10.1 二元一次方程組的概念（教學(xué)設(shè)計(jì)）-（人教版2024）

10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第十章“二元一次方程組”10.1二元一次方程組的概念，內(nèi)容包括：理解二元一次方程(組)及其解的概念；會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程(組)的解；能針對(duì)具體問(wèn)題列出二元一次方程(組)．2.內(nèi)容解析本節(jié)課內(nèi)容是方程知識(shí)體系的拓展，它豐富了方程的類型，讓學(xué)生接觸到更具一般性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的方程模型，進(jìn)一步深化對(duì)方程概念的理解.二元一次方程(組)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元方程(組)、一次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，二元一次方程(組)是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，通過(guò)學(xué)習(xí)二元一次方程(組)，學(xué)生能夠更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性和趣味性．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解二元一次方程(組)及其解的概念.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解二元一次方程(組)及其解的概念；會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程(組)的解；能針對(duì)具體問(wèn)題列出二元一次方程(組).（2）體會(huì)從實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模思想，在探究二元一次方程(組)的概念過(guò)程中，體會(huì)類比思想．（3）在分析實(shí)際問(wèn)題，列出二元一次方程(組)的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力．2.目標(biāo)解析（1）理解二元一次方程（組）及其解的概念是本節(jié)課的基礎(chǔ)，檢驗(yàn)解是對(duì)概念的具體應(yīng)用，能讓學(xué)生直觀感受方程（組）解的意義.而根據(jù)具體問(wèn)題列出方程（組），則是將所學(xué)知識(shí)用于解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，是知識(shí)的深化與拓展.（2）建模思想幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型求解，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.類比思想通過(guò)對(duì)比一元一次方程，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)二元一次方程（組）的特點(diǎn)和規(guī)律，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和邏輯思維能力.（3）數(shù)學(xué)抽象能力使學(xué)生能夠從具體情境中提煉出數(shù)學(xué)要素，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).邏輯推理能力則幫助學(xué)生依據(jù)已知條件和數(shù)學(xué)規(guī)則，推導(dǎo)出方程（組），培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ).三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.概念理解：學(xué)生容易混淆二元一次方程和二元一次方程組的概念，對(duì)解的唯一性和共同性把握不準(zhǔn).在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要列舉大量的正反實(shí)例，讓學(xué)生對(duì)比分析，加深對(duì)二元一次方程和二元一次方程組概念的理解.2.列方程（組）：在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生難以準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系.在涉及多個(gè)未知量和復(fù)雜情境的問(wèn)題中，學(xué)生可能會(huì)遺漏關(guān)鍵信息，或者錯(cuò)誤地建立等量關(guān)系.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要加強(qiáng)分析實(shí)際問(wèn)題的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句入手，找出等量關(guān)系.可以采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生互相交流討論分析思路，分享解題經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，多提供一些不同類型的實(shí)際問(wèn)題，如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、銷售問(wèn)題等，讓學(xué)生在練習(xí)中逐步提高分析問(wèn)題和建立方程（組）的能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：能針對(duì)具體問(wèn)題列出二元一次方程(組).四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情境引入問(wèn)題新疆是我國(guó)棉花的主要產(chǎn)地之一．近年來(lái)，機(jī)械化采棉已經(jīng)成為新疆棉采摘的主要方式．某種棉大戶租用6臺(tái)大、小兩種型號(hào)的采棉機(jī)，1h就完成了8hm2棉田的采摘．如果大型采棉機(jī)1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉機(jī)1h完成1hm2棉田的采摘，那么這個(gè)種棉大戶租用了大、小型采棉機(jī)各多少臺(tái)？分析在這個(gè)問(wèn)題中，要求的是兩個(gè)未知數(shù)．如果用一元一次方程來(lái)解決，列方程時(shí)，要用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)．能不能根據(jù)題意直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，使列方程變得容易呢？（二）合作探究探究1列方程要先找到相等關(guān)系.問(wèn)題中包含了哪些必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系？若設(shè)這個(gè)種棉大戶租用了x臺(tái)大型采棉機(jī)，y臺(tái)小型采棉機(jī)，你能用方程把這些相等關(guān)系表示出來(lái)嗎？分析問(wèn)題包含兩個(gè)必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系：大型采棉機(jī)臺(tái)數(shù)＋小型采棉機(jī)臺(tái)數(shù)＝總臺(tái)數(shù)，大型采棉機(jī)1h采摘面積＋小型采棉機(jī)1h采摘面積＝1h采摘總面積.這兩個(gè)相等關(guān)系可以分別用方程x＋y＝6和2x＋y＝8表示．探究2這兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？它們與一元一次方程有什么不同？這兩個(gè)方程中，①每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)（x和y）；②含有未知數(shù)的式子都是整式；③含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.像這樣的方程叫作二元一次方程.把這兩個(gè)方程合在一起，就組成了一個(gè)方程組．x＋這個(gè)方程組中，①含有兩個(gè)未知數(shù)；②含有未知數(shù)的式子都是整式；③含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.探究3滿足方程x＋y＝6，且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的x，y的值有哪些？把它們填入表中．一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解．例如，x＝1y＝5是方程x＋y追問(wèn)表中哪對(duì)x，y的值還滿足方程2x＋y＝8？一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解．例如，x＝4y＝2是方程（三）典例分析例1對(duì)下面的問(wèn)題，列出二元一次方程組，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，找出問(wèn)題的解.（1）某村鄉(xiāng)村振興項(xiàng)目計(jì)劃把28t黃桃加工成罐頭，剛開始每天加工2t，后在技術(shù)顧問(wèn)的指導(dǎo)下改進(jìn)加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任務(wù)．這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前、后各用了多少天？分析問(wèn)題包含兩個(gè)必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系：改進(jìn)加工方法前的工作天數(shù)＋改進(jìn)加工方法后的工作天數(shù)＝總天數(shù)，改進(jìn)加工方法前的工作量＋改進(jìn)加工方法后的工作量＝總工作量.設(shè)這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前用了x天，改進(jìn)加工方法后用了y天：這兩個(gè)相等關(guān)系可以分別用方程x＋y＝8和2x＋4y＝28表示．小組討論如何找出方程組的解呢？解：設(shè)這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前用了x天，改進(jìn)加工方法后用了y天，由題意得：x+y＝8當(dāng)x=2，y=6時(shí)，x+y=8且2x+4y=28.答：這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前用了2天，改進(jìn)加工方法后用了6天.（2）在籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分．某隊(duì)在10場(chǎng)比賽中得到16分，這個(gè)隊(duì)的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？分析問(wèn)題包含兩個(gè)必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系：勝場(chǎng)數(shù)＋負(fù)場(chǎng)數(shù)＝總場(chǎng)數(shù)，勝場(chǎng)積分＋負(fù)場(chǎng)積分＝總積分.設(shè)這個(gè)隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)是x，負(fù)場(chǎng)數(shù)是y：這兩個(gè)相等關(guān)系可以分別用方程x＋y＝10和2x＋y＝16表示．解：設(shè)這個(gè)隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)是x，負(fù)場(chǎng)數(shù)是y，由題意得：x+y＝10當(dāng)x=6，y=4時(shí)，x+y=10且2x+y=16.答：這個(gè)隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)是6，負(fù)場(chǎng)數(shù)是4.設(shè)計(jì)意圖：在列方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，探索多種解題路徑，這樣做可以激發(fā)思維活力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.在合作交流方面，討論為學(xué)生提供了交流平臺(tái)，分享方法和思路時(shí)，能相互學(xué)習(xí)、拓寬視野，培養(yǎng)合作精神.而且不同方法代表不同思考過(guò)程，討論中，學(xué)生可對(duì)比分析，深化對(duì)知識(shí)的理解，掌握不同解題策略，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用能力.（四）鞏固練習(xí)1.下列式子中，是二元一次方程的是（A）A．x+y＝1B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4D．y＝2x22.填表，使上下每對(duì)x，y的值是方程3x+y＝5的解．方程組x+6y＝43xA.x＝2y＝?0.25B.x＝4.x＝1y＝3和x＝0y＝?2都是方程ax﹣y＝b的解，則a﹣b的值是（A．﹣3B．2C．3D．75.已知是一個(gè)二元一次方程，則a的值為（B）A．±2B．﹣2C．2D．無(wú)法確定6.已知方程(m2﹣1)x2+(m+2)x+(m+1)y＝m+3，當(dāng)m＝-1時(shí)，該方程是一元一次方程；當(dāng)m＝1時(shí)，該方程是二元一次方程．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略.歸納總結(jié)

感受中考1.（2023?無(wú)錫）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（D）2.（2022?雅安）已知x＝1y＝2是方程ax+by＝3的解，則代數(shù)式2a+4b﹣5的值為13.（2021?金華）已知x＝2y＝m是方程3x+2y＝10的一個(gè)解，則m的值是24.（涼山州）下列方程組中是二元一次方程組的是（D）5.（畢節(jié)）已知關(guān)于x，y的方程x2m-n-2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，則m，n的值為（A）6.（鹽城）若一個(gè)二元一次方程的一個(gè)解為x＝2y＝?1，則這個(gè)方程可能是x+y=1設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢