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數(shù)學(xué)試驗(yàn)高等數(shù)學(xué)分冊(cè)1/36理工數(shù)學(xué)試驗(yàn)第2章一元函數(shù)微分法

2/36第2章一元函數(shù)微分法驗(yàn)證性試驗(yàn)試驗(yàn)一初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)二隱函數(shù)與參量函數(shù)導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)三函數(shù)微分試驗(yàn)四導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)試驗(yàn)一初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1.熟悉基本求導(dǎo)公式，掌握初等函數(shù)求導(dǎo)方法2.會(huì)求函數(shù)在給定點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值【試驗(yàn)要求】熟悉，Matlab中求導(dǎo)命令diff4/36輸入方式:（1）求一階導(dǎo)數(shù)

dy=diff(y)或：

dy=diff(y,v)（2）求高階導(dǎo)數(shù)

dy=diff(y,n)或：dy=diff(y,v,n)1.y是被求導(dǎo)函數(shù),是符號(hào)表示式;2.v

是指定對(duì)其求導(dǎo)自變量,是符號(hào)變量.

若函數(shù)表示式中有多個(gè)符號(hào)變量,最好應(yīng)指定

其中某個(gè)為對(duì)其求導(dǎo)自變量,以免犯錯(cuò).3.n

指定求導(dǎo)數(shù)階數(shù);4.dy

是求導(dǎo)輸出結(jié)果,也是符號(hào)表示式.注解:5/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)【試驗(yàn)內(nèi)容】1.求以下函數(shù)導(dǎo)數(shù)(1)(2)【試驗(yàn)過(guò)程】

1.（1）>>symsx>>y=exp(x)*(sin(x)+cos(x));>>diff(y)運(yùn)行結(jié)果：ans=exp(x)*(sin(x)+cos(x))+exp(x)*(cos(x)-sin(x))

即函數(shù)導(dǎo)數(shù)為

6/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)（2）>>symsx>>y=log((x^3+1)/(x^2+1));>>diff(y)運(yùn)行結(jié)果：ans=(3*x^2/(x^2+1)-2*(x^3+1)/(x^2+1)^2*x)/(x^3+1)*(x^2+1)即函數(shù)導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)得7/362.求以下函數(shù)在給定點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值（1）已知函數(shù)，求；2.（1）>>symsx;>>f=1/x;>>f1=diff(f,x);>>ff=inline(f1);>>x=1;>>ff(1)運(yùn)行結(jié)果：ans=-1>>x=-2;>>ff(-2)運(yùn)行結(jié)果：ans=-0.2500

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)8/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)

試驗(yàn)二隱函數(shù)與參量函數(shù)導(dǎo)數(shù)【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1．掌握隱函數(shù)求導(dǎo)方法和步驟2．掌握參量函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)方法和公式【試驗(yàn)要求】熟悉Matlab中解方程命令solve和求導(dǎo)命令diff9/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)【試驗(yàn)內(nèi)容】1.求以下隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)(1)設(shè)，求【試驗(yàn)過(guò)程】1.（1）解法一：>>symsxy;>>f=solve('x^2+y^2-R^2=0',y);>>diff(f,x)運(yùn)行結(jié)果：ans=-1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x

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第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)

即

或說(shuō)明：對(duì)于能從方程中求出函數(shù)顯示形式題能夠采取這種做法。解法二：>>symsxyR;>>f=x^2+y^2-R^2;>>f1=diff(f,x);>>f2=diff(f,y);>>-f1/f2運(yùn)行結(jié)果：ans=-x/y

即

說(shuō)明：對(duì)于不能從方程中解出函數(shù)顯示形式題要采取這種做法。11/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)2.求以下參量函數(shù)導(dǎo)數(shù)（1）已知，求2.(1)>>symst;>>x=t^2;>>y=4*t;>>f=diff(y,t);f1=diff(x,t);>>f2=f/f1運(yùn)行結(jié)果：f2=2/t

即12/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)

試驗(yàn)三函數(shù)微分【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1.知道函數(shù)求導(dǎo)與微分關(guān)系2.會(huì)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分【試驗(yàn)要求】熟悉Matlab中求導(dǎo)命令diff，賦值命令inline.13/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)【試驗(yàn)內(nèi)容】1.求以下函數(shù)微分（1）;【試驗(yàn)過(guò)程】1.（1）>>symsx;>>f=log(sin(x));>>f1=diff(f,x)運(yùn)行結(jié)果：f1=cos(x)/sin(x)即：14/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)

試驗(yàn)四導(dǎo)數(shù)應(yīng)用【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1.會(huì)寫(xiě)函數(shù)Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函數(shù)極值和最值方法3.知道一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)幾何意義【試驗(yàn)要求】熟悉Matlab中求Taylor展開(kāi)式命令taylor，以及求極值方法15/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)【試驗(yàn)內(nèi)容】1.求函數(shù)Taylor展開(kāi)式，并在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)及函數(shù)展開(kāi)式圖形（1）將函數(shù)在處展開(kāi)到第5項(xiàng)；【試驗(yàn)過(guò)程】1.（1）>>symsx;>>f=sin(x);>>y=taylor(f,pi/2,6)運(yùn)行結(jié)果：y=1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^416/36再畫(huà)出函數(shù)與展開(kāi)式圖形：>>x=linspace(-2,2,60);>>f=sin(x);>>y=1-1/2*(x-1/2*pi).^2+1/24*(x-1/2*pi).^4;>>plot(x,f,x,y)運(yùn)行結(jié)果：圖2-1函數(shù)與其Taylor展開(kāi)式對(duì)比圖

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)17/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)2.求函數(shù)極值;>>symsx;>>y=2*x^3-3*x^2;>>f1=diff(y,x);>>f1=diff(y)運(yùn)行結(jié)果：f1=6*x^2-6*x>>[x0]=solve(f1)18/36

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果：x0=01>>f2=diff(f1,x)運(yùn)行結(jié)果：f2=12*x-6>>ff=inline(f2)>>ff(x0)運(yùn)行結(jié)果：ans=-66由此可知：函數(shù)在點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)為-6，所以0為極大值；函數(shù)在點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)為6，所以-1為極小值。19/363.求圓過(guò)點(diǎn)（2，1）切線方程。>>symsxy;>>f=(x-1)^2+(y+3)^2-17;>>f1=diff(f,x);>>f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);>>ff=-f1/f2運(yùn)行結(jié)果：ff=(-2*x+2)/(2*y+6)>>f3=inline(ff)；>>f3(2,1)運(yùn)行結(jié)果：ans=-0.2500所以切線方程為

第2章一元函數(shù)微分法—驗(yàn)證性試驗(yàn)20/36第2章一元函數(shù)微分法設(shè)計(jì)性試驗(yàn)試驗(yàn)一最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題試驗(yàn)二效果最正確問(wèn)題試驗(yàn)三相關(guān)改變率21/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)試驗(yàn)一最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1.加深對(duì)微分求導(dǎo)，函數(shù)極值等基本概念了解2.討論微分學(xué)中實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題3.會(huì)用Matlab命令求函數(shù)極值【試驗(yàn)要求】掌握函數(shù)極值概念，Matlab軟件中相關(guān)求導(dǎo)命令diff22/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)【試驗(yàn)內(nèi)容】

某房地產(chǎn)企業(yè)擁有100套公寓當(dāng)每套公寓月租金為1000元時(shí)，公寓全部租出。當(dāng)月租金每增加25元時(shí)，公寓就會(huì)少租出一套。1.請(qǐng)你為企業(yè)月租金定價(jià)，使得企業(yè)收益最大，并檢驗(yàn)結(jié)論2.若租出去公寓每個(gè)月每套平均花費(fèi)20元維護(hù)費(fèi)，又應(yīng)該怎樣定價(jià)出租，才能使企業(yè)收益最大【試驗(yàn)方案】1.方法一：設(shè)每套公寓月租金在1000元基礎(chǔ)上再提升x元，每套租出公寓實(shí)際月收入為()元，共租出()套。23/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)

收益R(X)=()()(0≤x≤2500)R′(x)=令R′(x)=0，解得駐點(diǎn)=750。

R″(x)=

<0，故R(x)在=750處取得極大值。在[0,2500]上只有一個(gè)駐點(diǎn)，故R（x）在=750處取最大值。即每套公寓月租金為1750元時(shí)，才能使企業(yè)收益最大。檢驗(yàn)：x=1750元，少租出

=30套，實(shí)際租出70套，企業(yè)有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出時(shí)企業(yè)租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：設(shè)每套公寓月租金為x元，少租出套，實(shí)際租出

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第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)套收益R(x)=x()(1000≤x≤3500)

R′(x)=令R′(x)=0，解得駐點(diǎn)=1750(每套公寓租金)檢驗(yàn)討論如方法一。2.設(shè)每套公寓月租金在1000元再提升元，每套租出公寓實(shí)際月租金收入是(1000+x-20)元，共租出套收益R(x)=()()(0≤x≤2500)

25/36令R′(x)=0，解得駐點(diǎn)x=760。R″(x)=<0，故R(x)在=760處取得極大值。在[0,2500]上只有一個(gè)駐點(diǎn)，故R（x）在=760處取最大值。即每套公寓月租金為1760元時(shí)，才能使企業(yè)收益最大?！驹囼?yàn)過(guò)程】(1)方法一>>f=inline('-(1000+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-(1000+x)*(100-x/25)a=750x=122500

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)26/36方法二>>f=inline('-x*(100-(x-1000)/25)')>>a=fminbnd(f,1000,3500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750x=122500(2)>>f=inline('-(980+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)f=Inlinefunction:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)27/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)試驗(yàn)二效果最正確問(wèn)題【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1.利用積分概念、函數(shù)最大值(最小值)理論，處理實(shí)際最優(yōu)化問(wèn)題2.掌握符號(hào)求導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用3.熟悉Matlab命令求函數(shù)積分，解代數(shù)方程【試驗(yàn)要求】掌握函數(shù)最大值(最小值)理論，Matlab軟件求導(dǎo)命令、解方程命令28/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)【試驗(yàn)內(nèi)容】

洗過(guò)衣服含有洗衣粉殘液，現(xiàn)用總量為Am3清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有am3洗衣粉殘液。若要求漂洗兩遍，問(wèn)怎樣分配水兩次用水量，才能使漂洗效果最正確？【試驗(yàn)方案】

設(shè)第一次用水量為xm3，則第二次用水量為(A-x)m3。并設(shè)漂洗前衣服上含有am3洗衣粉殘液中洗衣粉占bm3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比為，將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比為

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第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為兩次漂洗后效果最正確就是漂洗后殘液中洗衣粉含量最小，為此只要求

g(x)=(a+x)(a+A-x)(0<x<A)最大值。g′(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g′(x)=0解得因g″(x)=-2<0，故g()=(a+)2為最大。所以，將Am3清水平分為兩次使用可使漂洗效果最正確。30/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)【試驗(yàn)過(guò)程】>>symsxaA>>f=(a+x)*(a+A-x);>>b=diff(f,x);>>solve(b)ans=1/2*A31/36

第2章一元函數(shù)微分法—設(shè)計(jì)性試驗(yàn)試驗(yàn)三相關(guān)改變率【試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】1.加深對(duì)復(fù)合函數(shù)、相關(guān)改變率了解2.經(jīng)過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)用微分知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題3.熟悉Matlab命令求復(fù)合