等腰等邊三角形的性質(zhì)與判定（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)突破

專(zhuān)題18等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定

1.（2021?本溪中考）如圖，在△NBC中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線(xiàn)AD與/C交于點(diǎn)E,點(diǎn)廠(chǎng)

為的中點(diǎn)，連接ER若BE=AC=2,則△（7斯的周長(zhǎng)為（）

C.述+1D.4

解：由圖中的尺規(guī)作圖得：8E是/N8C的平分線(xiàn),

'：AB=BC,

J.BEYAC,AE=CE=1AC=\,

2

AZBEC=90°,

：'BC=VBE24CE2=722+12=返

:點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)，

/.EF=1.BC=BF=CF,

2

：./XCEF的周長(zhǎng)=CF+E尸+CE=C尸+3/+?！?=80+?！?遍+1,

答案：C.

2.（2020?綿陽(yáng)中考）在螳螂的示意圖中，AB//DE,△N3C是等腰三角形，ZABC=n4°,ZCDE=72°,則/

4CD=()

解：延長(zhǎng)即，交/C于尸，

：△NBC是等腰三角形，ZABC=124°,

.?.//=N/CB=28°,

'CAB//DE,

：.ZCFD=ZA=28°,

ZCDE=ZCFD+ZACD=72°,

:?/ACD=72°-28°=44°，

3.（2020?南充中考）如圖，在等腰中，8。為N45C的平分線(xiàn)，ZA=36°,AB=AC=a,BC=b,則CD

A.海B.a-bC.a-bD.b-a

22

解：???在等腰△ZBC中，為N48C的平分線(xiàn)，NZ=36°,

ZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=/A,

；?BD=AD,

：.ZBDC=ZA+ZABD=72°=NC,

:?BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：.CD=AC-AD=a-b,

答案：C.

4.（2021?益陽(yáng)中考）如圖，AB//CD,為等邊三角形，NDCE=40：則NE45等于（

D

A.40°B.30°C.20°D.15°

解：'JAB//CD,

.,./Z>C4+NC48=180°,即180°,

:△NCE為等邊三角形，

:.NECA=/EAC=60°,

：.ZEAB=180°-40°-60°-60°=20°.

答案：C.

5.（2021?朝陽(yáng)中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,4）,過(guò)點(diǎn)朋?作

//x軸，點(diǎn)尸在射線(xiàn)MN上，若4MAP為等腰三角形，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為—（處，4）或（、所，4）或（10,

4）.

解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,4）,

：.PM=x,PA=yJ42+（5-x）2,

?；PM=PA,

AX=V42+（5-X）2,解得:"=需

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（處，4）；

10

..MP=x,MA=4+52=441，

'CMP^MA,

"'?x="^41）

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（丁品，4）；

@AM=AP,

,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,4）,

■'?^P=I/42+（X-5）2,MA=742+52=

;AM=AP,

,,742+（x-5）2="4〉解得：肛=10,X2=O（舍去），

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（10,4）；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（處，4）或（FL4）或（10,4）.

10

答案：（21,4）或（Jii，4）或（10,4）.

10

6.（2021?婁底中考）如圖，ZUBC中，AB=AC=2,P是8c上任意一點(diǎn)，PEL4B于點(diǎn)、E,PF_LNC于點(diǎn)尸，若S

解：如圖所不，連接4a貝尸

?：PEL4B于點(diǎn)、E,尸7LL/C于點(diǎn)R

???S“CP=LCXPF,SMBP=L1BXPE,

22

又YS。BC=1，AB=AC=2,

，1=1CxPF+XABXPE,

22

即1=LX2XPF+工X2XPE,

22

：.PE+PF=\,

答案：L

7.（2020?恩施州中考）如圖，直線(xiàn)/1〃小點(diǎn)/在直線(xiàn)/i上，點(diǎn)8在直線(xiàn)，2上，AB=BC,ZC=30°,Zl=80

°,則N2=40°.

解：如圖，延長(zhǎng)C3交A于點(diǎn)

:AB=BC,ZC=30°,

.*.ZC=Z4=30°,

\'li//l2,Zl=80°,

.,.Zl=Z3=80°,

VZC+Z3+Z2+Z4=180°,即30°+80°+Z2+300=180°,

/.Z2=40°.

答案：40°.

8.（2020?臺(tái)州中考）如圖，等邊三角形紙片4BC的邊長(zhǎng)為6,E,尸是邊2C上的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,尸沿著

平行于A4,。方向各剪一刀，則剪下的△DE4的周長(zhǎng)是6

解：?..等邊三角形紙片N8C的邊長(zhǎng)為6,E,尸是邊3c上的三等分點(diǎn)，

：.EF=2,

,.?△45C是等邊三角形，

/.ZB=ZC=60°,

又；DE〃AB,DF//AC,

：.ZDEF=ZB=60Q,ZDFE=ZC=60°,

；.△￡）斯是等邊三角形，

...剪下的△￡>￡尸的周長(zhǎng)是2X3=6.

答案：6.

9.（2020?丹東中考）如圖，在四邊形/BCD中，ABLBC,ADLAC,AD=AC,/BAD=105，點(diǎn)￡和點(diǎn)尸分別

是ZC和CD的中點(diǎn)，連接BE,EF,BF,若CD=8,則△?￡尸的面積是.

解：過(guò)點(diǎn)E作于H.

"：AD=AC,ZDAC=90a,CD=8,

AD—AC—4-72'

,:DF=FC,AE=EC,

:.EF=^AD=2M，EF//AD,

:./FEC=NDAC=9Q°,

VZABC=90°,AE=EC,

：.BE=AE=EC=2yf2,

：.EF=BE=2-/2,

VZBAD^105°,ZDAC^90°,

：.ZBAE=105°-90°=15°,

；./EAB=/EBA=15°,

:.NCEB=NEAB+/EBA=3T,

；.NFEB=90°+30°=120°,

/.ZEFB=ZEBF=30°,

'：EH1BF,

:.EH=1￡F=弧,FH=J^H=4^,

2

:.BF=2FH=2奉）,

?,-S&EFB=/BF?EH=守2述義&=2逐

答案：273.

10.（2019?哈爾濱中考）如圖，在四邊形/BCD中，AB=AD,BC=DC,ZA=6Q°，點(diǎn)￡為ND邊上一點(diǎn)，連接

BD、CE,CE與BD交于點(diǎn)、F,MCE//AB,若N8=8,CE=6,則BC的長(zhǎng)為.

A

解：如圖，連接4。交于點(diǎn)。

u

：AB=ADfBC=DC,ZA=60°,

???ZC垂直平分助，ZUBD是等邊三角形

AZBAO=ZDAO=30°,AB=AD=BD=8,

BO=OD=4

■:CE〃AB

：.ZBAO=ZACE=30°,ZCED=ZBAD=60°

：.ZDAO=ZACE=30°

:?AE=CE=6

：.DE=AD-AE=2

'：ZCED=ZADB=60°

???△瓦＞/是等邊三角形

：?DE=EF=DF=2

：.CF=CE-EF=4,OF=OD-DF=2

℃=JcF2_0F2=2?

AJ8C=VBO2-H3C2=2^

11.（2021?紹興中考）如圖，在中，N4=40°,點(diǎn)、D,￡分別在邊48,4。上，BD=BC=CE,連結(jié)CD,

BE.

(1)若N/8C=80°,求/BDC,的度數(shù)；

(2)寫(xiě)出N5￡C與N5QC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：(1)VZABC=80°,BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=1.(180°-80°)=50。，

2

VZA+ZABC+ZACB=180°,N/=40°,

AZACB=1SO°-40°-80°=60°,

,:CE=BC,

???△BCE是等邊三角形，

；?NEBC=60°,

；?NABE=NABC-NEBC=80°-60°=20°；

(2)N5EC與NBZ)C之間的關(guān)系：/BEC+NBDC=110°,

理由：設(shè)NBEC=a,ZBDC=^,

在中，a=N4+N45￡=40。+/ABE,

■:CE=BC,

:?/CBE=/BEC=a,

：./ABC=/ABE+/CBE=ZA+2ZABE=40°+2NABE,

在△5DC中，BD=BC,

：.ZBDC+ZBCD+ZDBC=2^+40°+2N/BE=180°,

???B=70°-Z.ABE,

???a+0=4O°+NABE+70。-ZABE=H0°,

ZBEC+ZBDC=U0°.

12.(2021?淄博中考)如圖，在△ZBC中，N43C的平分線(xiàn)交4C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作?！辍?。交43于點(diǎn)￡.

(1)求證：BE=DE；

(2)若乙4=80°,NC=40°,求N5DE的度數(shù).

解：(1)證明：在△/8C中，NA8C的平分線(xiàn)交/C于點(diǎn)。，

/.ZABD=ZCBD,

,JDE//BC,

：./EDB=NCBD,

：./EBD=/EDB,

:.BE=DE.

(2)；//=80°,ZC=40°

AZABC=60°,

,/ZABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D,

：.ZABD=ZCBD=^-ZABC=-30°,

2

由(1)知/EDB=NEBD=30°,

故NBDE的度數(shù)為30°.

13.(2021?合肥模擬)如圖，在△48C中，BA=BC,。在邊C8上，^DB=DA=AC.

(1)如圖1,填空12=36°,NC=72°；

(2)若M為線(xiàn)段8c上的點(diǎn)，過(guò)M作直線(xiàn)于〃，分別交直線(xiàn)48、AC與點(diǎn)、N、E,如圖2

①求證：△MVE是等腰三角形；

②試寫(xiě)出線(xiàn)段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

「X

BDC乂

圖(1)圖

解：(1)?：BA=BC,A

：.ZBCA=ZBAC,

?：DA=DB,

/BAD=NB,

9

：AD=ACf

：.ZADC=ZC=ZBAC=2ZB,

：.ZDAC=ZB,

VADAC+ZADC+ZC=180°,

???2N5+2NB+N5=180°,

AZB=36°,ZC=2ZB=72°,

答案：36；72；

(2)①在△4Z)B中，,:DB=DA,/B=36°,

：?NBAD=36。,

在△4CQ中，9：AD=AC,

：.ZACD=ZADC=72°,

：.ZCAD=36°,

：?NBAD=NCAD=36°,

9：MH.LAD,

：.ZAHN=ZAHE=90°,

:./AEN=/ANE=54°,

即是等腰三角形；

@CD=BN+CE.

證明：由①知

又?：BA=BC,DB=AC,

：.BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,

：.BN+CE=BC-BD=CD,

即CD=BN