參數(shù)方程與極坐標(biāo)歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題12-1參數(shù)方程與極坐標(biāo)歸類

目錄

【題型一】三種弦長公式..........................................................................1

【題型二】參數(shù)方程難點(diǎn)1：萬能代換型消參........................................................2

【題型三】參數(shù)方程難點(diǎn)2：“1”的代換消參型.....................................................4

【題型四】參數(shù)方程難點(diǎn)3：分離常數(shù)消參..........................................................4

【題型五】極坐標(biāo)“一線兩點(diǎn)”型..................................................................5

【題型六】極坐標(biāo)“兩線兩點(diǎn)”型..................................................................6

【題型七】極坐標(biāo)最值范圍型......................................................................6

【題型八】直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)型....................................................................7

【題型九】直線參數(shù)方程范圍最值..................................................................8

【題型十】橢圓參數(shù)方程“參數(shù)點(diǎn)”型..............................................................8

【題型十一】橢圓參數(shù)方程范圍最值型..............................................................8

【題型十二】拋物線參數(shù)方程......................................................................9

真題再現(xiàn)........................................................................................9

模擬檢測.......................................................................................10

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】三種弦長公式

【典例分析】

.，一,fx=2+/cos^…=4cosa

在直角坐標(biāo)系宜刀中，直線/的參數(shù)方程為,.八G為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程：

[y=l+，sin〃[y=2sma

為參數(shù)).

(1)求/和C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/被曲線C所截得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),求IABI.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一、圓錐曲線弦長公式

2

1、y=kx+b=>|AB\=-4%2^A/1+k

=1AB|=，。2+%）2-4%%.+,

2、x=my+t夕陽=，d+丫了-4%%J]+m2

二、直線參數(shù)方程弦長公式

IA31=1Gfl=小生+力了一4名

三、極坐標(biāo)體系弦長公式

⑴一線兩點(diǎn)（一般直線（射線）過極點(diǎn)

|人5|二|02-川二1為-4?（若是韋達(dá)定理型，則=j（02+01）2

（2）兩線兩點(diǎn)：余弦定理

222

|AB|=p2+pl-2p2p1cos（^2-^）

【變式演練】

fx=2coscr

在直角坐標(biāo)系xOx中，曲線C]的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），M是G上的動點(diǎn),點(diǎn)尸滿足

[y=2+2sina

OP=-2OM，點(diǎn)尸的軌跡為曲線C?.以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求C1和C?的極坐標(biāo)方程；

（2）直線。=4（peR）與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C?的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為8,求|相|.

【題型二】參數(shù)方程難點(diǎn)1:萬能代換型消參

【典例分析】

I—/

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1；；（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為22cos。+舟sin。+H=0.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

【典例分析】這道題的具體消參計算過程

方法1:萬能代換型消去參數(shù)：

8ktan。

x=

1+k22sin(2costz2sintzcos(22tana2m

sin2a=2sin〃cos〃=

3(1-^2)12si-n2〃.+cos2a1+tan2a1+m2

y二21-tan2a1-m2

1+k22

cos2a=cosa-sina-------2=-----2

1+tana1+m

-2tana2m

tan2a=-----=-----

1-tana1-m

方法二：分析數(shù)據(jù)配湊法。

-1一產(chǎn)r

x=-~Q_1-t2

<1+fn注意到兩個分母都是t?形式，因而要約去，則必然需要y2"X-KT

要想約去，x的分母也需要成為平方形式，并且分子可以構(gòu)造出分母的形式

21-2-+-

24

X―_（］+產(chǎn)）2,2_l-2r+t

Q+

=>,n那么，只剩下分子相加來湊配對應(yīng)的系數(shù)了(1+)2可以消去了。

n2f,

216t2y2_4t2

了―(1+/)2

方法三：簡潔的根本是計算中間一步的細(xì)節(jié)處理

1—產(chǎn)

X=7

<1+/

y=.t2,由*=二反解可得t2=±d

11+z發(fā)現(xiàn)X是對應(yīng)齊次單變量參數(shù)形式，可以反解出1+廠1+X

因?yàn)閠是平方形式，所以需要y平方后代入，計算細(xì)節(jié)在于代入后，分母那個計算，一定要先通分,

這樣出來幾乎沒有計算量

【變式演練】

1-產(chǎn)

x=

1+7

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為一C為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半

y=

i+t2

軸為極軸建立坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

,JT11

(2)若點(diǎn)",N為曲線。上的兩點(diǎn)，且滿足=求義—丁的最大值.

4OMON

【題型三】參數(shù)方程難點(diǎn)2：“1”的代換消參型

【典例分析】

Ix=]+sina+3cosOL

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為)°.(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，1軸

\y=2+cosa—3smi

正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線/的方程是。cos[e+.

(1)求曲線c的普通方程和直線i的直角坐標(biāo)方程；

11

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),直線/與曲線C交于P,。兩點(diǎn)，求由+的的值.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

借助公式原理:sin?a+cos2a=1平方消元

【變式演練】

尤=A/^COSa—sina

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程為廣(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),

j=A/3sina+cosa

x軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。sin"+=2.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)直線/與y軸的交點(diǎn)為P,經(jīng)過點(diǎn)P的動直線機(jī)與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，證明：|上叫冏為定直

【題型四】參數(shù)方程難點(diǎn)3：分離常數(shù)消參

【典例分析】

-1+32

x=--------

平面直角坐標(biāo)系xOx中，曲線G的參數(shù)方程為(X為參數(shù)，且;1).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

1—Z/L

y-

1+A

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為夕？+12夕cos8+32=0.

(1)求曲線G的普通方程和曲線。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)尸的極坐標(biāo)為上虛,7],。為曲線上的動點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到曲線G的距離的最大

值.

【變式演練】

在平面直角坐標(biāo)系無0y中，直線/的方程為1?為參數(shù)），曲線/+>2=1經(jīng)過伸縮變換，_五

y=+5u—7y

、1+%

后得到曲線C.以。點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

⑴求直線/的極坐標(biāo)方程和曲線。的普通方程；

/、41

（2）設(shè)射線。=磯。>0,。<&<2萬）與直線/和曲線C分別交于點(diǎn)A氏求南+研的最大值.

【題型五】極坐標(biāo)“一線兩點(diǎn)”型

【典例分析】

x=2+2cosCL

在直角坐標(biāo)系中，曲線C]的參數(shù)方程為'（a為參數(shù)），以。為極點(diǎn)，以X軸的正半軸

[y=n2sma

2

為極軸建立極坐標(biāo)系曲線G的極坐標(biāo)方程是P=-

sin”

⑴求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；

⑵射線4：夕與曲線C|交于點(diǎn)。和點(diǎn)A,將射線4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；，得到射線4，

射線，2與曲線。2交于點(diǎn)'試求焉O的Al最大值.

（JJD\

江西省贛州市十六縣市二十校2023屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

【提分秘籍】

基本規(guī)律

極坐標(biāo)一線兩點(diǎn)（一般直線或射線過極點(diǎn)）：

IAB\=|p2-pJ=|pB-pA|（若是韋達(dá)定理型，則=/（02+21）2-402。1）

【變式演練】

fx=3cos（p

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為c.（。為參數(shù)），以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸

[y=2sm（p

建立極坐標(biāo)系，曲線C?是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線與曲線C之交于點(diǎn)。卜代]

⑴求曲線G，&的普通方程;

⑵A(8，。)，是曲線G上的兩點(diǎn)，求3+4的值.

、2)PiP2

【題型六】極坐標(biāo)“兩線兩點(diǎn)”型

【典例分析】

L[X=t~l

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的方程為瓜-y+l=O,曲線C的參數(shù)方程為2,。"為

參數(shù))，若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線/和曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)射線乙的極坐標(biāo)方程為6=射線4與曲線C交于點(diǎn)〃(異于原點(diǎn))，射線4的極坐標(biāo)方程為。=與，

\OM\

射線4與直線/交于點(diǎn)M求血的值.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

極坐標(biāo)兩線兩點(diǎn)(一般直線射線過極點(diǎn))

|兩線兩點(diǎn)：余弦定理

22

|AB|=p￡+/91-2/92/91COS(夕2-4)

【變式演練】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為Y+y2-4x=o,點(diǎn)P為曲線C1上任意一點(diǎn)，記線段OP的中

點(diǎn)。的軌跡為曲線C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)M,N分別是曲線C1和C2上的點(diǎn)，且OMLON,證明：|。加『+4|。附2為定值.

【題型七】極坐標(biāo)最值范圍型

【典例分析】

在直角坐標(biāo)系xOy中，以無軸非負(fù)半軸為極軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程

為O=acos9,為曲線C上的點(diǎn).

(1)求a的值，并求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若A,8是曲線C上的兩個動點(diǎn)，且NAO8=],求AO3面積的最大值.

【變式演練】

在極坐標(biāo)系Ox中,射線/的極坐標(biāo)方程為。=巳QO）,曲線C的極坐標(biāo)方程為"—4/sin。=/-4（r>0）,

且射線/與曲線C有異于點(diǎn)。的兩個交點(diǎn)P,Q,

（1）求『的取值范圍；

11

（2）求西+國[的取值范圍.

【題型八】直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)型

【典例分析】

x=a+3t

已知平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為4?為參數(shù)）.以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，元軸正半

[y=1l-4f

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=40sin且直線/與曲線。交于p、Q兩

點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；（2）若。=2,點(diǎn)4（2,1）,求向+向的值.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

直線參數(shù)方程是否是標(biāo)準(zhǔn)方程要滿足：

y-V+tccq〃

1、是否需要換點(diǎn):一。，點(diǎn)（x°,y0）是題中要求的定點(diǎn)（?

Jf+fsmd

a

x=xQ+—=------1

2、a2+b2=1a2+b21,則改寫為門"+”

a

y=yo+4^f

3、b不能為負(fù)（此條一般用不上）

【變式演練】

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：夕=4cos，，直線/

%=3+

的參數(shù)方程為：《產(chǎn)」,G為參數(shù)），直線/與曲線C分別交于監(jiān)N兩點(diǎn).

（1）寫出曲線C和直線/的普通方程;

11

(2)若點(diǎn)P(3,-L),求的值.

\PM|\PN\

【題型九】直線參數(shù)方程范圍最值

【典例分析】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方

程為夕(1+COS20)=8sin0.(1)求曲線C的普通方程；

(2)直線I的參數(shù)方程為｛1.4為參數(shù)直線/與y軸交于點(diǎn)F與曲線C的交點(diǎn)為A,B,當(dāng)|FA|?|FB|

y=1+tsina

取最小值時，求直線/的直角坐標(biāo)方程.

【變式演練】

在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=6cosO.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角

fx=2+tcosa

坐標(biāo)系，直線1的參數(shù)方程為.(t為參數(shù))

[y=-1l+tsina

TT

(1)若a=',求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線1的極坐標(biāo)方程；

2

⑵設(shè)點(diǎn)P(2,-1),曲線C與直線/交于A、B兩點(diǎn)，求「+忸§「的最小值

【題型十】橢圓參數(shù)方程“參數(shù)點(diǎn)”型

【典例分析】

已知曲線。的極坐標(biāo)方程是2=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線/的

x=l+t

參數(shù)方程為｛(t為參數(shù))寫出直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;

y=2+y/3t

(2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換｛y_1,后得到曲線C,設(shè)為C上任意一點(diǎn),

求好—J+2y2的最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【變式演練】

x=2+2cos6

在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程為1.°.八(。為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半

y=3+2sin”

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕(4sin6+3cos6)=a,且直線/與曲線C有兩個不同

的交點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)已知M為曲線C上一點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線/垂直，求點(diǎn)M的直角坐標(biāo).

【題型十一】橢圓參數(shù)方程范圍最值型

【典例分析】

x=cosa

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為｛.為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正

y=2+sma

94

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為52=..2.?

l+3sin0

(1)寫出曲線G和。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知尸為曲線C2上的動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作曲線G的切線，切點(diǎn)為A,求區(qū)4|的最大值.

【變式演練】

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

—02小

X_z-------1

豆黑］可直線/的參數(shù)方程為V

(1)求曲線C的參數(shù)方程與直線/的普通方程；

(2)設(shè)點(diǎn)過P為曲線C上的動點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N為直線/上的點(diǎn)，且滿足為等邊三角形，求

一？邊長的取值范圍.

【題型十二】拋物線參數(shù)方程

【典例分析】

x=2t?

在平面真角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為(f為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為

。=2/

2

極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為夕=一

sintz+acost/

(1)求曲線G的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G與曲線02交于M，N兩點(diǎn),直線。M和ON的斜率分別為左和心，求K+42的值?

【變式演練】

X—t

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為1a為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半

3=4廠

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=一2^一Z.

msmcz+cos^

(I)求G的普通方程和g的直角坐標(biāo)方程；

11

(II)若G與交于P,。兩點(diǎn)，求r~十二的值.

K°pKOQ

q真題型5

2--+￡

x------

1.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)在直角坐標(biāo)系％0y中，曲線G的參數(shù)方程為6。為參數(shù))，曲線G

、y=&

2+s

x--------

的參數(shù)方程為6(s為參數(shù)).

y=-4s

⑴寫出G的普通方程；

⑵以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cos。-sin6=0,求C3與

G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

2.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系宜方中，曲線C的參數(shù)方程為b=Wc°s2,。為參數(shù)）,

[y=2sin?

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為。Sin[，+g]+m=0.

（1）寫出/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若/與C有公共點(diǎn)，求他的取值范圍.

3.（2021?全國?高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，了軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

曲線C的極坐標(biāo)方程為/?=20cos0.

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（1,。），M為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足AP=0AM，寫出P的軌跡C1的參數(shù)方

程，并判斷C與C1是否有公共點(diǎn).

4.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系xQy中，C的圓心為C（2,l）,半徑為1.

（1）寫出一C的一個參數(shù)方程；

（2）過點(diǎn)尸（4,1）作C的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，無軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切

線的極坐標(biāo)方程.

Y—cost

5.（2020.全國.統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為.J?為參數(shù)）.以坐

y-sint

標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4pcos6-160sin6+3=O.

（1）當(dāng)％=1時，G是什么曲線？

（2）當(dāng)k=4時，求CI與C?的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

也模擬檢測,

1.在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的方程為Y+y2-4x=o,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，了軸的正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系.

（1）點(diǎn)p為G上任意一點(diǎn)，若OP的中點(diǎn)。的軌跡為曲線C?,求c?的極坐標(biāo)方程；

⑵若點(diǎn)分別是曲線C1和Cz上的點(diǎn)，S.OM1ON,判斷|aw『+4|ON「是否為定值，若是求出定值，

若不是說明理由.

2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，左軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)

c[x=2+tcos0

方程為「2—2夕cos?！?夕sin?！?=0,直線/的參數(shù)方程為）.八（方為參數(shù)）.

[y=2+Ism”

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)直線/與曲線C交于48兩點(diǎn)，定點(diǎn)尸(2,2),求|四+|冏的最小值.

x=V3(sin0-cos6)

3.在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，曲線C的參數(shù)方程為廠(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為