9數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題復(fù)習(xí)-立體幾何

PAGE第=PAGE10*2-119頁第=PAGE10*220頁數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題（第九章直線、平面、簡單的幾何體）引言立體幾何的學(xué)習(xí)，主要把握對圖形的識別及變換（分割，補(bǔ)形，旋轉(zhuǎn)等），因此，既要熟記基本圖形中元素的位置關(guān)系和度量關(guān)系，也要能在復(fù)雜背景圖形中“剝出”基本圖形.平面及空間直線1.平面的基本性質(zhì):(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條直線.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面（不共線的三點(diǎn)確定一平面）．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3；經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．注：⑴水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法——用斜二測畫法．其規(guī)則是：①在已知圖形取水平平面，取互相垂直的軸，再取0z軸，使，且；②畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的軸，使(或)，,所確定的平面表示水平平面；③已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；④已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長度不變;平行于y軸的線段,長度為原來的一半．⑵運(yùn)用平面的三個(gè)公理及推論，能證明共點(diǎn)、共線、共面一類問題。2.空間兩條直線位置關(guān)系有：相交、平行、異面.⑴相交直線───共面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；⑵平行直線───共面沒有公共點(diǎn)；①公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行;②等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．⑶異面直線───不同在任一平面內(nèi).平面及空間直線(Ⅰ)兩條異面直線所成的角(或夾角)：對于兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線∥,∥，則與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．若兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直.異面直線所成的角的范圍是．(Ⅱ)兩條異面直線的距離：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離．注：①如圖:設(shè)異面直線a，b所成角為則EF2=m2+n2+d2±2mncos或②證明兩條直線是異面直線一般用反證法。例1.“直線a經(jīng)過平面外一點(diǎn)P”用符號表示為()(A)(B)(C)(D)例2.對于空間中的三條直線，有以下四個(gè)條件：①三條直線兩兩相交；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點(diǎn)；④兩直線相交，第三條平行于其中一條與另個(gè)一條相交.其中使這三條直線共面的充分條件有（）個(gè)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例3.如圖ABCD—A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D(A)A、M、O三點(diǎn)共線(B)M、O、A1、A四點(diǎn)共面(C)A、O、C、M四點(diǎn)共面(D)B、B1、O、M四點(diǎn)共面例4.直線互相平行的一個(gè)充要條件是()(A)都垂直于同一平面(B)l1平行l(wèi)2所在的平面(C)與同一平面所成的角相等(D)l1，l2都平行于同一平面例5.a,b為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是()(A)過不在a,b上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與a,b都平行(B)過不在a,b上的任一點(diǎn)，可作一直線與a,b都相交(C)過不在a,b上任一點(diǎn)，可作一直線與a,b都平行(D)過a可以并且只可以作一個(gè)平面與b平行例6.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為(A) (B)(C) (D)例7.已知如右圖，在中選擇適當(dāng)?shù)姆柼钊敫鱾€(gè)空格：ABβ，AAB，Aβ，CD，A，BDβ，D。例8.已知正的邊長為,則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為1的平面有______個(gè).例9.平面及空間直線例一副三角板ABC和ABD如圖擺成直二面角，若BC＝a，求AB和CD的夾角的余弦值。直線和平面平行與平面和平面平行1.直線和平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.注:直線與平面相交和直線與平面平行統(tǒng)稱為直線在平面外．(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)直線與平面平行——沒有公共點(diǎn)．①直線和平面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.即②直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線與平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行.即2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交（垂直是相交的一種特殊情況）(1)兩個(gè)平面相交———有一條公共直線．(2)兩平面平行———沒有公共點(diǎn)(Ⅰ)兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.即推論：①如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.即②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.即;(Ⅱ)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.即注:平行問題常用平行轉(zhuǎn)化的思想:直線和平面平行與平面和平面平行例11.若直線a⊥b，且a∥平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()(A)b (B)b∥(C)b或b∥ (D)以上都不對例12.若直線l與平面的一條平行線平行，則l和的位置關(guān)系是()(A)(B)(C)(D)例13.直線與平面平行的充要條件是()(A)直線與平面內(nèi)的一條直線平行(B)直線與平面內(nèi)的兩條直線不相交(C)直線與平面內(nèi)的任一直線都不相交(D)直線與平行內(nèi)的無數(shù)條直線平行例14.“平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等”是“∥”的（）(A)充要條件(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件例15.夾在兩平行平面之間的兩條線段的長度相等的充要條件是()。(A)兩條線段同時(shí)與平面垂直(B)兩條線段互相平行(C)兩條線段相交(D)兩條線段與平面所成的角相等例16.經(jīng)過平面外一點(diǎn)可以作個(gè)平面平行于這個(gè)平面；可以作條直線平行于這個(gè)平面.例17.如圖，直線AC、DF被三個(gè)平行平面、、γ所截，已知AB=2，BC=3，EF=4，則DF=。例18.給出下列四組命題：pq①直線l∥平面l上兩點(diǎn)到的距離相等②直線l⊥平面l垂直于內(nèi)無數(shù)條直線③平面∥平面直線，且④平面內(nèi)任一直線平行于平面滿足p是q的充分且必要條件的序號是________．例19.如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：(1)DF//平面ABC；(2)AF⊥BD例20.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，O為AC與BD⑴EG∥平面BB1D1D；⑵平面BDF∥平面B1D1H；⑶A1O⊥平面BDF；⑷平面BDF⊥平面AA1直線和平面垂直1.直線和平面垂直:(1)定義:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么就說直線和平面互相垂直.記作:(2)判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即(3)性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．即2.三垂線定理:(1)斜線在平面內(nèi)的射影：從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過斜足和垂足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影．注：垂線段比任何一條斜線段短．⑵三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.即三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.即3.直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．注:①最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角．即（為最小角，如圖）其中1為斜線OA與平面所成角，即為∠OAB，2為OA射影AB與內(nèi)直線AC所成的角，為∠OAC.顯然，>1，>2②一條直線垂直于平面，就說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，就說它們所成的角是的角，可見，直線和平面所成的角的范圍是．③直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找直線在平面內(nèi)的射影.④三垂線定理及其逆定理在證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點(diǎn)到直線的垂線等非常有用.⑤垂直轉(zhuǎn)化:直線和平面垂直例21.等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角B-AD-C，則BD與平面ABC所成角的正切值為()(A)(B)(C)1(D)例22.命題:（1）一個(gè)平面的兩條斜線段中，較長的斜線段有較長的射影;（2）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影是兩條相交直線;（3）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影是兩條平行直線;（4）一個(gè)銳角在一個(gè)平面內(nèi)的射影一定是銳角.以上命題正確的有（）(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)例23.平面內(nèi)有一四邊形ABCD，P為外一點(diǎn)，P點(diǎn)到四邊形ABCD各邊的距離相等，則這個(gè)四邊形（）(A)必有外接圓(B)必有內(nèi)切圓(C)既有內(nèi)切圓又有外接圓(D)必是正方形例24.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB為底面圓的直徑，C為下底面圓周上一點(diǎn)，∠CAB=，∠PBA=θ，∠CPB=，則（）(A)cosθ·sin=sin (B)sinθ·sin=sin(C)cosθ·cos=cos (D)cosθ·sin=cos例25.如圖，PA⊥平面ABC，△ABC中，∠ACB=90o.則圖中Rt△的個(gè)數(shù)為（）（A）4（B）3（C）2（D）1例26.下列四個(gè)命題:①l∥m,m∥n,n⊥l⊥；②l∥m,m⊥,n⊥l∥n③l∥m,l⊥,m⊥；④l∥,m⊥l⊥m其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（）(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)例27.下列命題中正確的是 （）(A)過平面外一點(diǎn)作此平面的垂面是唯一的(B)過直線外一點(diǎn)作此直線的垂線是唯一的(C)過平面的一條斜線作此平面的垂面是唯一的(D)過直線外一點(diǎn)作此直線的平行平面是唯一的例28.將正方形ABCD沿著對角線BD折成一個(gè)四面體ABCD,在下列給出的四個(gè)角度中，①30°②60°③90°④120°，不可能是AC與平面BCD所成的角是．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）例29.如圖，的等腰直角三角形ABD與正三角形CBD所在平面互相垂直，E為BC的中點(diǎn)，則AE與平面BCD所成角的大小為______.例30.空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直,∠PBA＝45°,∠PBC＝60°，M為AB的中點(diǎn).(1)求BC與平面PAB所成的角；(2)求證：AB⊥平面PMC.二面角及平面與平面垂直1.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形,叫做二面角.如圖二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線OA、OB，這兩條射線OA、OB所成的角∠AOB叫做二面角的平面角．直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．2.兩個(gè)平面互相垂直：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．即⑴兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．即⑵兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．即注:找二面角的平面角的方法主要有：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半平面中作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性．②三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角．③垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直．④射影法：利用面積射影公式:，其中為平面角的大小，是射影的面積.此方法不必在圖中畫出平面角來．.例31.若平面、互相垂直，則()(A)中的任意一條直線垂直于(B)中有且只有一條直線垂直于(C)平行于的直線垂直于(D)內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于例32.如圖，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，且AB與l所成的角為，A、B到l的距離分別為1、，則線段AB的長是()(A)4(B)(C)(D)例33.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)D1E，則二面角的正切值等于()(A)(B)(C)(D)二面角及平面與平面垂直例34.如圖所示，四邊形BCDE是正方形，AB⊥平面BCDE,則圖中互相垂直的平面有()(A)4對(B)5對(C)7對(D)8對例35.一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜，記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.若屋頂斜面與水平面所成的角都是,則()(A)P3＞P2＞P1 (B)P3＞P2=P1(C)P3=P2＞P1 (D)P3=P2=P1例36.已知平面、、γ，直線l、m，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.則其中正確的個(gè)數(shù)是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例37.將邊長為a的正六邊形ABCDEF沿AD折成二面角E—AD—C，使CE=a,則二面角E—AD—C的大小為_________.例38.將橢圓所在平面沿折成60的二面角，則橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離=______.例39.如圖，矩形ABEF和正方形ABCD有公共邊AB，它們所在平面成600的二面角，AB=CB=2a,BE=a,則FC=例40.如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，求證：（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC與平面PBD所成的角；（3）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE？若存在，請加以證明，并求此時(shí)二面角A—ED—B的大小；若不存在，請說明理由.簡單幾何體1.棱柱(1)棱柱的定義：如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行,而其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行,這樣的多面體叫做棱柱．(2)棱柱的分類：簡單幾何體(3)棱柱的主要性質(zhì)：①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形;②兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形;③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.(4)平行六面體與長方體:①概念：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體;側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體;底面是矩形的直平行六面體叫長方體．棱長都相等的長方體叫正方體．②性質(zhì)定理：(Ⅰ)平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)處互相平分.(Ⅱ)長方體的一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.即設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，對角線長為，則．推論一：長方體一條對角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為,則.推論二：長方體一條對角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為,則.(5)棱柱的側(cè)面積和體積公式:①直棱柱的側(cè)面積和體積公式:如果直棱柱的底面周長是C，高是，那么它的側(cè)面積是S直棱柱=Ch;如果直棱柱的底面面積是S，高是，那么它的體積是v直棱柱=Sh．②斜棱柱的側(cè)面積和體積公式:如果斜棱柱的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長為C，側(cè)棱長為，那么斜棱柱的側(cè)面積是S斜棱柱側(cè)=Cl;如果斜棱柱的直截面的面積為S，側(cè)棱長為z，那么它的體積是V斜棱柱=Sz．注:2.棱錐(1)棱錐的概念和性質(zhì):①棱錐:如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形,其余是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,那么這個(gè)多面體叫做棱錐.②棱錐的分類：棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……，因此我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…….③性質(zhì)定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和已知棱錐的高的平方比．(2)正棱錐的概念和性質(zhì):①正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐．②正棱錐的性質(zhì):(ⅰ)各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各側(cè)面底邊上的高叫棱錐的斜高，正棱錐的斜高相等．(ⅱ)正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形;正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形．3)棱錐的面積和體積:①棱錐的全面積(S全)等于底面積(S底)和側(cè)面積(S側(cè))之和，即S全=S底+S側(cè)．若C為正棱錐的底面周長，為斜高，則S側(cè)=;②棱錐的體積等于它的底面積(S底)與高()的乘積的，即V棱錐=.簡單幾何體3.正多面體:每個(gè)面都有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體.正多面體只有五種,如圖:正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.4.球:(1)球面和球的概念:與定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合,叫做球體,簡稱球.定點(diǎn)叫做球心,定長叫做球的半徑.與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)集合叫做球面.如圖的球中，O是球心，線段OC是半徑，線段AB是直徑，球一般用表示它的球心的字母來表示，上圖記為球O.⑵球的截面的性質(zhì):①用一個(gè)平面去截球，截面是圓；②球心到截面圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r，有下面的關(guān)系：;注:球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓.⑶球面面積S球面=4πR2；球體積V球=πR3.⑷經(jīng)度、緯度和球面距北極、南極的連線稱為地軸.英國的格林威治天文臺與地軸形成一個(gè)大圓，以地軸為直徑，天文臺所在半圓弧稱為O°經(jīng)線，也稱為本初子午線.經(jīng)線指的是某點(diǎn)與地軸形成半圓圓弧，赤道面指的是垂直于地軸.某地點(diǎn)的經(jīng)度指的是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與O°經(jīng)線與地軸確定的半平面所成二面角的度數(shù)，實(shí)質(zhì)是二面角.某地點(diǎn)的緯度就是經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成角的度數(shù)，本質(zhì)是線面角.注意：東西經(jīng)180°經(jīng)線重合，如圖1.球面距離指的是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓的劣孤長，也是球面上經(jīng)過這兩點(diǎn)的最短距離.如圖2所示：NS為地軸，P所在經(jīng)線為，設(shè)P點(diǎn)所在經(jīng)線為0°經(jīng)線，B所在經(jīng)線為東徑n度(n＝∠AOB)，P在北緯m度(m＝)要確定Q在地球上的位置，必須知道Q的經(jīng)度與緯度.注:⑴棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要運(yùn)用側(cè)面與底面垂直的性質(zhì)解題.在正棱錐中，要熟記由高PO，斜高PM，側(cè)棱PA，底面外接圓半徑OA，底面內(nèi)切圓半徑OM，底面正多邊形半邊長OM，構(gòu)成的三棱錐，該三棱錐四個(gè)面均為直角三角形。⑵多面體中表面上兩點(diǎn)的最短距離。多面體中表面上兩點(diǎn)的最短距離，就是其平面展開圖中，連結(jié)這兩點(diǎn)的線段長度，這是立體幾何中求最短距離的基本依據(jù)（球面上兩點(diǎn)間的距離除外）。⑶關(guān)于組合體體積的計(jì)算問題。有很多的幾何體，都由一些簡單幾何體所組成，這樣的幾何體叫做組合體。構(gòu)成組合體的方式一般有兩種：其一是由幾個(gè)簡單幾何體堆積而成，其體積就等于這幾個(gè)簡單幾何體體積之和；其二是從一個(gè)簡單幾何體中挖去幾個(gè)簡單幾何體而成，其體積就等于這個(gè)幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積。簡單幾何體因此，組合體體積的求法，即為“加、減”法，關(guān)鍵是合理的分割，可使計(jì)算簡化。⑷關(guān)于等積變換問題(等積變換的依據(jù)是等底等高的棱錐體積相等.)等積變換求體積或求點(diǎn)到平面的距離，都是在基本幾何體——四面體和平行六面體中進(jìn)行的。這是因?yàn)檫@些幾何體變換底面后，計(jì)算體積的方法不變，幾何體仍為四面體和平行六面體，這樣，我們就可以選擇適當(dāng)?shù)拿鏋榈酌?，使?jì)算簡單、易行。若幾何體本身不是四面體或平行六面體，則需先將其分成幾個(gè)四面體或平行六面體之后，再施行等積變換。用等積變換求點(diǎn)到平面的距離,是用兩種不同的體積計(jì)算方法,來建立所求距離的方程,使問題得解.異面直線間的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，因此也可用等積變換求解。用等積變換求距離，可繞過距離的作圖，從而降低了題目的難度。⑸球是由曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體。研究球，主要抓球心和半徑。例41.M={正四棱柱}，N={長方體}，P={直四棱柱}，Q={正方體},下列關(guān)系中正確的是（）(A)QMNP(B)QMNP(C)QNMP(D)QNMP例42.四棱錐成為正棱錐的一個(gè)充分但不必要條件是()(A)各側(cè)面是正三角形(B)底面是正方形(C)各側(cè)面三角形的頂角為45度(D)頂點(diǎn)到底面的射影在底面對角線的交點(diǎn)上例43.A、B為球面上任意兩點(diǎn)，則通過A、B可作的大圓個(gè)數(shù)是()(A)只能作一個(gè)(B)無數(shù)個(gè)(C)可能作一個(gè)或零個(gè)(D)以上都不對例44.長方體的三個(gè)相鄰面的面積分別為2，3，6，這個(gè)長方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球面的表面積為（）(A) (B)56π (C)14π (D)64π例45.將兩鄰邊長之比為3:4的長方形ABCD沿對角線AC折成一個(gè)直二面角，若四點(diǎn)A、B、C、D的外接球的球面面積為100π，則B、D兩點(diǎn)間的球面距離為（）(A)(B)(C)(D)3例46.設(shè)地球半徑為R，在北緯30°圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度差為120°，那么這兩地間的緯線之長為（）(A)πR (B)πR (C)πR (D)2πR例47.如圖，以正方體ABCD—的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，且四個(gè)面均為直角三角形的四面體是.(要求：只寫出其中的一個(gè)，并在圖中畫出相應(yīng)的四面體)例48.若棱錐底面面積為，平行于底面的截面面積是，底面和這個(gè)截面的距離是，則棱錐的高為；例49.已知A，B，C，D為同一球面上的四點(diǎn)，且連接每兩點(diǎn)的線段長都等于2，則球心到平面BCD的距離等于_____________。例50.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積?？臻g角與距離1.角：異面直線所成的角,直線和平面所成的角,二面角,都化歸為平面幾何中兩條相交直線所成的角。異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補(bǔ)形法等。直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱的垂面法及面積射影法。2.距離：異面直線的距離，點(diǎn)面距離，線面距離及面面距離。異面直線的距離：除求公垂線段長度外，通常化歸為線面距離和面面距離。線面距離，面面距離?；瘹w為點(diǎn)面距離。3.計(jì)算問題：（1）空間角的計(jì)算步驟：一作、二證、三算異面直線所成的角范圍：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②補(bǔ)形法.直線與平面所成的角范圍：0°≤θ≤90°方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影.二面角范圍：0°≤θ≤180°方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S′=Scosθ來計(jì)算（2）空間距離①兩點(diǎn)之間的距離.②點(diǎn)到直線的距離.③點(diǎn)到平面的距離.④兩條平行線間的距離.⑤兩條異面直線間的距離.⑥平面的平行直線與平面之間的距離.⑦兩個(gè)平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離.在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.(3)體積法.求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的.注:在解答立體幾何的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：①利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.②將空間圖形展開是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問題的一種常用方法.③補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形.④利用三棱錐體積的自等性，將求點(diǎn)到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高.⑤平面圖形的翻折，要注意翻折前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個(gè)三角形中的角度、長度不變例51.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()(A)30° (B)45°(C)60°(D)90°例52.如圖，AB=2，AC⊥，BD⊥，C，D，CD=1，則直線AB與所成的角為（）(A)30(B)60(C)arctan(D)45例53.已知正方形ABCD，沿對角線AC將△ADC折起，設(shè)AD與平面ABC所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，二面角B―AC―D等于()(A)1200(B)900(C)600(D)450例54.若三直線PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=3，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）(A)(B)(C)(D)空間角與距離例55.等邊△ABC的邊長是1，BC邊上的高是AD，沿AD折成直二面角，則點(diǎn)A到BC的距離是（）(A)(B)(C)(D)1例56.如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E是的中點(diǎn)，那么異面直線OE和之間的距離等于()(A)(B)1(C)(D)例57.正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）BC1與底面ABCD所成角為；（2）A1C與底面ABCD所成的角的正切值為；（3）BC1與對角面BB1D1D所成的角為例58.若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是.例59.二面角為，在其內(nèi)一點(diǎn)到平面的距離分別為2，3，，則的周長的最小值為.例60.如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中.（1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的大?。唬?）求到平面PAD的距離.空間向量及其運(yùn)算1.空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算：(1)在空間，具有大小和方向的量叫做向量．長度相等且方向相同的有向線段表示同一向量或相等的向量．(2)空間向量的加法、減法與向量數(shù)乘運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的推廣．(3)空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：加法交換律：;加法結(jié)合律：;數(shù)乘分配律：.空間向量及其運(yùn)算2.共線向量與共面向量:(1)如果表示向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫共線向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意兩個(gè)向量總是共面的．(3)共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)使;推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),滿足等式.其中向量叫做直線的方向向量.(4)共面向量定理:如果兩個(gè)向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對，使.推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有.3.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.其中叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量．推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使(這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，則向量用即證.4.兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)向量的數(shù)量積(2)向量的數(shù)量積的性質(zhì):①(是單位向量)；②③.(3)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律:①交換律:;②與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律=;③分配律:.注:向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律即5.如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用來表示．在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱xOy平面、yOz平面、z0x平面．作空間直角坐標(biāo)系O—xyz時(shí)，一般使∠xOy=1350,∠yOz=900．對于空間任一向量，由空間向量的基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中的坐標(biāo)，記為=．對于空間任一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為.空間向量及其運(yùn)算空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)=(a1,a2,a3),，則①,②,③④∥⑤⑥(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)⑦⑧設(shè)，則=這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．則，這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式．6.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果,那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：①利用法向量可求點(diǎn)到平面的距離定理：如圖，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.(實(shí)質(zhì)是在法向量方向上的投影的絕對值)②利用法向量可求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.③直線與平面所成角(為平面的法向量).④異面直線間的距離(的公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).(實(shí)質(zhì)是在公垂向量方向上的投影的絕對值)例61.已知向量＝(－1，3，－2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝，則的模為()(A)(B)(C)12(D)13空間向量及其運(yùn)算例62.如圖，已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AM、AG、MG，則+等于()(A)(B)(C)(D)例63.若、、三個(gè)單位向量兩兩之間夾角為,則|++|＝()(A)6(B) (C)3 (D)例64.設(shè)＝，＝，＝，則使A、B、C三點(diǎn)共線的條件是 ()(A)， (B) (C)(D)例65.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則△BCD是()(A)鈍角三角形(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)不確定例66.設(shè)是平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，則＝0，＝0是為平面的法向量的()(A)充分條件 (B)充要條件 (C)必要條件 (D)例若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x，－1，－3)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則x＝．例68.已知，，，若，，共同作用在一個(gè)物體上，使物體從點(diǎn)M1(1,－2,1)移到點(diǎn)M2(3,1,2)，則合力所作的功為______.例69.這四個(gè)點(diǎn)是否共面__________.(注:共面填“是”,不共面填“否”)例70.如圖直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz.⑴求的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；⑵設(shè)①②OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）；③O到平面SBC的距離.⑶設(shè)①________.②異面直線SC、OB的距離為_______.（注：⑶只要求寫出答案）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第九章直線、平面、簡單的幾何體)答案例1.C例2.A例3.D例4.A例5.D例6.B例7.例8.8例9.4例10.解:∵BC＝a,∠BAC＝45°,∴AC＝a,AB＝a,△ABD中，AB＝a，∠DAB＝30°，∴BD＝a,AD=a,作CE//AB,且CE=AB,∴∠BCE=135°,則BE=a,又CD=a,∴BE=a,DE=a,∠DCE是AB與CD所成的角或其補(bǔ)角,∴cos∠DCE==－,∴cos=.例11.D解析：b與可能相交，可能平行，也可能b在內(nèi)，故選(D)例12.C例13.C例14.C例15.D例16.1個(gè)，無數(shù)個(gè)例17.例18.④例19.(1)過F作FG⊥AB于G，F(xiàn)G//AE，F(xiàn)G＝AE，又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD//AE，CD＝AE，∴FG//CD，F(xiàn)G＝CD，∴四邊形CDFG是平行四邊形，DF//CG，CG平面ABC，∴DF//平面ABC；(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，∴AF⊥BE，又DF⊥FG，DF⊥AE，∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，又BE⊥AF，∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD。例20.解析：（1）欲證EG∥平面BB1D1D，須在平面BB1D1D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構(gòu)造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’，顯然BO’即是.（2）按線線平行線面平行面面平行的思路，在平面B1D1H內(nèi)尋找B1D1和O’H兩條關(guān)鍵的相交直線，轉(zhuǎn)化為證明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。⑶為證A1O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A1O，再尋A1O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線。猜想A1O⊥OF.借助于正方體棱長及有關(guān)線段的關(guān)系計(jì)算得：A1O2+OF2=A1F2A1O（4）∵CC1⊥平面AC∴CC1⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF∴平面BDF⊥平面AA1例21.B例22.A例23.B例24.A例25.A例26.A例27.C例28.③④例29.例30.分析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、發(fā)現(xiàn)解題思路.解∵PA⊥AB,∴∠APB＝90°在RtΔAPB中,∵∠ABP＝45°,設(shè)PA＝a,則PB＝a,AB＝a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝a.∵AP⊥PC,∴在RtΔAPC中，AC＝＝＝2a(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP.∠CBP是CB與平面PAB所成的角∵∠PBC＝60°,∴BC與平面PBA的角為60°.(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝AB＝2a.∴M為AB的中點(diǎn)，則AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面說明:要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)解題捷徑.例31.D例32.C例33.B例34.C例35.D例36.C例37.例38.例39.例40.(1)∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，而PD與BD交于點(diǎn)D，∴AC⊥平面PBD，又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.（2）記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，由（1）知，AC⊥平面PBD，∴PC在平面PBD內(nèi)的射影是PO，∴∠CPO就是PC與平面PBD所成的角，∵PD=AD,∴在Rt△PDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°