《復變函數(shù)與積分變換》課程實施大綱2（含具體章節(jié)課程安排內(nèi)容）

《復變函數(shù)與積分變換》課程實施大綱

目錄

1.教學理念.....................................................5

2.課程介紹....................................................5

3.教師簡介.....................................................5

4.先修課程....................................................5

5.課程目標.....................................................5

6.課程內(nèi)容....................................................5

6.1課程內(nèi)容概要.................................................6

6.2教學重點、難點、學時安排....................................6

7.教學實施.....................................................7

7.1教學單元一...................................................7

7.2教學單元二...................................................13

7.3教學單元三...................................................18

7.4教學單元四...................................................25

7.5教學單元五...................................................28

7.6教學單元六...................................................34

7.7教學單元七...................................................39

7.8教學單元八...................................................46

7.9教學單元九...................................................52

7.10教學單元十.................................................57

7.11教學單元十一................................................63

7.12教學單元十二...............................................69

7.13教學單元十三...............................................74

7.14教學單元十四...............................................83

7.15教學單元十五...............................................89

7.16教學單元十六...............................................94

7.17教學單元十七...............................................104

7.18教學單元十八...............................................109

7.19教學單元十九...............................................118

7.2()教學單元二十..............................................121

7.21教學單元二H.....................................................................................................128

7.22教學單元二十二.............................................134

8.課程學習要求..............................................139

9.課程考核方式及評分規(guī)則.....................................139

10.學術(shù)誠信規(guī)定..............................................140

11.課堂規(guī)范...................................................141

12.教學合約及學生簽名確認142

1.教學理念

展示知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程;強調(diào)基本概念、基本理論、基本方法的掌

握；注重數(shù)學計算能力、學習能力的提高.

2.課程介紹

《夏變函數(shù)與積分變換》是工科類學校大部分專業(yè)的基礎專業(yè)課程.課

程基礎性強,理論體系比較成熟.復變函數(shù)與積分變換的概念、理論和方法，

特別是積分變換的計算方法，是學生后續(xù)專業(yè)課程學習的基礎和工具.學

習好復變函數(shù)與積分變換的理論和方法，對于進一步的學習和研究有十分

重要的意義和作用.

3.教師簡介

偏微分方程中有很強實際應用背景的雙曲型方程解的存在性、奇異性

等問題的研究.

4.先修課程：高等數(shù)學

5.課程目標

通過本門課程的學習，掌握復變函數(shù)與積分變換的基本概念、基本理論、

基本方法，進一步提高數(shù)學的學習能力、計算能力和應用能力.

6.課程內(nèi)容

6.1課程的內(nèi)容概要：復數(shù)概念和運算的擴展；復變函數(shù)的基本概念和

運算；復變函數(shù)導數(shù)、解析、奇點的概念，判別方法以及常見復變函數(shù)的概

念、性質(zhì)和介紹；復變函數(shù)積分的概念、基本理論和計算方法；復級數(shù)收斂

的概念和判別方法，復變函數(shù)的Taylor展開以及Laurent展開；孤立奇點的

概念及分類，極點級數(shù)的概念及求法，復變函數(shù)在孤立奇點留數(shù)的概念、留

數(shù)的計算規(guī)則，復變函數(shù)積分的留數(shù)計算方法以及留數(shù)方法在定積分計算

中的應用.

函數(shù)的Fourier積分公式;Fourier變換和逆變換的定義；b-函數(shù)的概念

和性質(zhì)，三角函數(shù)的Fourier變換和逆變換;Fourier變換和逆變換的性質(zhì)；函

數(shù)的卷積和卷積定理；應用Fourier變換方法求解微積分方程；L叩lace變換

的概念及常見函數(shù)的Laplace變換；Laplace變換的性質(zhì);應用留數(shù)方法求函

第一講課時/課次：教學日期（學年/學期）

數(shù)的Ltiplace逆變換；Laplace變換函數(shù)的卷積及卷積公式；1電用Laplace變

換方法求解微積分方程.

6.2教學重點、難點：復變函數(shù)積分的基本理論和留數(shù)計算方法是課程

的重點.復變函數(shù)的Laurent展開及留數(shù)方法在積分計算中的應用是課程教

學中的難點.函數(shù)Fourier變換和逆變換、Laplace變換和逆變換的求法;

Fourier變換和Laplace變換的應用等內(nèi)容是課程的重點,也是是課程的難點.

6.3學時安排:45學時

7.課程實施

復數(shù)的表示及運算2/12015-16/1

教學目標

一、熟悉復數(shù)基本代數(shù)運算；

二、了解復數(shù)的幾種表達形式及相關(guān)概念;

三、了解復數(shù)的方塞及方根運算.

教學內(nèi)容

知識點：

一、復數(shù)代數(shù)運算；

二、非零復數(shù)模、輻角、輻角主值的概念；

三、復數(shù)三角形式、指數(shù)形式及Euler公式；

四、復數(shù)方哥及方根運算.

重點：

復數(shù)三角形式、指數(shù)形式.

難點：

復數(shù)方某及方根運算.

教學過程及教學方法

§1.1復數(shù)及其代數(shù)運算

一、復數(shù)的概念

1.虛數(shù)單位.對虛數(shù)單位的規(guī)定：

(1)Z2=-l.(2)，與室數(shù)在一起時,按同樣的法則進行四則運算.

2.復數(shù)：對于任意兩個實數(shù)兌》稱z=x+i)，或Z—+W?為復數(shù)。其中分別稱為

z=的實部和虛部，記作x=Re(z),y=

當x=O,y/0時，z=iy稱為純虛數(shù)；當y=0時，把z=看作實數(shù).復數(shù)是

實數(shù)的推廣.

兩對于復數(shù)4+iy,z2=x2+zy2：=z2o=x2,=y2.

復數(shù)z=x+iy等于零：z=0ox=0,y=0.

說明：兩個都退化成實數(shù)(兩個復數(shù)的虛部同時為零)的復數(shù)可以比較大??；否則,

就不能比較大小.

二、復數(shù)的代數(shù)運算

設兩個復數(shù)Z1=再+小，z2=x2+(y2,貝|J

1.兩復數(shù)的和差：Zj±z2=(^±x!)+/(yl±y2);

2.兩復數(shù)的積：馬?4=(士->2)+7(X1,y2+,3i)-

3.共規(guī)復數(shù)：實部相同而虛部是相反數(shù)的兩個復數(shù)稱為共枕復數(shù)，即

z=x+i)，的共枕復數(shù)5=

例1計算復數(shù)z=x+i)，與其共規(guī)復數(shù)I=x-iy的乘積

解根據(jù)平方差公式，有22=(工+方＞(工一射)=/+)1.

結(jié)論：任何復數(shù)與其共枕的乘積是一個非負實數(shù).

4.共枕復數(shù)的性質(zhì)：

(1)Z|士Z2=Z|±Z”=Z].Z,,-\==\

\Z1)Z?

(2)z=z,ZZ=JC+y2,3

(3)z+z=2Re(z),z-z=2/Im(z).

5.兩復數(shù)的商：

Z_4?z?_x,x+.y,y,；WX一人4

一="一2y2r190-*

Z2^2Z2為+為毛+%

例2復數(shù)3—i的實部Re(3-i)=3,虛部Im(3-i)=-l,共初復數(shù)H=3+l,與其共扼

復數(shù)的乘積：(3-/)3+/=10.

商.\+j_=(l+j)(3—)=(l+i)(3+i)=2+々=1+2Z

3^7=(3-/)P-/)=(3-/)(3+Z)=10=-5-,

例3實數(shù)切取何值時，復數(shù)(“-3加-4)+《“-56-6)

是(1)實數(shù)；(2)純虛數(shù)？

解令x=nr—3m—4,y=nr-5m—6

（1）復數(shù)是實數(shù)，則復數(shù)的虛部），=0,由/-5m-6=0有機=6或加=一1.

（2）復數(shù)是純虛數(shù)，則x=0,），。0,由-3〃?一4=0有〃?=4或〃?=一1.

但由），工0知〃z=T應舍去，所以只有"7=4.

§1.2復數(shù)的幾何表示

1.復平面的定義

任意復數(shù)z=x+iy都與有序?qū)崝?shù)對（％），）一一對應。因此，一個建立了直角坐標系

的平面可以用來表示復數(shù)，通常把坐標系的橫軸稱為實軸或x軸，縱軸稱為虛軸或）,

軸.這種用來表示復數(shù)的平面稱為復平面.

2.復數(shù)的模（或絕對值）

復數(shù)z=x+B，可以用復平面上起點為原點，終點為表示該復數(shù)的點P（x,y）

所對應的向量前來表示。這個向量的長度稱為復數(shù)的模或絕對值，記作

r=|z|=7x2+y2.

對于復數(shù)的模，有匕村蟲|慟，^z=|z|2=|r.

3.復數(shù)的輻角

在復數(shù)z/0時，以正實軸為始邊，表示z的向量而為終邊的角的弧度數(shù)仇稱為

復

數(shù)z的輻角，記作=<9.

注意：任意復數(shù)zwO有無窮多個輻角.若用是復數(shù)z的任一個輻角，則該復數(shù)的

所有輻角4*=向+2"，其中攵是任意整數(shù).

z=0時，輻角沒有定義.

在應用中，為了避免復數(shù)有無窮多個輻角所帶來的不方便，把ZHO的所有輻角中,

滿足條件-不<gW不的一個輻角9。稱為它的輻角主值，記作

4rgz=

復數(shù)輻角主值的確定:

(1)坐標軸上復數(shù)的情形;

(2)坐標象限里復數(shù)的情形：首先根據(jù)復數(shù)點所在象限確定輻角主值的范圍，然后

通過求解直角三角形求出角.

jr

例4arg3=0,Arg3=arg3+2k/r=lk7r\arg(-1)=肛arg(l+/)=—;

arg(5/)=^;arg(-z)=—y；arg(i-

arg(-Vl2-2/)=arg(-2G-2i)=arg2(-V3-i)=arg(-V3-/)=--5乃

~6

4.復數(shù)和差的模的性質(zhì)

k-z2|表示兩個復數(shù)Z”Z2之間的距離，則有三角不等式

國一％||?區(qū)土馬|二㈤+㈤.

5.復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示

利用直角坐標與極坐標的關(guān)系x=rcosS,y=〃sin&復數(shù)可以表示成三角形式:

z=r(cost9+/sini9),

其中尸二|z|,3二4'gz,利用實際應用中，一般取3=wgz.

根據(jù)Euler公式/=cosS+isina復數(shù)可以表示成指數(shù)形式:

z=r-e'9

例5求2=$由生+icosC的三角形式和指數(shù)形式

55

71713兀71.7171.3兀

解sin—=cos=cos—,cos—=sin--=--si-n—,

5105【25)10

3丫

故三角形式為z=cos包+isin包,指數(shù)形式為z=e'歷

1010

§1.3復數(shù)的乘累與方根

一、乘積與商

定理一兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積；兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們

的輻角的和.

定理二兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商；兩個復數(shù)的商的福角等于被除數(shù)

與除數(shù)的輻角之差.

例6已知馬=一(1一/\/5),Z?=sin工一cos^,求Z]z，—.

233z.

.71\.(7r\..

解由Z1=cos^-yl+/sin=cos——+zsin

I6)

、、

71

+/?s,m——71+zsin

I36;

二、事與根

1.n次呆:n個相同復數(shù)z=r(cos9+isin3)的乘積稱為z的n轅，記作z".

對正整數(shù)〃，有

z"=「"(cos+isin

規(guī)定z-"=L，當〃是負整數(shù)是時，上式也成立。

2.n次方根：對于z工0,方程”=z=r(cost9+zsin3)的根w稱為z的〃次方根，記作

w=0則有

S+2女萬..?9+2攵乃

w=<Jrcos------+/sin-------

Inn

其中k=0,1,2,—1.

推導過程如下：由于ZH0,設z=dcQs9+isin”則記2已知，且WHO.

記w=夕(cos°+isino),則有

pn(cos〃0+isinn(p)=r(cos<9+zsinS).

等式兩端同時取模，有p"二匚在正實數(shù)意義下，有夕=底.

在友數(shù)相等的意義下，有cos“°=cosS,sin=sin9則有

八、，<9+2%尸,八.c

〃夕=3+2k兀=0=--------,A：=0,1,2,???.

n

把對應相同角的女去掉，只保留不同的，有女=0,1,2,…，〃-1.

由此得到上述公式.

例7對正整數(shù)〃，化簡（i+/r+（i-z）\

71..71\71..71

解注意到l+i=gcos—+zsin—Lcos+zsin---

44)rI4

則有

（嚏?上稱22c.腰般犍配丁產(chǎn)-。

cEn7i..H7TH7r..n區(qū)

-22cos——+/sin——+cos-----zsin一

4444J

-n冗

=2-2-ccs——

4

例8記方程z2+/=0的兩個根為4,Z2,求|z「z?|的值

解由題意有Z]*2=W7.注意到T=—+/sin-

I2

2k九——2k?！?/p>

2??2itxi

所以z.?z,=cos--------+zsin--------,k=(),I.

,222

71兀

由此得4=+/sin一,），

3冗..3%

=cos—+zsin——=-l+i).

44

則|Z,-Z2|=V2|1-/|=2.

作業(yè)安排及課后反思：

⑴歸納，總結(jié)重要概念，公式和方法.（2）第一章習題：2,6,8,14,15.

本課程使用教材：P2-17

區(qū)域及復變函數(shù)2/22015T6/1

教學目標

一、熟悉區(qū)域、簡單閉曲線等概念；

二、了解復變函數(shù)的概念及特點；

三、了解復變函數(shù)極限的概念及運算法則；

四、掌握復變函數(shù)連續(xù)的概念及性質(zhì).

教學內(nèi)容

知識點：

一、區(qū)域、簡單閉曲線等相關(guān)概念；

二、復變函數(shù)的概念、性質(zhì)；

三、復變函數(shù)極限；

四、復變函數(shù)連續(xù)性.

重點：

區(qū)域、簡單閉曲線、復變函數(shù)、復變困數(shù)極限、復變函數(shù)的連續(xù)性等概念.

難點：

復變函數(shù)極限、連續(xù)的判別方法及運算法則.

教學過程及教學方法

1.4區(qū)域

一、區(qū)域的概念

1.鄰域：復平面上以復數(shù)點4為中心，任意正實數(shù)b為半徑的圓|z-z/v5內(nèi)部所有

點z的集合，稱為％的鄰域.

說明包括無窮遠點8,且滿足忖的所有點的集合，稱為無窮遠點的鄰域.

2.去心鄰域：滿足不等式0<|z-z°kS所有點z的集合，稱為％的空心鄰域.

說明不包括無窮遠點8,且滿足|z|>M的所有點的集合，稱為無窮遠點的空心鄰域.

也表示為Mv|z|vloo.

3.內(nèi)點：如果點％存在一個鄰域是平面點集G的子集，則稱％是G的內(nèi)點.

4.開集：如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點，則稱G為開集.

5.區(qū)域：如果平面點集D滿足以下兩個條件：

(1)。是一個開集；(2)。是連通的，即。中任何兩點都可以用完全屬于。的一

條線連結(jié)起來，

則稱。為一個區(qū)域.

圓域：圓環(huán)域：?<|z-zo|<6都是常用的區(qū)域.

6.邊界點、邊界：設。是復平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P不屬于。，但在戶的任意小

的鄰域內(nèi)總有。中的點，這樣的P點稱為。的邊界點.0的所有邊界點組成。的邊

界.

說明(1)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的；

(2)區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域.

7.有界區(qū)域和無界區(qū)域：如果一個區(qū)域。可以被包含在一個以原點為中心的圓內(nèi)，即

存在何>0,使區(qū)域內(nèi)的每一個點都滿足忖<M,稱。是有界的，否則稱為無界的.

二、單連通域與多連通域

1.連續(xù)曲線：如果x(z)和y(z)4是兩個連續(xù)的實變函數(shù)，則稱方程組：

[X=a<t<b表示的一條平面曲線為連續(xù)曲線.

平面曲線可以有復數(shù)表示：z=z(z)=x(z)+/y(/),a<t<b.

2.光滑曲線：對于上述平面曲線，如果在。工，4力上，/⑺和)，'(。都是

連續(xù)的，且對?的每一個值，有則稱曲線為光滑的.

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段(分段)光滑曲線.

3.簡單曲線：設C:z=z(/),是一條連續(xù)曲線，z(〃)與2(3分別稱為C

的起點和終點.

對于滿足〃的/尸￡有Z(G=Z(幻，則稱Z&)為曲線C的重點.

沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).

如果簡單曲線C的起點和終點重合，即z(a)=z(b),則稱曲線C為簡單閉曲線(自

身不相交).

簡單閉曲線的性質(zhì)：任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成三個互不相交的

點集.

4.單連通域與多連通域的定義：

復平面上的一個區(qū)域。，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內(nèi)部總屬于

就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域，就稱為多連通域.

§1.5復變函數(shù)

1.復變函數(shù)的定義：

設。是復數(shù)z=x+i)，的集合.如果有一個確定的法則使得對集合。中的每一個

復數(shù)z=x+都有一個或幾個復數(shù)“=〃十日與之對應，則稱復變數(shù)卬是z的函數(shù)，

簡稱復變函數(shù)，記作卬=〃z).

2.復變函數(shù)的多值性：

在復變函數(shù)中卬=/(z),如果一個z對應著一個“，的值，則稱函數(shù)是單值的；如

果一個Z對應著兩個或兩個以上卬值，則稱函數(shù)是多值的.

有多值的復變函數(shù)存在，如/(z)=正，/(z)=4rgz.

3.復變函數(shù)與實變函數(shù)之間的關(guān)系：

任何復變函數(shù)卬=/(z)總可以寫成

/(z)=w(x,>')+^(x,50-

因此一個復變函數(shù)對應于兩個二元實變函數(shù).

4.反函數(shù)的定義：

對于復變函數(shù)w=/(z),如果是己知M，，需要去確定z的值，這樣就定義了一個新的

數(shù)z=9(z),稱為w=/(z)的反函數(shù).

§1.6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性

一、函數(shù)的極限

1.函數(shù)極限的定義

設復變函數(shù)卬=/(z)定義在4的去心鄰域Ojz-Zo|<夕內(nèi)，如果對任意給定的

￡>0,存在一確定數(shù)4和一正數(shù)8(￡),使得當O〈|z-Zo|夕)時，成立

|/(Z)-A|<f,

則稱A為/(z)當Z趨向丁Z時的極限.記作

lim/(z)=A.

需要注意的是：在復平面上，ZTZ。的方式是任意的！

2.極限的相關(guān)定理

定理一設〃z)=〃(x,y)+ii，(x,y),A=/+%,z0=x0+^0,則

lim〃(4,)，)=〃()，

lim/(z)=A0J-/、

2%limv(x,y)=v.

-0

定理的作用在于把復變函數(shù)/(z)=〃(x,)，)+w(.*)，)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二

元實變函數(shù)的極限.

定理一若lim/(z),limg(z)存在，則

⑴

-r-0■r-0

⑶.室Hmg(z)wO

X/g(z)limg(z)':T與

L」Zf全

例9設〃=4+無則當Re(￡)=a<0時，有l(wèi)im*=O.

證明由Euler公式，有

ep>=>"小>=d"(cos歷+1sin勿).

根據(jù)定理一，有

lim-=limeatcosht+/limea,sinbt.

注意到〃，/是實數(shù)，則

|cosb/|<1,|sinZ?z|<l,

即cos/sin歷是有界量.

又當Re（0=a<O時，&吧*=0,即當r―時，，“是無窮小量.則有

lime"cosbl=limea,sinbt=0.

JT田

所以當Re（4）=a<0時，㈣/=0.

類似的，當Re（尸）=a>0時,，㈣*二。

例如lim—wQ。，lime（i"=0.

二、函數(shù)的連續(xù)性

1.連續(xù)的定義

如果Hm〃z）=/（z。）,則稱函數(shù)〃z）在點馬連續(xù).

2-*20

如果在區(qū)域。內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱/（z）在。內(nèi)連續(xù).

定理三函數(shù)/卜）=〃（乂田+山（1,），）在4=/+?0連續(xù)

<=>"（X,y）,v（x,y）在一,No）連續(xù)?

所有初等函數(shù)在有定義的點都是連續(xù)的！

定理四（1）在一點z0連續(xù)的兩個函數(shù)/（z）,g（z）的和、差、枳、商（分母在

點與不能為零）在點石也連續(xù)。

（2）如果函數(shù)〃=g（z）在點馬連續(xù)，函數(shù)卬=/（/?）在％=g（z0）連續(xù)，則復合函數(shù)

w=f（g（z））在點％連續(xù).

重要結(jié)論：

⑴有理整函數(shù)（多項式）卬二戶卜尸死篙仔十生三十…+白?在復平面內(nèi)所有點都連續(xù)；

⑵有理分式函數(shù)卬=坐,

其中P（z）,Q（z）都是多項式，在復平面內(nèi)使分母不為零的

Q（z）

點連續(xù).

作業(yè)安排及課后反思：

(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)第一章習題：22,29,30.

本課程使用教材：P17-29

第三講課時/課次：教學日期(學年/學期)

解析函數(shù)2/32015-16/1

教學目標

一、了解復變函數(shù)導數(shù)的概念及求導方法；

二、掌握復變函數(shù)解析的概念以及確定奇點的方法；

三、掌握復變函數(shù)可導、解析的充要條件及條件的應用.

教學內(nèi)容

知識點：

一、復變函數(shù)導數(shù)的概念及求導方法；

二、復變函數(shù)可導、可微、連續(xù)的關(guān)系；

三、復變函數(shù)解析，奇點的概念及確定奇點的方法；

四、復變函數(shù)可導、解析的充要條件及充要條件的應用.

重點：

復變函數(shù)奇點的概念及確定具體函數(shù)奇點的方法.

難點：

復變函數(shù)與實變函數(shù)導數(shù)的差異及復變函數(shù)可導、解析的充要條件.

教學過程及教學方法

§2.1解析函數(shù)的概念

一、復變函數(shù)的導數(shù)與微分

1.導數(shù)的定義：

設復變函數(shù)/(z)定義在區(qū)域。內(nèi)，Zo，z0+Az是。內(nèi)兩點，如果極限

lim

Az

存在，則稱/(z)在可導.這個極限值稱為/(z)在導數(shù).記作

〃Zo+Az)-/(Zo)

r(%)=㈣

Az

在定義中應注意：4+Azf苞(<=>Azf0)的方式是任意的.即z°+Az在區(qū)域。內(nèi)

“Zo+Az)-/(z。)都趨于同一個復數(shù)值.

以任意方式趨于4時，比值

Az

如果函數(shù)/(z)在區(qū)域。內(nèi)處處可導，則稱/(z)在區(qū)域。內(nèi)可導.

例1求/(z)=z2的導數(shù)

解對任意的z,都有

/(z+Az)-〃z)

f'(z)=lim

“'JAz->0Az

=.(小)」

Az

=lim(2z+Az)

=lim2z+limAz

Az->0

=2z.

所以對任意的z,/(z)=z2都可導，且有(Z2)'=2Z.

例2問/(z)=x+2yi是否可導？

解函數(shù)/(z)的實部〃(工,)，)=汽,虛部射(元,)，)=2，根據(jù)上一章的方法可知，實部

和

虛部對任意(尤)，)都連續(xù),則/(z)是復平面上的連續(xù)函數(shù)，而且實部和虛部都是無窮

次可微函數(shù)，由他們所構(gòu)成的復變函數(shù)/(z)是否可導呢?

根據(jù)復變函數(shù)導數(shù)的定義，有

一四=lim”吃〉)二/⑸

Az->0八7Az—>0AA

x+Ar+2(y+A.v)z-x-2yi

=lim

Az->0Az

△x+

=lim

—Av+Ay/

首先設Zo+Az沿著平行于x軸的直線趨于Z,則有

A/(z)[.

rhm——=hm——=I;

內(nèi)->oAz-Ax

再設z0+Az沿著平行于y軸的直線趨于z,則有

4/(z)2A)，i

lim———=lim---=2.

x—oAZA'-?O

由此表明，當q十"沿著不|可方式趨于z時，極限值不|可.由此可知，極限不存在.

所以函數(shù)/(z)在任意z=x+iy的導數(shù)不存在.

2.可導與連續(xù)：

函數(shù)/(z)在4處可導則連續(xù)：但連續(xù)不一定可導.

證根據(jù)可導定義知，Vf>0,王5>0,50<|AZ|<^,有

./(ZO4-A3)-/(ZO)

令夕(及卜“劣+4卜則有

V￡〉0,>0,?0<|Az|<c>,[p（Az）|<￡ohmp（Az）=0

這時

,ZAZ+AZAZ

/(Z0+AZ)-/(Z0)=/(())P()-

所以Rq/(Zo+Az)=/(Zo),即〃z)在與連續(xù).

3.求導法則：

由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致，并且

復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣，因而實變函數(shù)中的求導法則都可

以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來，且證明方法也是相同的.

例3求導

'z+1V(z+l)(z2-2z+3)-(z+l)(z2-2z+3)

<Z2-2Z+3)(Z2-2Z+3)2

(z2-2z+3)-(z+l)(2z-2'|

(Z2-2Z+3)2

_5-z2

=22

(Z-2Z+3)'

4.微分的概念：

復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致.

函數(shù)〃z)可導o可微.

二、解析函數(shù)的概念

1.解析函數(shù)的定義:如果函數(shù)/(z)在％以及4的一個鄰域內(nèi)處處可導，則稱/(z)在

%解析.

如果函數(shù)“Z)在區(qū)域。內(nèi)每一點都解析，則稱“Z)在區(qū)域。內(nèi)解析，或稱“Z)

是區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)，正則函數(shù)).

2.奇點的定義：函數(shù)/(z)不解析的點，統(tǒng)稱為〃z)的奇點.

根據(jù)定義可知：函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析。區(qū)域內(nèi)可導.

但是，函數(shù)在一點處解析與在一點處可導是不等價的.而函數(shù)在一點處解析比在該點

處可導的要求要高得多.

例4研究函數(shù)/(z)=z\g(z)=x+2yi,"(z)=|z『解析性.

解由本節(jié)例1和例3知：在復平面內(nèi)/(z)=z2處處可導，也解析，而

g(z)=x+2yi處處不可導，也不解析.

下面從可導的定義開始來討論a(z)=|zf的解析性.

△〃《)二片+加|2田2

AzAz

Az

(zo+Az)(zo+Az)-zozo

Az

二—…—+江Az

『。誓=螞左=°"（z）=，可導?

(1)若z0=0,則蛀lim

Az

（2）若％工0,假設4+AZ沿著直線＞，-%=6%-不）趨于Z，則

=/一(Vo+AY-，△'+(拓+iy)

Az0A:^二+1？Ay

Ax-ikbx

=不一九十(1)Ax+(x0+%)

Ax+ikkx

l—ik

=/一九+（1-法）&+（同+認）

T+lk

由攵的任意性知，上式在AzfO時的極限不存在.因此,函數(shù)/?（z）=W僅僅在Z°=（）可

導，而在其他點都不可導.根據(jù)復變函數(shù)解析的定義可知，這個函數(shù)在復平面內(nèi)處處

不解析.

定理（1）在同一個點或區(qū)域內(nèi)解析的兩個函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為零的

點）在該區(qū)域內(nèi)解析；

（2）兩個解析函數(shù)的復合函數(shù)解析.

根據(jù)定理可知:

（1）多項式函數(shù)P（z）=%+4z+%z?+…+q；z"在復平面內(nèi)處處解析;

（2）有理分式函數(shù)坐在復平面內(nèi)除了分母為零的點不解析以外，其余點都解析,

Q（z）

分母為零的點：Q（z）=O是有理分式函數(shù)的奇點;

（3）一般分式函數(shù)4a的奇點由三部分構(gòu)成：①分子〃z）的奇點；②分母

g（z）

g(z)的奇點；③分母的零點：g(z)=o.

另外，函數(shù)/(z)在簡單閉曲線C內(nèi)解析o函數(shù)/(z)在C內(nèi)沒有奇點o函數(shù)o

的所有奇點在C外.

§2.2函數(shù)解析的充要條件

一、主要定理

由上一節(jié)例2可知，有的看起來可導的函數(shù)，嚴格應用導數(shù)的定義標準來驗證，

發(fā)現(xiàn)卻處處不可導，所以復變函數(shù)可導或解析所需要的條件較多，要求很高.對于實

部和虛部已經(jīng)分出來了，或者容易分出來的函數(shù)/(z)=〃ay)+a(x,)，)在判斷可導或

解析時，有

定理一定義在區(qū)域。內(nèi)的函數(shù)/(2)=〃(尤)，)+加(尤)，)在點2=工+方可導

<=>在點(x,y),(1)函數(shù)〃(工,)，)#(4,)，)可微；出滿足Cauchy-Riemann方程

-d-u=-d-vd-u-=--d-v-

dxdy'dydx'

定理必要性和充分性的證明.

在定理一的證明過程中可知，若函數(shù)/(2)="(%)，)+立，(尢)，)在點27+加可導，則有

導數(shù)公式：

/，⑵二包+i包二!包+包.

oxdxidydy

定理二定義在區(qū)域。內(nèi)函數(shù)/(2)=〃(尤)，)+小(蒼)，)解析=

在區(qū)域。內(nèi)⑴函數(shù)可微；⑵滿足Cauchy-Riemann方程.

判定函數(shù)解析的方法：

(1)如果直接用求導公式和求導法則在區(qū)域內(nèi)求出了函數(shù)的導數(shù)，則根據(jù)解析函數(shù)

的定義可斷定/(z)在。內(nèi)解析.

(2)對函數(shù)/(z)=w(x,y)+zv(A-,y),如果〃(x,y),u(x,y)在。內(nèi)的各一階偏導存在且

連續(xù)，并滿足Cauchy-Riemann(C-R)方程，則根據(jù)函數(shù)解析的充要條件可斷定了(z)

在。內(nèi)解析.

二、典型例題

例5判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：

(1)/(z)=z,(2)〃z)=e'(cosy+isiny),(3)/(z)=z-Re(z).

解⑴/(z)=z,〃(x,y)=x,v(x9y)=-y.則有

包小包.0,@_0,@二T.

dxdydxdy

由此可知，偏導存在且連續(xù)，在任意點(X,)，)可微，但是不滿足柯西一

黎蛀方程,故/(z)=W在復平面內(nèi)處處不可導，也處處不解析.

(2)f^z)=ex(cosy+isiny),u(x,y)=excosy,u(x,y)=e'siny.則有

dudu.dv.加丫

—=ercosy,—=-exsiny,—=exsiny,—=ecosy.

dxdydxdy

四個偏導數(shù)均處處存在且連續(xù)，故可微，而且也處處滿足C-R方程.則根據(jù)定理可

知，函數(shù)在復平面內(nèi)處處可導，處處解析.且由導數(shù)公式有

(z)=ex(cosy+zsiny)=/(z).

(3)/(z)=z-Re(z)=x'+ixy,=v(x,y)=xy,則

du-duAdvdv

dxdydx'dy

四個偏導數(shù)均處處存在且連續(xù)，故可微.但是僅當x=y=0時，滿足C-R方程，故函

數(shù)/(z)=z-Re(z)僅在z=0處可導，在復平面內(nèi)處處不解析.

例6如果尸(z)在區(qū)域o內(nèi)處處為零，則/(z)在區(qū)域。內(nèi)為常數(shù).

證由已知條件

，(吟+哈熱/。

有卷二^=篙=京二。因此"(x,y)#(x,y)是常數(shù)，則/(z)在區(qū)域。內(nèi)是常數(shù).

作業(yè)安排及課后反思

(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)第二章習題：3,4,6,10.

本課程使用教材：P35-44

第四講課時/課次：教學日期(學年/學期)

初等函數(shù)2/42015-16/1

教學目標

一、掌握幾個常見初等復變函數(shù)的定義及計算公式；

二、掌握初等復變函數(shù)的主要性質(zhì)；

三、掌握Euler公式及其應用.

教學內(nèi)容

知識點：

一、復指數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)；

二、復對數(shù)函數(shù)的定義公式、計算公式及解析性；

三、復三角函數(shù)的定義、性質(zhì)；

四、Euler公式.

重點：

初等復變函數(shù)的定義、計算及解析性質(zhì).

難點：

復對數(shù)函數(shù)的解析性、復三角函數(shù)的計算.

教學過程及教學方法

§2.3初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的定義：ez=ex~,y=ex(cosy+/siny).

2.性質(zhì)

加法定理：/?e2z=e*22；

周期性：。源.=""E二*k是任意整數(shù).

解析性：在復平面解析.

二、對數(shù)函數(shù)

1.定義指數(shù)函數(shù)卬=爐的反函數(shù)，即已知“，，求z稱為對數(shù)函數(shù)，記作:

z=Lnw.

由于對任意z,WHO,則已知的w后指數(shù)形式

w=卜qe,9,3=Argy\\

記未知的2二%+加，則有

何/9母.

對上式兩端取模，并注意到復指數(shù)函數(shù)的周期性，有

[H|=e"=x=In網(wǎng)--eiy=y=3+2k兀、

注意到.9=Arg卬，可記8=Argw.ill此有

=In[H]+滔出爾

按照表示函數(shù)值和自變量所用字母的習慣，有對數(shù)函數(shù)

Lnz=\n\z\+iArgz.

由此可知，(z#O)是無窮多值函數(shù).一般可取對數(shù)上值為

lnz=]n\z\+iargz.

這時有Lnz=Inz+2km.

例7求L〃2,L〃(T)以及相應主值。

解Lfi2=\n\^+iArg2=]n2+2k7riy

L/7(-l)=ln|-l|+泊rg(-1)=lnl+z'(2^+arg(-1))=(2^+1)^/.

主值：加2=In2,/〃(一1)=汨.

例8求解方程=

解由e:-1-/V3=0=>e:=\+i>/3=>z=Ln[\+iyj3^

=z=lnI+i\/5|+i4rg(1+i>/5)=z=ln2+i[2A/r+〃g(l+i\/5)]

71I

=>z=In2+z2k7i+—=>z=\n2+i2k+—Dr,

3I3)

2.性質(zhì)

(1)4?z,)=Lnz14-Lnz2;

⑵Ln—=Lnz]-Lnz^;

z2

⑶上位的各個分支在除去負實軸及原點的復平面內(nèi)解析，且有

(inz)'=—,(L/JZ)*=—.

3.典型問題

⑴函數(shù)史三的奇點？

z+1

⑵函數(shù)皿：+1)在圓。閆二r<1內(nèi)解析嗎?

z2+l11

⑶函數(shù)一二)在單位圓c：|z|=l內(nèi)解析?

Z2+2Z+411

三、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

n,y

1.三角函數(shù)的定義由e=cosy+isiny,e~=cosy-isinyt有

一廠

cosy=----------,siny

2"2i'

把上述函數(shù)中的自變量推廣到復數(shù)，有

ei:+e~iz_eiz-e-iz

sinz

22i'

2.性質(zhì)

⑴根據(jù)定義，有cost=~~—,,所以，|cosz|<l,|sinz|Ml不再成立,除非z取

2

實值.

⑵除了⑴與實值不同以外，復正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有實值時完全相同的性質(zhì),

比如

奇偶性：cos(-z)=cosz,sin(-z)=-sinz.

周期性：cos(z+2^-)=cosz,sin(z+2^-)=sinz.

三角公式：cos2z=cos2z-sin2z,sin2z=2coszsinz.

求導公式：(cosz)=-sinz,(sinz)=cosz.

⑶正弦和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)解析.求等的奇點？

z~+1

3.其他函數(shù)的類似定義

⑴正切，余切函數(shù)：

⑵雙曲正弦，余弦函數(shù)：

作業(yè)安排及課后反思

(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)第二章習題：12,15,18.

本課程使用教材：P45-51

第五講課時/課次：教學日期(學年/學期)

積分概念及基本定理2/52015-16/1

教學目標

一、了解復變函數(shù)積分的概念；

二、熟悉復變函數(shù)積分的性質(zhì)；

三、掌握Cauchy-Goursat基本定理.

教學內(nèi)容

知識點：

一、復變函數(shù)積分概念及存在條件；

二、復變函數(shù)積分的性質(zhì)；

三、直接計算復變函數(shù)積分的典型例題；

四、CauchyGoursat基本定理.

重點：

復變函數(shù)積分的性質(zhì)、Cauchy-Goursat基本定理.

難點：

復變函數(shù)積分概念、Cauchy-Goursat基本定理.

教學過程及教學方法

§3.1復變函數(shù)積分的概念

一、積分的定義

1.有向曲線：

設C為平面上給定的一條光滑（或按段光滑）曲線，如果選定C的兩個可能方向中

的一個作為正方向（或正向），那么我們就把C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲

線.

如果A到B作為曲線C的正向，那么B到A就是曲線C的負向,記為C-.

關(guān)于曲線方向的說明：

在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點，另一個作為終點，除特殊

聲明外，正方向總是指從起點到終點的方向.

簡單閉曲線正向的規(guī)定：如無特殊申明均是指逆時針方向為正方向.

2.積分的定義：

設復變函數(shù)w=/（z）定義在區(qū)域。內(nèi)，C