北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.一張A4紙的厚度大約為0.00011米，數(shù)字0.00011用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.l.lxlO4B.11x10-3C.1.1x10-4D.0.11x105

2.漢字是中華文明的標(biāo)志，從公元前16世紀(jì)甲骨文出現(xiàn)，經(jīng)歷了金文、篆書、隸書、草書、

楷書、行書的書體演變過程，每種書體都有著各自鮮明的藝術(shù)特征.下面篆書屬于軸對稱圖

形的是（）

【二|二】螺

A.C.豆

3.當(dāng)〃。0,〃是正整數(shù)時(shí)，可以寫成（）

1

A.C.~na1

7D.—a

4.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為（

A.85°B.75°C.65°D.60°

5.下列運(yùn)算正確的是（）

A.〃2.〃3=〃6B.=ab3C.?=a5D.a，+=a"

6.下列各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）

A.a2—4〃+4=〃（夕—4）+4B.501b-ab-ab（5a-1）

7.如圖，ZA=36°,/DBC=36。，ZC=72°,圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）

A

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，VABC為等腰三角形，A3=AC,軸，若

二、填空題

9.若分式占有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是一

11.計(jì)算：(2m2n+mn2)+mn=.

12.分解因式：a2-4=.

13.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，它是邊形.

14.計(jì)算：,+1=_____.

a-1

15.如圖，在VA3C中，點(diǎn)。在BC邊上，連接A。，且CO=5,AD=13,直線EF是邊AC

的垂直平分線，若點(diǎn)M在E尸上運(yùn)動(dòng)，則VCDM周長的最小值為.

試卷第2頁，共6頁

16.如圖，OC是NAOB的平分線，點(diǎn)。，尸分別在射線OC和。8上，OD＞。尸且ZDPO=36°,

點(diǎn)。是射線。4上的一點(diǎn)，若。。=小，則NOQ。的度數(shù)為.

三、解答題

17.計(jì)算：（-4）°T-3|+71?+1_g].

18.已知/+〃=1,求代數(shù)式（。+1）2+（夕+2）（〃-2）的值.

19.先化簡，再求值：fl--V-r~^+4,其中x=4.

XJX

3x

20.解方程：-+1=-4，

xx-2

21.如圖，點(diǎn)E,尸在BC上，BE=CF,ZA=ZD,NB=NC,AF與。E交于。.求證:

AB=DC.

22.列方程解決實(shí)際問題：

2024年12月2日，中央廣播電視總臺(tái)《2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》發(fā)布官方吉祥物形象"巳（si）

升升”，祝福全球華人在新的一年如意康寧，好事連連.2025蛇年春晚吉祥物的設(shè)計(jì)是從中

華傳統(tǒng)文化中尋找的靈感，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨態(tài)可掬，又富有古

某商店銷售A,8兩款“巳升升''吉祥物，已知A款吉祥物的單價(jià)比B款吉祥物的單價(jià)高20

元.若顧客花800元購買A款吉祥物的數(shù)量與花600元購買B款吉祥物的數(shù)量相同，則4

B兩款吉祥物的單價(jià)分別是多少元？

23.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZA=30°.

⑴尺規(guī)作圖：請你作出線段AB的垂直平分線，分別交邊AC,A8于點(diǎn)。，點(diǎn)E(保留作

圖痕跡);

(2)連接3D,則/Z)3C=°；

⑶若CD=3,則AC=.

24.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)和形之間有著十

分密切的聯(lián)系，可見在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

如：在對乘法公式的探究學(xué)習(xí)中，我們根據(jù)圖1中圖形的面積說明了完全平方公式:

(a+6)2=a2+2ab+b2.

AHD

(1)如圖2,已知正方形ABCD和正方形IJKL,請用兩種不同的方式表示正方形IJKL的面積.

方式一：;

方式二：;

試卷第4頁，共6頁

由正方形〃KL的面積的兩種不同表示方式可寫出一個(gè)等式是.

⑵連接所，F(xiàn)G,GH,HE,用含c,d的代數(shù)式表示四邊形EFG〃的面積是

25.閱讀下面的解題過程：

y11

例：已知=一=:,求代數(shù)式V+3的值.

x2+l2X2

第一步因?yàn)?7=：,所以二±1=2,即，+92；

x2+l2X

第二步因?yàn)镚+4]=%2+2?%，+4=12+4+2,

Vx)xxx

所以x?+4=jx+——2=22—2=2.

XIX)

該題的解法叫作“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題.

「JX1

已知—-----二—,

x—x~\2

⑴仿照第一步，求尤-工的值；

X

⑵仿照第二步，求爐+3的值.

X

26.如圖，在VA3C中，AO是邊上的中線，AC=A尸，AB=,NG4B+NR4E=180。.求

證：EF=2AD.

27.在VA3C中，ZACB=90°,NB4c=戊，點(diǎn)8關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)O,連接A￡),

以AD為邊，作等邊VADE,且點(diǎn)E與點(diǎn)8在直線AD的同側(cè)，作射線BE,交直線AC于點(diǎn)

F,連接。尸.

A

（D如圖1,若30。<?<60。，

①當(dāng)a=50°時(shí)，貝ijN54E=°,ZAFB=°；

②用等式表示線段用，CF與所之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2,若60。<&<90。，直接用等式表示線段E4,CP與EF之間的數(shù)量關(guān)系.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/過點(diǎn)（凡0）且平行于J軸，對于點(diǎn)尸和圖形Af,給出

如下定義：若點(diǎn)尸關(guān)于直線/對稱點(diǎn)P落在圖形”所圍成的區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則稱圖形“

是點(diǎn)P關(guān)于直線/的“對稱形”.

一尸

:—?—八一：—'-2

：1EH

—??__i?~I—

-5二4二二32三咚.123a567X

-」=3

圖1圖2

（1）如圖1,已知4（3,1）,B（6,l）,C（6,2）,D（3,2）,直線/過點(diǎn)（1,0）,

①在點(diǎn)4（-U）,8（。/），月（T2）中，線段A8是點(diǎn)關(guān)于直線/的“對稱形”；

②若四邊形ABCD是點(diǎn)P（2a,l-a）關(guān)于直線/的“對稱形”，求。的取值范圍.

（2）如圖2,已知磯3,1）,*4,0）,G（6,0）,"（5,1）,四邊形EFGH是點(diǎn)P（加樂）關(guān)于直線

I的“對稱形”，直接寫出加和?的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

《北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678

答案CCABDBDC

1.C

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵；科學(xué)記數(shù)法的表示

形式為0X10。的形式，其中14忖＜10,w為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí),

小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于1。

時(shí)，”是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，”是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：將數(shù)據(jù)0.00011用科學(xué)記數(shù)法表示為LlxHT4;

故選C.

2.C

【分析】本題考查的是軸對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是正確掌握軸對稱的定義.根據(jù)軸對

稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫

做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）

對稱，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A,B,D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以是軸對稱圖形.

故選：C.

3.A

【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)累，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的定義可得或"='（awO,〃是正

整數(shù)），即可求解.

【詳解】解：當(dāng)〃工0,〃是正整數(shù)時(shí)，了?？梢詫懗伞?，

故選：A.

4.B

【分析】本題考查三角板相關(guān)角的計(jì)算.熟練掌握掌握三角板的特征，角的和差，直角三角

形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出/BCD的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余，即可得出結(jié)

答案第1頁，共16頁

論.（方法不唯一）

【詳解】如圖，設(shè)兩個(gè)三角板分別為RtABC,RtADE,

VZBAC=60°,ZDAE=45°,

：.ZBAD=ABAC-NDAE=15°,

■:2B90?,

：.a=90°-ZBAD=15°,

故選：B.

5.D

【分析】本題主要考查塞的運(yùn)算，熟練掌握幕的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)同底數(shù)幕乘法、積的乘方、幕的乘方、同底數(shù)塞的除法計(jì)算后利用排除法求解即可.

【詳解】解.A、應(yīng)為故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、應(yīng)為(<76)3=4嶗，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、應(yīng)為(/)3=/,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、?7-?a3=a4,正確.

故選：D.

6.B

【分析】本題考查了判斷是否是因式分解，根據(jù)“把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，像

這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式”，逐項(xiàng)判斷，

選擇答案即可.

【詳解】解：A、4a+4=a(a-4)+4,右邊不是乘積的形式，不是因式分解，不符合

題意；

B、5a2b-ab=ab(5a-i),是因式分解，符合題意；

C、(a+b)(a-b)=a2-b2,從左到右不是變成乘積的形式，不是因式分解，不符合題意；

答案第2頁，共16頁

D、a2-2a=a2^l-^,右邊不是整式積的形式，不符合題意；

故選：B.

7.D

【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和分別計(jì)算出NAB。、NBDC

的度數(shù)，再計(jì)算出/ABC的度數(shù)，再根據(jù)等角對等邊可判斷出等腰三角形的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)

鍵是掌握等腰三角形的判定方法.

【詳解】解：：NC=72°,ZDBC=36°,

：.ZABD=180°-72°-36°-36°=36°=ZA,

:.AD=BD,4汨是等腰三角形，

,/根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知NBDC=180°-72°-36°=72°=ZC,

,BD=BC,BDC是等腰三角形，

NC=ZABC=72。,

：.AB=AC,ABC是等腰三角形，

故圖中共3個(gè)等腰三角形，

故選：D.

8.C

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三線合一，過點(diǎn)A作AELx軸，交于點(diǎn)O,求出。點(diǎn)

坐標(biāo)，根據(jù)三線合一，得到。為良。的中點(diǎn)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AELx軸，交于點(diǎn)。，

ADJ.BC,

?；A(2,5),B(-M),

二。(2,1),

???VABC為等腰三角形,

答案第3頁，共16頁

:.BD=CD,

：.C(2+2+l,l),即：(5,1)；

故選C.

9.xw2

【分析】本題主要考查分式有意義的條件：分式有意義，分母不能為0.由于分式的分母不

能為0,因此X-2H0,解得X.

【詳解】解：二?分式」有意義，

x-2

九一2w0,即xw2.

故答案為xw2.

10.2

2a

【分析】本題考查分式的約分：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的

分式變形叫做分式的約分.根據(jù)分式的性質(zhì)，將分子分母中的相同因式約掉即可得出結(jié)論.

【詳解】解：子=?，

4QC2a

b

故答案為：—.

2a

11.2m+n/n+2m

【分析】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,

根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則直接求解即可.

【詳解】解：(2m2n+mn24-mn=2n^n4-mn+mn24-mn=2m+n

故答案為：2加+〃.

12.(a+2/a-2)

【分析】本題考查了平方差公式分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

直接利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：a2-4=(a+2)(?-2),

故答案為：(a+2)(a-2).

13.六/6

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，設(shè)多邊形邊數(shù)為〃，根據(jù)題意列出方程，解

方程，即可求解.

答案第4頁，共16頁

【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為",

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得貂0歡2=(〃-2)?。，

解得n=6.

故答案為：六.

14.—

a—1

【分析】本題考查分式的加法，根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】解：工+1

a—1

1a-1

=---1---

Q—1Q—1

1+Q—1

Q—1

a

a—1

故答案為：.

a—1

15.18

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得貝必COM的周長

=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM,即可得到當(dāng)A、M、。三點(diǎn)共線時(shí)，AM+OM的值

最小，此時(shí)AM+〃M=AO=13,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接AM,

是AC的垂直平分線，M在所上運(yùn)動(dòng)，

：.AM=MC,

：.ACDM^Jj^-^=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM,

：.要想△CDM的周長最小，即AM+DM的值最小,

.,.當(dāng)A、M、。三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM的值最小，此時(shí)AM+DM=AO=13,

.?.此時(shí)4的周長=13+5=18,

.,.△CDM的周長最小值為18,

故答案為：18.

答案第5頁，共16頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段垂直平

分線的性質(zhì).

16.36°或144°

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以

上知識(shí)點(diǎn)，分類討論.

分類討論:過點(diǎn)。作，Q4于",OV，于N,則由角平分線的性質(zhì)定理得DH=DN；

分兩種情況考慮：點(diǎn)。在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，證明RtDPN^RtDQH,則有

NDPO=/DQO=36。；點(diǎn)Q'在點(diǎn)H左側(cè)時(shí)，同理可求乙DQ'H=36。，進(jìn)而求得結(jié)果，最后

綜合兩種情況即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作于于N,

OD平分ZAOB,DH±OA,DNLOB,

:.DH=DN,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，

在RfDPN和中，

(DN=DH

[DP=DQ'

RtDPN^RtDQH(HL),

NDPO=NDQO=36°,

當(dāng)點(diǎn)Q'在點(diǎn)H左側(cè)時(shí)，同理可求乙DQ'"=36。,

ZDQ'O=144。，

綜上所述：/。。。的度數(shù)為36?；?44。，

故答案為：36?；?44。.

答案第6頁，共16頁

17.11

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)累、算術(shù)平方根、零指數(shù)累的運(yùn)算

法則是解題的關(guān)鍵.先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、算術(shù)平方根、零指數(shù)幕，再進(jìn)行加減計(jì)算即可.

【詳解】解：（-4）°-|-3|+V16+^-1y

=1—3+4+9

=11.

18.1

【分析】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.先用乘

法公式計(jì)算，然后根據(jù)整式的加減運(yùn)算化簡，然后將"+。=1代入求解即可.

【詳解】解：（々+1）2+（々+2）（々-2）

=a?+2a+1+a2—4

=2/+2a—3

???C7l+。=1I，

?,?原式=2（4+々）一3

=2x1—3

=—1.

【分析】利用分式運(yùn)算化簡求值，先計(jì)算括號中的減法，再計(jì)算除法，將其化簡為最簡形式

再代入求值即可，本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解答該

題的關(guān)鍵.

x-2x2

?。?）2

X

x—2

當(dāng)％=4時(shí),

4

原式一-=2.

4—2.

20.x=6

答案第7頁，共16頁

【分析】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解答此題的關(guān)鍵.

先去分母，方程兩邊同乘以x(x-2),將分式方程化為整式方程，求解即可；

【詳解】解：-+1^^-

xx-2

3(x—2)+x(x—2)=x2

3x—6+%2~2x=

x=6

檢驗(yàn)：當(dāng)龍=6時(shí)，2)w0,

所以原分式方程的解為x=6.

21.見解析

【分析】根據(jù)班=C5推出BF=CE,然后利用“角角邊''證明△AB/三△OCE,根據(jù)全等三

角形對應(yīng)邊相等即可證明.

【詳解】證明：：防二中，

:.BE+EF=CF+EF,

即BR=CE,

在zXAB下和△￡)(?￡■中，

■：\ZB=ZC,

BF=CE

：.AABF=/\DCE(AAS),

AB^DC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)BE=CV推出3b=CE,從而得到三角

形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

22.每個(gè)B款吉祥物的售價(jià)為60元，每個(gè)A款吉祥物的售價(jià)為80元

【分析】本題考查了分式方程實(shí)際應(yīng)用問題，根據(jù)題意找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

設(shè)一個(gè)B款吉祥物的售價(jià)為了元，則一個(gè)A款吉祥物的售價(jià)為(x+20)元，根據(jù)顧客花800

元購買A款吉祥物的數(shù)量與花600元購買B款吉祥物的數(shù)量相同，即可列出等量關(guān)系求解.

【詳解】解：設(shè)一個(gè)2款吉祥物的售價(jià)為尤元，則一個(gè)A款吉祥物的售價(jià)為(x+20)元.

答案第8頁，共16頁

800600

根據(jù)題意得：-

解得：x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是所列方程的解，且符合實(shí)際意義，

x+20=60+20=80.

答：每個(gè)8款吉祥物的售價(jià)為60元，每個(gè)A款吉祥物的售價(jià)為80元.

23.⑴見詳解

(2)30

(3)9

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，則N￡?A=ZA=30。，進(jìn)而推出ZCBD=30°；

(3)根據(jù)NCBD=30o,NC=90。，得出比＞=AD=2CD=6,由此可得答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

A

(2)解：在線段A8的垂直平分線上,

/.AD=BD,

:.ZDBA=ZA=30°,

.ZCfiA=90°-ZA=60°,

/.ZCBD=/CBA—/DBA=30°.

故答案為：30.

(3)解：VZCBD=30°,ZC=90°,

:.BD=2CD=6

BD=AD=6,

:.AC=AD+CD=9,

故答案為：9.

答案第9頁，共16頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，

含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知相等垂直平分線上的點(diǎn)到相等兩端的距離相

等是解題的關(guān)鍵.

24.⑴(c-d),(c+d)--4cd,(c-d?=(c+d)?-4cd

⑵c2+d2

【分析】此題考查了完全平方公式的幾何背景，能從整體和部分兩個(gè)角度求出圖形的面積是

解題的關(guān)鍵.

(1)圖2分別看成一個(gè)小正方形的面積和正方形〃KL的面積減去4個(gè)長為。寬為d的長方

形的面積，進(jìn)而列出等式即可求得答案；

(2)用四邊形EFGH的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)底為c高為d的三角形形的面

積，即可得解.

【詳解】(1)解：圖中正方形〃KL的邊長為(c-d),面積為(c-d)2；

還可以表示為:正方形ABCD的面積減去4個(gè)長為。寬為d的長方形的面積，即(c+d)2-4cd,

由正方形〃KL的面積的兩種不同表示方式可寫出一個(gè)等式是(c-〃)2=(c+d)2-4cd

故答案為：(c-d)2,(c+d)2-4cd,(c-d)2=(c+d)2-4cd；

(2)解：如圖，

AHD

四邊形EFGH的面積為正方形A28的面積減去4個(gè)底

G

土一二/------------C

——C——?

圖2

為C高為d的三角形形的面積，

1

工四邊形石尸GH的面積為(c+d)?—4x—cd=c2+d2,

故答案為。2+/.

25.(1)x—=3

答案第10頁，共16頁

,1一

(2)%H—z-=11

X

【分析】本題考查分式的求值問題，解題的關(guān)鍵是正確理解題目給出的解答思路，注意分式

的變形.

(1)將已知條件的兩邊式計(jì)算各自的倒數(shù)，約分后可得結(jié)論；

(2)由=/+二一2.再把x-，=3代入求解即可.

X)XX

(2)解:由(1)得工一i=3,

=x2-2-x—}--=x2+——2.

x廠廠

+2=32+2=11.

26.證明見解析

【分析】延長AD到點(diǎn)“，使DH=AD,連接C".證AADB這△HDC,得AB=CH,

NDAB=NDHC.再證明4g△應(yīng)3,即可得證.

【詳解】證明：延長AO到點(diǎn)H,使連接C〃.

：AO是BC邊上的中線,

CD=BD.

...在-ADB和△HOC中

答案第11頁，共16頁

BD=CD

<ZBDA=ZCDH,

AD=HD

：.△ADB"AHDC,

：.AB=CH,ZDAB=ZDHC.

AB=AE,

：.CH=AE

,：ZDAB=ZDHC,

：.HCAB.

：.ZC4B+ZHC4=180°.

???ZC4B+ZE4E=180°,

：.ZHCA=ZEAF.

在△“C4和產(chǎn)中

AC=FA

<ZHCA=ZEAF,

CH=AE

：.ZXHCWAEAF,

:.AH=EF,

:.EF=2AD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)，同角的補(bǔ)角相等，

中線定義，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.(1)@40,60；?FA=2CF+EF,證明見解析

Q)FA+FE=2CF

【分析】(1)①由點(diǎn)3關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，得"4C=/B4C=50。，AB=AD,

由/ADE是等邊三角形，得/E4c=60?！?0。=10。，AE=AD=AB,進(jìn)而

de^BAE=^BAC-^EAC=40°,ZABE=70。,從而即可得解；②在E4上截取尸G,使bG

=EF,連接EG.先證/AFB=60。，進(jìn)而得￡FG是等邊三角形，F(xiàn)G=EF=EG,

^GEF=60%從而證明AEGQ&DEF,再利用直角三角形的性質(zhì)即可得解；

(2)先證/市為=60。，進(jìn)而得一瓦G是等邊三角形，F(xiàn)G=EF=EG,NEFG=NAFB=6。。,

從而證明AEG^DEF,再利用直角三角形的性質(zhì)即可得解；

答案第12頁，共16頁

【詳解】（1）解：①?，點(diǎn)3關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)

/.ZDAC=ZBAC=50°,AB=AD,

,**ADE是等邊三角形，

???/E4C=60?！?0。=10。，AE=AD=AB,

1Ono_/D4F

NBAE=ZBAC-ZEAC=40。，NABE=ZAEB=——=--------70°,

2

/AFB=180。—ZABE-NBAC=60°,

故答案為：40,60；

②FA=2CF+EF.理由如下：

在以上截取/G,使FG=EF,連接EG.

:點(diǎn)8與點(diǎn)。關(guān)于直線AC對稱，

***AB=AD,FB=FD,

NBAC=^DAC=cc.

:..A￡）石是等邊三角形，

AAE=AD=ED,^EAD=^AED=60°,

AAB=AE,/BAE=2a—60。,

：.^ABE=^AEB=1200-a.

9：ZABE=nO°-a,NBAF=a,

：.ZAFB=6Q°,°

,:FG=EF,

???.￡FG是等邊三角形，

；?FG=EF=EG,NGEF=60。,

:.NAEG=NDEF.

在.AEG和.,。砂中，

答案第13頁，共16頁

AE=DE

<ZAEG=/DEF

EG=EF

:?一AEG-DEF,

???AG=DF.

V^BCF=1SO0-^ACB=9Q°,^BFC=60°,

???ZFBC=30°,

：.DF=FB=2CF,

：.FA=FG+AG=FE+DF=FE+2CF.

(2)解：FA+FE=2CF.理由如下：

在A尸的延長線上截取/G,使FG=EF,連接EG.

???點(diǎn)8與點(diǎn)。關(guān)于直線AC對稱，

AB=AD,FB=FD,

：.ZBAC=ZDAC=a.

??,_4)石是等邊三角形，

AAE=AD=ED,ZEAD=^AED=6Q°,

AB=AE,ZBAE=2a-6G°,

：.ZABE=ZAEB=\2Q0-a.

'：^ABE=120°-a,NBAF=a,

：.^EFG=^AFB=60°,

,/FG=EF,

???_EFG是等邊三角形，

；.FG=EF=EG,NGEF=NAED=60。,

:.NAEG=NDEF.

在..AEG和&DEF中,

答案第14頁，共16頁

AE=D