中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考專題18：多邊形與平行四邊形（講義）

專題十八多邊形與平行四邊形（講義）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考合集考情分析命題點(diǎn)命題形式命題熱度命題特點(diǎn)平行四邊形1.平行四邊形的有關(guān)證明與計(jì)算☆☆☆本專題主要從平行四邊形的性質(zhì)、判定，多邊形的有關(guān)計(jì)算方面命題，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題常見題型為平行四邊形的有關(guān)證明與計(jì)算，要求學(xué)生熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng).多邊形6.多邊形的有關(guān)計(jì)算☆☆講解一：多邊形一、多邊形及其有關(guān)概念名稱概念多邊形在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.凸多邊形畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形正多邊形各個(gè)角都相等、各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.【拓展延伸】（1）多邊形有幾條邊就是幾邊形，且頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、內(nèi)角個(gè)數(shù)均與邊數(shù)相同，外角個(gè)數(shù)是邊數(shù)的2倍.（2）從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出條對(duì)角線，引出的對(duì)角線將邊形分成個(gè)三角形，邊形有個(gè)頂點(diǎn)，共有條對(duì)角線.【易錯(cuò)點(diǎn)津】（1）三角形沒有對(duì)角線.（2）正多邊形必須滿足定義中的兩個(gè)條件：①各個(gè)角都相等；②各條邊都相等.二者不可缺一.如果一個(gè)多邊形的各個(gè)角都相等或每條邊都相等，那么這個(gè)多邊形不一定是正多邊形，如長(zhǎng)方形.二、多邊形的內(nèi)角和內(nèi)容推理過程應(yīng)用方法圖形邊形內(nèi)角和等于.方法1：如圖所示，從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出條對(duì)角線，這條對(duì)角線把邊形分成個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是，所以變形的內(nèi)角和是.（1）已知邊數(shù)，求內(nèi)角和.（2）已知內(nèi)角和，求邊數(shù).（3）已知正邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù).求邊數(shù)和內(nèi)角和.方法2：如圖所示，在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接，把邊形分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得邊形的內(nèi)角和是.方法3：如圖所示，在邊形的一邊上任取一點(diǎn)P與各頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去在點(diǎn)P處的一個(gè)平角，即.【規(guī)律方法】（1）多邊形內(nèi)角和公式的推理過程是將多邊形的內(nèi)角進(jìn)行分割，然后把它們放到三角形中，隨著點(diǎn)P的位置不同所得三角形個(gè)數(shù)也不同，但以上幾種證明方法都是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題進(jìn)行解決.（2）任意多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，且多邊形每增加一條邊，它的內(nèi)角和就增加，正邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是.三、多邊形的外角和內(nèi)容推導(dǎo)過程應(yīng)用多邊形的外角和等于多邊的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加上外角和為，外角和等于（1）已知外角度數(shù)求正多邊形的邊數(shù).（2）已知正多邊形的邊數(shù)求外角度數(shù).【拓展延伸】（1）多邊形的外角和恒等于，與邊數(shù)多少無關(guān).（2）正邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，則每個(gè)外角也相等，其外角和為，所以正邊形的每個(gè)外角度數(shù)都為.（3）正多邊形的內(nèi)角相等，隱含著外角也相等這一條件，利用這種隱含關(guān)系求正多邊形的邊數(shù)比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)要簡(jiǎn)單.命題精練命題形式1多邊形的有關(guān)計(jì)算1.（2024·西藏·中考真題）已知正多邊形的一個(gè)外角為，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵正多邊形的一個(gè)外角為，∴正多邊形的邊數(shù)為，∴這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，故選：B．【題型分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，先求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可得解，根據(jù)多邊形的外角求出邊數(shù)是解此題的關(guān)鍵．2．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方形中，，的延長(zhǎng)線分別交，于點(diǎn)M，N，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵五邊形是正五邊形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，故選：B．3.（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】D解析：，故選：D．4.（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則（）A． B． C． D．【答案】B解析：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為：，而六邊形的內(nèi)角和也為，∴，∴，∵，∴，故選：B．5.（2024·云南·中考真題）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（）A． B． C． D．【答案】B解析：一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于，故選：B．6.（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長(zhǎng)為．【答案】【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和以及弧長(zhǎng)公式，根據(jù)六邊形是正六邊形，根據(jù)正多邊內(nèi)角和等于，求出內(nèi)角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出答案．解析：∵六邊形是正六邊形，∴，∴，故答案為：．7.（2024·青?！ぶ锌颊骖}）正十邊形一個(gè)外角的度數(shù)是．【答案】解析：正十邊形的一個(gè)外角的大小是，故答案為：．講解二：平行四邊形一、平行四邊形的定義1.平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定.2.表示方法：如圖所示，平行四邊形用“”表示，平行四邊形記作“”，讀作“平行四邊形”.【注意】（1）表示平行四邊形時(shí)，一定要按照順時(shí)針或逆時(shí)針方向依次書寫各頂點(diǎn)字母，不能打亂順序；（2）“”作為表示平行四邊形的符號(hào)，其后要緊跟表示平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的字母，不能單獨(dú)使用它來代替“平行四邊形”.3.平行四邊形的基本元素：基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊和，和，和，和，共有四組.對(duì)邊和，和，共有兩組.角鄰角和，和，和，和，共有四組.對(duì)角和,和，共有兩組.對(duì)角線和，共有兩條二、平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學(xué)語言圖示邊平行四邊形的對(duì)邊相等四邊形是平行四邊形，角平行四邊形的對(duì)角相等四邊形是平行四邊形，對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是平行四邊形，【拓展延伸】（1）平行四邊形的每條對(duì)角線都將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形.（2）平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等，每個(gè)小三角形的面積都等于平行四邊形面積的；相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對(duì)值.三、平行四邊形的判定方法判定方法數(shù)學(xué)語言圖形邊兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（或），四邊形是平行四邊形.角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形是平行四邊形.對(duì)角線對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.命題精練命題形式2平行四邊形的有關(guān)證明與計(jì)算1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．若的周長(zhǎng)為12，則的周長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B解析：∵四邊形是平行四邊形，∴O是中點(diǎn)，又∵E是中點(diǎn)，∴OE是的中位線，∴，，∵的周長(zhǎng)為12，，∴，∴的周長(zhǎng)為．故選：B.2．（2024·遼寧·中考真題）如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，若，，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【思路點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由四邊形是平行四邊形得到，，再證明四邊形是平行四邊形，則，即可求解周長(zhǎng)．解析：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴周長(zhǎng)為：，故選：C．3.（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點(diǎn)O，．過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)E，記長(zhǎng)為x，長(zhǎng)為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）A． B． C． D．【答案】C解析：過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵的垂線交于點(diǎn)E，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴∴，由勾股定理可得，，，∴，∴∴即，解得，∴當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式的值不變的是，故選：C4.（2024·貴州·中考真題）如圖，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵是平行四邊形，∴，故選B．5.（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．2【答案】B解析：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．6.（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．小麗的思考過程如下：參考小麗的思考過程，完成推理．【答案】見解析證明：四邊形是平行四邊形，，，同理可得，，∴又，即，又，．7.（2024·湖南·中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在邊上，．請(qǐng)從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問題：