專題01 集合新定義問(wèn)題（教師版）

高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)專題01集合新定義問(wèn)題以集合為背景的創(chuàng)新問(wèn)題是考試創(chuàng)新題型的一個(gè)熱點(diǎn)，此類問(wèn)題多以“問(wèn)題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，常在創(chuàng)新集合定義、運(yùn)算、性質(zhì)等方面命題，考查考生理解問(wèn)題、解決創(chuàng)新問(wèn)題的能力．題型一與集合定義有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題【例1】若對(duì)任意，均有，就稱集合是伙伴關(guān)系集合．設(shè)集合，則的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．16 C．32 D．128【答案】A【解析】根據(jù)題意，可得具有伙伴關(guān)系的元素有，其中有，共4組，它們中任選一組、二組、三組或四組均可組成伙伴關(guān)系集合，所以共有.故選：A.【解題技法】與集合新定義有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題是通過(guò)重新定義相應(yīng)的集合，對(duì)集合的知識(shí)加以深入地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)，來(lái)解決新定義的集合創(chuàng)新問(wèn)題，遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)；按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．【跟蹤訓(xùn)練】若對(duì)任意，，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，但無(wú)意義，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，但，不符合題意，故C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)任意，均有，符合題意，故D正確；故選：D.題型二與集合運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題【例2】如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，則,，由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，所以.故選D【解題技法】與集合運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．【跟蹤訓(xùn)練】（2024·廣東珠海高一期末）對(duì)于的兩個(gè)非空子集，定義運(yùn)算，則（

）A．B．C．若，則D．表示一個(gè)正方形區(qū)域【答案】BC【解析】由題意知，表示以數(shù)集中的數(shù)為橫坐標(biāo)，數(shù)集中的數(shù)為縱坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，故，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，則B正確；若，則，故C正確；若，集合只包含一個(gè)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：BC．題型三與集合性質(zhì)有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題【例3】設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)于任意，都有，且若，則，則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定是數(shù)域D．?dāng)?shù)域中有無(wú)限多個(gè)元素【答案】AD【解析】因?yàn)镻是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，可知P中必有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，、，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，，但，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，取，，但，所以數(shù)集M不是一個(gè)數(shù)域，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：數(shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)，根據(jù)數(shù)域的性質(zhì)可知：數(shù)域必含有，必為無(wú)限集，故可知D正確．故選：AD.【解題技法】與集合性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問(wèn)題．【跟蹤訓(xùn)練】在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下三個(gè)結(jié)論：①2023∈[3]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①③【解析】①∵2023÷5＝404……3，∴2023∈[3]，故①正確；②∵－3＝5×(－1)＋2，∴－3?[3]，故②錯(cuò)誤；③∵整數(shù)集中的數(shù)被5除的余數(shù)可以且只可以分成五類，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正確．題型四與數(shù)列交匯的創(chuàng)新問(wèn)題【例3】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【解】（1）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：，，，.（2）由題意可知：，且，因?yàn)?，且，則對(duì)任意恒成立，所以，又因?yàn)?，則，即，可得，反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，則，又因?yàn)?，則，假設(shè)不成立，故，即數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（3）因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，則均為遞增數(shù)列，（?。┤簦瑒t可取，滿足使得；（ⅱ）若，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)?，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得；（ⅲ）若，定義，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，即滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)椋?，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得.綜上所述：存在使得．【解題技法】若新定義與數(shù)列有關(guān)，可得利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，多通過(guò)構(gòu)造的分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題求解，求解過(guò)程靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識(shí).【跟蹤訓(xùn)練】（2024·北京·高考真題）設(shè)集合．對(duì)于給定有窮數(shù)列，及序列，，定義變換：將數(shù)列的第項(xiàng)加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第列加，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫(xiě)出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，證明：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”．【解】（1）由題意得；（2）假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，則，而該方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；（3）我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得為常數(shù)列.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)是通過(guò)合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)證明，這里，.從而由可得.同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來(lái)的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來(lái)的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來(lái)的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說(shuō)明無(wú)論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來(lái)的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.1．定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，所以，有兩個(gè)元素，則的子集個(gè)數(shù)是個(gè)．故選：B．2．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：若集合A和B是全集U的子集，且無(wú)公共元素，則稱集合互為正交集合，規(guī)定空集是任何集合的正交集合．若全集，則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】結(jié)合題意：因?yàn)?，所以，解得，即，所以全集，由可得，所以，則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個(gè)數(shù)為.故選：B.3．如圖所示，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，則為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】根據(jù)題意有，，所以，，則或.故選：D4．已知集合（），若集合，且對(duì)任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C5．（多選）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中．有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒(méi)有根式解就可以用群論知識(shí)證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“．”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)所有的a、，有；②、b、，有；③，使得，有，e稱為單位元；④，，使，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群．則下列說(shuō)法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)所有的、，有，且滿足①乘法結(jié)合律；②，使得，有；③，，有，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，①自然數(shù)滿足加法結(jié)合律；②，使得，有；但是對(duì)于，，不存在，使，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)所有的、，有，①實(shí)數(shù)滿足加法結(jié)合律；②，使得，有；但對(duì)于，，不存在，使，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)所有的、，可設(shè)，，，，，，則，①滿足加法結(jié)合律，即、、，有；②，使得，有；③，設(shè)，，，，使，故D正確．故選：AD．6．設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，若且，則是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個(gè)．【答案】7【解析】由集合的新定義知，沒(méi)有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，，共7個(gè)．7.（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒(méi)有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對(duì)①：，矛盾，對(duì)②：，也矛盾，綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題意，．8．已知S是全體復(fù)數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果，總有，則稱S是數(shù)環(huán)．設(shè)是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．(1)求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；(2)證明：記，證明：是數(shù)域；(3)若是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解】（1）因?yàn)闉閿?shù)環(huán)，可知不是空集，即中至少有一個(gè)元素，若，則，可知為數(shù)環(huán)；若，則，可知中不止一個(gè)元素，不是元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；綜上所述：元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)為.（2）設(shè)，可知，則有：，，，因?yàn)?，則，可知，所以是數(shù)環(huán)；若，可知，滿足①；若，則，因?yàn)?，則，可知，滿足②；綜上所述：是數(shù)域.（3）不一定是數(shù)域，理由如下：1.若，顯然均為數(shù)域，且是數(shù)域；2.設(shè)，可知，則有：，，，因?yàn)?，則，可知，所以是數(shù)環(huán)；若，可知，滿足①；若，則，因?yàn)?，則，可知，滿足②；綜上所述：是數(shù)域.例如：，例如，但，所以不是數(shù)域；綜上所述：不一定是數(shù)域.9．已知數(shù)列，記集合.(1)若數(shù)列為，寫(xiě)出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．【解】（1）由題意可得，，，所以.（2）假設(shè)存在，使得，則有，由于與的奇偶性相同，與奇偶性不同，又，，所以中必有大于等于的奇數(shù)因子，這與無(wú)以外的奇數(shù)因子矛盾，故不存在，使得.（3）首先證明時(shí)，對(duì)任意的都有，因?yàn)?，由于與均大于且奇偶性不同，所以為奇數(shù)，對(duì)任意的都有，其次證明除形式以外的數(shù)，都可以寫(xiě)成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，若正整數(shù)，其中，則當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，此時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，此時(shí)結(jié)論成立，對(duì)于數(shù)列，此問(wèn)題等價(jià)于數(shù)列其相應(yīng)集合中滿足有多少項(xiàng)，由前面證明可知正整數(shù)不是中的項(xiàng)，所以的最大值為.10．設(shè)正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫(xiě)出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.【解】（1）對(duì)集合，記其元素個(gè)數(shù)為.先證明2個(gè)引理.引理1：若具有性質(zhì)，則.引理1的證明：假設(shè)結(jié)論不成立.不妨設(shè)，則正整數(shù)，但，故一定屬于某個(gè)，不妨設(shè)為.則由知存在正整數(shù)，使得.這意味著對(duì)正整數(shù)，有，，但，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而一定有，從而引理1獲證.引理2：若具有性質(zhì)，則，且.證明：取集合.注意到關(guān)于正整數(shù)的不等式等價(jià)于，而由引理1有，即.結(jié)合是正整數(shù)，知對(duì)于正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，這意味著數(shù)列恰有項(xiàng)落入集合，即.而兩兩之間沒(méi)有公共元素，且并集為全體正整數(shù)，故中的元素屬于且僅屬于某一個(gè)，故.所以，從而，這就證明了引理2的第一個(gè)結(jié)論；再考慮集合中全體元素的和.一方面，直接由知中全體元素的和為，即.另一方面，的全部個(gè)元素可以排成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以的所有元素之和為.最后，再將這個(gè)集合的全部元素之和相加，得到中全體元素的和為.這就得到，所以有.即，從而，這就證明了引理2的第二個(gè)結(jié)論.綜上，引理2獲證.回到原題.將從小到大排列為，則，由引理2的第一個(gè)結(jié)論，有.若，則，所以每個(gè)不等號(hào)都取等，從而，故；情況1：若，則，矛盾；情況2：若，則，所以，得.此時(shí)如果，則，矛盾；如果，則，從而，故；如果，由于，設(shè)，，則，.故對(duì)于正整數(shù)對(duì)，有，從而，這與矛盾.綜上，的取值只可能是或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的所有可能取值是和.（2）①由引理1的結(jié)論，即知；②由引理2的第二個(gè)結(jié)論，即知.11．設(shè)，若非空集合同時(shí)滿足以下4個(gè)條件，則稱是“無(wú)和劃分”:①；②；③，且中的最小元素大于中的最小元素；④，必有.(1)若，判斷是否是“無(wú)和劃分”，并說(shuō)明理由.(2)已知是“無(wú)和劃分”（）.①證明:對(duì)于任意，都有；②若存在，使得，記,證明：中的所有奇數(shù)都屬于.【解】（1）解：不是.理由如下：取，則，說(shuō)明不是“無(wú)和劃分”.（2）解：①假設(shè)存在，使得,記的最小值為，則；設(shè)B中最小的元素為，則，所以，所以，（否則與矛盾），(否則與矛盾)，所以，因?yàn)?，所以不同屬于，所以這與矛盾，所以假設(shè)不成立.②因?yàn)槭恰盁o(wú)和劃分”,且存在,使得記i的最小值為，所以，由①知，因?yàn)?所以，所以，設(shè)中最小的元素為,若，則，所以，所以(否則與矛盾)，所以(否則與矛盾)，所以，又因?yàn)楹筒煌瑢儆贑，所以，這與矛盾，所以，即，所以，所以，所以，所以(否則與矛盾)，所以，若，則與和矛盾，所以所以,(否則與矛盾)，(否則與矛盾)，所以，以此類推，對(duì)于任意奇數(shù)都有，所以為偶數(shù)(否則，與2∈B和矛盾),所以均為奇數(shù).因?yàn)?，所?否則與矛盾)，所以，所以，所以(否則與矛盾)，所以，以此類推，對(duì)于任意大于，小于或等于的奇數(shù)都屬于集合，綜上所述，中的所有奇數(shù)都屬于集合.12．設(shè)集合，如果對(duì)于的每一個(gè)含有個(gè)元素的子集P，P中必有4個(gè)元素的和等于，稱正整數(shù)為集合的一個(gè)“相關(guān)數(shù)”.(1)當(dāng)時(shí)，判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”，說(shuō)明理由；(2)若為集合的“相關(guān)數(shù)”，證明：；(3)給定正整數(shù)，求集合的“相關(guān)數(shù)”m的最小值.【解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，①對(duì)于的含有5個(gè)元素的子集，因?yàn)?，所?不是集合的“相關(guān)數(shù)”；②的含有6個(gè)元素的子集只有，因?yàn)椋?是集合的“相關(guān)數(shù)”．（2）證明：考察集合的含有個(gè)元素的子集，中任意4個(gè)元素之和一定不小于，所以一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”；所以當(dāng)時(shí)，一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”，因此若為集合的“相關(guān)數(shù)”，必有，即若為集合的“相關(guān)數(shù)”，必有.