湖北省鄂東新領(lǐng)先協(xié)作體高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三2月聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則B可能為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的并集運(yùn)算，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即可得解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，或，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，或，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：C.2.若雙曲線(xiàn)的焦距為6，則（）A.5B.3C.D.【答案】D【解析】第1頁(yè)/共19頁(yè)【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的不同位置分類(lèi)，列出不等式組，解之即得.【詳解】若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，依題意可得，解得；若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，依題意可得，解得.綜上可得：.故選：D.3.不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由不等式，化簡(jiǎn)得，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得.故選：C.4.小孟一家打算從武漢、十堰、荊州選一個(gè)城市去旅游，這三個(gè)城市都有游樂(lè)園，去武漢市、十堰市、荊州市的概率分別為0.50.30.2，到了武漢市小孟一家去游樂(lè)園的概率為0.6，到了十堰市小孟一家去游樂(lè)園的概率為0.4，到了荊州市小孟一家去游樂(lè)園的概率為0.3，則小孟一家去游樂(lè)園的概率為（）A.0.48B.0.49C.0.52D.0.21第2頁(yè)/共19頁(yè)【答案】A【解析】【分析】利用全概率公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由全概率公式可得，小孟一家去游樂(lè)園的概率為，故選：A.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示、則的解析式可能為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性和取自變量接近于0的函數(shù)值來(lái)判斷正負(fù)即可得到選項(xiàng).【詳解】由奇偶性判斷可知：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，而函數(shù)圖象是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，必然是偶函數(shù)，所以BD錯(cuò)誤；再當(dāng)時(shí)，可知，故A錯(cuò)誤；所以C正確，故選：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式可求值，再利用指數(shù)不等式可判斷，從而可研究?jī)蓚€(gè)集合之間的包含關(guān)系，即可判斷充要條件.第3頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】因?yàn)椋?，又由可知，，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B7.甲、乙、丙、丁對(duì)某組數(shù)據(jù)（該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成）進(jìn)行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12的是（）A.甲：中位數(shù)為9，眾數(shù)為B.乙：中位數(shù)為9，極差為3C.丙：平均數(shù)為8，極差為4D.丁：平均數(shù)為8，方差為3【答案】B【解析】【分析】通過(guò)理解中位數(shù)，眾數(shù)，極差，平均數(shù)，方差的概念及相關(guān)知識(shí)，再對(duì)5個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行舉例假設(shè)分析，即可得到判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，中位數(shù)為9，眾數(shù)為，說(shuō)明至少有兩個(gè)數(shù)，不妨取兩個(gè)，則由中位數(shù)可知另外兩個(gè)數(shù)肯定不超過(guò)9，故A能判斷這組數(shù)據(jù)都小于12，所以不能選A；對(duì)于B，中位數(shù)為9，極差為3，由于極差是5個(gè)數(shù)中最大與最小的差，由于該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成，所以不妨取4個(gè)9，1個(gè)12，這樣不能判斷該組數(shù)據(jù)一定小于12，故選B；對(duì)于C個(gè)數(shù)都是整數(shù)，根據(jù)條件可知，這個(gè)數(shù)中肯定最大數(shù)與最小數(shù)的差為，則可知最大數(shù)肯定大于，最小數(shù)肯定小于，故最小數(shù)加得最大數(shù)肯定小于，從而能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12，故不能選C；對(duì)于D，平均數(shù)為8，方差為3，由方差公式可得，第4頁(yè)/共19頁(yè)若存在數(shù)12，則，這與方差為3相矛盾，所以最大數(shù)也一定小于12，故不能選D；故選：B.8.若正六棱錐的體積為，則PA的最小值為（）A.B.3C.4D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè)底面邊長(zhǎng)及高，計(jì)算底面面積，進(jìn)而得到該六棱錐的體積公式，再得出最后應(yīng)用基本不等式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)與高分別為,底面為正六邊形，設(shè)底面的中心為，連接，則，底面，為正六棱錐的高，所以，因?yàn)檎忮F的體積為，所以，即，則，因?yàn)?，?頁(yè)/共19頁(yè)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值，則的最小值為.故選：A.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知a，，，.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則不是純虛數(shù)B.若，則的實(shí)部等于虛部C.若，則的最小值為D.若，則【答案】BC【解析】AB據(jù)模長(zhǎng)公式可得參數(shù)的等量關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可得CD的正誤.【詳解】對(duì)于A(yíng)B，由，則，可得，解得，所以，顯然是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，由，則，可得，所以，且，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.第6頁(yè)/共19頁(yè)10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且.則（）A.B.C.D.可能為增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值可求出特殊值，從而判斷AB選項(xiàng)，利用舉特例函數(shù)，來(lái)檢驗(yàn)CD選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以令，可得，故A正確；再令，可得，又因?yàn)?，所以，又令，可得，所以，故B正確；不妨取，則，，此時(shí)滿(mǎn)足原恒等式，但是當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；但由于此時(shí)在上是增函數(shù)，故D正確；故選：ABD.已知ABC是拋物線(xiàn)上不同的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)Wl為拋物線(xiàn)W的準(zhǔn)線(xiàn)，AB的中點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)時(shí)，的最大值為32B.當(dāng)時(shí)，的最小值為22C.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值為14【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得韋達(dá)定理，由推得第7頁(yè)/共19頁(yè)B轉(zhuǎn)化于C，由A項(xiàng)結(jié)論可得，求出值，即得直線(xiàn)的斜率；對(duì)于D，由判斷直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得韋達(dá)定理，仿照B項(xiàng)作圖轉(zhuǎn)化求得，即可求得最小值.詳解】對(duì)于A(yíng)，如圖設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入可得：，由可得，設(shè)，則，因的中點(diǎn)為，則，故，，即，則，于是，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為32，故A正確；第8頁(yè)/共19頁(yè)對(duì)于B，如圖，分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，設(shè)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，因，故，由圖知當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值為長(zhǎng)，因的中點(diǎn)為，則為梯形的中位線(xiàn)，且，故此時(shí)，即的最小值為15，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A項(xiàng)得到，因，故得，解得，故直線(xiàn)的斜率為，故C正確；對(duì)于D，由可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入可得：，設(shè)，則，仿照B項(xiàng)作圖，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為：，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值為14，即D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)問(wèn)題，一般應(yīng)從曲線(xiàn)定義，設(shè)直線(xiàn)方程與之聯(lián)立得韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式或弦中點(diǎn)有關(guān)的點(diǎn)差法等入手探求，對(duì)于線(xiàn)段有關(guān)的最值問(wèn)題，可考慮結(jié)合圖象轉(zhuǎn)化，利用三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)線(xiàn)段和最小，以及將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用其單調(diào)性求其最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在中，，，，則______.【答案】第9頁(yè)/共19頁(yè)【解析】【分析】利用三角形的正弦定理角化邊和余弦定理邊求角，即可求解.【詳解】由三角形正弦定理可得：，再由，聯(lián)立上兩式可解得：，再由余弦定理得：，所以，故答案為：.13.在正方體的底面ABCD所在平面中，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓與以點(diǎn)C為圓心，3為半徑的圓外切，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用兩圓相外切，就可求得圓心距為，從而可得正方體的邊長(zhǎng)，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，及外接球直徑，再利用球的表面積公式即可.【詳解】由題意可知：，即正方體邊長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線(xiàn)為，而正方體外接球的直徑為體對(duì)角線(xiàn)，即正方體外接球半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)______.【答案】①.②.【解析】第10頁(yè)/共19頁(yè)【分析】利用因式分解，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，重新結(jié)合因式展開(kāi)，再展開(kāi)可得二次型函數(shù)求最值即可.【詳解】由所以可知當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值，故答案為：①；②.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.65名醫(yī)生報(bào)名加入醫(yī)療救援隊(duì).（1）若小張是這次報(bào)名的骨科醫(yī)生，求小張被選入醫(yī)療救援隊(duì)的概率；（2）設(shè)被選入醫(yī)療救援隊(duì)的骨科醫(yī)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】1）利用組合數(shù)求得總情況數(shù)與符合題意的情況數(shù)，根據(jù)古典概型，可得答案；（2）利用離散型隨機(jī)變量的計(jì)算步驟求得分布列，根據(jù)期望的計(jì)算公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可得從人中選出人組成一隊(duì)，總的情況數(shù)為，選中小張之后，醫(yī)療救援剩下的人從總?cè)藬?shù)剩下的人中選出，情況數(shù)為，所以小張被選人醫(yī)療救援隊(duì)的概率.【小問(wèn)2詳解】的可能取值為，則，，，第11頁(yè)/共19頁(yè)，，所以的分布列如下表：所以數(shù)學(xué)期望.16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，M是的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）證明：平面.（3）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】1）證得，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可證出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果；（3）求出平面的法向量，利用二面角的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果；【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且平面，不在平面內(nèi)，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，且四邊形為矩形，所以?xún)蓛纱怪?，?2頁(yè)/共19頁(yè)故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)?，，，所以，設(shè)平面的法向量為，且，則，故，取，則，因?yàn)?，所以，所以，所以平?【小問(wèn)3詳解】設(shè)平面的法向量為，且，則，故，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，因此平面與平面的夾角為.17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式.（2）試問(wèn)有多少項(xiàng)為整數(shù)？（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）5第13頁(yè)/共19頁(yè)（3）【解析】1）應(yīng)用等差數(shù)列求出公差，再結(jié)合通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式特征計(jì)算求解；（3）應(yīng)用分組求和結(jié)合錯(cuò)位相減計(jì)算求解.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以，設(shè)等差數(shù)列公差為，所以，所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)為整數(shù)時(shí)，則為整數(shù)，所以，所以有5項(xiàng)為整數(shù)；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，?shù)列的前n項(xiàng)和.設(shè)，于是，兩式相減得，第14頁(yè)/共19頁(yè)所以，所以18.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且離心率為.（1）求C的方程.（2作斜率不為0的直線(xiàn)與橢圓C交于ST作直線(xiàn)ST的平行線(xiàn)與橢圓C交于G，H不同的兩點(diǎn).①證明：為定值.②求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②.【解析】1）利用橢圓參數(shù)的關(guān)系即可求解橢圓方程；（2）①利用設(shè)的直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立方程組，利用縱坐標(biāo)與斜率關(guān)系計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度，，即可得到線(xiàn)段之積與直線(xiàn)系數(shù)的關(guān)系，同理計(jì)算出，再作比值，即可得到定值；②利用弦長(zhǎng)公式和面積公式可計(jì)算出,化歸到對(duì)鉤函數(shù)來(lái)求值域即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得，第15頁(yè)/共19頁(yè)因?yàn)?，又由，可解得，所以橢圓方程為：.【小問(wèn)2詳解】①設(shè)斜率不為0的直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程可得，化簡(jiǎn)得，由于橢圓與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，因此，所以或，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，又因?yàn)椋?，因此，令的方程為，橢圓與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，化簡(jiǎn)得，同理：，，，第16頁(yè)/共19頁(yè)因此②由于，又由于，因此，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，由于，因此，因此，又由于當(dāng)時(shí)，，因此，因此，所以面積的取值范圍為．19.定義：，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若為“M函數(shù)”.（1）若為“M函數(shù)”，求m的取值范圍.（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).①求a的取值范圍；②證明：為“M函數(shù)”.【答案】（1）第17頁(yè)/共19頁(yè)（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】1）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)定義建立方程，結(jié)合題意建立不等式，可得答案；（2）①由極值點(diǎn)定義將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為易知函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)，將導(dǎo)數(shù)構(gòu)造為新函數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，建立不等式，可得答案；②明確問(wèn)題為極