第一章 全等三角形模型歸納（知識拓展）（原卷版）

第一章全等三角形拓展知識模型拓展1雙垂直模型一、雙垂直模型①雙垂直中的角度關(guān)系②雙垂直中的全等關(guān)系∠A=∠C∠A=∠C，∠AFB=∠E若AF=CE，則△ABF≌△CBE△ABC、△BEF為等腰直角三角形典例1例1如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線與F，E為垂直，則結(jié)論：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）．A．1B．2C．3D．4跟蹤訓(xùn)練1如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，則CF=_______．拓展2三垂直模型二、三垂直模型模型描述△ABC是等腰直角三角形，圖①為一條直線經(jīng)過直角頂點A，過△ABC的外側(cè)，圖②、③為一條直線經(jīng)過直角頂點A，過△ABC的內(nèi)側(cè)，BM與CN分別垂直于過A點的直線．核心結(jié)論：△ABM≌△CAN（AAS）圖①：MN=BM﹢CN圖②：MN=CN﹣BM圖③：MN=BM﹣CN例2如圖，銳角△ABC分別以A、B為直角頂點，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過點E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．求證：EM﹢FN=AB．例3．如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．（1）證明：DE=BD﹢CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD﹢CE是否還成立？如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖（3），D、E是直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．跟蹤訓(xùn)練2王強同學(xué)用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（），點在上，點和分別與木墻的頂端重合．（1）求證：；（2）求兩堵木墻之間的距離．

拓展3手拉手模型三、手拉手模型模型要點：兩個等腰三角形共頂點?？紙D形等邊三角形手拉手等腰直角三角形（正方形）手拉手核心結(jié)論：①△ABE≌△CBD；AE=CD②∠AFC=∠EFD=60°核心結(jié)論：①△ABG≌△CBE；AG=CE②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE）例4如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).例5小明和同學(xué)小穎在學(xué)習(xí)了全等三角形后，研究了以下問題：（1）探索：如圖2，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，試說明：BD=CE．（2）拓展：如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．試判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．跟蹤訓(xùn)練3如圖，為線段上一點，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點，交于點，求證：．拓展4半角模型四、半角模型模型描述從\t"/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線AE、AF，并連接EF構(gòu)成的幾何模型輔助線畫法：延長CB，使BF′=DF，連接AF′（本質(zhì)：旋轉(zhuǎn)△ADF至△ABF′）核心結(jié)論：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE例6：如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求△AMN的周長．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE+FD=EF.求證：.1．如圖，，，于點E，于點D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．如圖，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求證：4．如圖，點C為線段上一點，在，中，，，，連接交于點E，連接交于點F，線段，交于點O，求證：

(1)(2)(3)5．已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）6．如圖，四邊形和四邊形是正方形，（正方形四條邊都相等，四個內(nèi)角都是直角）【感知】（1）某學(xué)習(xí)小組探究如下問題：如圖1，連接，，直線于點H，交于點M，則與面積的大小關(guān)系是：_________．【探究】（2）該學(xué)習(xí)小組在探究（1）中面積問題時，發(fā)現(xiàn)M為中點，你認為是否成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【拓展】（3）經(jīng)過以上探究，該學(xué)習(xí)小組也提出問題：若正方形和正方形的位置如圖2所示，點M為中點，連接交于點H，那么與有怎樣的關(guān)