四川省攀枝花市鹽邊縣2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

攀枝花市鹽邊縣2024-2025學(xué)年九年級上期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．試卷滿分150分，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共60分）1.下列二次根式中，能與合并的是（）A B. C. D.2.已知關(guān)于x的一元二次方程有一個非零根，則的值為（）A.1 B. C.0 D.3.下列各式中，一定能成立的是（）A B.C. D.4.如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，若連接格點(diǎn)、，與交于點(diǎn)O，則的值為（）A.1 B. C. D.25.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是（）A.①與③ B.②與③ C.①與④ D.③與④6.一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.7.在一次聚會上，每兩個人之間都互相贈送了一份禮物，若一共送出了90份禮物，則參加聚會的人有（）A.9人 B.10人 C.11人 D.12人8.在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個，能讓燈泡發(fā)光的概率是（）A. B. C. D.9.如圖，線段的端點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，它們相交于點(diǎn)．若每個小正方形的邊長都是1，則的值為（）A B. C. D.210.如圖，將函數(shù)的圖象沿軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點(diǎn)，平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．若曲線段掃過的面積為9（國中的陰影部分），則新圖象的函數(shù)表達(dá)式是（）A. B.C. D.11.如圖，點(diǎn)E是等邊三角形△ABC邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，連接ED，并繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運(yùn)動過程中AF的最小值為，則AB的值為（）A.2 B. C. D.412.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，且，與y軸的交點(diǎn)在上方，有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A.①②③ B.①③④ C.②④⑤ D.①④⑤第II卷（非選擇題）二、填空題（每題5分，共20分）13.函數(shù)中自變量x的取值范圍是____________________________．14.如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面積為3，則△DEF的面積為__．

15.已知一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，，則的值等于__________．16.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知AB＝OA，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧交AB于M，交AC于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③作射線AE交BC于點(diǎn)F，連接DF．若AB＝，則線段DF的長為_____．三、解答題17.計算：18.先化簡，再求值：，其中．19.2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動從綜合實(shí)踐活動課程中獨(dú)立出來．某校為了解該校學(xué)生一周的課外勞動情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查了他們一周的課外勞動時間，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并制成如下統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列的問題：（1）求圖1中的______，本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______h，本次調(diào)查數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______h；（2）若該校共有2000名學(xué)生，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)．估計該校學(xué)生一周的課外勞動時間不小于的人數(shù)．20.“道路千萬條，安全第一條”．為了平安出行，某地區(qū)交警部門提醒市民，騎行需佩戴安全頭盔．某商店8月份銷售安全頭盔個，月份銷售個．（1）求該商店安全頭盔銷售量的月平均增長率；（2）若該安全頭盔的進(jìn)價為元/個，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為元/個時，月銷售量為個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達(dá)到元，并且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元?21.如圖，在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知，求的長．22.如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角為，沿斜坡走到點(diǎn)D，此時從點(diǎn)A到D上升的高度為2米，在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為，且斜坡的坡比為，E、A、C在同一水平線上．（1）求小明從點(diǎn)A走到點(diǎn)D的距離；（2）大樹的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，）23.如圖，AD、BE是△ABC的兩條高，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D交BE于M，F(xiàn)D、AC的延長線交于點(diǎn)N．（1）求證：△BFM∽△NFA；（2）求證：DF2＝FM?FN；（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求線段AC的長．24.如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，3）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)F（0，﹣3），在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．（3）如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M、N都在拋物線對稱軸的右側(cè)），當(dāng)MN最大時，求△PON的面積．

攀枝花市鹽邊縣2024-2025學(xué)年九年級上期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．試卷滿分150分，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共60分）1.下列二次根式中，能與合并的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將各項(xiàng)化為最簡二次根式，然后找出被開方數(shù)為3的最簡二次根式即可得出答案．【詳解】解：A、，不能與合并，故本選項(xiàng)錯誤；B、，能與合并，故本選項(xiàng)正確；C、，不能與合并，故本選項(xiàng)錯誤；D、，不能與合并，故本選項(xiàng)錯誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式和化為最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是正確化簡各項(xiàng)二次根式．2.已知關(guān)于x的一元二次方程有一個非零根，則的值為（）A.1 B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個非零根，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：A3.下列各式中，一定能成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別利用二次根式的性質(zhì)化簡判斷即可．【詳解】解：A.，選項(xiàng)正確，符合題意；B.，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C.，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D.當(dāng)時，原式，選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解二次根式乘法、積的算術(shù)平方根等概念是解答問題的關(guān)鍵．需注意二次根式的雙重非負(fù)性，，．4.如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，若連接格點(diǎn)、，與交于點(diǎn)O，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】如圖，連接，由正方形的性質(zhì)可得：，，，再求解的正切即可.【詳解】解：如圖，連接，由正方形的性質(zhì)可得：，，，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，熟練構(gòu)建需要的直角三角形是解本題的關(guān)鍵.5.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是（）A.①與③ B.②與③ C.①與④ D.③與④【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出所有三角形的邊長，由相似三角形的判定可求解．【詳解】解：圖形①的三邊為：；圖形②的三邊為：；圖形③的三邊為：；圖形④的三邊為：；∵，∴①與③相似，故選：A．6.一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象的綜合．本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致即可判斷．【詳解】解：A、由拋物線可知，，，由直線可知，，，即，，故本選項(xiàng)錯誤；B、由拋物線可知，，，由直線可知，，，即，，故本選項(xiàng)正確；C、由拋物線可知，，，由直線可知，，，即，，故本選項(xiàng)錯誤；D、由拋物線可知，，，由直線可知，，，即，，故本選項(xiàng)錯誤．故選：B．7.在一次聚會上，每兩個人之間都互相贈送了一份禮物，若一共送出了90份禮物，則參加聚會的人有（）A.9人 B.10人 C.11人 D.12人【答案】B【解析】【分析】設(shè)參加聚會的同學(xué)有x人，則每人需贈送出份禮物，根據(jù)所有人共送了90份禮物，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)參加聚會的同學(xué)有x人，則每人需贈送出份禮物，依題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），∴參加聚會的同學(xué)有10人．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8.在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)中的兩個，能讓燈泡發(fā)光的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查列表法求概率，根據(jù)題意列表，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意列表如下．開關(guān)一開關(guān)二由上表可知共有6種等可能結(jié)果，能讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有2種．所以能讓燈泡發(fā)光的概率是．故選：D．9.如圖，線段的端點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，它們相交于點(diǎn)．若每個小正方形的邊長都是1，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．先判定，推出，再求出，，判定，推出．【詳解】解：如圖，，，，，每個小正方形的邊長都是1，，，，，，，．故選：A．10.如圖，將函數(shù)的圖象沿軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點(diǎn)，平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．若曲線段掃過的面積為9（國中的陰影部分），則新圖象的函數(shù)表達(dá)式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】曲線段掃過的面積，則，然后根據(jù)平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：曲線段掃過的面積，則，故拋物線向上平移3個單位，則故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．11.如圖，點(diǎn)E是等邊三角形△ABC邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，連接ED，并繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運(yùn)動過程中AF的最小值為，則AB的值為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】連接BE，延長AC到N，使得，連接FN，證明，得到，即點(diǎn)N在與AN成的直線上運(yùn)動，證明當(dāng)時，有最小值為：，求出，即可得．【詳解】解：連接BE，延長AC到N，使得，連接FN，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)∴，，，∴，，∵∴，即，在和中，∴，∴，∴點(diǎn)N在與AN成的直線上運(yùn)動，∴當(dāng)時，有最小值為：，即：，∴，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明當(dāng)時，有最小值為：，即．12.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，且，與y軸的交點(diǎn)在上方，有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A.①②③ B.①③④ C.②④⑤ D.①④⑤【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性是正確判斷的前提．根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)綜合進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由拋物線的開口向下可得，對稱軸在y軸的左側(cè)，因此，而，，故①正確；∵，∴，∴，故②錯誤；∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，∴，∵，∴，故③正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，且，∴，即二次函數(shù)的對稱軸，∴，故④正確；∵時，，當(dāng)時，，，∴，故⑤錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④，故選：B．第II卷（非選擇題）二、填空題（每題5分，共20分）13.函數(shù)中自變量x的取值范圍是____________________________．【答案】且【解析】【分析】本題考查了函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮∶當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時自變量可取全體實(shí)數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時考慮分式的分母不能為當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時被開方數(shù)非負(fù)根據(jù)分式中分母不等于，二次根式的被開方數(shù)大于或等于，列式求解即可【詳解】解∶根據(jù)題意得解得且故答案為∶x≥-2且14.如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面積為3，則△DEF的面積為__．

【答案】27【解析】【詳解】∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=．∵△ABC的面積為3，∴△DEF的面積為27．15.已知一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，，則的值等于__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)兩根之和等于，兩根之積等于得，，代入算式即可得到答案，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：．16.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知AB＝OA，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧交AB于M，交AC于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③作射線AE交BC于點(diǎn)F，連接DF．若AB＝，則線段DF的長為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形，和AB＝OA，可得△ABO是等邊三角形，由作圖過程可得，AF是∠BAO的平分線，再根據(jù)勾股定理即可求出DF的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝OB＝OD，∵AB＝OA，∴AB＝OA＝OB＝，∴△ABO是等邊三角形，∴∠BAO＝60°，∵AC＝2AO＝2，∴AD＝BC＝＝3，由作圖過程可知：AF是∠BAO的平分線，∴∠BAF＝∠FAC＝30°，∴BF＝AB?tan30°＝1，∴CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，∴DF＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的相關(guān)性質(zhì)，做題時需結(jié)合角平分線、勾股定理和等邊三角形的知識點(diǎn)進(jìn)行求解．三、解答題17.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計算法則正確計算是解題關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的意義，零指數(shù)冪及銳角三角函數(shù)分別化簡，然后進(jìn)行計算．【詳解】解：．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，二次根式的運(yùn)算等知識點(diǎn)，先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將的值代入計算可得，熟練掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．詳解】解：，當(dāng)時，原式．19.2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將勞動從綜合實(shí)踐活動課程中獨(dú)立出來．某校為了解該校學(xué)生一周的課外勞動情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查了他們一周的課外勞動時間，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并制成如下統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列的問題：（1）求圖1中______，本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______h，本次調(diào)查數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______h；（2）若該校共有2000名學(xué)生，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)．估計該校學(xué)生一周的課外勞動時間不小于的人數(shù)．【答案】（1），3，3；（2）1400人【解析】【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，樣本估計總體，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵，條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．（1）用1減去各自的占比即可，最后根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的意義結(jié)合統(tǒng)計圖即可求解；（2）用2000乘以3小時及以上的人數(shù)的百分比即可求解．【小問1詳解】解：，∴，參與調(diào)查的學(xué)生人數(shù)一共有人，將他們的勞動時間從低到高排列，處在第20名和第21名的勞動時間分別為，故中位數(shù)為，由條形統(tǒng)計圖可知，勞動時間為的人數(shù)最多，故眾數(shù)為，故答案為：25，3，3；【小問2詳解】解：（人），答：估計該校學(xué)生一周的課外勞動時間不小于的人數(shù)為1400人．20.“道路千萬條，安全第一條”．為了平安出行，某地區(qū)交警部門提醒市民，騎行需佩戴安全頭盔．某商店8月份銷售安全頭盔個，月份銷售個．（1）求該商店安全頭盔銷售量的月平均增長率；（2）若該安全頭盔的進(jìn)價為元/個，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為元/個時，月銷售量為個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達(dá)到元，并且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元?【答案】（1）該商店安全頭盔銷售量的月平均增長率為（2）該頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為元【解析】【分析】本題考查了列一元二次方程解決實(shí)際問題，準(zhǔn)確理解題意，找出等量關(guān)系且熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)“從4月份到6月份銷售量的月增長率相同”列一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為元/個，“月銷售利潤達(dá)到元”列方程，求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)題意可得：，解得：，（舍去），答：該商店安全頭盔銷售量的月平均增長率為．【小問2詳解】解：設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為元/個，由題意可得：，整理得：，解得：，，∵盡可能讓顧客得到實(shí)惠，∴，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價為元/個．21.如圖，在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)等角的余角相等可得，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）勾股定理求得，由（1）的比例式即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形為矩形，，∴，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵E為的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22.如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角為，沿斜坡走到點(diǎn)D，此時從點(diǎn)A到D上升的高度為2米，在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為，且斜坡的坡比為，E、A、C在同一水平線上．（1）求小明從點(diǎn)A走到點(diǎn)D的距離；（2）大樹的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）米（2）14米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角、仰角、三角函數(shù)的概念等知識是解題的關(guān)鍵．（1）作于，在中，，則．由勾股定理得，即可求出答案；（2）延長交于點(diǎn)G，設(shè)．在中，根據(jù)求出，在中，，則米在中，，則米，即可求得答案．【小問1詳解】解∶作于，如圖所示，在中，，，，，，答：小明從點(diǎn)A到點(diǎn)的距離為米；【小問2詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)G，設(shè)，由題意，得，．在中，，．在中，，，解得．答：大樹的高度約為14米．23.如圖，AD、BE是△ABC的兩條高，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D交BE于M，F(xiàn)D、AC的延長線交于點(diǎn)N．（1）求證：△BFM∽△NFA；（2）求證：DF2＝FM?FN；（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求線段AC的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）由DF與AB垂直，AD、BE為高，利用垂直的定義得到直角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；（2）由（1）相似三角形可得，再利用兩角相等的三角形相似得到△BDF∽△DAF，可得，等量代換即可得證；（3）首先證明△ENM∽△FBM∽△FDB，可得FB=2FM，F(xiàn)D=4FM，根據(jù)（2）的結(jié)論求出FM的長，進(jìn)而求出FB，F(xiàn)D，以及FN的長，再利用△MNE∽△ANF，求出AF，以及AB的長，然后利用勾股定理求出BD的長，即可求出AC的長．【詳解】證明：（1）∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠BAC+∠ABE=90°，∵DF⊥AB，∴∠AFN=∠BFM=90°，∴∠N+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠N，∴△BFM∽△NFA；（2）∵△BFM∽△NFA，∴，∴，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠AFD=∠BFM=90°，∴∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠BAD=90°，∴∠BDF=∠BAD，∴△BDF∽△DAF，∴，∴，∴；（3）∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，∴∠FDB=∠N=∠FBM，∴△ENM∽△FBM∽△FDB，∴，∴，∴，∴FB=2FM，DF=2FB=4FM，∵，∴，∵DN＝12，∴，解得：或0（舍去），∴FB=2，DF=4，F(xiàn)N=DF+DN=16，∵∠AFN=∠MEN=90°，∠N=∠N，∴△MNE∽△ANF，∴，∴，∴，AB=AF+BF=10，在中，，∴，在和中，，∴，解得：．【點(diǎn)睛】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24.如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，3）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)F（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．（3）如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M、N都在拋物線對稱軸的右側(cè)），當(dāng)MN最大時，求△PON的面積．【答