2025年山東省青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級中考模擬數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年山東省青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級中考模擬數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．自2025年1月11日，全球上線以來，這款中國AI應(yīng)用以驚人的速度改寫了行業(yè)格局，1月28日單日下載峰值沖至11040000次，創(chuàng)下全球AI應(yīng)用單日下載量新紀(jì)錄．11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A．元 B．元 C．元 D．元2．如圖所示新能源車企的車標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．4．孔明鎖，亦稱作八卦鎖、魯班鎖，是中國古代民族傳統(tǒng)的土木建筑固定結(jié)合器．如圖是一種孔明鎖的一個組件，則該組件的左視圖為（

）A． B． C． D．5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．6．如圖，在中，切于點，連接交于點，過點作交于點，連接．若，則為（

）A． B． C． D．7．有公共頂點，的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放，連接交正六邊形于點，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．如圖為阿成調(diào)整他的計算機(jī)畫面的分辨率時看到的選項，當(dāng)他從建議選項調(diào)整成時，由于比例改變，畫面左右會出現(xiàn)黑色區(qū)域，當(dāng)比例不變就不會有此問題．判斷阿成將他的計算機(jī)畫面分辨率從調(diào)整成下列哪一種時，畫面左右不會出現(xiàn)黑色區(qū)域?（

）A． B． C． D．9．如圖，正方形ABCD的點A，B點分別在x軸，y軸上，與雙曲線y＝恰好交于BC的中點E，若OB＝2OA，則S△ABO的值為（

）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空題10．．11．某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為克/盒的紅棗，現(xiàn)有甲、乙兩個廠家提供貨源，它們的價格相同，品質(zhì)也相近．質(zhì)檢員從兩廠的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取盒進(jìn)行檢測，測得它們的平均質(zhì)量均為克，每盒紅棗的質(zhì)量如圖所示，則產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家是．（填“甲”或“乙”）12．如圖，已知三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，將向右平移4個單位，得到△，點，，的對應(yīng)點分別為、、，再將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到△，點、、的對應(yīng)點分別為、、，則點的坐標(biāo)為為．13．如圖，扇形中，，點分別在上，連接，點，關(guān)于直線對稱，的長為，則圖中陰影部分的面積為．14．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，，點，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點，點到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為．三、單選題15．如圖，若二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，與軸交于點，與軸交于點A，點，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④（的實數(shù)）⑤若，為函數(shù)圖象上的兩點，則．其中正確的結(jié)論有．四、解答題16．請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，點A為直線外一點，求作，使經(jīng)過點A且與直線相切于點．17．先化簡，再求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．18．設(shè)中學(xué)生體質(zhì)健康綜合評定成績?yōu)榉?，滿分為100分，規(guī)定：為A級，為B級，為C級，為D級．現(xiàn)隨機(jī)抽取某中學(xué)部分學(xué)生的綜合評定成績，整理繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：(1)在這次調(diào)查中，一共抽取了_____________名學(xué)生，____________，級對應(yīng)的扇形的圓心角為_______________度；(2)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在的等級是________________；(3)若該校共有3000名學(xué)生，請你估計該校綜合評定成績?yōu)镈級的學(xué)生有多少名？19．在某次物理實驗中，需要在圖中的1、2、3個位置處安裝3個元件形成電路，現(xiàn)有A、B、C三個元件，其中有一個元件在上一次實驗操作中被燒壞掉，現(xiàn)將三個元件分別任意安裝到1、2、3處；(1)位置1處安裝被燒壞的元件概率為_______；(2)請用合適的方法分析并求出閉合開關(guān)后，小燈泡能亮的概率．20．某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，點D距地面為米．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點A，D轉(zhuǎn)動，且邊始終與邊平行．

(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開至?xí)r，邊上一點P到地面的距離為米，求點P到的距離的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬米，高米．當(dāng)?shù)篱l打開至?xí)r，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）21．《哪吒2魔童鬧海》票房大賣，周邊玩偶熱銷．小洋在網(wǎng)上開設(shè)相關(guān)周邊專賣店，一次，小洋發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一個信息是：A款哪吒玩偶的進(jìn)貨單價比B款哪吒玩偶少5元，花500元購進(jìn)A款哪吒玩偶的數(shù)量與花750元購進(jìn)B款哪吒玩偶的數(shù)量相同．(1)問：A、B兩款的進(jìn)貨單價分別是多少元？(2)小洋決定將A款玩偶的銷售單價定為12元，將B款玩偶的銷售單價定為20元，小洋打算要花費1000元購進(jìn)A、B兩款玩偶若干個，且A款的數(shù)量不小于B款的一半，請你根據(jù)計算說明，當(dāng)A、B兩款各購進(jìn)多少時，小洋獲得的總利潤最高，最高為多少？22．已知：如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點G、H分別是AD、BC的中點，點E、O、F分別是對角線BD上的四等分點，順次連接G、E、H、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)當(dāng)AB與BD滿足條件_________時，四邊形GEHF是矩形．23．問題：如圖，在中，，D是上一點（不與A，B重合），交于點E，連接．設(shè)的面積為S，的面積為．（1）當(dāng)時，______；（2）設(shè)，請你用含字母的代數(shù)式表示．問題：如圖，在四邊形中，，，，E是上一點（不與A，B重合），，交于點F，連接，設(shè)，四邊形的面積為S，的面積為．請你利用問題的解法或結(jié)論，用含字母的代數(shù)式表示．24．施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點距離地面高度為4米．寬度為8米．現(xiàn)以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．(1)求出這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬米、高米的車輛？請通過計算說明；(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”．使點，在拋物線上，點，在地面線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿，，的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．25．已知：如圖，在菱形中，，，動點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，連接，設(shè)運動時間為．(1)延長交于點，若四邊形是平行四邊形，求的值；(2)當(dāng)為何值時，點運動到的垂直平分線上？(3)設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年山東省青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級中考模擬數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678915答案DACDDBCAB①③④1．D【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的一般形式為，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)整數(shù)．據(jù)此確定a的值以及n的值即可．【詳解】解：11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為，故選：D．2．A【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據(jù)此即可解答．【詳解】解：A、原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、原圖既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：A．3．C【分析】利用數(shù)軸與實數(shù)的關(guān)系，及正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的表示求解．【詳解】解：根據(jù)圖形可以得到：，，，則有：，故A正確，不符合題意；，故B正確，不符合題意；，故C錯誤，符合題意；，故D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)軸與實數(shù)的關(guān)系，理解并正確運用是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】本題主要考查幾何體的三視圖，結(jié)合從左邊看物體得到的圖形求解即可．【詳解】解：根據(jù)時間得，該組件的左視圖為：，故選：D．5．D【分析】本題考查了負(fù)整指數(shù)冪，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法與除法，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；B.與不能合并，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項正確，符合題意．故選：D．6．B【分析】連接，根據(jù)與相切易得，在中，已知，可以求出的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出的度數(shù)，最后根據(jù)可得．【詳解】如下圖，連接，∵切于點，∴，在中，∵，∴，∴，又∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，綜合運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角可得、和的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和是求出的度數(shù)．【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角是，∵，∴，正六邊形的內(nèi)角是，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是利用多邊形內(nèi)角和公式求出正多邊形的內(nèi)角度數(shù)．8．A【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，理解題意并掌握比例的化簡是解題的關(guān)鍵．由題意得，當(dāng)比例不變就不會出現(xiàn)黑色區(qū)域，先通過計算將比例化為最簡比得到，再逐個分析選項中給出的分辨率及其比例，若比例化簡后與相等則正確，否則錯誤，通過計算可得只有正確，其余均錯誤，即可得出正確選項．【詳解】解：，由題意得，當(dāng)比例不變就不會出現(xiàn)黑色區(qū)域，，比例不變，故A正確；，比例改變，故B錯誤；，比例改變，故C錯誤；，比例改變，故D錯誤．故選：A．9．B【分析】過點B作x軸的平行線，過點A，C分別作y軸的平行線，兩線相交于M，N，證明△ABM≌△BCN，可得BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，所以點C坐標(biāo)為（2a，a），BC的中點E的坐標(biāo)為（a，1.5a），把點E代入雙曲線y＝，可得a的值，進(jìn)而得出S△ABO的值．【詳解】解：如圖，過點B作x軸的平行線，過點A，C分別作y軸的平行線，兩線相交于M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN，∵∠M＝∠N＝90°，∴△ABM≌△BCN（AAS），∵OB＝2OA，∴設(shè)OA＝a，OB＝2a，則BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，∴點C坐標(biāo)為（2a，a），∵E為BC的中點，B（0，2a），∴E（a，1.5a），把點E代入雙曲線y＝，得1.5a2＝12，a2＝8，∴S△ABO＝＝8，故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形表示出點E的坐標(biāo)．10．3【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，正確求解是解答的關(guān)鍵．先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，再加減運算即可．【詳解】解：，故答案為：3．11．甲【分析】先由題干條件得出兩廠紅棗價格相同，品質(zhì)也相近，平均質(zhì)量相同，再根據(jù)方差判定它們的穩(wěn)定性，越穩(wěn)定的則越符合．【詳解】解：由題可知，它們的價格相同，品質(zhì)也相近，測得它們的平均質(zhì)量均為200克，而由圖形可知，甲廠的紅棗每盒質(zhì)量相對乙廠更加穩(wěn)定，因此甲廠產(chǎn)品更符合規(guī)格要求，故答案為：甲．【點睛】本題考查了方差的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意和圖形，能根據(jù)圖形判定產(chǎn)品的波動性大小并進(jìn)行比較等，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生讀題、審題以及觀察圖形的能力等．12．【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；由平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：，，，將向右平移4個單位，得到△，、、的坐標(biāo)分別為，，，再將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到△，則點的坐標(biāo)為；故答案為：．13．/【分析】連接，，證明為等邊三角形，根據(jù)，求出扇形的半徑，然后求出，，，即可得出答案．【詳解】解：連接，，如圖所示：根據(jù)折疊可知，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，，在中，，，∴，，，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，弧長的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出扇形的半徑．14．【分析】根據(jù)當(dāng)、、三點共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案．【詳解】如圖當(dāng)、、三點共線，距離最小，∵，為的中點，∴，，，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點間的距離線段最短，判斷出距離最短的情況是解題關(guān)鍵．15．①③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象與x軸的交點等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸，與y軸交點在正半軸，可判斷①；由點B坐標(biāo)可判斷②；由拋物線的對稱性求得點A坐標(biāo)，結(jié)合圖象可判斷③；由拋物線的最高點可判斷④；由兩個點與對稱軸的距離，距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小可判斷⑤；進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵圖象開口向下，與y軸正半軸相交，∴，，∵圖象的對稱軸為直線，∴，則，∴，故①正確；∵函數(shù)圖象與軸交于點，∴，故②不正確；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，點，∴圖象與軸另一個交點A的坐標(biāo)為，由圖象得：當(dāng)時，，故③正確；∵圖象的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y取得最大值，∴（的實數(shù)），即（的實數(shù)），故④正確；∵，∴點B離對稱軸比點C遠(yuǎn)一點，∴，故⑤不正確；綜上，正確的結(jié)論有①③④，故答案為：①③④．16．見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作線段垂直平分線的作法、正確理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫圖即可．【詳解】解：①作的垂直平分線．②過點作直線的垂線交的垂直平分線于點．③以點為圓心，長為半徑作，即為所求．17．，當(dāng)時，【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把的值代入化簡后的式子進(jìn)行計算，即可解答．本題考查了分式的化簡求值，一元一次不等式組的整數(shù)解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，該不等式組的整數(shù)解為：，，，，，，當(dāng)時，原式．18．(1)50，24，72；(2)B級；(3)240名．【分析】此題考查了是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?）根據(jù)B級的人數(shù)除以所占的百分比求出抽取的總?cè)藬?shù)，再用A級的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求出a；求出C級的人數(shù)，再用360度乘以C級所占的百分比即可求出扇形統(tǒng)計圖中C級對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；（3）用D級所占的比例乘以該校的總?cè)藬?shù)，即可得出該校D級的學(xué)生數(shù)．【詳解】（1）解：抽取總?cè)藬?shù)為（名），∵，∴；C級人數(shù)為（名），∴級對應(yīng)的扇形的圓心角為，故答案為：50，24，72；（2）解：在這組數(shù)據(jù)中，從小到大排列，第24位和第25位都在B級，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在的等級是B級，故答案為：B級；（3）解：（名），答：該校綜合評定成績?yōu)镈級的學(xué)生有240名．19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣即可得到答案；（2）根據(jù)并聯(lián)電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設(shè)A、B、C中燒壞的元件為A，由此列樹狀圖求解即可．【詳解】（1）解：∵燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣，∴位置1處安裝被燒壞的元件概率為，故答案為：；（2）解：根據(jù)并聯(lián)電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設(shè)A、B、C中燒壞的元件為A，列樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小燈泡能亮的結(jié)果數(shù)有2種，∴小燈泡能亮的概率為．【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算和列樹狀圖或列表法求解概率，熟知概率的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．20．(1)2米(2)能，理由見解析【分析】（1）在中，由，，進(jìn)而求出即可；（2）當(dāng)，米時，求出，與米比較即可得出答案．本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．【詳解】（1）解：如圖，過點作，垂足為，

由題意可知，，米，米，在中，，（米），（米），（米），即點到的距離的長為2米；（2）解：依題意，當(dāng)，米時，且，則，∵點D距地面為米∴（米），（米），（米），，能通過．21．(1)A款的進(jìn)貨單價是10元，則B款的進(jìn)貨單價是15元(2)購進(jìn)A款25個，購進(jìn)B款50個時，獲得的總利潤最高，最高為300元【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)A款的進(jìn)貨單價是元，則B款的進(jìn)貨單價是元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)B款個，先根據(jù)“A款的數(shù)量不小于B款的一半”求得；再設(shè)總利潤為，則，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A款的進(jìn)貨單價是元，則B款的進(jìn)貨單價是元，根據(jù)題意，可得，解得，經(jīng)檢驗，是該方程的解，∴，答：A款的進(jìn)貨單價是10元，則B款的進(jìn)貨單價是15元；（2）解：設(shè)購進(jìn)B款個，則購進(jìn)A款個，又A款的數(shù)量不小于B款的一半，，解得：，設(shè)總利潤為，則，，∴隨的增大而增大，當(dāng)取得最大整數(shù)解50時，取得最大值，最大值為，此時，則，答：購進(jìn)A款25個，購進(jìn)B款50個時，獲得的總利潤最高，最高為300元．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接AC，由三角形中位線定理可得，可得，EH=GF，可得結(jié)論；（2）先證明四邊形ABHG為平行四邊形，再證明AB=GH=EF，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵E，O，F(xiàn)分別是對角線BD上的四等分點，∴E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∵G是AD的中點，∴GF為△AOD的中位線，∴，同理，∴，∴四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當(dāng)時，四邊形GEHF為矩形，理由如下：連接GH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，G，H分別是AD，BC的中點，∴AG=BH，，∴四邊形ABHG是平行四邊形，∴GH=AB，∵BD=2AB，，∴AB=BD=EF，∴GH=EF，而四邊形GEHF是平行四邊形，∴四邊形GEHF是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，三角形中位線定理等知識，證明四邊形ABHG是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．23．問題一：（1）；（2）；問題二：【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．問題一：（1）證明，得到，得到