2=0

與G:ax-2y-2=0平行，貝!|a的值是（）

A.1B.2C.l或2D.-1或2

【答案】D

【分析】依題意可得1x(-2)=-(a-l)a,解得a的值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)橹本€，1：%—(a—l)y—a—2=0與％'ctx—2y—2=0平行，

所以1x(—2)=—(a—l)a,解得a=—1或a=2,

當(dāng)a=-1時(shí)直線。：x+2y-1=0與％:%+2y+2=0平行，

當(dāng)a=2時(shí)直線。：x-y-4=0與%：x-y-1=0平行，

所以a=-1或a=2.

故選：D

【變式5-1]3.(2023上?河南?高二校聯(lián)考期中)％=4〃是〃直線①5+2%+?+2=0和直線

G：(。一l)x+(a-2)y-1=。平行〃的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件及充分條件、必要條件判斷即可.

【詳解】當(dāng)a=4時(shí)，lr:3x+2y+1=0,l2:3x+2y-1=0,兩直線斜率都為k=一|且不重合，所以兩

直線平行；

當(dāng)兩直線平行時(shí)，由(a+2)(a—2)—a(a—1)=0,即a—4=0,解得a=4,

經(jīng)檢驗(yàn)a=4時(shí),兩直線平行，故a=4.

綜上可知，"a=4"是"直線0:(a+2)x+ay+2=。和直線6(a-l)x+(a-2)y-l=0平行"的充要

條件

故選：C

【變式5-1J4.（2023上?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）已知直線久+（m+l）y+m-2=0,Z2:2mx+4y+

16=。平行，則這兩條平行直線之間的距離為

【答案】等

【分析】利用兩直線平行的性質(zhì)即可判斷m=1,然后利用平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】已知兩直線平行，

則1x4—2mx（m+1）=0z解得zn=—2或1,

當(dāng)m=-2時(shí)，兩直線方程相同，舍去,

當(dāng)m=1時(shí)，lr'.x+2y-1=0,Z2:x+2y+8=0,

則兩直線間距離為需=￥

故答案為：V

【變式5-1]5.（多選）（2023上?四川涼山?高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線匕:久+（a-l）y+1=0,

直線12：a比+2y+2=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A在x軸上的截距為-1B恒過(guò)定點(diǎn)（0，-1）

C.若I】II12,則a——1或a-2D.若匕112,貝（la—|

【答案】ABD

【分析】利用截距的定義可判定A,利用直線方程可判定B,利用兩直線位置關(guān)系可判定C、D.

【詳解】直線匕：%+（a-l）y+1=。中令y=0=汽=一1,即A正確；

直線+2y+2=0中％=0=y=—1,即B正確；

若兩直線平行，則有1x2=a（a-1）,1x2Wax1,可得a=-1，故C錯(cuò)誤；

若兩直線垂直,則有1xa+2（a一l）=0=a=[故D正確.

故選：ABD

【變式5-1]6.（2022上?安徽黃山?高二校聯(lián)考期中）已知直線%:（2。+1）%-（a+2）y+3=0M^Z2:（a-

1)%+2y+2=0.

⑴若〃〃，2，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若%112,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(l)a=0

(2)a=￡或a=—I

【分析】(1)%：力iX+8iy+C\=0,%：A2x+B2y+C2=0,若匕〃%,則必當(dāng)一44=0,求出參數(shù)

后，需代入驗(yàn)證，排除兩直線重合的情況；

(2)J:&x+Biy+的=0,Z2:A2x+B2y+C2=0,若七，則①久+當(dāng)鳥(niǎo)？=0,由此求參數(shù)即可.

【詳解】(1)因?yàn)閗〃(2，所以(2a+I)x2-(a-l)[-(a+2)]=0,

整理得：a2+5a=0,即：a(a+5)=0,解得：a=?；騛=-5,

當(dāng)a=0時(shí)，/i：x—2y+3=0,l2:—x+2y+2=0,即x—2y—2=0,符合題意；

當(dāng)a=—5時(shí)，Zx:—9x+3y+3=0,即3%—y—1=0,

l2:-6x+2y+2=0,即3x—y-1=0,此時(shí)乙與G重合，不符合題意.

所以a=0.

(2)因?yàn)?]112,所以(2a+l)(a—1)+[―(a+2)]x2=0,

整理得：2a2-3a-5=0,即：(2a-5)(a+1)=0,解得：a=域a=-1,

所以a=(或a=-1.

題型6平行線距離公式忽視系數(shù)統(tǒng)一

【例題6】(2023上四11涼山?高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期中)兩條平行直線x+2y-l=0與ax+4y-3=0

之間的距離為()

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行得到a=2,然后利用兩平行線間的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閮芍本€平行，所以：=*力彳，解得。=2，

1z—1

所以直線a%+4y—3=。為2%+4y—3=0,即％+2y—|=0,

所以兩平行線之間的距離d==條

V1Z+2Z10

故選：C.

【變式6-1]1.（2023上?四川涼山?高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)P是直線I：3%-y-6=0與x軸的交點(diǎn)，直

線I繞點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到直線則直線乙與直線4x+2y+l=0之間的距離為（）

A在B.小CYD.2

551010

【答案】D

【分析】設(shè)直線3乂-y-6=。的傾斜角為a,可得tana=3和P（2,0）,根據(jù)兩角和的正切公式，求得直線

的斜率為k=-2，結(jié)合點(diǎn)斜式方程以及距離公式，即可求解.

【詳解】由直線3x-y-6=0,令y=0,解得比=2,即直線與x軸的交點(diǎn)為P（2,0）,

設(shè)直線，的傾斜角為a,可得tana=3,

tana+tan45°3+1

則tan(a+45°)=-2,

l-tanatan45°1-3x1

即把1繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到直線0的斜率為k=-2,

所以直線〃的方程為y--2(%-2),即2x+y—4=0.

直線4x+2y+1=。的斜率為-2,則直線乙與直線4x+2y+l=0平行.

則直線，1與直線4%+2y+l=0之間的距離為d=塔言打=誓.

故選：D

【變式6-1J2.（多選X2023上?云南昆明?高一?？计谥校┮阎本€L：ax+y-1=0八=2久+（a+l）y-

2a=0：,且[1/J，則（）

A.a=—2B.a=1

C4與直線X+2y=。垂直D與%與間的距離為平

【答案】ACD

【分析】根據(jù)兩直線平行的系數(shù)要求，求出a的值，然后根據(jù)垂直要求判斷直線是否垂直，根據(jù)平行線間距

離公式求其距離.

【詳解】當(dāng)匕〃％時(shí)，則a(a+1)=2,解得a=1或a=-2.

若a=1,則。：K+丫一1=0,12：*+3/-1=。，/132重合，故a=1不符合題意；

若a=-2,則。：2x-y+l=0,/2：2x-y+4=0/^//12,所以。與間的距離為去=￥-

由一2xl+lx2=0,得匕與直線％+2y=0垂直.

故選：ACD.

【變式6-1]3.(多選)(2023上?廣東廣州?高二校聯(lián)考期中)已知a￡R,直線II：X+ay-a=0,直線

，2:a%—(2a—3)y+a—2=0,貝[|()

A.若,則a=1或-3B.若,貝必與G間距離為等

C.若匕1%，貝必=0或2D.若I在x軸和y軸上的截距相等，貝必=1

【答案】BC

【分析】利用直線的平行、直線的垂直、平行直線的距離公式、直線的一般式方程和截距式方程逐項(xiàng)分析

運(yùn)算判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由題意,若I//%,則有1x[-(2a-3)]-axa=0,

解得：a=1或-3,

當(dāng)a=1時(shí),直線I]：x+y—1=。和直線％x+y—1=。重合,

當(dāng)a=—3時(shí)，直線I]：x—3y+3=0和直線G：-3%+9y—5=0平行，

綜上，a=—3,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由A知，當(dāng)a=-3時(shí)，直線0：%-3y+3=0和直線％：-3%+9y-5=0平行z

直線12方程可化為％-3y+|=0,由平行直線間的距離公式可求得：

。與G間距離為點(diǎn)\=警，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,直線。：x+ay—a=0和直線%:-(2a—3)y+a—2=0垂直，

則有1xa+ax[-(2a-3)]=0z解得：a=。或2,所以，a=0或2,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)a=2時(shí)，直線7：2%-y=0過(guò)原點(diǎn)，在X軸和y軸上的截距相等，

當(dāng)aW2時(shí)，直線％方程可化為截距式方程a+當(dāng)=1，則有立=號(hào)，

--------------Cl5-Z.CL

a3-2a

解得：a=1,

綜上，若％在X軸和y軸上的截距相等，貝必=2或a=1,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【變式6-1】4.(2023上?貴州?高二校聯(lián)考期中)已知兩條平行直線0：2x+y+l=0,l2：ax+2y+c=0

間的距離為遙,貝！!a+c=.

【答案】-4或16

【分析】可先通過(guò)兩直線平行求出參數(shù)a，接著將兩直線的變量系數(shù)化為一致，再利用距離公式求解即可.

【詳解】因?yàn)?，所?x2-lxa=0,解得a=4,

則^2：4x+2y+c=0,可化直線匕為4x+2y+2=0,

所以匕與12的距離為黑？=V5,解得c=-8或c=12

貝！|a+c=-4或a+c=16.

【變式6-1]5.(2023上?四川內(nèi)江?高二校考期中)兩平行直線。：2久+y+1=0,%：a久+2y+3=0的

距離為

【分析】通過(guò)平行的條件求出a,然后利用平行線直接的距離公式求解即可.

【詳解】?jī)蓷l直線，1:2%+y+1=0與J:ax+2y+3=0平行,可得]=：士，

所以a=4,所以%：4%+2y+3=0即2%+y+|=0z

則。與G間的距離是：;

故答案為：得

題型7半圓問(wèn)題忽視范圍

【例題7](2023上?江蘇無(wú)錫?高二校聯(lián)考期中)若直線y=-%+6與曲線x=萬(wàn)干恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

則b的取值范圍是()

A.[—■\/2,V2]B.[―1,V2]C.[―1,1)u(V2}D.(―1,1]u[—■\/2)

【答案】c

【分析】由題意作圖，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案.

【詳解】由曲線X=位于，可得/+y2=l,其中X>0,表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的右半圓，y=

—x+6是傾斜角為135。的直線，其與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況：

(1)直線與半圓相切，根據(jù)d=r,所以d=號(hào)=1,結(jié)合圖象，可得：b=”；

(2)直線與半圓的下半部分相交于一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知be[-1,1).綜上可知：be[-1,1)u{V2}.

【變式7-1]1.(2023上?廣東廣州?高二校聯(lián)考期中)已知直線y=k(x+1)與曲線y=—(x—2尸有兩

個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A」。，等)B.(0,等)

c.2V5D.(T，O

【答案】A

【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，曲線為半圓，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】由y=J4Tx-2)2可得(X-2)2+y2=4(y>0),即曲線為半圓，

又直線y=+1)過(guò)定點(diǎn)(一1,0),

作直線與曲線圖象，如圖，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，|4B|=3,|4。=2,\BC\=J|4B|2—％C|2=V5,

故可得直線斜率k=需=等，

\DC\5

由圖象知，當(dāng)直線斜率0Wk<爭(zhēng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

故選：A

【變式7-1】2.(2021?高二課時(shí)練習(xí)錯(cuò)直線1:k久-y-2=0與曲線C:-(y-1尸=%-1有兩個(gè)交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A-(?21B-(?4)C-[-2^)U(?2]D-(?+co)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可得曲線C是以(1,1)為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.

【詳解】由c：一(y—1)2=X-1,可得(x-I)2+(y-I)2=1且X>1,

所以曲線是以(LD為圓心，1為半徑為的右半圓，

直線過(guò)定點(diǎn)(。，-2),斜率為k,如圖,

當(dāng)直線過(guò)(1,0)時(shí)，I與曲線c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得k=2,

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，則器震=1,0<k<2,解得k=J

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(J,2]

故選：A.

【變式7-1]3.(2023上河北保定?高二統(tǒng)考期中)已知直線2：kx-y-3k+4=0與曲線y=歷不有

且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為

【答案】(|,+8)U圖

【分析】結(jié)合題設(shè)可知直線I過(guò)定點(diǎn)4(3,4),曲線y=歷?為原點(diǎn)為圓心，3為半徑的上半圓，結(jié)合圖形

及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【1?羊解】由，:kx—y—3k+4=0,即—3)—(y—4)——0,

所以直線I過(guò)定點(diǎn)4(3,4),

由y=V9—x2,即/+y2=9(y>0),

所以曲線y=為原點(diǎn)為圓心，3為半徑的上半圓，

如圖所示，設(shè)/：fcx-y-3fc+4=0與曲線y=V9-五相切于點(diǎn)c,

曲線y=歷?與久軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8(-3,0),

由費(fèi)=3,解得k=g可得%c=?

要使直線I：/ex-y-3/c+4=。與曲線y=79-％2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則k>(或憶=5，

即k的取值范圍為信+8)u｛業(yè)

螃案為：(|,+8)U圖.

【變式7-1]4.(2023上?甘肅白銀?高二?？计谥?關(guān)于x的方程VT中-kx+k-l=0有兩個(gè)不等的

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

【答案】(0月

【分析】方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為半圓y=VT中與直線y=kx—k+1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖

形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

【詳解】關(guān)于X的方程V1-/-/ex+fc-1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即為半圓y=71-%2與直線y=kx-

k+1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出半圓和直線，如圖，

半圓在左軸上點(diǎn)為4(-1,0),8(1,0),直線過(guò)定點(diǎn),由圖可知：

“丹=｝，直線PC：y=1是半圓的切線，

當(dāng)0<kW扣寸，直線y=kx-k+1與半圓y=41-％2有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

故答案為：(0點(diǎn).

題型8圓的一般方程忽視成立條件

【例題8](2023上河北?高二校聯(lián)考期中)若方程/+y2+鈕+2y—爪=。表示一個(gè)圓，則m的取值

范圍是()

A.(—co,-5)B.(—5,+oo)C.(—oo,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.

【詳解】因?yàn)榉匠?+y2+4x+2y-m-0表示一個(gè)圓，所以42+22+4m>0,解得m>-5.

故選：B

【變式8-1]1.(2023上湖北武漢?高二華中師大一附中?？计谥?"k>4"是"方卷2+丫2+依+(左一

2)y+5=。表示圓的方程"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)乂2+y2+kx+(k-2)y+5=。表示圓得到k<-2或k>4,然后判斷充分性和必要性即可.

【詳解】若/+y2+kx+(,k—2)y+5=0表示圓，則小+(fc—2)2—4x5>0,解得k<一2或k>4,

k>4可以推出/+*+上芯+住_2)y+5=0表示圓，滿足充分性,

x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圓不能推出k>4,不滿足必要性，

所以k>4是%2+y2+卜乂+(k-2)y+5=。表示圓的充分不必要條件.

故選：A.

【變式8-1】2.(2023上?北京豐臺(tái)?高二統(tǒng)考期中)已知圓C：/+y2_mx+3y+3=