2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：概率（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練9.1概率

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后,

再選涂其它答案標(biāo)號。

2.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.下列說法正確的是（）

A.事件A、8中至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大

B.A、8同時發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小

C.若P（AB）=P（A）+P（B）=1則事件A與8是互斥且對立事件

D.互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件

2.現(xiàn)有10名學(xué)生參加某項(xiàng)測試，可能有學(xué)生不合格，從中抽取3名學(xué)生成績查看，記這3名學(xué)生中

91

不合格人數(shù)為J,已知P（J=1）=茄，則本次測試的不合格率為（）

A.10%B.20%C.30%D,40%

3.一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,連續(xù)拋擲這個正四面體木塊

兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，記事

件8為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

APA

（）4B.事件A與事件8互斥

C.事件A與事件8相互獨(dú)立D.P（A3）=g

4.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，甲表示事件“第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)點(diǎn)”，乙表示事件“兩次骰子的點(diǎn)

數(shù)之和是7”,則甲與乙的關(guān)系為（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨(dú)立D.既不互斥也不獨(dú)立

5.袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球,

則兩次都摸到黃球的概率為（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

6.設(shè)集合S中有10個元素，從S中每次隨機(jī)選取1個元素，取出后還放回到S中，則取5次后所取

出的元素有重復(fù)的概率是(保留兩位有效數(shù)字)()

A.0.50B.0.55

C.0.70D.前三個答案都不對

7.拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A="第一枚硬幣正面朝上"，事件3="第二枚硬幣正面朝上”,

事件"第三枚硬幣反面朝上”.下列結(jié)論中正確的是()

A.A與B互斥B.A與C對立

7

C.P(BC)=-D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

8

8.甲、乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加

同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為()

42104

A.—B.—C.—D.—

81278127

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列說法中，正確的是()

A.一組數(shù)據(jù)9,8,13,10,12,14的第70百分位數(shù)為13

B.若樣本數(shù)據(jù)須，々，…，%的方差為2,那么數(shù)據(jù)3%-5,3X2-5,--3%-5的方差為1

C.己知隨機(jī)事件A和8互斥，且P(A、B)=Q.6,尸(3)=02則2(?=0.6

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布若P(X2—3)+P(X25)=l,則〃=2

—11—3

10.隨機(jī)事件A,B滿足P(A)=—,P(B)=P(A|B)=一,則下列說法正確的是()

434

——1

A.P(AB)wP(A)P(B)B.P(AB)=-

6

C.P(A+B)=-D.P(ABi(A+B))=-

64

11.已知事件A,B,且P(A)=0.4,P(「)=0.3,則()

A.如果那么尸(AU5)=04,尸(AB)=0.3

B.如果A與8互斥，那么尸(AB)=0.7,尸(AB)=0

C.如果A與B相互獨(dú)立，那么尸(AB)=0.7,P(AB)=0.12

D.如果A與8相互獨(dú)立，那么尸(不力=0.42,P(AB)=0.18

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.甲、乙兩人各有三張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,4,乙的卡片上分

別標(biāo)有數(shù)字1,2,5,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)任選兩張,并比較所選卡片上數(shù)字之和的大小，數(shù)

字之和大的人獲勝.則甲獲勝的概率為.

13.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記向上的一面點(diǎn)數(shù)分別為a力,則函數(shù)=V/的圖象

過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱的概率為.

14.甲、乙兩個研究小組獨(dú)立攻堅一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，假設(shè)甲組成功的概率為J乙組成功的概

4

率為L則這項(xiàng)技術(shù)研究成功的概率為.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某校高一年級進(jìn)行數(shù)學(xué)計算能力大賽，數(shù)學(xué)備課組從全年級的1000名學(xué)生的成績中抽取容量為

”的樣本，構(gòu)成頻率分布直方圖，且成績在區(qū)間(50,60)的人數(shù)為5.

頻率

(1)求樣本容量n以及頻率分布直方圖中的%；

(2)估計全年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)；

⑶從樣本中得分在［80,100］的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，問所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間

［90,100］的概率是多少？

16.哈爾濱市第三中學(xué)校響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗(yàn)學(xué)生上

網(wǎng)課的效果，高三學(xué)年進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績,

繪制成頻率分布直方圖(如下圖所示).已知這100人中［110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比［100,110)分?jǐn)?shù)段

的人數(shù)多6人.

頻率/組距

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求。，6的值，并估計抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在口30,140)，［140,150］的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同學(xué)，從這6

名同學(xué)中再任選2名同學(xué)作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概

率.

17.如圖，已知四面體A8CD中,AB_L50,5C_LCD,=2BC=2CD=2,平面ABCJ_平面ACD

(1)求證:ABJ_CD；

(2)若點(diǎn)、E是BD的中點(diǎn)，求直線CE與平面AC。所成角的正弦值；

(3)若在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為4;任取兩個面，記它們互相垂直的概率為

P2;任取一個面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為P3，試比較概率P},P2,P3的大小.

18.2024年11月,世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大

會發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別

抽取男、女生各50人作為樣本.據(jù)統(tǒng)計女生中了解人工智能的占心,了解人工智能的學(xué)生中男生占一.

57

(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2x2列聯(lián)表，是否有99%把握推斷該校學(xué)生對人工智能的了解情況與性

別有關(guān)？

了解人工智能不了解人工智能合計

男生

女生

合計

(2)將樣本的頻率視為概率,現(xiàn)用分層抽樣的方法從女生中抽取5人，再從5人中抽取3人了解慟況,

求抽取的3人中至少有2人了解人工智能的概率.

附:K2=ri(ad-bc)2

(a+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

19.某旅游景區(qū)，為了提升服務(wù)品質(zhì)，對過去100天每天的游客數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計解題思路，得到下面的頻數(shù)

分布表：

每天游客數(shù)(單位:千人)[0,1)口，2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)口8)

天數(shù)(頻數(shù))6101624181484

(1)記A表示事件“每天游客數(shù)小于4(千人)”，估計A的概率；

(2)為了研究每天的游客數(shù)是否和當(dāng)天的最高氣溫有關(guān)，從這一百天中隨機(jī)抽取了5天統(tǒng)計出這5天

的游客數(shù)(千人)分別為3.643,4.6,6,6.5,已知這5天的最高氣溫(單位:。C)依次為20,21,22,24,28.

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求游客數(shù)y關(guān)于當(dāng)天最高氣溫尤的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.1);

②根據(jù)①中的回歸方程,估計該景區(qū)這100天中最高氣溫在20~26。(：的天數(shù)(保留整數(shù)).

55

附注:參考數(shù)據(jù):Z4—%)(%-9)=14.5可一=40,

Z=1Z=1

回歸方程y中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

-E(x,.-x)(y,-y)__

b-~-y-bx'

可2

i=l

參考答案

1.答案：D

解析：A:若A為必然事件,8為不可能事件，

則事件A、8中至少有一個發(fā)生的概率一定比8中恰有一個發(fā)生的概率大就是錯誤的;

B:從1、2、3、4中任取一個數(shù)，

用A表示取到的數(shù)是1、2、3中的一個，

用B表示取到的數(shù)是2、3、4中的一個，

則48同時發(fā)生的概率為,，

2

A、B中恰有一個發(fā)生的概率為L+工=工，二者相等，故B錯誤；

442

C:設(shè)在區(qū)間［0,1］上，任取一個數(shù)，設(shè)事件4表示取到的實(shí)數(shù)在［0,；),

則根據(jù)幾何概型的概率公式可得P(A)=0.5,

設(shè)B表示取到的實(shí)數(shù)在(；/］上，則P(3)=0.5,

則滿足條件尸(4.5)=P(A)+P(5)=1,

但事件A與B只是互斥且不對立，故C錯誤；

D:互斥事件可能都不發(fā)生，

因此不一定是對立事件，對立事件一定會有其中一個發(fā)生,

且不會同時發(fā)生，一定是互斥事件，故D正確，

故選：D

2.答案：C

解析：設(shè)10名學(xué)生中有〃名不合格，

從中抽取3人，其中不合格人數(shù)為&,

由尸(4=1)二」，得八『=2,

'740C：o40

化簡得”(10—“)(9—〃)=6x3x7,解得〃=3,

即本次測試的不合格率為三義100%=30%.

10

故選：C.

3.答案：C

解析：由題意，用兩位數(shù)字表示連續(xù)拋擲這個正四面體得到的點(diǎn)數(shù)，

則該試驗(yàn)的樣本空間為：。={1U2,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44),

則〃(。)=16,事件A={11,12,13,14,21,22,23,24},“⑷=8*

事件B={12,14,21,23,32,34,41,43},n(B)=8.

對于A,P(A)=31=L,故A錯誤；

對于B,因AB={12,14,21,23)^0,

故事件A與事件8相容，故B錯誤；

對于C,因AB={12,14,21,23},n(A3)=4,

則尸(A?=

而尸(A)=P(3)=g,因尸(AB)=P(A?P(B),

故事件A與事件B相互獨(dú)立，即C正確；

對于D,因AB={11,12,13,14,21,22,23,24,32,34,41,43),

31

P(AB)=7—,故D錯誤.

42

故選：C.

4.答案：C

解析：由題設(shè)，樣本空間為

(1,1)，d,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6)，共有36種，

甲有

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6),(5,1)，(5,2)，(5,3)，

（5,4）,（5,5）,（5,6）共有18種，則概率為《=g,

乙有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6種，則概率為？=:，

顯然同時滿足甲乙有（1,6）,（3,4）（5,2）且概率為鳥=《，則鳥=《鳥，

所以甲乙不互斥也不對立,但相互獨(dú)立,A、B、D錯,C對.

故選:C

5.答案：C

解析：設(shè)兩次都摸到黃球記為事件A,2個紅球記片,4,3個黃球記耳，層,用，

從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球包含的樣本點(diǎn)為

（44）,（。4）,（4，與），（&與），（&,四），（&，4），（4，與），（4，與），（男,與），（耳外）,

（4,4）,（44）,（與，4），（號4），（44），（4,4，），（鳥，4），（與，4），（國也）,（%4）共20

種，其中A包括的樣本點(diǎn)為（耳與）,（5,國）,（4,男）,（%4），（四超）,（%4）共6種，

P（A）=—=0.3

V'20

故選:C

6.答案：C

解析：考慮反面，取5次后沒有重復(fù)元素的概率為2*老＞＜二乂色=當(dāng)士，

1010101010000

于是所求概率為1-工絲土0.70.

10000

故選：C.

7.答案：D

解析：拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有的結(jié)果是：

（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），

（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），

（反，反，正），（反，反，反），共8種情況；

事件A="第一枚硬幣正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），

（正，反，正），（正，反，反），共四種情況；「網(wǎng)=j

事件3="第二枚硬幣正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），

（反，正，正），（反，正，反），共四種情況；P網(wǎng)=j

事件C="第三枚硬幣反面朝上”包含：（正，正，反），（正，反，反），

（反，正，反），（反，反，反），共四種情況；P（c）=!；

因此事件A與事件B包含有相同情況，不互斥；

事件A與事件C包含有相同情況，不對立，即選項(xiàng)AB錯誤；

又事件BC包含：（正，正，正），（反，正，正），（正，正，反），

（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共六種情況，

P（BC）=-=-,故C錯誤；

'-84

事件ABC包含：（正，正，反），只有一種情況，

故P（ABC）=—=P（A）尸（B）（C）,故D正確;

8

故選：D

8.答案：C

解析：因?yàn)榧缀鸵也粎⒓油豢疲?/p>

甲和丙參加同一科競賽，若每個同學(xué)可以自由選擇，

所以3科的選擇數(shù)有2,2,1和3,1,1兩種分配方案，

當(dāng)分配方案為2,2,1時，共有C；A；=18種不同的選擇方案；

當(dāng)分配方案為3,1,1時，共有C；A；=12種不同的選擇方案；

所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為18+12=30；

所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，

且這三科競賽都有人參加的概率為當(dāng)=—.

3581

故選：C.

9.答案：AC

解析：對于A,數(shù)據(jù)從小到大排列為8,9,10,12,13,14,由6x0.7=42,所以第70百分位數(shù)

是第5個數(shù)，即為13,故A正確；

對于B,樣本數(shù)據(jù)再，々，…，須。的方差為2,則數(shù)據(jù)3占—5,3X2-5,…，3%—5的方差為

32x2=18,故B錯誤；

對于C,因?yàn)锳與8互斥，且尸（Al8）=P（A）+PGB）,所以

P(A)=P(A8)—2(5)=0.6—0.2=04,所以P(Z)=1—P(A)=0.6,故C正確;

對于D,因?yàn)閄?N（〃Q2）,P（X>-3）+P（X>5）=l,所以X=—3與X=5關(guān)于直線x=〃對

稱，所以〃=二y=1,故D錯誤.故選AC.

10.答案：BC

解析：由已知可得：尸⑷函=|,因?yàn)椤案翦?/p>

——_i_i

則尸(A3)=P(A|B)?尸(3)=—,所以P(AB)=P(A)~P(AB)=

24

所以P(AB)=P(A)P(B),A錯;P(AB)=P(B)-P(AB)=±B正

6

確.P(A+3)=P(A)+P(B)_P(AB)=2,C正

6

1

確./W(A+5))J[(硒”+助=上也=4=2錯.

P(A+B)P(A+B)510

6

故選：BC.

11.答案：ABD

解析：如果那么尸（A._5）=尸（A）=0.4,

P（AB）=P（B）=0.3,故A正確；

如果A與2互斥，

那么P（A5）=P（A）+P（6）=04+0.3=0.7,

P（AB）=P（0）=O,故B正確；

如果A與8相互獨(dú)立，

那么P（AB）=P（A）P（B）=0.4x0.3=0.12,

P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

=0.4+0.3-0.4x0.3=0.58,故C錯誤；

如果A與8相互獨(dú)立，

那么P（A-B）=（1-0.4）（1-0.3）=0.42,

P(A-B)=(1-0.4)x0.3=0.18,故D正確;

故選：ABD

12.答案：A

9

解析：設(shè)事件w="甲乙兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)任選兩張”，

事件A=“兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)任選兩張,甲比乙選的數(shù)字之和大”,

則Q（W）=C[C；=9,

乙選1,2時，甲獲勝有C；=3種選法;

乙選1,5時，甲獲勝只有1種選法；

乙選2,5時，甲不可能獲勝，

所以Q（A）=3+1=4，

所以唳）=磊4

故答案為:

9

13.答案：1/0.25

4

解析：根據(jù)題意，先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記向上的一面點(diǎn)數(shù)分別為為a,b,

則a,b都有6種情況，故（。力）的可能情況有6義6=36種，

若則函數(shù)/（%）=￡?的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a—6為正奇數(shù),

則符合題意的有（2,1）,（3,2）,（4,1）,（4,3）,（5,2）,（5,4）,（6,1）,（6,3）,（6,5）共9種情況,

ab

故函數(shù)=x-的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱的概率為白=1

故答案為:4.

4

14.答案：2

6

解析：因?yàn)榧住⒁已邪l(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為3和L

43

則這項(xiàng)技術(shù)研究不成功的概率為（1-1）（1-1）=1,

再根據(jù)對立事件的概率之間的公式可得這項(xiàng)技術(shù)研究成功的概率為1-工=9

66

故答案為：工.

6

15.答案：（1）”=25,x=0.012

(2)71.4

7

(3)w

解析：（1）成績在區(qū)間（50,60）的頻率為0.2,〃=W=25,

由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為

1-0.2-0.24-0.36-0.08=0.12,故x=0.012.

（2）先估計所抽取的25名學(xué)生成績的平均數(shù)為

（55x0.02+65x0.024+75x0.036+85x0.012+95x0.008）x10=71.4（分）,

估計全年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)為71.4；

⑶得分成績在［80,90）有。012*10*25=3（人），

這組的3名學(xué)生分別為a,b,c,

得分在區(qū)間［90,100］有0008x10x25=2（人），

這組的2名學(xué)生分別為d,e,

隨機(jī)抽取兩人，所以可能的結(jié)果為

（c,d）,（c,e），（d,e）共10種，

所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間［90,100］的結(jié)果為

(瓦e),(c,e)，(d,e)共7種,

16.答案：(1)?=0.020-6=0.026；中位數(shù)為H2百；

13

(2)A.

15

解析：(1)由頻率分布直方圖的面積和為1,

貝"0.002+0.008+0.014+a+Z?+0.015+0.01+0.005)x10=1-得a+〃=0.046，

又由100人中［110,120）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比［100,110）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人

則100xl03—a)=6，解得a=0.020，Z?=0,026

中位數(shù)中位數(shù)為H0+1°（。?！?+°.0°8+°.014+°.02）_9色

0.02613

（2）設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)”為事件A,

由題意知，在分?jǐn)?shù)為［130,140）的同學(xué)中抽取4人，

分別用4，a2，a3，%表示，

在分?jǐn)?shù)為［140,150］的同學(xué)中抽取2人，分別用白，為表示，

從這6名同學(xué)中抽取2人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：

（%,%），（?1，?3）>（%,%）（%，伉），（。1也），（生，4〉（。2，。4），（。2，偽），

（%也），（4，%），（%，4），（。3也），（。4，偽），（%也），（4也），共15種

抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的結(jié)果有：（對幼，（力力2），（生，白），

（%也），（為，幻，（％也），（。4，偽），（%也），共8種

所以p（A）=抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率為§.

1515

17.答案：（1）見解析

⑵昱

3

（3）見解析

解析：（1）證明:過B作AC,交AC于H,因?yàn)槠矫鍭BC，平面AC。

所以_L平面AC。，

因?yàn)镃Du平面AC2所以±CD.

又因?yàn)锽CLCD,BH3C=3,所以CD，平面ABC.

因?yàn)锳Bu平面ABC,所以CD，A5，得證.

（2）由（1）易得AB,平面BCD,又因?yàn)?。=。=1,故&）=、/5,AB=

又因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以CELBD,以B為原點(diǎn)，過B且與CE平行的線為x軸,8。為y軸,BA為

Z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,

由題意知:5(0,0,0),4(0,0,應(yīng))，?！?0,D(0,&0),E0,—,0

222

所以AC=］孚孝，一行

,CE=

*+*—缶=0

n-AC=Q

設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z)，則有<,即

n-CD=0

x+y-2z=0

<

x-y=0

令z=1,則x=y=1,即平面AC。的一個法向量為n=(1,1,1).

設(shè)直線CE與平面ACZ)所成角為0，則sin。=|cos〈CE,〃〉|=

(3)6條棱中任選2條，共有C；=15種情況，其中相互垂直的棱有5對，

AB，6C,ABJ_CD,,AC_LCD,5C，CD,所以々5=g；

4個面任選2個面，共有C：=6種情況，其中相互垂直的面有3對：

31

平面ABC_L平面BCD,平面ABC±平面ACD平面ABD_L平面88,故￡=-=—.

62

任選1個面和不在此面上的1條棱，先從4個平面任選1個平面，共有C；=4種情況，再從不在此面上的

3條棱中選1條，有C；=3種情況，故共有C；C；=12種情況，其中滿足垂直關(guān)系的有2種，分別為平面