9.1.1 平面直角坐標系的概念（教學(xué)設(shè)計）-（人教版2024）

9.1.1平面直角坐標系的概念教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第九章“平面直角坐標系”9.1.1平面直角坐標系的概念，內(nèi)容包括：理解平面直角坐標系的有關(guān)概念，能畫出平面直角坐標系；在給定的平面直角坐標系中，能根據(jù)坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標．2.內(nèi)容解析本節(jié)課在學(xué)生已有知識和生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，從生活實例中的“點位”和數(shù)軸上點的坐標出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析從而抽象出平面直角坐標系的概念，然后通過繪制平面直角坐標系和根據(jù)坐標描點、由點寫坐標的過程加深理解.平面直角坐標系在初中數(shù)學(xué)中地位關(guān)鍵，它是數(shù)形結(jié)合的重要工具，是在數(shù)軸基礎(chǔ)上的拓展.同時，它還為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)圖象和幾何圖形的位置關(guān)系等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)．基于以上分析，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點為：理解平面直角坐標系的有關(guān)概念，能畫出平面直角坐標系.二、目標和目標解析1.目標（1）理解平面直角坐標系的有關(guān)概念，能畫出平面直角坐標系；在給定的平面直角坐標系中，能根據(jù)坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標.（2）經(jīng)歷動手操作、觀察、猜想、驗證等過程，培養(yǎng)歸納總結(jié)和邏輯推理的能力，感悟由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想．（3）感悟通過幾何建立直觀、通過代數(shù)得到數(shù)學(xué)表達的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀和空間觀念等核心素養(yǎng)．2.目標解析（1）平面直角坐標系由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成，學(xué)生需要清晰掌握橫軸（x軸）、縱軸（y軸）、原點、單位長度等基本要素的定義和作用.在給定的平面直角坐標系中，學(xué)生能根據(jù)坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標，這一正一反的操作，是對平面直角坐標系核心功能的直接運用，強化了學(xué)生對數(shù)與形對應(yīng)關(guān)系的理解.（2）在學(xué)習(xí)平面直角坐標系時，學(xué)生通過動手繪制坐標系、在坐標系中描點等操作，觀察不同點的坐標特征以及它們在坐標系中的分布規(guī)律.在這個過程中，學(xué)生從具體的操作和觀察出發(fā)，經(jīng)過合理的猜想和嚴謹?shù)尿炞C，得出一般性的結(jié)論，鍛煉了歸納總結(jié)能力，培養(yǎng)了邏輯推理能力.由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在從研究特殊位置的點（如坐標軸上的點、象限角平分線上的點）的坐標規(guī)律，推廣到整個平面直角坐標系中任意點的坐標特征.通過對特殊點的深入研究，總結(jié)出普遍適用的規(guī)律，讓學(xué)生體會從局部到整體、從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法.數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，平面直角坐標系將抽象的數(shù)（坐標）與直觀的形（點的位置）緊密聯(lián)系起來.通過坐標能直觀看到點在平面中的位置，從點的位置又能抽象出對應(yīng)的坐標數(shù)值，這種相互轉(zhuǎn)化幫助學(xué)生更好地理解了數(shù)學(xué)問題，為他們今后解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了有力的工具和思路.（3）學(xué)生在構(gòu)建和理解平面直角坐標系的過程中，將生活中確定位置的實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的坐標表示，把具體的點和圖形在平面上的位置關(guān)系抽象為坐標數(shù)值之間的關(guān)系.平面直角坐標系為學(xué)生提供了一個直觀的幾何模型，學(xué)生可以通過觀察坐標系中的點、線、圖形等，直觀地理解它們的位置關(guān)系.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀和空間觀念等核心素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換在坐標系中的表示，理解空間中物體的位置關(guān)系和運動變化奠定了思維基礎(chǔ).三、教學(xué)問題診斷分析1.概念理解偏差：學(xué)生可能混淆坐標軸與數(shù)軸的概念，不能充分理解平面直角坐標系中兩坐標軸的相應(yīng)特征，特別是在繪制平面直角坐標系時出現(xiàn)正方向標注錯誤.同時，對于象限的劃分及邊界歸屬理解模糊，誤將坐標軸上的點歸為某一象限.2.坐標讀寫出錯：在讀寫點的坐標時，容易顛倒橫、縱坐標的順序.對于坐標中正負號的確定也存在困難，尤其是第二象限和第四象限內(nèi)的點的坐標.另外，在處理含分數(shù)、小數(shù)的坐標時，會出現(xiàn)讀數(shù)或書寫錯誤.基于上述教學(xué)問題診斷分析，本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點如下：深入理解平面直角坐標系的有關(guān)概念；能夠熟練且準確地讀寫點的坐標.四、教學(xué)過程設(shè)計（一）情境引入問題在慶祝中華人民共和國成立70周年聯(lián)歡活動中，天安門廣場上出現(xiàn)了“祖國萬歲”等壯觀的圖案，你知道它們是怎么組成的嗎？視頻播放表演現(xiàn)場設(shè)置了由有序數(shù)對標識的點位，3000多名表演者手舉光影屏，根據(jù)預(yù)先編排的流程，不停地變換所在的點位，就拼出了不同的圖案．點位是用小學(xué)學(xué)過的有序數(shù)對表示的，它刻畫了天安門廣場表演區(qū)內(nèi)點的位置.本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)刻畫平面內(nèi)點的位置的方法．我們知道，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，數(shù)軸上每個點都對應(yīng)一個實數(shù)，這個實數(shù)叫作這個點在數(shù)軸上的坐標．反過來，知道數(shù)軸上一個點的坐標，這個點在數(shù)軸上的位置也就確定了．設(shè)計意圖：結(jié)合生活實例，激發(fā)興趣：播放慶祝中華人民共和國成立70周年聯(lián)歡活動視頻，用宏大且具有視覺沖擊力的場景吸引學(xué)生注意力，激發(fā)他們的好奇心和探索欲.從演員依點位表演引出有序數(shù)對和平面直角坐標系概念，將抽象的數(shù)學(xué)知識與生活實際緊密相連，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，明白數(shù)學(xué)是解決實際問題的有力工具，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)實用性的認知.建立新舊知識聯(lián)系，降低理解難度：通過回顧數(shù)軸上點與實數(shù)一一對應(yīng)，以及點的坐標即該點表示的實數(shù)，自然過渡到平面直角坐標系的概念.以學(xué)生已掌握的數(shù)軸知識為基礎(chǔ)，類比引出新知識，利用知識的遷移規(guī)律，幫助學(xué)生理解平面直角坐標系的概念，降低了學(xué)生對新知識的理解門檻，符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律.（二）合作探究探究1類似于利用數(shù)軸確定直線上點的位置，能不能找到一種辦法來確定平面內(nèi)的點的位置呢（例如圖中A，B，C，D，E各點）？我們可以在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標系.坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的．利用坐標平面內(nèi)點的坐標，可以確定平面內(nèi)點的位置．建立平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個部分，每個部分稱為象限．坐標軸上的點不屬于任何象限.探究2原點O的坐標是什么？x軸和y軸上的點的坐標有什么特點？各個象限內(nèi)的點的坐標有什么特點？設(shè)計意圖：強化知識遷移，深化概念理解：引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)軸確定直線上點的位置的方法，探尋利用平面內(nèi)有序數(shù)對確定平面內(nèi)點的位置，能讓學(xué)生在已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上構(gòu)建新知識體系.通過類比，學(xué)生可以清晰看到從一維數(shù)軸到二維平面直角坐標系的拓展，理解有序數(shù)對是確定平面內(nèi)點的位置的關(guān)鍵要素，進一步理解平面直角坐標系的本質(zhì).借助動態(tài)演示，突破學(xué)習(xí)難點：運用幾何畫板進行動態(tài)演示，將抽象的點的坐標變化與點在坐標平面內(nèi)位置的變化直觀呈現(xiàn).學(xué)生可以清晰觀察到坐標數(shù)值改變?nèi)绾我瘘c的移動，以及點在不同位置時坐標的相應(yīng)特征.這種可視化的教學(xué)方式，幫助學(xué)生克服了抽象思維障礙，突破了理解難點，增強了對知識的感性認識，進而上升到理性認知，提高了學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量.（三）典例分析例1寫出圖中點A，B，C，D，E的坐標.例2在平面直角坐標系中描出下列各點：A(4，5)，B(-2，3)，C(-2.5，-2)，D(4，-2)，E(0，-4)．解：先在x軸上找出表示4的點，再在y軸上找出表示5的點，過這兩個點分別作x軸和y軸的垂線，垂線的交點就是點A．類似地，可在圖中描出點B，C，D，E．設(shè)計意圖：通過典型例題的分析，加深學(xué)生對平面直角坐標系核心知識的理解與運用，強化坐標與點的對應(yīng)關(guān)系.這兩類例題從正反兩個角度考察學(xué)生對平面直角坐標系知識的掌握情況，通過學(xué)生的解題過程和結(jié)果，能及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念理解、坐標讀寫、找點繪圖等方面存在的問題，以便針對性地進行指導(dǎo)和強化訓(xùn)練，幫助學(xué)生查缺補漏，鞏固所學(xué)知識.（四）鞏固練習(xí)1.寫出圖中點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標.解：點A的坐標是(-2，-2)；點B的坐標是(-5，4)；點C的坐標是(5，-4)；點D的坐標是(0，-3)；點E的坐標是(2，5)；點F的坐標是(-3，0).在如圖所示的平面直角坐標系中描出下列各點：L(-5，3)，M(4，0)，N(-6，2)，P(5，-3.5)，Q(0，5)，R(6，2).3.根據(jù)點所在的位置，用“＋”“－”填表．4.在平面直角坐標系中選擇一些橫、縱坐標滿足下面條件的點，標出它們的位置，看一看它們在第幾象限或在哪條坐標軸上：(1)點P（x，y）的坐標滿足xy＞0；(2)點P（x，y）的坐標滿足xy＜0；(3)點P（x，y）的坐標滿足xy＝0.解：(1)點P在第一象限或第三象限；(2)點P在第二象限或第四象限；(3)點P在x軸或y軸上.5.如圖，在所給的平面直角坐標系中描出點A(-4，-4)，B(-2，-2)，C(3，3)，D(5，5)，E(-3，-3)，F(xiàn)(0，0)．這些點有什么關(guān)系？你能再找出一些類似的點嗎？解：這些點在同一條直線上.類似的點有(1，1)，(2，2)，(-1，-1)...6.建立一個平面直角坐標系，描出點A(-2，4)，B(3，4)，畫出直線AB．若點C為直線AB上的任意一點，則點C的縱坐標是什么？想一想：(1)如果一些點在平行于x軸的直線上，那么這些點的縱坐標有什么特點？(2)如果一些點在平行于y軸的直線上，那么這些點的橫坐標有什么特點？猜想：點C的縱坐標是4；(1)這些點的縱坐標相等；(2)這些點的橫坐標相等.驗證：幾何畫板動態(tài)演示.設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生寫出平面直角坐標系中點的坐標以及根據(jù)坐標描點，再次強化學(xué)生對坐標與點的位置相互轉(zhuǎn)化這一核心技能的掌握，鞏固平面直角坐標系的基礎(chǔ)知識.根據(jù)點所在位置歸納點的坐標特征，有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力，掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法.運用幾何畫板進行動態(tài)演示，將抽象的點的位置變化以及各類線上點的特征直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生.幾何畫板的動態(tài)效果能夠吸引學(xué)生的注意力，幫助學(xué)生更清晰地觀察到隨著點的移動坐標的變化規(guī)律，以及特殊位置上點的坐標共性.這種可視化教學(xué)方式有助于學(xué)生突破思維難點，深化對抽象數(shù)學(xué)知識的理解，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.歸納總結(jié)

感受中考1.（2024?廣西）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為（2，1），則點Q的坐標為（C）A．（3，0）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，2）2.（2023?大慶）已知a+b＞0，ab＞0，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（D）A．（a，b）B．（-a，b）C．（-a，-b） D．（a，-b） 第1題圖第2題圖第3題圖3.（2022?宜昌）如圖是一個教室平面示意圖，我們把小剛的座位“第1列第3排”記為（1，3）．若小麗的座位為（3，2），以下四個座位中，與小麗相鄰且能比較方便地討論交流的同學(xué)的座位是（C）A．（1，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（2，4）4.（2024?宿遷）點P(a2+1，-3)在第四象限．解：∵a2+1≥1，-3＜0，∴點P(a2+1，-3)在第四象限．5.（2024?甘南州）若點P(3m+1，2-m)在x軸上，則點P的坐標是(7，0)．解：∵點P(3m+1，2-m)在x軸上，∴2-m＝0，解得：m＝2，∴3m+1＝3×2+1＝7，∴點P的坐標是(7，0).6.（2024?甘南州）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0