四川省蓬溪中學(xué)等高三下學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2025屆高三開年摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】解指數(shù)不等式求集合，再由集合的交運(yùn)算求集合.【詳解】由題設(shè)，又，所以.故選：B2.若，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求其模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)椋?故選：B3.函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否滿足題設(shè)即可.【詳解】由題設(shè)，整理得，所以，此時(shí)，由且定義域?yàn)镽，滿足題設(shè)，所以.故選：D4.已知兩個(gè)非零向量和，若，，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直數(shù)量積為零結(jié)合向量夾角的運(yùn)算求解即可.【詳解】由已知得，即，所以，得故選：D.5.已知，，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先由同角的三角函數(shù)結(jié)合兩角和的余弦展開式解方程得到，，再由兩角差的余弦展開式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，，所以故選：6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則的值是（）A.2 B.4 C.9 D.4或9【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)點(diǎn)在上，表示出，再根據(jù)焦半徑公式得到方程，解得即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在上，所以，即，因?yàn)椋?，解得?故選：D7.已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】通過特殊值判斷出唯一零點(diǎn)為，同時(shí)存在極小值點(diǎn)，令恰為極小值點(diǎn)，即可求解.【詳解】通過代入特殊值可得，所以必然是的唯一零點(diǎn)；，令，，故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，根據(jù)韋達(dá)定理，可以判斷出；所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故如果恰有一個(gè)零點(diǎn)，必然是在極小值點(diǎn)取到零點(diǎn)，故；，此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn).故選：C.8.三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，并且，，則三棱錐的體積的最大值為（）A.56 B.48 C.32 D.58【答案】A【解析】【分析】設(shè)球心為O，連接OA，OB，OC，，結(jié)合及棱錐的體積公式求最大值，注意取值條件.【詳解】設(shè)球心為O，連接OA，OB，OC，，設(shè)點(diǎn)C、D到平面OAB的距離分別為、，點(diǎn)A、B到平面OCD的距離分別為、，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)平面OAB，平面OCD時(shí)取等號(hào).故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用，結(jié)合點(diǎn)C、D到平面OAB的距離和，點(diǎn)A、B到平面OCD的距離和為關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，則下列說法正確的是（）A.事件“為奇數(shù)”的概率為B.事件“為奇數(shù)”的概率為C.設(shè)，則X的數(shù)學(xué)期望D.設(shè)，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ABD【解析】【分析】確定從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)的所有可能取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算可判斷ABD；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算可判斷C；【詳解】從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，共有（種）可能；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，為奇數(shù)；故共有5種可能，則事件“為奇數(shù)”的概率為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，時(shí)，為奇數(shù)；故事件“ab為奇數(shù)”概率為，故B正確；對(duì)于C，取值可能為，則,故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的取值可能為，，，故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，故D正確.故選：ABD.10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)遞推式可得、，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B；應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式判斷C；應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，則是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意得，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列，則

，故B正確；所以，故C正確；，故D正確.故選：BCD11.在正方體中，點(diǎn)M，N分別是棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.平面C.異面直線與所成角的余弦值為D.平面截正方體所得的截面是五邊形【答案】ACD【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量的數(shù)量積為零可得A正確；求出平面的法向量，再由向量關(guān)系可得B錯(cuò)誤；由空間異面直線夾角公式可得C正確；在上取，使，由線面關(guān)系可得D正確.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為1，在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，，有，所以，故A正確；對(duì)于B，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，，所以不平行于平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，如圖，在上取，使，由中位線性質(zhì)可得，連接，在上取點(diǎn)，連接，則五邊形為截面五邊形，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是能夠找到，再由線面的位置關(guān)系得出截面圖形.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在中，，，，，，若D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案.【詳解】由，得，即，，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為故答案為：.13.已知具有線性相關(guān)性的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則______．【答案】9.5【解析】【分析】先求出樣本中心點(diǎn)，再代入回歸直線方程即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又線性回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以.故答案為：9.5.14.已知曲線，，則曲線C圍成區(qū)域內(nèi)（含曲線C）格點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為______．【答案】25【解析】【分析】根據(jù)曲線的方程，分象限討論其圖象，作出草圖，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，由曲線的方程，得，曲線在第一象限內(nèi)的部分是圓心為，半徑為的圓弧，同理曲線在第二、三、四象限內(nèi)的部分都是圓弧，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，曲線坐標(biāo)系中如圖，觀察圖形知，曲線圍成的區(qū)域內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為：25四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在銳角三角形中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大?。唬?）若，求的周長(zhǎng)l的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由降冪公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得；（2）由正弦定理邊化角得到周長(zhǎng)的表達(dá)式，再兩角差的正弦展開式和輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的取值范圍求解即可；【小問1詳解】因?yàn)椋?，解得或（舍去），又，所?【小問2詳解】由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以的周長(zhǎng)，即，又，所以，解得，所以，所以，所以，即的周長(zhǎng)l的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，．（1）若平面平面，求與平面所成角的正弦值；（2）若平面與平面的夾角為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）作出與平面所成角，解三角形求得所成角的正弦值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得的長(zhǎng)．【小問1詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，由，可得又平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，所以平面因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，所以為PC與平面ABCD所成的角.因?yàn)椋?，所以故PC與平面ABCD所成角的正弦值為【小問2詳解】取CD的中點(diǎn)F，連接EF，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，平面PBC的法向量為，則，由得取，得又平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以，所以所以或，所以或，所以PC的長(zhǎng)為或17.已知橢圓過點(diǎn)，．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，的外心為Q，證明：直線l與直線的斜率之積為定值，并求出該定值．【答案】（1）（2）證明見詳解，定值為【解析】【分析】（1）代入點(diǎn)解得，即可得橢圓方程；（2）設(shè)直線，以及外接圓方程，聯(lián)立直線與橢圓、圓的方程，所得的方程的根相同，進(jìn)而列式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，，則，解得，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線l的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y可得①，則，解得或，設(shè)的外接圓方程為，因?yàn)橥饨訄A過點(diǎn)，則，即，可得外接圓方程為，則其圓心為，直線的斜率，聯(lián)立方程，消去y可得②，因?yàn)槭欠匠挞佗诘膬筛?，則，兩式相比可得，整理可得，即，所以直線l與直線的斜率之積為定值，定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟1.由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；2.證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；3.得出結(jié)論．18.已知函數(shù)，．（1）比較與的大??；（2）證明：．【答案】（1）見解析；（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性可比較大??；（2）由（1）知，令得，累加得到.【小問1詳解】令，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;【小問2詳解】由（1）知，，令得，即，令得，令得，……，令得，以上式子相加得，即，所以.19.某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動(dòng)員，然后該運(yùn)動(dòng)員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動(dòng)員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動(dòng)員，有的概率傳給另一位運(yùn)動(dòng)員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動(dòng)員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動(dòng)員的概率為.（1）求，；（2）求的表達(dá)式；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【