2025年數學必修1測試題及答案

數學必修1測試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題4分，共16分）

1.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則該函數的圖像是：

A.向上開口的拋物線

B.向下開口的拋物線

C.平行于x軸的直線

D.平行于y軸的直線

2.如果$a+b=7$，$a^2+b^2=37$，那么$a^3+b^3$的值為：

A.40

B.44

C.48

D.50

3.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$x+y=0$的對稱點是：

A.$(-3,-2)$

B.$(-2,-3)$

C.$(3,-2)$

D.$(2,-3)$

4.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1=1$，$S_5=15$，則公差$d$等于：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$等于：

A.1

B.2

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

二、填空題（每題4分，共16分）

6.若$|2x-1|=3$，則$x=$______。

7.若等差數列$\{a_n\}$的首項為$1$，公差為$d$，且$a_3=a_5+2$，則$d=$______。

8.在直角坐標系中，點$(2,-1)$關于點$A(1,0)$的對稱點坐標為______。

9.若函數$f(x)=2x-3$與$x$軸的交點為$(-1,0)$，則該函數圖像是______（向上開口的拋物線、向下開口的拋物線、平行于x軸的直線、平行于y軸的直線）。

10.等比數列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$q^2+3q+2=0$，則該數列的前三項為______。

三、解答題（每題10分，共20分）

11.已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求：

（1）函數$f(x)$的圖像與x軸的交點坐標；

（2）函數$f(x)$的頂點坐標。

12.在等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，求：

（1）數列的前10項和$S_{10}$；

（2）數列的第15項$a_{15}$。

四、解答題（每題10分，共20分）

13.解下列方程組：

$$

\begin{cases}

x+y=6\\

2x-3y=1

\end{cases}

$$

14.某工廠計劃生產一批產品，如果每天生產30件，則比計劃時間少用5天；如果每天生產40件，則正好按計劃時間完成。求原計劃生產的天數和總共需要生產的產品數量。

五、應用題（每題10分，共20分）

15.小明從家出發(fā)前往學校，他可以選擇騎自行車或步行。騎自行車的速度是步行的3倍。小明如果步行全程需要45分鐘，那么他騎自行車全程需要多少時間？

16.某商品的定價為每件200元，根據市場調查，每降價10元，銷量增加20件。如果商家想要在一個月內實現(xiàn)利潤最大，應該將商品降價多少元？

六、證明題（每題10分，共20分）

17.證明：對于任意實數$x$，都有$x^2+2x+1=(x+1)^2$成立。

18.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1=2$，公差$d=3$，證明$S_n=3n(n+1)$。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題4分，共16分）

1.A。因為函數$f(x)=x^2-2x+1$是一個二次函數，其二次項系數為正，所以圖像是向上開口的拋物線。

2.B。根據$a+b=7$，$a^2+b^2=37$，利用平方差公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得到$49=37+2ab$，解得$ab=6$。再根據立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，代入$a+b=7$和$ab=6$，得到$a^3+b^3=7(a^2-6+b^2)=7(37-2ab)=7(37-12)=7\times25=175$。

3.C。點$A(2,3)$關于直線$x+y=0$的對稱點坐標可以通過求解方程組得到。設對稱點坐標為$(x',y')$，則有$\begin{cases}x'+y'=0\\\frac{y'-3}{x'-2}=-1\end{cases}$，解得$x'=-1$，$y'=1$，所以對稱點坐標為$(-1,1)$。

4.A。由等差數列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=1$和$S_5=15$，得到$15=\frac{5}{2}(1+a_5)$，解得$a_5=7$。因為$a_5=a_1+4d$，所以$7=1+4d$，解得$d=2$。

5.B。由等比數列的性質，$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$和$a_3=8$，得到$8=2q^2$，解得$q=2$。

二、填空題（每題4分，共16分）

6.$x=2$或$x=-1$。因為$|2x-1|=3$，所以$2x-1=3$或$2x-1=-3$，解得$x=2$或$x=-1$。

7.$d=2$。由等差數列的性質，$a_3=a_1+2d$，代入$a_1=1$和$a_3=a_5+2$，得到$1+2d=a_5+2$，又因為$a_5=a_1+4d$，所以$1+2d=1+4d+2$，解得$d=2$。

8.$(-3,2)$。點$(2,-1)$關于點$A(1,0)$的對稱點坐標可以通過中點公式求得，即中點坐標為$(\frac{2+(-3)}{2},\frac{-1+2}{2})=(-1,0.5)$，所以對稱點坐標為$(-3,2)$。

9.平行于x軸的直線。因為函數$f(x)=2x-3$是一個一次函數，其斜率為2，所以圖像是一條斜率為正的直線，且與x軸平行。

10.2,4,8。由等比數列的性質，$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$和$a_3=8$，得到$8=2q^2$，解得$q=2$，所以前三項為2,4,8。

三、解答題（每題10分，共20分）

11.

（1）$f(x)=x^2-4x+3$與x軸的交點坐標為$(1,0)$和$(3,0)$。

（2）函數$f(x)$的頂點坐標為$(2,-1)$。

12.

（1）$S_{10}=\frac{10}{2}(3+3+9)=45$。

（2）$a_{15}=3+14\times2=31$。

四、解答題（每題10分，共20分）

13.

$$

\begin{cases}

x+y=6\\

2x-3y=1

\end{cases}

$$

解得$x=3$，$y=3$。

14.設原計劃生產的天數為$t$天，總共需要生產的產品數量為$n$件。根據題意，有$\begin{cases}30(t-5)=n\\40t=n\end{cases}$，解得$t=10$，$n=400$。

五、應用題（每題10分，共20分）

15.小明步行全程需要45分鐘，騎自行車全程需要的時間是步行時間的$\frac{1}{3}$，所以騎自行車全程需要的時間是$45\div3=15$分鐘。

16.設商品降價$x$元，則銷量增加$2x$件?？偫麧櫈?(200-x)(200+2x)$，求導得利潤最大值時的$x$值為$-100$，所以商品應該降價$100$元。

六、證明題（每題10分，共20分）

17.證明：對于任意實數$x$，都有$x^2+2x+1=(x+1)^2$成立。

證明：左邊$x^2+2x+1$可以寫成$(x+1)^2$，所以左邊等于右邊，原式成立。

18.證明：已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1=2$，公差$d=3$，證明$S_n=3n(n+1)$。

證明：由等差數列的性質，$a_n=a_1+(