高考備考資料之數(shù)學人教B版全國用課件第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ28

§2.8

函數(shù)與方程第二章

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎知識

自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.函數(shù)的零點一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的值等于零，即

，則α叫做這個函數(shù)的零點.2.零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的

，即

，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函數(shù)圖象通過零點時穿過x軸，則稱這樣的零點為

.知識梳理f(α)＝0函數(shù)值異號f(a)f(b)<0變號零點3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系

Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點_____________________無交點零點個數(shù)_________(x1，0)，(x2，0)(x1，0)2101.有關函數(shù)零點的結論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.2.三個等價關系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點?函數(shù)y＝f(x)有

.【知識拓展】x軸零點題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點.(

)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)<f(x)<g(x).(

)基礎自測××√123456√7題組二教材改編12456答案√解析3且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)，∴f(x)的零點在區(qū)間(2,3)內.712456答案解析3.函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是_____.解析由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上單調遞增，31因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點.74.函數(shù)f(x)＝

－

的零點個數(shù)為_____.解析作函數(shù)y1＝

和y2＝

的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)有1個零點.解析124563答案17題組三易錯自糾5.已知函數(shù)f(x)＝x－

(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點分別為x1，x2，x3，則A.x1<x2<x3

B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1

D.x3<x1<x2解析作出y＝x與y1＝

，y2＝－ex，y3＝－lnx的圖象如圖所示，可知選C.解析12456答案3√76.已知函數(shù)f(x)＝

則函數(shù)f(x)有___個零點.解析124561答案解析當x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當x>1時，由f(x)＝1＋log2x＝0，3又因為x>1，所以此時方程無解.綜上函數(shù)f(x)只有1個零點.77.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析12456答案解析∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，37題型分類深度剖析1.設f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為A.(0,1)

B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定自主演練答案√解析解析∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)，∴f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2).2.若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間A.(a，b)和(b，c)內

B.(－∞，a)和(a，b)內C.(b，c)和(c，＋∞)內

D.(－∞，a)和(c，＋∞)解析解析∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函數(shù)零點存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內分別存在零點，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點.因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內，故選A.答案√3.設函數(shù)y1＝x3與y2＝

的圖象的交點為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是______.解析(1,2)答案則f(x0)＝0，易知f(x)為增函數(shù)，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的區(qū)間是(1,2).確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在性定理；(2)數(shù)形結合法.思維升華典例

(1)函數(shù)f(x)＝

的零點個數(shù)是_____.解析答案題型二函數(shù)零點個數(shù)的判斷師生共研2所以在(－∞，0]上有一個零點；所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又因為f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個零點，綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.解析f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x>－1，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y1＝sin2x(x>－1)與y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的圖象的交點個數(shù).分別作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，可知有兩個交點，則f(x)有兩個零點.解析答案2函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點；(2)利用零點存在性定理再結合函數(shù)的單調性確定零點個數(shù)；(3)利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷.思維升華跟蹤訓練

(1)已知函數(shù)f(x)＝

則函數(shù)g(x)＝f(1－x)－1的零點個數(shù)為A.1 B.2

C.3

D.4解析答案√易知當x≥1時，函數(shù)g(x)有1個零點；當x<1時，函數(shù)g(x)有2個零點，所以函數(shù)g(x)的零點共有3個，故選C.(2)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為____.2解析答案由右圖知兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f(x)有2個零點.命題點1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)典例

已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________________.解析題型三函數(shù)零點的應用多維探究答案(0,1)∪(9，＋∞)幾何畫板展示解析設y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐標系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示.由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個互異的實數(shù)根等價于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有兩個不等實根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由圖象得a>0，∴0<a<1或a>9.本例中，若f(x)＝a恰有四個互異的實數(shù)根，則a的取值范圍是________.引申探究解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的圖象如圖所示.解析答案當x＝0或x＝－3時，y1＝0，解析命題點2根據(jù)函數(shù)有無零點求參數(shù)答案√(2)已知函數(shù)f(x)＝

則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點的實數(shù)m的取值范圍是A.[0,1) B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞) D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點就是方程f(x)＋x＝m的根，解析答案√觀察它與直線y＝m的交點，得知當m≤0或m>1時，有交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點.命題點3根據(jù)零點的范圍求參數(shù)典例

若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內，則m的取值范圍是__________.解析答案根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)有三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.思維升華跟蹤訓練

(1)方程

＝2＋x有解，則a的最小值為____.解析答案1(2)(2017·福建漳州八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析答案解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.若函數(shù)f(x)與y＝m的圖象有三個不同的交點，典例

(1)已知函數(shù)f(x)＝

若關于x的方程f(x)＝k有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是__________.(2)若關于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實根，則實數(shù)a的取值范圍為_______________.利用轉化思想求解函數(shù)零點問題思想方法思想方法指導思想方法指導(1)函數(shù)零點個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)形結合求解參數(shù)范圍.(2)“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域解決.解析答案(－1,0)解析(1)關于x的方程f(x)＝k有三個不同的實根，等價于函數(shù)y1＝f(x)與函數(shù)y2＝k的圖象有三個不同的交點，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知實數(shù)k的取值范圍是(－1,0).課時作業(yè)1.已知函數(shù)f(x)＝

－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4，＋∞)基礎保分練12345678910111213141516解析因為f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，解析答案√所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).2.已知a是函數(shù)f(x)＝2x－

的零點，若0<x0<a，則f(x0)的值滿足A.f(x0)＝0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號不確定答案√12345678910111213141516解析f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，若0<x0<a，則f(x0)<f(a)＝0.解析3.函數(shù)f(x)＝2x－

－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數(shù)a的取值范圍是A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)答案12345678910111213141516√解析因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則由題意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0<a<3，故選C.解析4.已知函數(shù)f(x)＝

則使方程x＋f(x)＝m有解的實數(shù)m的取值范圍是A.(1,2)

B.(－∞，－2]

C.(－∞，1)∪(2，＋∞)

D.(－∞，1]∪[2，＋∞)解析答案12345678910111213141516√解析

當x≤0時，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當x>0時，x＋f(x)＝m，即x＋

＝m，解得m≥2，即實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞).故選D.解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516分兩種情形：(1)當0＜m≤1時，

≥1，如圖①，當x∈[0,1]時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意.12345678910111213141516(2)當m＞1時，0＜

＜1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖象在[0,1]上只有一個交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去).綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞).故選B.6.已知f(x)＝

則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點個數(shù)為____.解析12345678910111213141516解析

函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象的交點個數(shù).作出函數(shù)圖象可知有2個交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)－ex有2個零點.答案2解析答案123456789101112131415167.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)>0的解集是_____________.解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，12345678910111213141516∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0?2x2＋x－3<0，答案123456789101112131415168.已知函數(shù)f(x)＝

若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，則a的取值范圍是____________________.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有兩個交點，結合圖象(圖略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).解析解析123456789101112131415169.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x>0時，f(x)＝2015x＋log2015x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為________.答案3解析因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此在(0，＋∞)內有且僅有一個零點.根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內有且僅有一個零點，從而函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)為3.10.在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為________.解析函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象如圖所示，因為直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，解析12345678910111213141516答案11.設函數(shù)f(x)＝

(x>0).(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；解如圖所示.解答12345678910111213141516解答12345678910111213141516故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù).由0<a<b且f(a)＝f(b)，解答12345678910111213141516解由函數(shù)f(x)的圖象可知，當0<m<1時，方程f(x)＝m有兩個不相等的正根.(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍.12.關于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍.解顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，解答12345678910111213141516∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范圍是(－∞，－1].技能提升練答案12345678910111213141516解析13.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點有A.多于4個

B.4個C.3個

D.2個√12345678910111213141516解析

因為偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，故函數(shù)的周期為2.當x∈[0,1]時，f(x)＝x，故當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x.函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點的個數(shù)等于函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象的交點個數(shù).在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象，如圖所示.顯然函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象有4個交點，故選B.解析答案14.已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是答案