北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷

北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集。={引x+l>0},集合/={x|l<x42},則務(wù)/=()

A.(1,2]B.+功

C.[1,2)D.(-1』。(2,+8)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+3則z的共軌復(fù)數(shù)是

A.-1-2/B.-l+2zC.1-2zD.l+2z

3.已知b,ceR,且0<c<l,則()

A.a-c<b-lB.ac<b

cibi—

C.------<------D.a+b>2Jab

b—ab—a

4.在(4-3)s的展開式中，d的系數(shù)為()

A.15B.-15C.5D.-5

5.下列函數(shù)的圖象中，不是中心對(duì)稱圖形的是()

(九)1

A.j^=coslx+yIB.y=x+一

C.y~|-^|D.y--x+1

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸（cosd,sind）,6>eR,則尸到直線y=》-2后的距

離的最大值為（）

A.1B.2C.272D.3

7.已知非零平面向量對(duì)6,則“I"+耳=同+網(wǎng)”是，存在非零實(shí)數(shù)力，使6=勿”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7T

8.已知正三棱錐尸的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面與底面所成角是二，則三棱錐P-48C的

4

體積等于（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

2￡

A.B.C.2D.1

33

9.已知實(shí)數(shù)。，b滿足2"=l°gJ,log26H,給出下列三個(gè)結(jié)論:

①ab〉l；②2"=6;③2〃+i<e>

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①B.②C.①③D.②③

10.已知由正整數(shù)組成的集合4={4,，，生，…,。5。}，5(，)表示集合A中所有元素的和,

4/)表示集合A中偶數(shù)的個(gè)數(shù).若5(4)=2025.則E(/)的最小值為()

A.5B.7C.9D.10

二、填空題

11.函數(shù)〃0=皿產(chǎn)的定義域?yàn)?

12.在V/BC中，AB=1,BC=4,C4=而，則乙8=；若。為8c邊上一點(diǎn)，且

ZADB=45°,則.

13.已知雙曲線《+q=1(加"0)的漸近線方程為>=±2》，則加，"的一組值依次為.

mn

14.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作，內(nèi)容涉及方程、幾何、數(shù)列、面積、體積的

計(jì)算等多方面.《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問(wèn)日織幾

何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，

問(wèn)這女子每天分別織布多少？”由以上條件，該女子第5天織布尺；若要織布50尺，

該女子所需的天數(shù)至少為.

15.已知函數(shù)f(X)=TM(X-2"?)(X+?7+1),g(x)=e*-l,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)加=1時(shí)，方程"X)=g(X)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)〃2€(-1,0)時(shí)，對(duì)任意xeR,/(x)<0或g(x)<0;

③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意xe(-8,-2),/(x)g(x)<0；

④存在機(jī)eR,對(duì)任意xwR,/(x)-g(x)<0.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、解答題

16.已知函數(shù)/'(x)=sin10x-胃(0>0),/(^)=/(x2)=0,且卜-司的最小值為:

(1)求。的值；

⑵設(shè)g(x)=f(x)+2cos2x-l,求函數(shù)g(x)在區(qū)間0段上的最大值及相應(yīng)自變量x的值.

17.近年中國(guó)新能源汽車進(jìn)入高速發(fā)展時(shí)期，2024年中國(guó)新能源汽車銷售量已超過(guò)1100萬(wàn)

輛，繼續(xù)領(lǐng)跑全球.某市場(chǎng)部為了解廣大消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市

眾多4s店中任意抽取8個(gè)作為樣本，對(duì)其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量(單位:

輛)進(jìn)行調(diào)查.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽車銷售量108162320182211

燃油汽車銷售量1411131921252326

(1)若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門店12月份新能源汽車銷售量超過(guò)燃油汽車

銷售量的概率；

(2)若從樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個(gè)數(shù)

記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為S；和.試比較和s；的大小.

(結(jié)論不要求證明)

18.已知三棱柱NBC-44G中，側(cè)面四43為菱形，側(cè)面44CC為正方形，44]=2,

耳=60。，E為/C的中點(diǎn).

⑴求證：4c〃平面印￡；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(i)求證：CZ_L平面

(ii)求44與平面/RE所成角的正弦值.

條件①：EB=E\.

條件②：BA.1B.C.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.已知橢圓氏1+/=1(穌6>0)過(guò)點(diǎn)(指,0),離心率為弓，一條直線與橢圓石交于人、

B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線為/,可(%,%)為直線與直線/的交點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程；

(2)若無(wú)。=1,直線/是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由.

20.已知函數(shù)/(x)=e"*-x-l(a>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

⑵若對(duì)任意xe[0,+oo),都有/(x)20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)求證：存在實(shí)數(shù)。，使方程〃x)+J=0有正實(shí)根.

21.已知｛叫和抄“｝都是無(wú)窮數(shù)列.若存在正數(shù)A,對(duì)任意的〃eN*,均有則稱

數(shù)列｛%,｝與也｝具有關(guān)系尸(/).

(1)分別判斷下列題目中的兩個(gè)數(shù)列是否具有關(guān)系P(l),直接寫出結(jié)論；

①4=2〃，bn=n+2,〃?N*;

②儀『4

。)設(shè)".叫「，

bn=an+l+｝,?gN\試判斷數(shù)列｛%｝與也｝是否具有關(guān)系尸(⑷.如果是,

求出A的最小值，如果不是，說(shuō)明理由；

(3)已知｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列也｝滿足：也｝與｛%｝具有關(guān)系尸⑴，且

b2-bx,b｝-b2,Hoi-%。中至少有100個(gè)正數(shù)，求d的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DDCBCDABDB

1.D

【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤?Hx+l>0},集合/={疝<x42},則b4=(Tl]u(2,+a)).

故選：D.

2.D

【分析】?jī)蛇呁?3化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=12；共輾復(fù)數(shù)為1+2K選D.

【點(diǎn)睛】z=a+bi(a,be&的共輾復(fù)數(shù)為~z=a-bi

3.C

【分析】通過(guò)舉反例即可判斷ABD,對(duì)于C根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.

—1211一

【詳解】對(duì)于A：令a=3，b=qc=3，a-c=0,b-\=--,所以a—c〉6—l,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：^a=-2,b=-l,c=-^ac=-l=b,故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C：因?yàn)椤?lt;b,所以6-。>0=——>0,所以ax-^—<6x—n—,故

b-ab-ab-ab-ab-a

C正確；

對(duì)于D：當(dāng)。<6<0時(shí)，顯然不成立，令a=—2,b=-\=a+b=-3<2冊(cè)=2正,故D錯(cuò)

誤

故選：C.

4.B

【分析】寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令》的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.

【詳解】(4-3『的展開式通項(xiàng)為心=(2〉(6廣)(-3)/=(^.正￥(笈=0,1,2；-，$，

由三幺=2可得上=1，故展開式中Y的系數(shù)為C；?(-3)=-15.

故選：B.

5.C

【分析】利用函數(shù)的圖像求解，選項(xiàng)A：利用>=cosx的對(duì)稱性和函數(shù)的圖像變換得到

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

y=cos[x+",選項(xiàng)B：y=x+：利用對(duì)號(hào)函數(shù)的對(duì)稱性求解即可，選項(xiàng)C：利用絕對(duì)值

函數(shù)的圖像求解即可，選項(xiàng)D：利用三次函數(shù)的對(duì)稱性求解即可.

【詳解】選項(xiàng)A：y=351+?)是由函數(shù)〉=。。$》向左平移?個(gè)單位得到，因?yàn)閥=cosx是

中心對(duì)稱圖形，所以y=cos[x+§]也是中心對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)B：/(-X)=_1+：=-/⑴故對(duì)號(hào)函數(shù)y=x+：關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，

選項(xiàng)C：易知y=|x|是偶函數(shù)，且在(3,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，不是中心對(duì)稱圖

形，

選項(xiàng)D：三次函數(shù)y=/-x+l關(guān)于(0,1)中心對(duì)稱，因?yàn)閒(x)+6x)=2.

故選：C.

6.D

【分析】分析可知，點(diǎn)尸在圓/+必=1上，求出圓心到直線尤-了一2亞=0的距離，結(jié)合圓

的幾何性質(zhì)可得出P到直線y=x-2夜的距離的最大值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)PQ,y),則f=l,所以，點(diǎn)P在圓/+/=1上，

該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1,

原點(diǎn)到直線X-了-2亞=0的距離為4=^^=2,

因此，尸到直線y=x-2后的距離的最大值為2+1=3.

故選：D.

7.A

【詳解】“|。+,=問(wèn)+網(wǎng)”說(shuō)明。,6共線同向，能推得“存在非零實(shí)數(shù)％,使6=船”的，所以

充分性具備，但反過(guò)來(lái)，“存在非零實(shí)數(shù)彳，使6=4?！薄?可能共線同向，也可能共線反向，

所以必要性不具備.

故選A

8.B

【分析】根據(jù)正三棱錐的定義和側(cè)面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公

式即可.

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】如下圖所示:

P

由正三棱錐的定義，底面V/2C為正三角形，且邊長(zhǎng)為2,作正三棱錐的高尸O,垂足。為

V4BC的中心，連接/。并延長(zhǎng)，交3c于M點(diǎn)；

由正三棱錐的幾何的性質(zhì)可知：AMLBC,PM1BC,/尸兒。就是側(cè)面PBC與底面所成二

JT

面角的平面角，ZPMO=-,可得ARW是等腰直角三角形，PO=OM.

4

根據(jù)正三角形的性質(zhì)，OM力,即正三棱錐的高為

33

三棱錐的體積為：-X—x22xsin—x.

32333

故選：B

9.D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及反函數(shù)的概念確定6的關(guān)系，即可得到2。=6;結(jié)合函數(shù)圖象分

析6的范圍即可得到仍＜1；利用a=把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可證

明不等式成立.

【詳解】

如圖，設(shè)函數(shù)了=2工與尸l°gp的圖象交于點(diǎn)A,函數(shù)y=log2X與尸由|的圖象交于點(diǎn)8,

則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為。，即2)(。＞0),點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為6,即2仇9＞1).

???函數(shù)了=2"與y=log2》互為反函數(shù)，〉=1°8；尤與〉=1^互為反函數(shù),

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

...點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線>=x對(duì)稱，

a=,2a=b,②正確.

'''2?=0〉log,g=1,噫2=1>,

0<a<—,1<b<2.,.ab<1,①錯(cuò)誤.

由a=g；得2=：,.去、心/等價(jià)于

令x=L,則x>2,不等式等價(jià)于x+l<e",

a

設(shè)f(x)=eX-(x+l)(x>2),則/(x)=eX—l>e2—l>0,

.,./■(》)在(2,+(?)上為增函數(shù)，

.-./(x)>/(2)-e2-3>0,即無(wú)+l<e3

2i+l<e",③正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是把6轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用反函數(shù)

的概念得到。*的等量關(guān)系，逐個(gè)判斷即可確定選項(xiàng).

10.B

【分析】先排除有5個(gè)偶數(shù)不可能，再找一個(gè)有7個(gè)偶數(shù)的實(shí)例后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】45個(gè)正奇數(shù)的和不小于1+3+5+…+(2x45-1)=2025,

因?yàn)锳中有50個(gè)不同的正整數(shù)，故A中不可能有不超過(guò)5個(gè)不同的偶數(shù).

取/={1,3,5,…,2x43-1,18,20,22,24,26,28,38},

則A中共有元素個(gè)數(shù)為43+7=50,

6x5

這50個(gè)數(shù)的和為43?+18x6+——x2+38=1849+108+68=2025,

2

故￡(/)的最小值為7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于組合最值問(wèn)題，我們一般先找到一個(gè)范圍，再驗(yàn)證臨界值存在即可.

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

11.(-l,0)u(0,+oo)

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零、分母不為零可得出關(guān)于尤的不等式組，由此可解得函數(shù)

/(x)的定義域.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/卜)」11。：-),有解得x>-l且"0,

因此，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-1,0)口(0,y).

故答案為:(-l,O)u(O,+?).

12.三逅

32

【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.

【詳解】在V/8C中，由余弦定理得?os3="+。2一加=’+『-呵△，又Be(0,ir)

2ac2x4x12'

則N2=?

AD_1

ADAB

在△NAD中，由正弦定理得:，所以百6'AD=

sin5

sinZADB~T~T

13.1；-4(答案不唯一，滿足〃=-4加即可)

【分析】根據(jù)漸近線可得〃=-4加，即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殡p曲線片+或=1(加〃<0)的漸近線方程為>=±2》，

mn

Yl

貝!J-=-4,即〃=-4m,

m

例如冽=1,〃二一4.

故答案為：1；-4(答案不唯一，滿足〃=-4加即可).

14.9

【分析】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2,由題意

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

求出數(shù)列的首項(xiàng)后可得第5天織布的尺數(shù)；再令s_3r、50'求出即可得出答

"-1-2-

案.

【詳解】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2,前5項(xiàng)

的和為5,

設(shè)首項(xiàng)為4,前〃項(xiàng)和為s“，

則由題意得邑==31%=5,?,?%得,

CQAQA

Aa5=—x24=|j，即該女子第5天所織布的尺數(shù)為三.

令S=50,解得：2"2311,所以“29.

"~1-2一

所以若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為9.

QA

故答案為：9.

15.①②③

【分析】畫出二次函數(shù)圖象和指數(shù)函數(shù)圖象，根據(jù)加的不同取值范圍，分析二次函數(shù)圖象

的分布，即可求解.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/(力=(尤-2)(尤+2),由/(x)與g(x)圖象可知,方程

/3=g(H有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，①正確；

對(duì)于②，當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，g(x)>0.當(dāng)機(jī)e(-1,0)時(shí)函數(shù)f(x)

為開口向下的二次函數(shù)，令函數(shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為國(guó)=2機(jī)€(-2,0),

X2=-?J-1G(-1,0),所以當(dāng)xe(0,+8)時(shí),/(%)<0,所以②正確.

對(duì)于③，當(dāng)〃ze(0,l)時(shí)，/(x)為開口向上的二次函數(shù)，=2me(0,2),x2

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

所以對(duì)任意xe(-8,-2),/(x)<0,g(x)<0,所以/(x)g(x)<0,③正確.

對(duì)于④，當(dāng)加>0時(shí),當(dāng)xf-co時(shí)，此時(shí)/(尤)-g(x)>0；

當(dāng)加=0時(shí)，/(無(wú))=0,當(dāng)尤e(-8,0)時(shí)，/(x)-g(x)>0；

當(dāng)加<0時(shí)，

f(-1)=m2+~~陰;2"+1]->e-1-1=g(_l)?即

/(T)-g(T)〉0，

所以不存在加￡R,對(duì)任意久CR,/(x)-g(x)<0,④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

16.⑴④=2

(2)當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)g(x)取最大值1

6

【分析】(1)根據(jù)題意可得出函數(shù)/(X)的最小正周期，即可求得0的值;

(2)由可求出2x+￡的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)/(》)在

26

7T

區(qū)間og上的最大值及其對(duì)應(yīng)的X值.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)7'(x)=sin[0x-《](0>0),/(%1)=/(%2)=0,且|占-引的最小值

w兀

為，

所以，函數(shù)/(x)的最小正周期為7=2、5=兀，則0=學(xué)=2.

(2)由(1)知，/(x)=sin(2x-j,

則g(x)-f(x)+2cos4-1=-^-sin2x-^0os2x+cos2x=^sin2x+}os2x

=sinI2x+—I,

當(dāng)。時(shí),產(chǎn)2若W%

故當(dāng)2x+[=5時(shí)，即當(dāng)X=.時(shí)，函數(shù)g(x)取最大值，即g(尤)1n「si吟=1.

17.⑴；

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

⑵分布列見解析，!9

O

⑶s；=s；

【分析】（1）根據(jù)新能源汽車銷售量超過(guò)燃油汽車銷售量的有2家，利用古典概型概率公式

求解即可.

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率即可得到分布列，然

后利用數(shù)學(xué)期望公式求解即可；

（3）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式求出樣本方差，然后直接

判斷即可.

【詳解】（1）由題可知：8家門店中新能源汽車銷售量超過(guò)燃油汽車銷售量的有2家，分別

是：門店3,門店4,

所以若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門店12月份新能源汽車銷售量超過(guò)燃油汽

車銷售量的概率尸=1：

o4

（2）12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個(gè)數(shù)為3,分別是：門店4,門店5,門

店7,

從樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個(gè)數(shù)記為X,X

的所有可能取值為：0，1,2,3

所以P（X=0）=|U￡,P（X=1）=要

「

P（X=2）=等2rl15尸（X=3）=落1

556556

所以\的分布列為

X0123

515151

P

28285656

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

x』+lx竺+2x”+3x°639

￡（X）=0

28285656568

（3）新能源汽車銷售量的樣本平均數(shù)

10+8+16+23+20+18+22+11_

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

新能源汽車銷售量的樣本方差

S；=1[(10-16)2+(8-16)2+(16-16)2+(23-16)2+(20-16)2+(18-16)2+(22-16)2+(11-16)2]115

一丁

燃油汽車銷售量的樣本平均數(shù)

14+11+13+19+21+25+23+26

-------------------------------------------=19

8

燃油汽車銷售量的樣本方差

S；=-P(14-19)2+(n-19)2-F(13-10)2X19-192421-1^2十25-1,2{23-1,2+26-1>

8L

所以=

18.(1)證明見解析

⑵條件選擇見解析；(i)證明見解析；(ii)—.

4

【分析】(1)連接交42于點(diǎn)連接EN,利用中位線的性質(zhì)推導(dǎo)出結(jié)合

線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)選條件①：(i)推導(dǎo)出444也會(huì)A48E,可得出=/&/￡=90°,可得NCL/8,

ACVAA,,再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(ii)以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，標(biāo)、峭、衣的方向分別為X、V、z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得/其與平面4瓦?所成角的正弦值；

選條件②：(i)由菱形的幾何性質(zhì)得出么耳，43,結(jié)合已知條件以及線面垂直的判定定理

可證得42_L平面進(jìn)而可得出/C,48,再由正方形的幾何性質(zhì)得出/。，囪，禾I」

用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(ii)以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB，MBt,刀的方向分別為x、V、z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得M與平面A.BE所成角的正弦值.

【詳解】(1)連接/4交4B于點(diǎn)連接EM,

在三棱柱NBC-481G中，四邊形工445為平行四邊形，

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)?則M為/用的中點(diǎn),

又因?yàn)镋為/C的中點(diǎn)，則磯//2<,

因?yàn)閃u平面4?E,4Ccz平面42E,故4?！ㄆ矫?/E.

（2）若選①：EB=EA、.

⑴因?yàn)樗倪呅螒?yīng)蚊。為正方形，則N4/E=90。，

EAl=EB

在△//]￡1和中，<AAX=AB,所以，AAA^E沿/XABE,

AE=AE

所以，ZBAE=ZA{AE=90°,

所以，ACLAB,ACIA^,

因?yàn)锳8c/4=/,AB皿u平面//田田，因此，4C_L平面/同臺(tái)出；

（ii）因?yàn)樗倪呅蚊?出為菱形，則/用工/力，且NCL平面44田田,

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB>MB「就的方向分別為x、V、z軸的正方向建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)椤?=2,AABBX=60°,則/（0,-1,0）、4卜百，0，°）、8（6刀,0）、￡（0,-1,1）,

設(shè)平面4BE的法向量為而=（x,y,z）,還=（26,0,0）,秒=（百，-1,1b

m-A,B=2=0/、

則」_廣，取了=1,可得加=（0,1,1）,

m-AxE=+z=0

--*/r~\AA-44?m1V2

因?yàn)?4=卜51,。），所以，cos必，加=向同=運(yùn)=彳，

因此，N4與平面48E所成角的正弦值為變；

4

若選②：BA.1B.C.

（i）因?yàn)樗倪呅?4與B為菱形，則

因?yàn)?3_L8]C,ABlnBtC=,ABX,々Cu平面/^C,所以，4B_L平面

因?yàn)?Cu平面/qc,所以，ACLA.B,

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)樗倪呅?4GC為正方形，則/。，四，

因?yàn)?BcW4]=4，4?、/41U平面/44g,所以，NC_L平面N442；

（ii）因?yàn)樗倪呅蚊?出為菱形，則/用工/力，且NCL平面44田田,

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB>MB「就的方向分別為x、V、z軸的正方向建立如下圖所示

的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)椤?=2,AABBX=60°,則/（0,-1,0）、4卜百，0，°）、可后,0,0）、￡（0,-1,1）,

設(shè)平面4BE的法向量為而=（x,y,z）,還=（26,0,0）,秒=（百，-1,1）,

m?A}B=2/x=0（、

則」_廣，取了=1,可得加=（0,1,1）,

rh'AxE=+z=0

因?yàn)樗?2M，所以，。間/同=羽=木邛，

因此，N4與平面48E所成角的正弦值為變.

4

22

19.（1盧+2=1

一63

（2）是，定點(diǎn)坐標(biāo)為、,0）

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b.c的等式組，求出這三個(gè)量的值，即可得出

橢圓E的方程；

（2）對(duì)直線/的位置進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線/的方程，將直線/的方程與橢圓E的方程聯(lián)

立，根據(jù)線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1可得出參數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)直線/的方程，即可得出直線/所

過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】⑴因?yàn)闄E圓4+/=1（。>6>0）過(guò)點(diǎn)（而0），離心率為辛，

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

a=V6

cV2a=>/6

則，解得

a2b=c=j3

b=y]a1—c2

因此，橢圓￡的方程為《+==1.

63

(2)設(shè)點(diǎn)4(%“1)、8(%2，、2)，則%+%2=2%o.

當(dāng)直線48的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為〉=區(qū)+加，

y=kx+m2

聯(lián)立可得(2左2+1)%2++2m-6=0

x1+2y2=6

則A=16左2加2_4Q左2+i）Q加2—6）=8（612+3-叫>0,可得m2<6k2+3,

當(dāng)％=1時(shí)，由韋達(dá)定理可得西+/=-獸一=2,整理可得2/+1=-2?，

2左+1

可得加=一片一±~,

2k

止匕時(shí)，%+%=左（再）+2加=2左+2加，貝I]%="+-2=k+m=一一—,

一一22k

所以，直線/的方程為嚴(yán)二=-；（61）,BPy=-Mx-1\

2kkk\2J

此時(shí)，直線/恒過(guò)定點(diǎn)G，O）；

當(dāng)直線/3/x軸時(shí)，則線段N8的方程為x=l,此時(shí)點(diǎn)A、3關(guān)于x軸對(duì)稱,

則直線/為x軸，此時(shí)，直線/過(guò)點(diǎn)G，。）；

當(dāng)直線軸時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、3關(guān)于V軸對(duì)稱，則％=0,不合乎題意.

綜上所述，直線/恒過(guò)定點(diǎn)G，。）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系

或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為

坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(%,%),常利用直線的點(diǎn)斜式方程了-%=左口-尤。)或截距式y(tǒng)=履+b

來(lái)證明.

20.⑴尸x；

(2)a>l；

(3)證明見解析.

【分析】(1)把。=2代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)證明e'Nx+1恒成立，再按421,0<。<1分類，結(jié)合不等式的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性

得解.

(3)由方程有正實(shí)根分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，、、「，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)能取到

g(x)=------------,x>0

x

正數(shù)即可推理得證.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f(x)=e"-x-1,求導(dǎo)得f'(x)=2e?，-1,則/'(0)=1,而/(0)=0,

所以曲線了=/(無(wú))在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為了=x.

(2)對(duì)任意xe[0,+s),不等式LZOoee-x-lNOoe"Nx+l,

當(dāng)x20時(shí)，4'y=ev-x-l,求導(dǎo)得y'=e*-120,函數(shù)y=e"-x-l在上遞增，

x

為也=0,因此e*1+l,當(dāng)aNl時(shí),Vxe[0,+oo),e^>e>x+l,即/(x)20恒成立，則a21；

當(dāng)0<a<l時(shí)，f'(x)=a&ax,由/''(x)=0,x=—In—,

aa

當(dāng)0<x<’lnL時(shí)，r(x)<0,函數(shù)〃x)在(Ojln」)上單調(diào)遞減，/(x)</(0)=0,不符合

aaaa

題意，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是Q21.

⑶由x>。，小)+；=。，得y7_工=0。y=,+匕0"]±^，

22x

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

-^--ln(x+1)

，/1、

ln(x+-)

令x>o,求導(dǎo)得x+；-

g(x)=g'(x)=—J------

X

X

x]一

令〃(x)=--ln(x+A>。，求導(dǎo)得〃(x)=T_一_1_T-<0，

X+2(x+/x+T("

函數(shù)〃(x)在(0,+co)上單調(diào)遞減，=——In—>——InVe=———>0,A(3)=—In—<0,

3233272

則存在/w(l,3),使得在3)=0,當(dāng)O<x<Xo時(shí)，h(x)