2025年新高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：立體幾何與空間向量十二大重點題型（原卷版）

專題1-8立體幾何與空間向量十二大重點題型匯總

。常考題型目錄

題型1空間向量的概念............................................................1

題型2空間向量的線性運算........................................................2

題型3空間向量的線性表示........................................................4

題型4空間向量的基本定理........................................................5

題型5空間向量共線問題..........................................................6

題型6空間向量共面問題..........................................................7

題型7空間向量的數(shù)量積、夾角與模長問題.........................................9

題型8空間向量的對稱問題.......................................................11

題型9利用空間向量證明位置關(guān)系.................................................12

題型10利用空間向量計算空間角..................................................14

題型11利用空間向量算距離......................................................16

題型12空間中的動點問題........................................................18

但題型分類

題型1空間向量的概念

【例題1]（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知正方體ABCD-的中心為。，則在下列

各結(jié)論中正確的共有（）

①次+礪與痔+比7是一對相反向量；

②而-沆與而-亦是一對相反向量；

③瓦？+OB+OC+而與。不+OB7+OC7+亦是一對相反向量；

④布-耐與反-沆7是一對相反向量.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-1]1.（2023秋?高二課時練習(xí)）下列命題中為真命題的是（）

A.空間向量荏與瓦5的長度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓

C.空間向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個空間向量的模必不相等

【變式1-1]2.（2022?高二課時練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.零向量沒有方向

B.空間向量不可以平行移動

C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等

D.同向且等長的有向線段表示同一向量

【變式1-1]3.（多選）（2023秋湖北襄陽?高二襄陽五中?？奸_學(xué)考試）如圖所示，在長

方體A8CD—4/IGA中，=3,4。=2,,則在以八個頂點中的兩個分別為始

A.單位向量有8個B.與屈相等的向量有3個

C.京的相反向量有4個D.模為函的向量有4個

【變式1-1]4.（2021秋?高二課時練習(xí)）給出下列幾個命題：

①方向相反的兩個向量是相反向量；

②若|初=\b\,貝!=3或N=-b；

③對于任何向量a,b,必有n+b\<\a\+\b\.

其中正確命題的序號為.

題型2空間向量的線性運算

【例題2]（2023秋?河北石家莊?高二石家莊二十三中?？计谀┮阎拿骟wABC。，G是CD

的中點，連接4G,則通+|（5D+BC）=（）

A.AGB.CGC.BCD.-2BC

【變式2-1]1.（2021秋?吉林長春?高二校聯(lián)考期末）空間任意五個點4B、C、D、E,

則+AE+~CD-CB+麗等于

A.DBB.ACC.ABD.BA

【變式2-1]2.（2023秋?北京?高二北京八中?？计谀┤鐖D，在空間四邊形力BCD中，設(shè)

E,F分別是BC,CD的中點，貝1]而+|（BC-BD）=（）

A.ADB.FAC.AFD.￡T

【變式2-1]3.（2020秋?內(nèi)蒙古烏蘭察布?高二校考期末）已知點2（4,1,3）,5（2,-5,1）,

若而=[布，則點C的坐標(biāo)為（）

17

A.*72

【變式2-1J4.（2020秋福建三明?高二校聯(lián)考期末）已知4（1,-2,0）和向量五=（-3,4,12）,

且=2五，則點B的坐標(biāo)為

A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(—6,8,24)D.(-5,6,24)

【變式2-1]5.（2020秋?寧夏銀川?高二寧夏育才中學(xué)校考期末）已知五=（2,-3,1）,b=

(2,0,3),c=(1,0,2),則五+6b-8c=

題型3空間向量的線性表示

【例題3](2023春?江蘇?高二期末)如圖，在四面體OABC中，布=2,南=39=,點

M在OA上，且滿足麗=3MA,N為BC的中點，則而=()

A1-?37^1-?Q2->17^1->廠1->27^1-?p.3-?17^1-)

——DD.-D

A.2-a4+2-c——3a+-b2+-c2C.-2a——3b+-2cU.——4a+2+-2c

【變式3-1]1.（2023秋?安徽黃山?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱4BC-A/?中，E、

F分別是BC、CG的中點，G為△力8c的重心，則瑞=（）

A.-^AB+^AC+^AAlB-荏+2尼+三京

332L332L

C.-^AB+^AC-^AA；D一屈，前+白河

3321332L

【變式3-1]2.（2023秋廣西防城港?高二統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)。為平行四邊形力BCD所在

平面外任意一點，石為。。的中點，若布=^OD+xOA+yOB,則x+y的值是（）

A.-2B.0C.-1D.-

2

【變式3-1]3.（2023秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知空間四邊形。ABC,M,N

分別是邊OA,BC的中點，點G滿足標(biāo)=2GN，設(shè)耐=a,OB=b,OC=c，則而=（）

i.ir.in1.1r.1IIrI

AA.—dH—bH—cD.—ci4—bH—cC.—ci4—bH—cL）.—ct—bH—c

333633366666

【變式3-1J4.（2023秋?北京?高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?yīng)平行六面體48CD-

中，點M:兩足2ZM=AC.右4/1=CL,AID^=b,A^A=c/則下列向量中與相

等的是（）

A.-a--b+cB.-a+-b+c

2222

C.——a+-b+cu.——a——b+c

2222

【變式3-1]5.（2021秋?湖北宜昌?高二葛洲壩中學(xué)?？计谀┰诶忾L為1的正方體4BCD-

中，E,F,G分別在棱上,且滿足戰(zhàn)=:兩,BF=^BC,BG=,

。是平面BiGF,平面"E與平面的一^公共點，設(shè)前=xBG+yBF+zBE,則x+

y+z=

A.B.-C.-D.-

5555

題型4空間向量的基本定理

【例題4】（2023春?河南開封?高二統(tǒng)考期末）若優(yōu)3。構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量

可以構(gòu)成空間基底的是（）

A.a+b,a—b,aB.a-\-b,a—b,bC.a+b,d—b,b+cD.a+b,d+b-\-c,c

【變式4-1]1.（2020秋?河南信陽?高二統(tǒng)考期末）已知五=（2,—1,3）,b=（-1,4,-2）,

c=（7,5,A）,若佰b,4不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)A的值為（）

A.0B.-C.9D.-

77

【變式4-1]2.（2023秋?云南大理?高二統(tǒng)考期末）若｛可互瓦｝是空間的一個基底，且向

量｛市=西+宅+百赤=瓦-2瓦+2國方=西+3瓦+福｝不能構(gòu)成空間的一個基

底，貝心=（）

A.-B.-C.-iD.-

3244

【變式4-1】3.（多選）（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）但石,已是空間的一個基底，與

2+aN+群勾成基底的一個向量可以是（）

A.b+cB.fo-cC.bD.c

【變式4-1]4.（多選）（2022秋廣東深圳?高二深圳外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)｛匕b,百是

空間一個基底，則下列選項中正確的是（）

A.若21b,bLc,貝！1c

B.a+c,b+c,c+2一定能構(gòu)成空間的一個基底

C.對空間中的任一向量力，總存在有序?qū)崝?shù)組Q,y,z），使萬^xa+yb+zc

D.存在有序?qū)崝?shù)對，使得a=xa+yb

題型5空間向量共線問題

【例題512023春?甘肅白銀?高二校考期末股向量/百石不共面，已知荏=前+五+百，

前=瓦+2夙+藥，麗=4瓦+8夙+4瓦，若人，（：，口三點共線，貝以=（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1]1.（2022秋?吉林四平?高二四平市第一高級中學(xué)校考期末）已知他石,乙是空

間的一個基底，若沅=a+2b—3c,n—x（a+b）—y（b+c）+3（a+c），若布||元，則]=（）

A.-3B.-iC.3D.i

33

【變式5-1】2.（多選）（2023春安徽滁州?高二校考期末）如圖,在三棱由18C-a/Q

中，P為空間一點，且滿足前=ABC+〃西,A,/ZG[0,1],則（）

A.當(dāng)4=1時，點P在棱BBi上B.當(dāng)4=1時，點P在棱4G上

C.當(dāng)4+白=1時，點P在線段/C上D.當(dāng)4=“時，點P在線段8G上

【變式5-1]3.（2021秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）若向量N=（-4,2,1）與向量辦=（2,x,y）

共線,貝1k-y=.

【變式5-1]4.（2023秋?湖南長沙?高二統(tǒng)考期末）已知向量五=（15-1）,3=（—2,3,5）.

（1）若（k五+母〃（五-3b）,求k的值；

（2）以坐標(biāo)原點。為起點作瓦5=a,OB=b,求點。到直線4B的距離d.

題型6空間向量共面問題

【例題6]（2020秋?寧夏銀川?高二寧夏育才中學(xué)?？计谀〢,B,C三點不共線，對空間

..T2T1T1T

內(nèi)任意一點O,若。p=”a+*B+*c）[]P,A,B,C四點（）

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷是否共面

【變式6-1】1.（多選）（2020秋?山東煙臺?高二統(tǒng)考期末）已知A,B,C三點不共線，

O為平面ABC外的任一點,則"點M與點A,B,C共面”的充分條件的是（）

A.麗=20A-OB-OCB.OM^OA+OB-0C

------------------1、、1、-1、1、

C.0M=OA+-OB+-0CD.0M=-0A+-OB+-0C

23236

【變式6-1]2.（2023春福建莆田?高二統(tǒng)考期末）若點Pe平面28C,且對空間內(nèi)任意一

點。滿足而=；讖+4而+J反，則屈勺值是（）

4o

A.--B.--C.-D.-

8888

【變式6-1]3.（2023秋?遼寧丹東?高二統(tǒng)考期末）已知空間向量N=（-2,1,-4）,b=

（1,-1,2）,c=（一7,-5刖）若,a,b,洪面，則實數(shù)m的值為（）

A.-14B.6C.-10D.12

【變式6-1]4.（2023秋?重慶長壽?高二統(tǒng)考期末）已知空間三點坐標(biāo)分別為4（1,1,1）,

5（0,3,0）,C（-2,-1,4）,點P（-3,居1）在平面A8C內(nèi),則實數(shù)x的值為

【變式6-1]5.（2021?全國?高二期末）如圖,已知0、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個

點，且。E=kOA,OF=kOB,OH-kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k,mGR.

⑴A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面；

⑵初質(zhì);

（3）OG=kOC.

【變式6-1]6.（2022秋廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體A8CD-a/iGA中，

M,N,E,F分別為棱4B,BC,44i，0iCi的中點,連接CDi，EM,MN,EN,NF,EF.

⑴證明：〃平面EMN；

⑵證明：E,F,N,M四點共面.

題型7空間向量的數(shù)量積、夾角與模長問題

【例題7]（2023秋?內(nèi)蒙古包頭?高二統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體ABCD-&B1GA所有

棱長都為1，底面2BCD為正方形，乙41aB=^AD=60°.則對角線4G的長度為（）

A.V6B.V5C.2D.V3

【變式7-1]1.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，二面角2-

EF-C的大小為45。，四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則8、。兩點間的距離是

（）

A.V2B.V3C.73-V2D.73+72

【變式7-1】2.（2023春?四川?高二統(tǒng)考期末）如圖所示，平行六面體ABCD-也中，

以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。,求西■前的值是（）

【變式7-1]3.（多選）（2021秋?江蘇?高二校聯(lián)考期末）在三維空間中，定義向量的外積：

dX3叫做向量a與笳勺外積,它是一個向量，滿足下列兩個條件：

①210x司，3，0x可，目五，舜口Nx訴勾成右手系（即三個向量的方向依次與右手的

拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；

②nx3的模恒x同=同同sin（&㈤（值，3）表示向量日,3的夾角）.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有以下四個結(jié)論,正確的有（）

A.\AB1XAC\=\AD1X~DB\B.&C；x幣與西共線

C.ABxAD=ADxABD.6|前x與正方體表面積的數(shù)值相等

【變式7-1]4.（2022秋?浙江金華?高二校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐P-4BC中,AB1BC,

PA，平面ABC,AE1PB于點E,M是AC的中點,PB=1廁所?前的最小值為.

【變式7-1]5.(2022秋?浙江臺州?高二校聯(lián)考期末)已知2=(2,-2,0),b=(fc,0,3),a,

旗角為與，則k=.

【變式7-1]6.(2023秋?吉林白城?高二?？计谀?已知2=(x,4,l),b=(-2,y,-l),c=

(3,—2,z),a.//b,b1c,：

a)a,b,c-,

(2)a+c^b+才所成角的余弦值.

題型8空間向量的對稱問題

【例題8](2023春?山東濰坊?高二統(tǒng)考期末)在空間直角坐標(biāo)系中，。為原點，已知點

P(l,2,—1),4(0,1,2),貝U()

A.點P關(guān)于點4的對稱點為(2,3,-4)

B.點P關(guān)于左軸的對稱點為(1,-2,-1)

C.點P關(guān)于y軸的對稱點為(-1,2,1)

D.點P關(guān)于平面久Oy的對稱點為(1,-2,1)

【變式8-1]1.(2022秋?山東聊城?高二統(tǒng)考期末)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點

2(1,百2)關(guān)于y軸的對稱點為8,則點P(0,0,l)到平面CMB的距離為()

A.-B.立C.-D.i

5432

【變式8-1]2.(2022秋?山東日照?高二校聯(lián)考期末)設(shè)點4(1,-1,&)關(guān)于坐標(biāo)原點的對

稱點是B,則|48|等于()

A.4B.2V3C.2V2D.2

【變式8-1]3.(2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀?在空間直角坐標(biāo)

系中,點4(2,-1,3)關(guān)于。孫平面的對稱點為8,則a-05=()

A.-4B.-10C.4D.10

【變式8-1]4.(2021秋安徽黃山?高二南鄭中學(xué)統(tǒng)考期末)在空間直角坐標(biāo)系中，點

力(2,-1,3)關(guān)于平面久Oz的對稱點為B,則布-OB=

A.-10B.10C.-12D.12

【變式8-1]5.（多選）（2022秋福建三明?高二統(tǒng)考期末）已知正方體4BCD-4/母也的

棱長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z，則（）

A.點G的坐標(biāo)為（2,0,2）B.襦1=（2,—2,—2）

C.的中點坐標(biāo)為（1,1,1）D.點當(dāng)關(guān)于v軸的對稱點為（-2,2,-2）

題型9利用空間向量證明位置關(guān)系

【例題9]（2023秋?湖南婁底?高二校聯(lián)考期末）如圖，在三棱柱ABC-4/iQ中，1

底面力BC，乙CAB=90。，AB=AC=2,A4i=禽，M為BC的中點，P為側(cè)棱BB1上的

動點.

（1）求證：平面4PM1平面BBiGC；

（2）試判斷直線BC1與4P是否能夠垂直.若能垂直，求PB的長；若不能垂直，請說明理由.

【變式9-1]1.（2021秋?安徽安慶?高二安慶市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，正方體4BCD-

中，M、N分別為48、BiC的中點.

(1)用向量法證明平面&BD〃平面84必；

(2)用向量法證明MN1平面&BD.

【變式9-1]2.(2022秋?北京西城?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐P-力BCD中，PD，平

面4BCD,底面4BCD為平彳亍四邊形,/.ADC=120°,PDAD=2.點M在PB上,S.PB1平

面

P

(3)求點M到平面P2D的距離.

【變式9-1J3.(2023秋?江蘇南京?高二南京市秦淮中學(xué)?？计谀?如圖，由直三棱柱力BC-

&B1G和四棱錐。-BB1GC構(gòu)成的幾何體中,乙BAC=90。,48=1,BC=BBr=2,CrD=

C

(1)求證：AC1DCr；

(2)若M為DC1中點，求證：AM//平面OB%；

【變式9-1]4.(2023秋?江西吉安?高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?如圖，已知四棱

錐P-ABCD的底面是直角梯形，zABC=zBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,側(cè)

面PBC,底面ABCD,E為PB的中點.求：

(1)求證：CE〃平面ADP;

(2)求證：平面PAD,平面PAB;

題型10利用空間向量計算空間角

【例題10](2020秋?廣東湛江?高二統(tǒng)考期末)將邊長為2的正方形48CD沿對角線BD折

疊，使得平面AB。1平面CBD,AE1平面4BD,F是8。的中點,S.AE=&.

(1)求證'.DELAC-,

(2)求二面角B-EC-F的大小.

【變式10-1】1.(20219春?湖南?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱推P-ABCD中，底面ABCD

是正方形，側(cè)棱PD,底面ABCD,PD=2,BD=2或,E為PC的中點,F在PB上且PF=3PB.

(2)求證：PB,平面EFD.

(3)求二面角C-PB-D的大小

【變式10-1]2.(2020秋?北京房山?高二統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱柱ABC-4/iG中，

2C=3,8C=4,4B=5,A4i=4,點。是AB的中點.

(1)求異面直線2C與BCi所成的角；

(2)求證：4G〃平面CD%.

【變式10-1]3.(2019秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期末)如圖所示，在四棱錐P-ABCD^.PA1

底面ABC。,4。1AB,AB//DC,AD=DC=AP2,AB=1,點E為棱PC的中點.用空間向量進

行以下證明和計算:

(1)證明:BE1DC；

(2)若尸為棱PC上一點，滿足BF12C,求二面角F-AB-P的正弦值.

【變式10-l】4.(2019秋湖南長沙?高二統(tǒng)考期末在長方體A8CD-481GD1中AB=2,

BC=1,是面又寸角線上一點,S.CE

BBLECDi=|CDt.

(2)設(shè)異面直線AB1與BO1所成角的大小為a,求cosa的值.

題型11利用空間向量算距離

【例題11](2023秋?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校聯(lián)考期末)如圖①菱形ABC。"B=

60°,BE=EC=1.沿著45將4B4E折起到△B'AE，使得乙DAB，=90°,如圖②所示.

圖①圖②

⑴求異面直綴1B與CD所成的角的余弦值；

(2)求異面直線A夕與CD之間的距離.

【變式11-1】1.(2022秋?浙江杭州?高二學(xué)軍中學(xué)?？计谀?已知直三棱隹WC-

中，側(cè)面aa/iB為正方形.AB=BC=2,E,F分另（J為AC和CG的中點，BF1A^.

⑴求四棱錐E-BBiGF的體積；

（2）是否存在點D在直線&Bi上，使得異面直線BF,DE的距離為1?若存在，求出此時線段

DE的長；若不存在，請說明理由.

【變式11-1】2.（2023春?江西宜春?高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐P-

4BCD中，P41平面ABC。,底面ABCD是邊長為2的正方形，P4=2,G為CD的中點，E.F

是棱PD上兩點（F在E的上方），且EF=V2.

（1）若DE=/,求證：BF||平面4EG；

（2）當(dāng)點F到平面2EC的距離取得最大值時，求DE的長.

【變式11-1】3.（2023秋?山西臨汾?高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，

平面P2B1平面4BCD,底面4BCD為矩形,AP=BP=^,AB2,AD=3,用是棱2。上一

點，且AM=2MD.

(1)求點B到直線PM的距離；

⑵求平面PMB與平面PMC夾角的余弦值.

【變式11-1J4.(2018秋?安徽合肥?高二合肥一六八中學(xué)校考期末)如圖，四棱錐P-A8CD

中,底面A8CD為梯形,PD1底面4BCD,AB//CD.AD1CD,AD=2B=1,BC=&，過A

作一個平面a使得a〃平面PBC.

(1)求平面a將四棱錐P-4BCD分成兩部分幾何體的體積之比；

(2)若平面a與平面PBC之間的距離為1,求直線P4與平面PBC所成角的正弦值.

O

題型12空間中的動點問題

【例題12】(2023春?福建漳州?高二統(tǒng)考期末)如圖所示的幾何體中，平面PAD1平面

ABCDAPAD為等月要直角三角形，^APD=90°,四邊形A8CD為直角梯形，AB//DC.AB1

(1)求證：PD〃平面QBC；

⑵