北師大版八年級數(shù)學常見題型專練：勾股定理之“趙爽弦圖”模型（原卷版+解析）

重難點03勾股定理之“趙爽弦圖”模型

【知識梳理】

“趙爽弦圖”的面積關系是中考?？嫉囊环N題型，一般出現(xiàn)在選擇題、填空題中，如果能夠記住面積之間

的關系，那么做此類題時一定非常高效.

【考點剖析】

一.選擇題（共2小題）

1.如圖1是我國古代著名的'‘趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC=6,BC

=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，則這

個風車的外圍周長是（）

2.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理.在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH,ABCG,△

F和△步￡是四個全等的直角三角形，四邊形A2CZ）,所G8都是正方形.若AB=10,EF=2,則AH

的長為（）

A.6&B.872C.6D.8

二.填空題（共4小題）

3.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是

由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a,較短

直角邊長為6,若（a+b）2=107,大正方形的面積為57,則小正方形的邊長為.

4.如圖，由四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”.尸中，NAEB=90°,AF=4,AB=5.四邊

形EFGH的面積是

5.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長為7cm,

則圖中五個正方形A、B、C、D、E的面積和為cm2.

6.圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.在RtAABC

中，若直角邊AC=6cw,BC=5cm,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖

（2）所示的“數(shù)學風車”.則①圖中小正方形的面積為②若給這個“數(shù)學風車”的外圍

裝飾彩帶，則需要彩帶的長度至少是.

（圖1）（圖2）

三.解答題（共3小題）

7.如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形.

（1）如圖①弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a.較短的直角

邊為6,斜邊長為c,可以驗證勾股定理；

(2)如圖②，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MNKT

的面積分別為Si、S2、S3,若Sl+S2+S3=16,則S2=

①

8.我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，這種方法稱為等

面積法，這是一種重要的數(shù)學方法.請你用等面積法來探究下列兩個問題：

(1)如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定理；

(2)如圖2,在RtaABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，AC=4,BC=3,求CD的長度.

9.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成，面積為74的正方

形.在Rt^ABC中，若直角邊8C=5,將四個直角三角形中邊長為5的直角邊分別向外延長一倍，得到

圖乙所示的“數(shù)學風車”.

(1)這個風車至少需要繞著中心旋轉才能和本身重合；

(2)求這個風車的外圍周長(圖乙中的實線).

圖甲圖乙

【過關檢測】

選擇題（共10小題）

1.（2022春?東城區(qū)期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形

圍成的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示

的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）

圖⑴

A.72B.52C.80D.76

2.（2021秋?邳州市期中）公元3世紀切，中國古代書學家趙爽注《周髀算經》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”.如

圖，勾。=3,弦c=5,則小正方形ABC。的面積為（）

C

A.1B.3C.4D.9

3.（2021春?長垣市期末）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，如

圖，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4,則小正方形與大正方形的面積比是（）

B.1：4C.1：5D.1：10

4.（2022秋?青秀區(qū)校級期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，

如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形

較長直角邊長為外較短直角邊長為b,若Q+b）2=21,小正方形的面積為5,則大正方形的面積為（）

A.12B.13C.14D.15

5.（2022秋?南岸區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經》的記載，勾股定理

的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”.三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》勾

股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一種證明.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

ba

A.B.ab

ba

C.D.ba

6.（2022秋?平湖市期末）在認識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方

形ABCD內部，其中點N,P,。分別在長方形的邊AS,BC,C。和上，若AB=7,BC=8,則

小正方形的邊長為（）

A.V5B.V6c.VVD.272

7.（2022秋?鄴城縣校級月考）如圖，陰影部分是兩個正方形，圖中還有一個直角三角形和一個空白的正方

形，陰影部分的面積為25cm1,直角三角形①中較長的直角邊長12cm,則直角三角形①的面積是（）

A.16cm之B.25c,扇C.30c7/D.169C/M2

8.（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，中，ZACB=90°,ZABC=30°,分別以AC,BC,AB為

一邊在△ABC外面做三個正方形，記三個正方形的面積依次為Si,S2,S3,已知Si=4,則8為（）

Si

A.8B.16C.4A/3D.4A/3+4

9.（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABC。由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成.點E為

小正方形的頂點，延長CE交AD于點F,連結BF交小正方形的一邊于點G,若4BCF為等腰三角形,

AG=5,則小正方形的面積為（

C.20D.25

10.（2022春?南海區(qū)期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小

正方形（如圖所示）.某次課后服務拓展學習上，小將繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交。于點/.記

小正方形EFGH的面積為51,大正方形ABCD的面積為若DI=2,CI=1,S2=5SI,則GI的值是

（）

A.2/IP-B.C.遮D.3

520v84

填空題（共7小題）

11.（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=5,3c=12.以A8為一邊在△ABC的同

側作正方形A8OE,則圖中陰影部分的面積為.

12.（2022秋?德惠市期末）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFG8拼

成的大正方形A8CD若AE=5,AB=13,則中間小正方形EFGH的面積是

13.（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1,2）,邊長分別為6和

2.若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3）,其面積分別為Si,則S1-S2

14.（2021秋?龍泉驛區(qū)校級月考）如圖，是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正

方形，若大正方形的面積是17,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊分別為a,b,則（a+b）2

的值是.

15.（2022秋?金臺區(qū)校級月考）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三

角形圍成的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖

所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是.

16.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在弦圖中，正方形A8CD的對角線AC與正方形的對角線

EH交于點、K,對角線AC交正方形EFH/于G,1/兩點，記△GK”面積為Si,ZV/C面積為S2,若AE=

12,CZ）=4/10>則S1+S2的值為.

17.(2022秋?寧德期中)我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等

的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，如圖，若拼成的大正方形為正方形A8CD,面積為

9,中間的小正方形為正方形面積為2,連接AC,交BG于點、P,交DE于點、M,①

AEM,@SAAFP-SACGP=—,③DH+HC=4,④HC=2+叵,以上說法正確的是.(填寫序

22

18.(2021秋?鳳翔縣期中)如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股

定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于。2,另一種是等于四個直角三角形與一個小正

方形的面積之和，即/abX4+(b-a)2,從而得到等式c2=/abX4+(b-a)2,化簡便得結論/+用=

c2.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”.現(xiàn)在，請你用

“雙求法”解決下面兩個問題

(1)如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，AC=3,BC=4,求CD的長度.

(2)如圖3,在△ABC中，AO是BC邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設BO=x,求x的值.

如圖2

如圖3

19.（2021春?利辛縣期中）如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2,其中四邊形ABC。，EFGH,MNPQ

都是正方形，證明：a2+b2=c2.

重難點03勾股定理之“趙爽弦圖”模型

【知識梳理】

“趙爽弦圖”的面積關系是中考?？嫉囊环N題型，一般出現(xiàn)在選擇題、填空題中，如果能夠

記住面積之間的關系，那么做此類題時一定非常高效.

二1「以二

【考點剖析】

一.選擇題（共2小題）

1.如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若

AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2

所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）

【分析】由題意/ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，

從而求得風車的一個輪子，進一步求得四個.

【解答】解：依題意，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x,則

X2=122+52=169

所以尤=13

所以“數(shù)學風車”的周長是：（13+6）X4=76.

故選：A.

【點評】本題是勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

2.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理.在如圖所示的“趙爽弦圖”中，

△BCG,ACDF和△D4E是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD,EFGH都是正方

形.若4B=1O,EF=2,則A”的長為（）

-------------------

A.6&B.8A/2C.6D.8

【分析】由題意得，設AH=DE=CF=BG=x,貝1|4￡=。尸=。3=38=2+羽再根據(jù)勾

股定理即可求解.

【解答】解：*/AABH,△BCG,Z\CQF和是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD,

EFG”都是正方形.4B=10,EF=2,

.?.設AH=OE=CF=8G=x,則AE=DF=CG=BH=2+x,

在RtAAHB中，AB2^AH2+BH2,

即1。2=/+(x+2)2,

整理得，x2+2x-48=0,

解得：尤1=6,X2=-8(不符合題意，舍去)，

：.AH^6.

故選：C.

【點評】本題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的性質，根據(jù)題意得到線段的

關系，然后根據(jù)勾股定理列出方程并求解是解題關鍵.

二.填空題(共4小題)

3.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的

“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角

三角形較長直角邊長為。，較短直角邊長為b,若(a+6)2=107,大正方形的面積為57,

則小正方形的邊長為

【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，利

用已知(a+b)2=107,大正方形的面積為57,可以得出直角三角形的面積，進而求出答

案.

【解答】解：如圖所示：

V(a+()2=107,

：.a2+2ab+b2=101,

:大正方形的面積為57,

；.2M=107-57=50,

...小正方形的面積為57-50=7,

故小正方形的邊長為我.

【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式,

本題屬于基礎題型.

4.如圖，由四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖尸中，ZAFB=90°,AF=4,

AB=5.四邊形EFG8的面積是1.

【分析】四邊形EFG/1的面積=四邊形ABC。的面積-四個全等直角三角形的面積.直

角三角形的面積需利用勾股定理求出直角邊后解答.

【解答】解：因為AB=5,所以S正方形ABCD=5X5=25.

心△ABF中，AF=4,AB=5,

貝UB77=^52-42=3,

所以SRIAABF=AX3X4^6,

2

四個直角三角形的面積為：6X4=24,

四邊形EPG8的面積是25-24=1.

故答案為1

【點評】此題主要考查了勾股定理，以及正方形面積、三角形面積，難易程度適中.

5.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E

的邊長為7c7",則圖中五個正方形A、B、C、D、E的面積和為98cm2.

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于

最大正方形的面積.

【解答】解：設正方形A、B、C、。的邊長分別是a、b、c、d,

Dd

7cmE

xL__

則正方形A的面積=/,正方形2的面積=必，正方形C的面積=°2,正方形。的面積

—d2,

又,.,/+廬=$,c2+d2=y2,

正方形A、B、C、D、E的面積和=(cr+b2)+(c2+^2)+72=X2+J2+72=72+72=98(cm2).

即正方形A,B,C,D、E的面積的和為98am.

故答案為：98.

【點評】本題考查了勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.熟練

運用勾股定理進行面積的轉換是解題關鍵.

6.圖(1)是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.在

□△A8C中，若直角邊AC=6c機，BC=5cm,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分

別向外延長一倍,得到圖(2)所示的“數(shù)學風車”.則①圖中小正方形的面積為1cm2；

②若給這個“數(shù)學風車”的外圍裝飾彩帶，則需要彩帶的長度至少是16cm.

【分析】①表示出小正方形的邊長，然后利用正方形的面積公式列式計算即可得解;

②利用勾股定理求出外圍直角三角形的斜邊，然后根據(jù)周長公式列式計算即可得解.

【解答】解：圖①，小正方形的面積=(6-5)2=1劭2；

圖②，外圍直角三角形的斜邊=任耳/=13。，3

周長=4X(13+6)=4X19=76cm,

即，需要彩帶的長度至少是76cm.

故答案為：1cm2,76cm.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，讀懂題目信息并準確識圖是解題的關鍵.

三.解答題(共3小題)

7.如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形.

(1)如圖①弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為

a.較短的直角邊為b,斜邊長為c,可以驗證勾股定理；

(2)如圖②，將八個全等的直角三角形緊密地拼接,記圖中正方形ABCD,正方形EFG”，

正方形MNKT的面積分別為Si、S2、S3,若SI+S2+S3=16,貝IS2=—.

—3—

,c.IX

S4s

B

①②

【分析】(1)由圖可知，小正方形的面積可直用邊長乘邊長，為Q-b)2,也可用大正

方形的面積減去四個全等的直角三角形的面積，為c2-4X、ab，以此即可證明；

(2)設正方形MNKT的面積為x,八個全等的直角三角形的面積均為y,可得Si=8y+x,

S2=4y+x,S3=x,則Si+S2+S3=12y+3x=16,根據(jù)整體思想即可求出52=4伊+_￥=/_.

【解答】⑴證明：s小正方形=(a-b)2=a2-2ab+b2，

另一方面=c2-4X-^-ab=c2-2ab*

即a2-2QZ?+廿-2ab,

則a2+b2=c2；

(2)解：設正方形MNKT的面積為羽八個全等的直角三角形的面積均為y,

V5I+S2+S3=16,

Si=Sy+x,S2=4y+x,S3=x，

Si+S2+S3=12y+3x=16,

3

；.S2=4y+x=￥~.

故答案為：」旦.

3

【點評】本題主要考查勾股定理的證明，利用數(shù)形結合的思想來答題是解題關鍵.

8.我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，

這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法.請你用等面積法來探究下列兩個問

題:

(1)如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定

理；

(2)如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是AB邊上的高，AC=4,BC=3,求

CD的長度.

【分析】(1)根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方

形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式.

(2)先由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積求的長即可.

【解答】解：(1)???大正方形面積為c?,直角三角形面積為上“6,小正方形面積為：(6

2

-a)之，

.??。2=4義工曲+(〃-b)2=2ab+a2-2ab+b2

2

即c2=a2+b2.

(2)在Rt/XABC中,

VZACB=90°,

，由勾股定理，得：AB=~

9：CDLAB,

：.S^ABC=^AC'BC^^-AB'CD

22

CD=.

【點評】本題考查了學生對勾股定理的證明和對三角形和正方形面積公式的熟練掌握和

運用，屬于基本題型.

9.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成，面

積為74的正方形.在RtAABC中，若直角邊BC=5,將四個直角三角形中邊長為5的

直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”.

(1)這個風車至少需要繞著中心旋轉90°才能和本身重合;

(2)求這個風車的外圍周長(圖乙中的實線).

【分析】(1)根據(jù)旋轉角及旋轉對稱圖形的定義結合圖形特點作答.

(2)在直角△ABC中，已知BC,AB,根據(jù)勾股定理即可計算AC的長，AC=7,故求得

8D即可計算風車的外圍周長.

【解答】解：(1)：V36004-4=90°,

該圖形繞中心至少旋轉90度后能和原來的圖案互相重合.

已知BC=5,AB=V74,

由勾股定理得：AC=7,CO=7+5=12,

.1.BD=iy52+122=i3,

?風車的外圍周長為4(BD+AD)=4(13+5)=72.

【點評】本題考查了旋轉角的定義及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了全等三角

形對應邊相等的性質，本題中正確的計算3。是解題的關鍵.

【過關檢測】

選擇題(共10小題)

1.(2022春?東城區(qū)期末)如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全

等的直角三角形圍成的.若AC=6,8C=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別

向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是()

B,

圖⑴圖⑵

A.72B.52C.80D.76

【分析】由題意NAC8為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，

從而求得風車的一個輪子，進一步求得四個.

【解答】解：依題意，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x,則

尤2=122+52=169

所以尤=13

所以“數(shù)學風車”的周長是：（13+6）X4=76.

故選：D.

【點評】本題是勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

2.（2021秋?邳州市期中）公元3世紀切，中國古代書學家趙爽注《周髀算經》時，創(chuàng)造了

“趙爽弦圖”.如圖，勾。=3,弦c=5,則小正方形ABC。的面積為（）

B.3C.4D.9

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式可求解.

【解答】解：如圖，

\?勾。=3,弦c=5,

?,.股6=4$2_§2=4,

...小正方形的邊長=4-3=1,

...小正方形的面積=12=1,

故選：A.

【點評】本題運用了勾股定理和正方形的面積公式，關鍵是運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想.

3.（2021春?長垣市期末）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成

的大正方形，如圖，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4,則小正方形與大正方

形的面積比是（）

B.1：4C.1：5D.1：10

【分析】根據(jù)題意求得小正方形的邊長，根據(jù)勾股定理求出大正方形的邊長，由正方形

的面積公式即可得出結果.

【解答】解：???直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4,

小正方形的邊長為2,

根據(jù)勾股定理得：大正方形的邊長=五互中=2炳,

,小正方形面積=22=_￡=_1

,,大正方形面積（2V5）2205，

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理和正方形的面積.本題是用數(shù)形結合來證明勾股定理，鍛

煉了同學們的數(shù)形結合的思想方法.

4.（2022秋?青秀區(qū)校級期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古

代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成

的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為。，較短直角邊長為b,若（0+8）2=21,

小正方形的面積為5,則大正方形的面積為（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知

數(shù)據(jù)即可求出大正方形的邊長.

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b=煙,

（。+6）2=（。-6）2+4<?/?=5+4ab=21,

ab—4,

，大正方形的面積=4義工仍+5=13,

2

故選：B.

【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，

本題屬于基礎題型.

5.（2022秋?南岸區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經》的

記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”.三國時

代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一種證明.下面四

幅圖中，不能證明勾股定理的是()

ba

【分析】根據(jù)基礎圖形的面積公式表示出各個選項的面積，同時根據(jù)割補的思想可以寫

出另外一種面積表示方法，即可得出一個等式，進而可判斷能否證明勾股定理.

【解答】解：4大正方形的面積為：，2；

也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：labX4+(b-a)2=

2

a2+Z>2,

.?./+廬=02,故A選項能證明勾股定理；

B、大正方形的面積為：(a+b)2；

也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：labXA+^^ab+c2,

2

(a+b)2=2ab+c2,

：.a1+b2=c1,故8選項能證明勾股定理；

C、梯形的面積為：—(a+6)(a+b)=—(cr+b^)+ab；

22

也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：工滴X2+LC2=

22

ab+—c2,

2

.'.ab+—c2=-(次+廬)+岫,

22

.-.aW=c2,故C選項能證明勾股定理；

D、大正方形的面積為：(a+b)2；

也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab,

(a+b)2=a2+b2+2ab,

二。選項不能證明勾股定理.

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內弦圖、外弦圖是解題關鍵.

6.(2022秋?平湖市期末)在認識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學嘗試將5個全等的小

正方形嵌入長方形A8CD內部，其中點M,N,P,0分別在長方形的邊AB,BC,C。和

AD上，若42=7,BC=8,則小正方形的邊長為（）

A.臟B.V6C.41D.2&

【分析】將每個小正方形按照如圖所示分成四個全等的直角三角形和一個正方形，設每

個直角三角形的較大的直角邊為x,較小的直角邊為》根據(jù)AB=7,BC=8,列出二元

一次方程組，求出x和》再求出邊長即可.

【解答】解：將每個小正方形按照如圖所示分成四個全等的直角三角形和一個正方形，

設每個直角三角形的較大的直角邊為x,較小的直角邊為y,

VAB=7,BC=8,

.f3x+y=7

-i3x+2y=8，

解得，

小正方形的邊長為422+。=遙.

故選A.

【點評】本題考查了勾股定理與二元一次方程組的應用，根據(jù)題意運用好趙爽弦圖是解

題關鍵.

7.（2022秋?鄴城縣校級月考）如圖，陰影部分是兩個正方形，圖中還有一個直角三角形和

一個空白的正方形，陰影部分的面積為253?,直角三角形①中較長的直角邊長12cm,

則直角三角形①的面積是（）

A.16cm2B.25cm2C.30cm2D.169cm2

【分析】兩個陰影正方形的面積和等于直角三角形另一未知邊的平方.利用勾股定理即

可求出.

【解答】解：：兩個陰影正方形的面積和等于直角三角形另一未知邊的平方，

直角三角形①中較短的直角邊長5cm,

:直角三角形①中較長的直角邊長12cm,

直角三角形①的面積=^X5X12=30（C，

故選：C.

【點評】考查了正方形的面積以及勾股定理的應用.推知“正方形的面積和等于直角三

角形另一未知邊的平方”是解題的難點.

8.（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，RdABC中，ZACB=90°,ZABC=3O°,分別以

AC,BC,4B為一邊在△ABC外面做三個正方形，記三個正方形的面積依次為Si,&,

S3,已知Si=4,則8為（）

§3

A.8B.16C.4"/3D.45/3+4

【分析】根據(jù)正方形的面積公式結合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形

的面積和，即可得出答案.

【解答】解：：SI=AC2=4,

；.AC=2,

?.?&△ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

：.AB=2AC=4,

.?.S3=AB2=16,

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理和正方形面積的應用，注意：分別以直角三角形的邊作相

同的圖形，則兩個小圖形的面積等于大圖形的面積.

9.（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形A8CZ）由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼

接而成.點￡為小正方形的頂點，延長CE交于點凡連結交小正方形的一邊于

點G,若ABC才為等腰三角形，AG=5,則小正方形的面積為（）

A.15B.16C.20D.25

【分析】由等腰三角形性質可得出BF=CF,利用HL可證得RtAABF^RtADCF(HL),

得出AB=AD=2AF,根據(jù)余角的性質得出NBAG=NA3F,進而推出CF=BF=2AG=

10,利用面積法求得BN=8,再運用勾股定理求得CN=4,即可求得答案.

【解答】解：設小正方形為如圖，

?/四邊形ABCD和四邊形EHMN是正方形，

：.AB=AD=CD,ZBAD=90°,CF//AG,

:△■BCP為等腰三角形，>BF>AB=BC,CF>CD=BC,

：.BF=CF,

在RtAABF和RtADCF中，

[AB=CD

IBK<F)

RtAABF^RtADCF(HL),

：.ZAFB=ZCFD,AF=DF,

：.AB=AD=2AF,

\'CF//AG,

:.NCFD=NDAG,

：./AFB=ZDAG,

：.AG=FG,

VZAFB+ZABF=90°,ZDAG+ZBAG^90°,

：.ZBAG^ZABF,

C.AG^BG,

：.CF=BF=2AG=10,

在Rt/VIB產中，AB2+AF2^BF2,

：.(2AF)2+AF2=102,

:.AF=2炳,

：.AB=BC=4[S,

"：S^BCF=—BC'AB=-^CF'BN,

22

._BC-AB_475X4A/5_

??DDIANr---------O0,

CF10

???CN=7BC2-BN2=q(4代)2-8、=4'

?；AABM咨ABCN,

：.BM=CN=4,

:.MN=BN-BM=8-4=4,

；?S正方形EHMN=(MN)2=42=16,

故選：B.

Ar-

【點評】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定

與性質，平行線的性質，勾股定理，三角形面積等，利用面積法求得BN是解題的關鍵.

10.（2022春?南沼區(qū)期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，

中間是一個小正方形（如圖所示）.某次課后服務拓展學習上，小濤繪制了一幅趙爽弦圖，

她將EG延長交CD于點/.記小正方形EFGH的面積為Si,大正方形ABCD的面積為

S2,若D/=2,C7=l,S2=5SI,則G/的值是（）

【分析】如圖，連接。G,先由已知條件分別求得S2=cr>2=32=9,S1=9,小正方形邊

長為再由勾股定理得：設

EG=JEH2+HG2=3V10_；AE=BF=CG=DH=X,

55

則4尸=26=。//=?！?尤+至氏，由勾股定理得：CD2=￡）H2+CH2,即9=f+（x+生叵）

“三線合一”得/DGH=/HGE=45。進而得NOG/=90°最后由勾股定理得：GI=

而于=百乎?即得選項A.

Vbb

【解答】解：如圖，連接。G,

..?趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形，

:.AE=BF=CG=DH,AF=BG=CH=DE,CH±DE,

,:Dl=2,C/=l,

：.CD=DI+CI=2+1=3,

:大正方形ABCD的面積為S2,

.?.52=5=32=9,

又：小正方形EFGH的面積為Si,S2=5SI,

；.si=a,

5

EF=FG=GH=HE=,

5

;將EG延長交CD于點/,

；./HGE=45°,在Rtz\EHG中，由勾股定理得：/滔=宜野,

設AE=BF=CG=DH=x,則AF=BG=CH=DE=,

5

在RtZkCDH中，由勾股定理得：。2=?？?+c82,即9=/+（x+旦工殳）2,

5

解得：Xl=3應，X2=-EE（不合題意，舍去），

55

即AE=BF=CG=DH=x=^^~,

5

：.DH=EH=^^,

5

CH垂直平分ED,

：.DG=EG=,

5

；.NDGH=NHGE=45°,

.?.ZDGE=45°+45°=90°,

：./DGI=90°,

在RtADG/中，由勾股定理得：G/=VDI2-DG2=V22-2=^-,

V55

故選：A.

【點評】本題是一道勾股定理的綜合題，主要考查了全等三角形的性質，正方形的性質,

勾股定理，線段的中垂線判定與性質，等腰三角形的“三線合一”，二次根式計算與化簡，

關鍵是巧添輔助線構等腰直角三角形，順利實現(xiàn)求得答案.

二.填空題（共7小題）

11.（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12.以AB為一

邊在△ABC的同側作正方形則圖中陰影部分的面積為139.

【分析】首先利用勾股定理求得邊的長度，然后由三角形的面積公式和正方形的面積

公式解答.

【解答】解：如圖，Rt/XABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=5,

由勾股定理知，AB=4AC2+BC2=13.

故S陰影=S正方形ABDE-S/^ABC—132--X5X12=169-30=139.

2

故答案為：139.

【點評】本題主要考查了勾股定理，求陰影部分的面積時，采用了“分割法”.

12.（2022秋?德惠市期末）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小

正方形EFG8拼成的大正方形A2CD若AE=5,AB=13,則中間小正方形EPG8的面

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小正方形的邊長，即可得到小正方形的

面積.

【解答】解：：AE=5,AB=13,

：.BF=AE=5,

在Rt^AB尸中，AF=iyAB2+Bjr2=i2,

小正方形的邊長斯=12-5=7,

...小正方形EFGH的面積為7X7=49.

故答案為：49.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

13.（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1,2）,邊

長分別為6和2.若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3）,其面

積分別為Si,&.則分-S2=12.

【分析】首先設四個全等的直角三角形的兩條直角邊分別為a,b（a>6）,然后根據(jù)圖1、

2列出關于a、b的方程組即可求解.

【解答】解：設四個全等的直角三角形的兩條直角邊分別為a,b（a>b）,

根據(jù)圖1得：。+6=6,

根據(jù)圖2得：a-b=2,

a=4

聯(lián)立解得:

b=2

，Si=16,

S2=4,

則SI-Si=12.

故答案為：12.

【點評】此題主要考查了勾股定理證明的應用，解題的關鍵是正確理解圖形中隱含的數(shù)

量關系.

14.（2021秋?龍泉驛區(qū)校級月考）如圖，是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形

拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是17,小正方形的面積是1,直角三角形的兩

直角邊分別為a,b,則（a+b）2的值是33.

【分析】先由拼圖列出關于面積的方程，再由勾股定理列一個直角三角形三邊的方程并

整理，最后把值整體代入和平方的展開式（a+b）2=a2+b2+2ab即可得出答案.

【解答】解：：由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，大

正方形的面積是17,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊分別為a,b,

1+4X—ab=172ab=16

???2，即？2，

222

la+b=（V17）Ia2+b2=“

（a+b）2—a1+b1+2ab—l,7+16—33.

故答案為：33.

【點評】這是一道勾股定理綜合題，主要考查了拼圖列方程，發(fā)現(xiàn)各個圖形的面積和a,

b的關系是解題關鍵.

15.（2022秋?金臺區(qū)校級月考）如圖是我國古代著名的'‘趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個

全等的直角三角形圍成的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分

別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是76.

【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學風車”的斜邊求出，然后可求出風車外圍的周長.

【解答】解：設將AC延長到點。，連接BO,

根據(jù)題意，得CD=6X2=12,BC=5.

,：ZBCD=90°

：.BC2+CD2=BD2,即52+122=BD2

：.BD=13

：.AD+BD=6+13=19

.?.這個風車的外圍周長是19X4=76.

故答案為：76.

【點評】本題考查勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

16.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在弦圖中，正方形ABC。的對角線AC與正方形

以7〃的對角線即交于點K,對角線AC交正方形屏7〃于G,J兩點，記△GK8面積

為Si,△〃（？面積為S2,若AE=12,CD=4\/l0,則S1+S2的值為16.

【分析】由題意可得AP=C/,NAFG=NCIJ=90°,FH〃EI,即可證明△Af'G之△(:〃，

FG=IJ,再根據(jù)四邊形EEF〃為正方形，得至UAGHK咨AJEK,從而得到點K為正方形

￡尸印的中心，過點K作于點由勾股定理得。E=4,FH=8,