廣東省汕尾市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁第19頁，共19頁汕尾市2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高中二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．3．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.135°【答案】D【解析】【分析】將直線方程化成斜截式，求出其斜率，再由斜率定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】由可得，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因，故得.故選：D.2.已知空間向量，，若，則x的值為（）A.4 B.6 C. D.－3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故選：B3.圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相離 C.相交 D.外切【答案】C【解析】【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再利用圓和圓位置關(guān)系的判斷方法即得.【詳解】由兩圓的方程可知，圓心坐標(biāo)依次為：，，半徑依次為，則，由，可得兩圓相交.故選：C.4.雙曲線C:x2a2?y2A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題設(shè)條件可得，再由離心率定義和的關(guān)系式即可求得.【詳解】因雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由漸近線方程易得，于是C的離心率為：.故選：B.5.如圖，在平行六面體中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.6.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，記事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事件A與事件B互斥C.事件A與事件B相互獨(dú)立 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式，分別寫出樣本空間和事件表示的集合，求出相關(guān)事件的概率，利用互斥事件，獨(dú)立事件的定義與和事件的概率公式計(jì)算即可逐一判斷.【詳解】由題意，用兩位數(shù)字表示連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體得到的點(diǎn)數(shù)，則該試驗(yàn)的樣本空間為：，則，事件，，事件，.對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，故事件A與事件B相容，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，，則，而，因，故事件A與事件B相互獨(dú)立，即C正確；對(duì)于D，因，，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.兩位游客來到汕尾·保利金町灣的“鯨灣生活館”外的樓梯上拍照留念，此時(shí)正好一人站在地面上（B點(diǎn)處），一人站在樓梯斜坡上（A點(diǎn)處），如圖所示．現(xiàn)將樓梯斜坡近似看作斜面，斜面與地面的交線記作直線l，通過測量得到以下數(shù)據(jù)：斜面與地面所成的坡度角為60°，A點(diǎn)在地面上的投影與B點(diǎn)恰好在直線l的兩側(cè)，A點(diǎn)到直線l的距離為AD，測得，B點(diǎn)到直線l的距離為BC，測得，且測得，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的模長即可求解.【詳解】由于,,由于斜面與地面所成的坡度角為60°，故故,故，因此,故選：A8.已知，函數(shù)在上的最大值不超過4，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的范圍可求得；分別在、和的情況下求得，利用構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意②當(dāng)，即時(shí)，令,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增又，若最大值不超過，則，即

③當(dāng)，即時(shí)，，解得：（舍）綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；關(guān)鍵是能夠得到絕對(duì)值內(nèi)的函數(shù)的值域，進(jìn)而通過分類討論的方式去除絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)單調(diào)性求得最值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，，，用表示，中的較大者，記為．例如，則．下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.在上不單調(diào)【答案】BD【解析】【分析】利用作圖思想，可求交點(diǎn)位置，利用數(shù)形結(jié)合，即可作出判斷.【詳解】由，故A錯(cuò)誤；作出函數(shù)的圖象：由于所以由圖可知：當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；由圖可知在上不單調(diào)，故D正確；故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)28，13，15，31，16，18，20，24的中位數(shù)是20B.從小到大順序排列數(shù)據(jù)3，5，x，8，9，10，其極差與平均數(shù)相等，則方差為6.8C.數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，則有D.，其中P為平面ABC上的一點(diǎn)，O是平面ABC外一點(diǎn)，則有【答案】CD【解析】【分析】按照中位數(shù)的計(jì)算方法可判斷A；由極差與平均數(shù)相等求得，再求方差可判斷B；【詳解】對(duì)于A，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：13，15，16，18，20，24，28，31，最中間的兩個(gè)是18，20，所以中位數(shù)是.故A不正確；對(duì)于B，由題意可知：極差為，平均數(shù)為，則，解得，所以平均數(shù)為，方差為；故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)楣裁妫?，故，故D正確.故選：CD.11.已知雙曲線方程為，和分別為雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)．設(shè)直線：和直線：相交于點(diǎn)Q，且恒有，，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.平面上存在定點(diǎn)P，使得為定值C.的最大值為64 D.點(diǎn)Q到直線距離的最大值為4【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，所以點(diǎn)Q的軌跡為以為直徑的圓，方程為，設(shè)點(diǎn)，則，可得其最大值判斷A；由圓的性質(zhì)可判斷B，D；利用基本不等式判斷C.【詳解】根據(jù)題意，雙曲線方程，則，因?yàn)楹阌?，，則有，，解得，所以：，：，又，所以，所以點(diǎn)Q的軌跡為以為直徑的圓，方程為，設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)，上式取最大值為，所以的最大值為，A正確；平面上存在定點(diǎn)P（原點(diǎn)O），使得為定值4，B正確；又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q為圓與軸的交點(diǎn)時(shí)成立，C錯(cuò)誤；點(diǎn)Q到直線距離的最大值為圓的半徑4，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)，從而點(diǎn)Q的軌跡為以為直徑的圓，方程為是解題關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線與直線平行，則與之間的距離為______．【答案】6【解析】【分析】由可得，利用兩平行直線的距離公式即可求得.【詳解】由可得，因，則，解得，則與之間的距離為.故答案為：6.13.在一家人工智能企業(yè)中，有一項(xiàng)重要的軟件開發(fā)任務(wù)．甲、乙兩位程序員獨(dú)立地負(fù)責(zé)不同模塊的開發(fā)工作．甲程序員技術(shù)扎實(shí)，在以往的項(xiàng)目中表現(xiàn)出色，他成功完成自己負(fù)責(zé)模塊的概率為，乙程序員富有創(chuàng)新精神，善于解決復(fù)雜的技術(shù)問題，他成功完成自己負(fù)責(zé)模塊的概率為，這個(gè)軟件開發(fā)任務(wù)對(duì)于公司在人工智能領(lǐng)域的發(fā)展至關(guān)重要，只有當(dāng)甲、乙程序員中的至少一人成功完成自己負(fù)責(zé)的模塊，才能確保整個(gè)軟件項(xiàng)目的順利推進(jìn)．那么，這個(gè)軟件開發(fā)任務(wù)能夠成功完成的概率為______．【答案】##0.7【解析】【分析】根據(jù)條件，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及對(duì)立事件發(fā)生的概率公式，即可求解.【詳解】記事件：甲程序員成功完成自己負(fù)責(zé)的模塊，事件：乙程序員成功完成自己負(fù)責(zé)的模塊，由題知，又當(dāng)甲、乙程序員中的至少一人成功完成自己負(fù)責(zé)的模塊，才能確保整個(gè)軟件項(xiàng)目的順利推進(jìn)，所以這個(gè)軟件開發(fā)任務(wù)能夠成功完成的概率為，故答案為：.14.正方體的棱長為4，P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，E是棱CD上一點(diǎn)，若，且的面積是面積的4倍，則三棱錐體積的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由條件先證明，結(jié)合面積關(guān)系可得，在平面上建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合體積公式求三棱錐體積的最大值.【詳解】由已知平面平面，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以，又，所?又的面積是面積的4倍，可得,在平面上以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由得，整理得，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以取最大值為，的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：上．（1）分別求出直線AB的方程和線段AB的垂直平分線的方程；（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1），．（2）．【解析】【分析】（1）由題可得AB中點(diǎn)的坐標(biāo)及斜率，然后利用點(diǎn)斜式即可得出答案.（2）聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，即可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】由題意得直線AB的斜率為，直線AB的方程為，即，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，線段AB的垂直平分線的方程是，即．【小問2詳解】由垂徑定理可知，圓心C在AB的垂直平分線上也在直線l上，聯(lián)立，解得，所以圓心C坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．16.某校高一年級(jí)設(shè)有籃球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行籃球四項(xiàng)指標(biāo)（往返運(yùn)球上籃、一分鐘投籃、四角移動(dòng)、比賽）考核，滿分100分．參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計(jì)考核得分的第40百分位數(shù)；（2）為了提升同學(xué)們的籃球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求至少一人來自的概率．【答案】（1），77.5．（2）．【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中各組頻率之和為1列方程求出，再根據(jù)百分位數(shù)的定義列方程求解即得；（2）根據(jù)分層抽樣，先求抽取的5人中分別來自和的人數(shù)，設(shè)出樣本點(diǎn)，寫出試驗(yàn)的樣本空間和事件所含的樣本點(diǎn)，利用古典概率模型公式求解即得.【小問1詳解】由題意得：，解得，因?yàn)?，，設(shè)第40百分位數(shù)為x，則，解得，即第40百分位數(shù)為77.5．【小問2詳解】由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有（人），記為，在的有人，記為a,b,c.則“從中挑出兩人進(jìn)行試課”這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：，則，設(shè)事件M為“至少一人來自”，則，則，因此，所以至少一人來自的概率為．17.函數(shù)，已知的圖象上兩相鄰最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)在圖象上，且在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）求a與的值；（2）若，求周長最大值．【答案】（1），．（2）6【解析】【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化成，結(jié)合題設(shè)條件即可確定a與的值；（2）根據(jù)（1）已得，由求得，方法一：利用正弦定理和恒等變換知識(shí)，將表示成，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得周長的最大值；方法二：利用余弦定理和基本不等式，推理求出周長的最大值.【小問1詳解】．由題意知，，因，則可得，故，由在的圖象上，可得，故．【小問2詳解】（解法一）由（1）知，則，即，因?yàn)?，所以，所以，解得，由正弦定理，，則得，，因，則．因?yàn)椋?，所以，即有，從而，所以周長的最大值為6．（解法二）由（1）知，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即，在中，由余弦定理，，由?）知，即，所以，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，所以周長的最大值為6．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，是棱（含端點(diǎn)）上一點(diǎn)．（1）若．求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）是否存在這樣的點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）．（3）存在，0或,【解析】【分析】（1）根據(jù)平面，由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直，即可根據(jù)平面得，結(jié)合線面垂直的判定即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求解；（3）求解平面法向量，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，平面所以平面，又因?yàn)槠矫妫瑒t有，在中，，是的中點(diǎn)，故有，因?yàn)?，平面，所以平面，平面，則，又因?yàn)?，EF，平面，且，所以平面．【小問2詳解】以向量，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，P0,0,1，則，，，．設(shè)平面的法向量m=x1,y令，得，所以平面的法向量，設(shè)平面的法向量n=x2,y令，得，所以平面的法向量，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為．【小問3詳解】由（2）知，，，P0,0,1，，，，，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F則有，，設(shè)平面的法向量，則即令，得，，所以平面法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，則，整理得，解得或，因?yàn)?，所以的值?或，故有的值為0或．19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離是它到定直線的距離的倍，動(dòng)點(diǎn)的軌跡與y軸的交點(diǎn)為M，的面積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；（2）直線l：與點(diǎn)P的軌跡方程C交于D，E兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．試求當(dāng)t為何值時(shí)，恒為定值？并求此時(shí)面積的最大值．【答案】（1）（2），1【解析】【分析】（1）由的面積為可求出，再根據(jù)題意可得，由此可得，再由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式化簡可求出橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利