反比例函數(shù) 學(xué)案（含答案）-2025年陜西中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材梳理

第4節(jié)反比例函數(shù)

（6年6考,3分）

?命題分析

從近6年陜西中考的考試內(nèi)容來看，反比例函數(shù)的考查均出現(xiàn)在填空題.考查形式包括:①

己知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求含有點(diǎn)坐標(biāo)

的代數(shù)式的值;②已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，利用一元二次方程根的判別式

或利用線段間的數(shù)量關(guān)系求表達(dá)式.

【回歸教材?過基礎(chǔ)】

【知識(shí)體系】

待定系數(shù)法利用左的幾何特點(diǎn)所在象限增減性對稱性比例系數(shù)上

求表達(dá)式意義求表達(dá)式的幾何意義

【知識(shí)清單】

知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的概念檢專

（定義：y=-（k為常數(shù),kwO）

反比例函數(shù)《x.

（表達(dá)形式:y=-或y=kx-i或xy=k

知識(shí)點(diǎn)2反比例函數(shù)的面象與性質(zhì)第春

大而③________大而④________

漸近趨勢圖象無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸⑤_______(x#0,y#0)

中心對稱圖形:關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱

對稱性

軸對稱圖形:關(guān)于直線y=x,y=-x成軸對稱

知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的解析式學(xué)考

反比例函數(shù)的解析式

1.設(shè):設(shè)y=5（k70）

_k

待定系數(shù)法求解析式的步驟卡.代：已知點(diǎn)P(a,b),將坐標(biāo)代入y=不

3.解：解關(guān)于k的一元一次方程

.4.寫：寫出解析式

4.S^PMP=⑦

【真題精粹?重變式】

考向1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.(2021.陜西12題3分)若A(l,yi),B(3,y2)是反比例函數(shù)y上展(m<?圖象上的兩

點(diǎn)，則yi,y2的大小關(guān)系是yiy2.(填“〉”"=”或“<”)

2.(2019?陜西13題3分)如圖,D是矩形AOBC的對稱中心,A(0,4),B(6,0),若一個(gè)反

比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

3.(2024.陜西12題3分)已知點(diǎn)A(-2,yi)和點(diǎn)B(m,y2)均在反比例函數(shù)y=-|的圖象

上.若則yi+y20.（填“〉”"=”或“<”）

；拓展訓(xùn)練:

4.【原創(chuàng)好題】如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=T(x<0)的圖象上,AB〃x軸與y軸交于

點(diǎn)C,且BC=2AC,設(shè)點(diǎn)B(a,。,則k的值為

a

考向2反比例函數(shù)表達(dá)式的確定

5.(2023?陜西12題3分)如圖,在矩形OABC和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸的正

半軸上，點(diǎn)C,F均在x軸的正半軸上，點(diǎn)D在邊BC上,BC=2CD,AB=3.若點(diǎn)B,E在

同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是.

6.若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m,m)和B(2m,-1),則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)

式為.

考向3反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

7.(2020.陜西13題3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-2,l),B(3,2),C(-6,m)分別在三個(gè)

不同的象限.若反比例函數(shù)y=%k和)的圖象經(jīng)過其中兩點(diǎn)，則m的值為.

8.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(m+2,n),(m,-4)及(8,-n),則m+n=.

【核心突破?拓思維】

題型I反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征

部1已知A(m+3,2),B(3,9是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則

m=.

2若點(diǎn)Pi(xi,yi),P2(X2,y2)在反比例函數(shù)y=-|的圖象上，且yi>0>y2,貝Ixi,X2,0的

大小關(guān)系為.

,變式設(shè)問

1.已知反比例函數(shù)y=：的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,m),B(m+3,l),則k的值等于.

2.點(diǎn)(a,yi),(a+2,y2)都在反比例函數(shù)y=gk<0)的圖象上，若yi>y2,則a的取值范圍

是.

方法歸納

kk

若點(diǎn)M(xo,yo)在反比例函數(shù)yq的圖象上，則yo=—,BPxoyo=k.

k

當(dāng)點(diǎn)(Xl,yl),(X2,y2),(X3,y3),...,(Xn,yn)在反比例函數(shù)yq的圖象上時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上

點(diǎn)坐標(biāo)的特征得xiyi=x2y2=X3y3=...=xnyn=k.

題型2反比例函數(shù)圖象的對稱性

部3如圖,A,B是雙曲線y=；上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn),AC〃y軸,BD〃y軸，則

四邊形ACBD的面積為

3.若直線y=kx(k>0)與雙曲線y=|的交點(diǎn)為(xi,yi),(x2,y2),則2xiy2-5x2yi的值

為.

若正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=*曲圖象交于A(xi,yi),B(X2,y2)兩點(diǎn)，則有

xi=-x2,yi=-y2,即兩個(gè)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

題型3反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題

部4若點(diǎn)(a,b)是一次函數(shù)y=-|x+6的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則牌的

值為..

部5如圖，一次函數(shù)y=-x+b的圖象與反比例函數(shù)y=：(k/))的圖象相交于點(diǎn)P,則

關(guān)于x的方程-x+bJ的解是.

X

6一次函數(shù)y=kx+k-l(k和)的圖象與反比例函數(shù)y=：的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

為.

?變式設(shè)問

4.設(shè)函數(shù)y=|的圖象與y=x-l的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則M的值為.

5.如圖，反比例函數(shù)y=/的圖象與一次函數(shù)y=kx-b的圖象交于點(diǎn)P,Q,點(diǎn)P的坐標(biāo)

為(4,1),點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-2,根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程±=kx-b的解

為.

6.若雙曲線y=1與直線y=|x無交點(diǎn)，則k的取值范圍是-----.

方法歸納

(1)判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況：

①聯(lián)立反比例函數(shù)y=：與一次函數(shù)y=mx+n的方程，消去y,整理得一元二次方程

mx2+nx-k=0;

②利用一元二次方程根的判別式A=b2-4ac進(jìn)行判斷.

若AA。,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

若A=0,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)；

若A<0,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象無交點(diǎn).

(2)若反比例函數(shù)y=g的圖象和一次函數(shù)y=mx+n圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則

k=ab,ma+n=b.

題型4借助反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象解決不等式問題

>7如圖，一次函數(shù)y=x-2的圖象與反比例函數(shù)y=§的圖象交于點(diǎn)A(3,l)、點(diǎn)B,

則不等式/x-2<0的解集是.

I變式設(shè)問

7.如圖，一次函數(shù)yi=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=|的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)

yi>y2時(shí)或x>3,則一次函數(shù)的表達(dá)式為.

方法歸納

在判斷分式不等式時(shí)，只需對比相應(yīng)的反比例函數(shù)圖象以及直線位置情況即可，其具體范

圍的分界點(diǎn)即兩個(gè)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

題型5反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象共存問題

18函數(shù)y=kx-l與y=：(k/))在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是

CD

,變式設(shè)問

8.已知ab<0,一次函數(shù)y=ax-b與反比例函數(shù)y=：在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象

可能是()

題型6反比例函數(shù)k值幾何意義的運(yùn)用

[9如圖，直線y=mx與雙曲線y=§交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM_Lx軸,垂足為

M,連接BM,若SAABM=4,則k=.

。如圖，過y軸正半軸上任意一點(diǎn)P,作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)

y=：(x<0)的圖象和y=|(x>0)的圖象交于A點(diǎn)和B點(diǎn),C為x軸上任意一點(diǎn)，連接

AC,BC,若SAABC=3,則k=.

::如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個(gè)小矩形,D,E是CO邊上的三等分

點(diǎn)，反比例函數(shù)y=：(k/))的圖象剛好經(jīng)過小矩形的頂點(diǎn)F,G,若圖中的陰影矩形面

積SI+S2=5,則反比例系數(shù)k的值為.

9.如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=1(x>0)的

圖象上，四邊形ABCD是長方形，則長方形ABCD的面積是.

10.(2024.鐵一中模擬)如圖尸OABC的頂點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上,

點(diǎn)B,C在第一象限，反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,y=：(k/),x>0)的圖象經(jīng)過

點(diǎn)B.若OC=AC,則k=.

(4)已知反比例函數(shù)yq(k>0)與

一次函數(shù)y=mx+n的圖象交于A,B兩

點(diǎn)，且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

(xi,yD,(X2,y2),則

SAAOB=|l(yi+y2)(x2-xi)|.

(5)反比例函數(shù)yi=?與y?=晟的

分支在同一平面直角坐標(biāo)系中,A為

丫尸乜的圖象上一點(diǎn),B為y?=乜的圖

XX

象上一點(diǎn)，且AB〃x軸，點(diǎn)C為X軸上

/工上一占[_lkll+lk2l

任忠一點(diǎn)，則miScAABC=------------

(6)已知反比例函數(shù)%=個(gè)■的圖象

與的圖象均在第一象限中，點(diǎn)A

在反比例函數(shù)yi的圖象上，點(diǎn)B在反

比例函數(shù)y2的圖象上，且AB〃x軸,C

為x軸上任意一點(diǎn)，則

0|ki|-|k2|

ABC=-.

(7)已知反比例函數(shù)與

丫2=亙的圖象如圖所示，點(diǎn)A在反比例

yi=力

X

函數(shù)yi的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)A

y2的圖象上.若OA_LOB,則-coD__>x

OBqik2「

參考答案

回歸教材?過基礎(chǔ)

知識(shí)清單

、三②二、四（f減小◎曾大創(chuàng)目交⑥川⑦2園

真題精粹.重變式

1.<2.（；4）3.<4.35.y=-6.y=-7.-18.-15

2，,□,口

核心突破?拓思維

例1-6解析：：/（加+3,2）石（3?

是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn),.：2（m+3）=3xg,.：機(jī)=6

例2xi<0<%2解析：：％=-2<0,.：圖象在第二、四象限.

:夕\>0>]2,.*X1<O<X2.

變式設(shè)問L62.-2<a<0

例32解析:連接43（圖略）.

:A3是函數(shù)>=（的圖象上關(guān)于原點(diǎn)。對稱的任意兩點(diǎn)，且AC〃丁軸,5?！ā递S，

SAAOC=SLBOD=\,

?：2

假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)5的坐標(biāo)為（-x,-y）,

則OC=OD=x,

「?SAAOD=SLAOC=:,SABOC=SLBOD=^-,

22

?:S四邊形ACB0=SAAOD+S^AOC+S^BOC+SABOD=^X4=2.

變式設(shè)問3.6

例42解析：丁點(diǎn)（a,。）是一次函數(shù)y=-|x+6的圖象與反比例函數(shù)y=|■圖象的交點(diǎn),

2Q

/?b=--a+6,b=—,

3，口，

即35+2〃=18,"=9,

例5=1幽=2

解析：：3=-%+"的圖象與反比例函數(shù)y?（存°）的圖象相交于點(diǎn)尸（1，2）,

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,

得-1+b=2,k=1x2=2,

解得0=3,左=2.

關(guān)于x的方程-%+6=2,即-》+3=：,

解得X1=1,X2=2.

故答案為X1=1,X2=2.

例61或2解析油■[口

(口=□□+口-1,

解得乜^(hl)尤-1=0,

?：/=(hl)2+4Z=F_2左+1+4左=(2+1)220,

?:交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.

變式設(shè)問4.-；5.XI=-2,X2=46.k>2

例7-l<x<0

解析：丁點(diǎn)A(3,l)在反比例函數(shù)廣,的圖象上,."=3x1=3,.：反比例函數(shù)的表達(dá)式

為y=],解x-2=],得XI=3,X2=-1,.：點(diǎn)5(-1,-3),觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象，不等式，<x-2<0