第十章　計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布[知識(shí)網(wǎng)絡(luò)][命題方向]1．計(jì)數(shù)原理作為高考的必考內(nèi)容，在2025年的高考中預(yù)計(jì)仍會(huì)以“一小(選擇題或填空題)”的格局呈現(xiàn)．小題考查方向主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是以分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)的排列組合問(wèn)題，要理解分類和分步的思想；二是以二項(xiàng)式定理為主體的問(wèn)題，主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求特定項(xiàng)的系數(shù)、參數(shù)的值、系數(shù)和等．2．概率作為高考的必考內(nèi)容．選擇、填空?？疾楣诺涓判停瑫r(shí)而考查對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、概率及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率；解答題常以頻率分布直方圖、折線圖為載體考查隨機(jī)變量的分布列及期望、方差，考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新能力．探究1(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P3)(1)如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？(2)如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P5)(1)如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？(2)如果完成一件事情需要n個(gè)步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究3(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P17)從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)(m≤n)是多少？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究4(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P23)前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)來(lái)求組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)呢？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究5(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P29)我們知道，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.(1)觀察以上展開(kāi)式，分析其運(yùn)算過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫(xiě)出(a＋b)4的展開(kāi)式嗎？(3)進(jìn)一步地，你能寫(xiě)出(a＋b)n的展開(kāi)式嗎？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究6(人教A版必修第二冊(cè)P242)設(shè)事件A與事件B互斥，和事件A∪B的概率與事件A，B的概率之間具有怎樣的關(guān)系？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究7(人教A版必修第二冊(cè)P249)下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)各定義了一對(duì)隨機(jī)事件A和B，你覺(jué)得事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”．試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異．采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球．設(shè)A＝“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”，B＝“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”．分別計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究8(人教A版必修第二冊(cè)P250)互為對(duì)立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系．如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件是否也相互獨(dú)立？以有放回摸球試驗(yàn)為例，分別驗(yàn)證A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))是否獨(dú)立，你有什么發(fā)現(xiàn)？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究9(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P56)考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量：試驗(yàn)1：從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中的次品數(shù)；試驗(yàn)2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù)．這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么？各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的？變量X，Y有哪些共同的特征？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究10(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P64)如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，將X進(jìn)行平移或伸縮后，其均值會(huì)怎樣變化？即E(X＋b)和E(aX)(其中a，b為常數(shù))分別與E(X)有怎樣的關(guān)系？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究11(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P69)離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)，方差會(huì)有怎樣的變化？離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究12(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P72)某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究13(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P76)假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題1(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P12T11、T12)(1)在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？(2)2160有多少個(gè)不同的正因數(shù)？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題2(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P16例2)(1)一張餐桌上有5盤(pán)不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤(pán)菜，共有多少種不同的取法？(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣(mài)5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題3(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P19例4)用0～9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題4(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P27T12)(1)從0，2，4，6中任取3個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(2)由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比5000000大的正整數(shù)？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2018·浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成________個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)．點(diǎn)評(píng)本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．典題5(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P38T5)(1)求(1－2x)5(1＋3x)4的展開(kāi)式按x的升冪排列的第3項(xiàng)；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9x＋\f(1,3\r(x))))eq\s\up12(18)的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；(3)求(1＋x＋x2)(1－x)10的展開(kāi)式中x4的系數(shù)；(4)求(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(1)(2023·天津卷)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)是________．(2)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是________(用數(shù)字作答)．(3)(2022·新高考Ⅰ卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．點(diǎn)評(píng)以上三題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，命題角度與課本習(xí)題類似．典題6(人教A版必修第二冊(cè)P230例4)如圖，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效．把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常．(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：M＝“恰好兩個(gè)元件正?！?；N＝“電路是通路”；T＝“電路是斷路”．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題7(人教A版必修第二冊(cè)P251例1)一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異．采用不放回方式從中任意摸球兩次．設(shè)事件A＝“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件B＝“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立點(diǎn)評(píng)本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，判斷是否獨(dú)立事件的方法是檢驗(yàn)P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，與課本例題命題角度類似．典題8(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P61T5)老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學(xué)只能背誦其中的6篇，求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；(2)他能及格的概率．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題9(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P61T6)某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會(huì)．一旦某次考試通過(guò)，便可領(lǐng)取資格證書(shū)，不再參加以后的考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會(huì)．李明決定參加考試，如果他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過(guò)相互獨(dú)立，試求：(1)李明在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列；(2)李明在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書(shū)的概率．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題10(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P65例4)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3不采取措施．工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________點(diǎn)評(píng)主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，命題角度與課本例題類似，都屬于決策問(wèn)題．典題11(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P69例6)投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示.表1股票A收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6表2股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大？(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題12(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P74例2)如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題13(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P75例3)甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題14(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P91T6)已知每門(mén)大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.3，現(xiàn)在n門(mén)大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次．(1)當(dāng)n＝10時(shí)，求恰好擊中目標(biāo)3次的概率(精確到0.001)；(2)如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過(guò)95%，至少需要多少門(mén)大炮？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________