【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯(cuò)題-專題15 排列組合（6大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（解析版）

專題15排列組合（6大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（解析版）專題15排列組合（6大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（解析版）/專題15排列組合（6大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（解析版）資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題15排列組合易錯(cuò)點(diǎn)一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤（相鄰問題)相鄰問題技巧總結(jié)相鄰問題1、思路：對(duì)于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個(gè)整體,在于其他元素放在一起考慮．如果設(shè)計(jì)到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計(jì)算．2、解題步驟：第一步:把相鄰元素看作一個(gè)整體（捆綁法),求出排列種數(shù)第二步:求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)易錯(cuò)提醒：排列組合實(shí)際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法(把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁"為一個(gè)大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列)；(2)不相鄰（相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間)；例、現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有()A．種B．種C.種Ｄ.種易錯(cuò)分析：本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是把“甲、乙、丙3人不能相鄰”理解為“甲、乙、丙３人互不相鄰”的情況,使結(jié)果中遺漏甲、乙、丙3人中有兩人相鄰的情況.正解:在８?jìng)€(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù),就得到甲、乙、丙3人不相鄰的方法數(shù)，即,故選B．易錯(cuò)警示：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”,即把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁",將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素變式１：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為Ａ，B，Ｃ,D，Ｅ，其中工序Ａ,B必須相鄰，工序C，Ｄ不能相鄰，那么有（

)種加工方法．A．2４?B．32 C.4８ Ｄ。6４解：工序A，B必須相鄰,可看作一個(gè)整體，工序C，D不能相鄰，所以先對(duì)ＡB，E工序進(jìn)行排序,有種方法，AＢ內(nèi)部排序，有種方法，排好之后有三個(gè)空可以把工序C，Ｄ插入，共種情況，所以一共有種可能性故選：A變式2：中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展,取得了輝煌的成就,使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列。

中國(guó)的目標(biāo)是到2０３0年成為主要的太空大國(guó)。它通過訪問月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站,擴(kuò)大了太空計(jì)劃。在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施個(gè)程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有(

)A.種?Ｂ.種 C。種?D．種解:首先將程序B和C捆綁在一起,再和除程序A之外的3個(gè)程序進(jìn)行全排列,最后將程序Ａ排在第一步或最后一步，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得種.故選：C變式3:為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展,營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰,則不同的安排方案共有（

）A．10種?B．12種 C．１6種 Ｄ．2４種解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段,主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動(dòng)有2種方法;主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第三、四階段,則其它活動(dòng)有1種方法;主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動(dòng)有1種方法，則此時(shí)共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段,則第一階段只有1種方法,后面的三個(gè)階段有種方法。綜合得不同的安排方案共有１0種。故選:A１．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有(

)Ａ.11２０?Ｂ。7２00?Ｃ。8640?D。14400【答案】B【分析】相鄰問題用捆綁法看成一個(gè)整體,丙不排在兩端可先排好其他人后再排丙?！驹斀狻考着c乙相鄰有種不同的排法，將甲與乙看作是一個(gè)整體，與除丙外的5人排好，有種不同的排法，再將丙排入隔開的不在兩端的５個(gè)空中，有種不同的排法，所以共有種不同的排法．故選:B．2。六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景,結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰,則不同的排法共有（

)A．４８種 B。７2種 C．120種 Ｄ.1４４種【答案】D【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排列,再插空排丙和丁．【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的兩人排列有種，再排丙和丁有種,故共有種排法.故選:D.3．把二項(xiàng)式的所有展開項(xiàng)重新排列,記有理項(xiàng)都相鄰的概率為,有理項(xiàng)兩兩不相鄰的概率為，則(

）A．5?Ｂ.?C.4?D?！敬鸢浮緼【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開公式可得有５項(xiàng)有理項(xiàng)，４項(xiàng)無理項(xiàng),從而可得、的值,再代入求解即可得答案?！驹斀狻拷?，其中,，當(dāng)時(shí)為有理項(xiàng),故有5項(xiàng)有理項(xiàng),4項(xiàng)無理項(xiàng)，故,,故．故選:Ａ。4.A,B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足Ａ，Ｂ相鄰，C,D不相鄰的不同站法的種數(shù)為(

）Ａ.4８ B。96 C．１４4 Ｄ．288【答案】C【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計(jì)算求解.【詳解】由于A，Ｂ相鄰，所以先將A，B看作一個(gè)整體捆綁起來與Ｅ,F進(jìn)行全排列，然后將C,D插入到已排好隊(duì)的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，故共有,故選:C5。2０23年5月２1日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在20２3年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠。甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰,則不同的站法共有（

）A。1８種 Ｂ.24種 C.30種?D．３６種【答案】C【分析】分別計(jì)算丙站在左端時(shí)和丙不站在左端時(shí)的情況，即可得到答案?！驹斀狻慨?dāng)丙站在左端時(shí),甲、丙必須相鄰,其余人全排列,有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí),從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選:C6．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng)。高一?高二?高三年級(jí)分別有１名?2名?3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起,則不同的排法共有（

）A。18種?Ｂ．36種?C．72種?Ｄ.1４4種【答案】C【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可由全排列求解?！驹斀狻坑深}意可得，故選：Ｃ7。甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩,其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩,乙家庭有２個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們９人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

)Ａ。１４4 B．8６4 Ｃ.1728 D.2880【答案】C【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案．【詳解】甲家庭的站法有種，乙家庭的站法有種，最后將兩個(gè)家庭的整體全排列,有種站法，則所有不同站法的種數(shù)為.故選：C８。某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和Ｂ不相鄰,則不同的排法共有(

）A．120種?B。240種?C．360種?D。4８0種【答案】D【分析】正難則反，首先我們可以求出6名學(xué)員隨機(jī)站成一排的全排列數(shù)即，然后求學(xué)員A和Ｂ相鄰的排列數(shù)，兩數(shù)相減即可?！驹斀狻恳环矫妫喝粢髮W(xué)員A和B相鄰，則可以將學(xué)員Ａ和B捆綁作為一個(gè)“元素",此時(shí)一共有個(gè)元素，但注意到學(xué)員A和B可以互換位置,所以學(xué)員A和B相鄰一共有種排法。另一方面:6名學(xué)員隨機(jī)站成一排的全排列數(shù)為種排法．結(jié)合以上兩方面：學(xué)員A和Ｂ不相鄰的不同的排法共有種排法.故選：D。９．某高鐵動(dòng)車檢修基地庫房?jī)?nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動(dòng)車、高鐵共五列車入庫檢修,若已知兩列動(dòng)車安排在相鄰軌道,則動(dòng)車停放在道的概率為（

）A。?B．?C。 D?！敬鸢浮緾【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計(jì)算求得正確答案.【詳解】記“兩動(dòng)車相鄰”，“動(dòng)車停在道",則。故選:Ｃ1０．班長(zhǎng)邀請(qǐng)四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位,四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座位,則兩位同學(xué)座位相鄰的概率是()

A.?B。Ｃ． D?！敬鸢浮浚痢痉治觥肯扔?jì)算出四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議的情況數(shù),再計(jì)算出兩位同學(xué)座位相鄰的情況，從而計(jì)算出概率。【詳解】四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議，共有種情況,其中兩位同學(xué)可坐在①②，②③，③④三個(gè)位置，并可進(jìn)行互換位置，有種情況，兩位同學(xué)坐在其余兩個(gè)位置，且可互換,有種情況，故兩位同學(xué)座位相鄰的情況有種情況，所以兩位同學(xué)座位相鄰的概率為．故選:Ａ１1．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間,2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種?Ｂ。8種 C。12種 Ｄ．４8種【答案】Ｂ【分析】根據(jù)分步乘法原理結(jié)合排列數(shù)求解即可．【詳解】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法,最后再排剩余的2名男生，根據(jù)分步乘法原理得,有種不同的排法.故選:B１２．５名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有(

）A．70種 B．72種 Ｃ.３６種 D.12種【答案】C【分析】相鄰問題用捆綁法即可得解?！驹斀狻考?、乙、丙先排好后視為一個(gè)整體與其他2個(gè)同學(xué)進(jìn)行排列,則共有種排法。故選:C13．現(xiàn)有2名男生和３名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列,則（

)A。排成前后兩排，前排３人后排2人的排法共有120種Ｂ．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有3６種C.全體排成一排,男生互不相鄰的排法共有72種Ｄ.全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，利用排列數(shù)公式,以及捆綁法、插空法，以及分類討論，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，逐項(xiàng)判定，即可求解?！驹斀狻坑深}意知，現(xiàn)有2名男生和3名女生,對(duì)于A中,排成前后兩排，前排3人后排2人，則有種排法,所以A正確;對(duì)于B中,全體排成一排，女生必須站在一起,則有種排法，所以B正確；對(duì)于Ｃ中,全體排成一排,男生互不相鄰,則有種排法，所以C正確；對(duì)于D中，全體排成一排,甲不站排頭，乙不站排尾可分為兩類:（1)當(dāng)甲站在中間的三個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí),有種排法，此時(shí)乙有種排法,共有種排法；(２）當(dāng)甲站在排尾時(shí)，甲只有一種排法，此時(shí)乙有種排法,共有種排法，綜上可得，共有種不同的排法，所以D錯(cuò)誤。故選：ABC.１4．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是(

）Ａ．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列,則不同的排法有12種Ｂ．若甲、乙不相鄰,則不同的排法有７２種Ｃ．若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,則不同的排法共有７2種D。如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則不同的排法有24種【答案】ＢD【分析】A選項(xiàng),定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解;B選項(xiàng),采用插空法進(jìn)行求解;C選項(xiàng),分兩種情況,若最左端排乙,最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項(xiàng),使用捆綁法進(jìn)行求解;【詳解】對(duì)于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空,則有種情況,故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，故B正確；對(duì)于C，若最左端排乙，此時(shí)其余四人可進(jìn)行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙,丁，戊選出1人,又乙不能在最右端,則有種情況，則共有種站法，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，將甲與乙捆綁,看做一個(gè)整體且固定順序，再與其他三人站成一排,故有種，故D正確;故選：BD１５．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊(duì)訓(xùn)練，則（

）A.甲乙不相鄰的不同排法有48種B.甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有３6種C.甲乙不排在兩端的不同排法有３６種Ｄ．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種【答案】BCＤ【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合捆綁法逐一判斷即可．【詳解】A:甲乙不相鄰的不同排法有種，所以本選項(xiàng)不正確；B:甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有種，所以本選項(xiàng)正確;C:甲乙不排在兩端的不同排法有種,所以本選項(xiàng)正確；Ｄ:甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有種，所以本選項(xiàng)正確.故選:BＣD１6．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生,3名女生參加，組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)行安排，則下列說法正確的是(

）Ａ。若3個(gè)女生不相鄰，則有1４4種不同的出場(chǎng)順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場(chǎng)順序C.若4位男生相鄰,則有5７６種不同的出場(chǎng)順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定,再增加兩個(gè)教師節(jié)目,共有72種不同的出場(chǎng)順序【答案】BＣＤ【分析】選項(xiàng)Ａ采用“插空法”,先排4名男生,形成５個(gè)空檔，將3名女生插入其中,由此可得；選項(xiàng)B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半,結(jié)合4男3女的全排列求解即可;選項(xiàng)C先將4位男生捆綁作為一個(gè)整體進(jìn)行全排列，然后3位女生和這個(gè)整體全排列可得;選項(xiàng)Ｄ采用“插空法”，分兩次插入老師節(jié)目即可。【詳解】若3個(gè)女生不相鄰,則有種不同的出場(chǎng)順序,A錯(cuò)誤;若女生甲在女生乙的前面，則有種不同的出場(chǎng)順序，Ｂ正確；若４位男生相鄰,則有種不同的出場(chǎng)順序，C正確；若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個(gè)學(xué)生節(jié)目形成8個(gè)空,插入1個(gè)教師節(jié)目,有8種情況;第二步,原7個(gè)學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個(gè)教師節(jié)目形成9個(gè)空,再插入1個(gè)教師節(jié)目，有9種情況，所以這兩位教師共有種不同的出場(chǎng)順序,D正確．故選：BCD.17．某校高二年級(jí)安排甲?乙?丙三名同學(xué)到A,B，Ｃ,Ｄ,E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，且多名同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，則下列說法正確的有（

)A。如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇,則不同的安排方法有61種Ｂ.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C。如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同,則不同的安排方法共有６0種D．如果甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū),則不同的安排方法共有２0種【答案】AC【分析】對(duì)于A,根據(jù)社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，由甲?乙?丙三名同學(xué)都有5種選擇減去有４種選擇求解;對(duì)于B，根據(jù)同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,有乙丙都有5種選擇求解；對(duì)于C，根據(jù)三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同求解；對(duì)于D,由甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū),捆綁再選擇求解；【詳解】對(duì)于Ａ,如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇,則不同的安排方法有(種），故A正確；對(duì)于Ｂ，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)Ａ，則不同的安排方法有（種）,故B錯(cuò)誤；對(duì)于Ｃ，如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有(種），故C正確；對(duì)于D，甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，第一步，將甲?乙視作一個(gè)整體,第二步，兩個(gè)整體挑選社區(qū),則不同的安排方法共有(種)，故Ｄ錯(cuò)誤．故選:AC。18。在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng)?，F(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合影,則（

）Ａ．3名男生排在一起,有6種不同排法 B．２名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰,有12種不同排法?D。女生不站在兩端，有108種不同排法【答案】BＣ【分析】利用捆綁法可判斷A、Ｂ;利用插空法可判斷C；利用分步計(jì)數(shù)法可判斷Ｄ.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：3名男生排在一起,先讓３個(gè)男生全排后再作為一個(gè)整體和2個(gè)女生做一個(gè)全排，共有種,A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：2名女生排在一起,先讓２個(gè)女生全排后再作為一個(gè)整體和3個(gè)男生做一個(gè)全排,共有種，B正確;對(duì)于選項(xiàng)C：3名男生均不相鄰,先讓3個(gè)男生全排后，中間留出兩個(gè)空位讓女生進(jìn)行插空,共有種，C正確;對(duì)于選項(xiàng)D：女生不站在兩端,先從三個(gè)男生種選出兩個(gè)進(jìn)行全排后放在兩端,共有種，然后將剩下的3人進(jìn)行全排后放中間,共有種,D錯(cuò)誤．故選：BＣ19．甲,乙,丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是(

）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊,那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,則不同的排法共有42種C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D。甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有４０種【答案】ABC【分析】A選項(xiàng),使用捆綁法進(jìn)行求解;Ｂ選項(xiàng),分兩種情況，最左端排甲和最左端排乙,分別求出兩種情況下的排法,相加即可；C選項(xiàng)，采用插空法進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解．【詳解】A選項(xiàng)，將甲與乙捆綁，看做一個(gè)整體，與其他三人站成一排,故有種，Ａ正確;Ｂ選項(xiàng)，若最左端排甲,此時(shí)其余四人可進(jìn)行全排列，故有種，若最左端排乙，則最右端只能從丙,丁,戊選出1人，其余三人與三個(gè)位置進(jìn)行全排列，故有種選擇,綜上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,則不同的排法共有種,B正確；Ｃ選項(xiàng)，先安排丙,丁,戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空,則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，C正確;D選項(xiàng)，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況,D錯(cuò)誤。故選：ABC20．（多選)把5件不同產(chǎn)品Ａ，B，Ｃ,D，E擺成一排，則(

)A.Ａ與Ｂ相鄰有4８種擺法B．A與Ｃ相鄰有４8種擺法C．A,B相鄰又A，Ｃ相鄰，有12種擺法D。A與Ｂ相鄰，且A與C不相鄰有２４種擺法【答案】ABC【分析】逐個(gè)分析每個(gè)選項(xiàng)正確與否即可【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):產(chǎn)品A與B相鄰，把作為一個(gè)元素有種方法，而Ａ,B可交換位置,所以有種擺法。故Ａ選項(xiàng)符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)：同A選項(xiàng)一樣分析可知產(chǎn)品A與C相鄰也有4８種擺法.故B選項(xiàng)符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)相鄰又滿足相鄰，首先將產(chǎn)品捆綁起來作為一個(gè)元素并把產(chǎn)品放在產(chǎn)品與之間，注意到產(chǎn)品與可互換位置，所以首先排列有種擺法，把組成的整體作為一個(gè)元素和剩下的兩個(gè)元素進(jìn)行排列，又有種擺法,所以A,B相鄰又A，Ｃ相鄰，有種擺法。故Ｃ選項(xiàng)符合題意．對(duì)于D選項(xiàng):由A選項(xiàng)可知Ａ與B相鄰有４8種擺法，由C選項(xiàng)可知Ａ，B相鄰又A，C相鄰有12種擺法,因此A與B相鄰，且A與C不相鄰有種擺法。故D選項(xiàng)不符合題意.故選:AＢC。21。甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

)A． B． Ｃ.?D．【答案】BCD【分析】根據(jù)排列組合，結(jié)合相鄰問題,即可求解．【詳解】(方法1：間接法):四名同學(xué)全排再去掉甲與老師相鄰的情況為．（方法2:直接法）：特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間,甲同學(xué)從兩端中任選一個(gè)位置，有種站法，其余三名學(xué)生任意排列有種排法,則不同站法共有Ｎ=N1×N2=２×６＝12（種）?；蛘?四名同學(xué)全排時(shí),甲同學(xué)與老師相鄰與甲同學(xué)與老師不相鄰各占，故有．故選:BCD.易錯(cuò)點(diǎn)二:“捆綁法"中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列"（不相鄰問題）不相鄰問題技巧總結(jié)1.思路:對(duì)于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進(jìn)行全排列,然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計(jì)算即可2.解題步驟:①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法),求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)易錯(cuò)提醒:處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法",即把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)元素,然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。處理不相鄰問題的基本方法是“插空法",即先安排好沒有限制條件的元素,然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序,應(yīng)先進(jìn)行排列。例、有３名男生，４名女生,在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．(1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起;（2）全體排成一行,其中男生必須排在一起。錯(cuò)解：(1)男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個(gè)整體,分別全排列，所以共有種排法；(２）將男生看成一個(gè)整體，與女生進(jìn)行全排列即可,所以共有種排法.錯(cuò)因分析:解決此類問題時(shí)將“在一起”的進(jìn)行“捆綁"，與其他元素進(jìn)行排列即可．錯(cuò)解中(1）忽略了將男女生所看成的兩個(gè)整體進(jìn)行排列,即忽略了“整體排列"；（2）忽略了將男生進(jìn)行排列，即忽略了“內(nèi)部排列"．正解:(1）男、女生各站在一起,先把男女生各看成一個(gè)整體，分別全排列，最后兩個(gè)整體全排列①，所以共有種排法；（2)將男生看成一個(gè)整體，先進(jìn)行內(nèi)部排列，再與女生進(jìn)行全排列即可②，所以共有種排法.變式1:為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍,某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排,以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）Ａ.10種 B．１2種 C.16種 D．2４種解:如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動(dòng)有2種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動(dòng)有1種方法;主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動(dòng)有1種方法，則此時(shí)共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個(gè)階段有種方法。綜合得不同的安排方案共有10種。故選：A變式2:甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（

)A． B.?C。 Ｄ．解：甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列,然后丙、丁從3個(gè)空中選2個(gè)空插入，則共有種方法,所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為,故選：A變式3:某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排,則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有（

）A．１2種 B．2４種 C。72種?D。120種解:先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法,所以舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有種排法,故選：A。1．４名男生和３名女生排隊(duì)（排成一排)照相，下列說法正確的是(

）A。若女生必須站在一起，那么一共有種排法B.若女生互不相鄰，那么一共有種排法Ｃ.若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊,乙不站最右邊，那么一共有種排法【答案】AC【分析】分別利用捆綁法、插空法、優(yōu)先安排特殊元素法、間接法依次求解.【詳解】選項(xiàng),利用捆綁法，將3名女生看成一個(gè)整體,其排列方式有種，加上４名男生一共有5個(gè)個(gè)體,則有種排列方式,則由乘法原理可知一共有種排法，故正確；選項(xiàng)，利用插空法，４名男生排成一排形成5個(gè)空，其排列方式有種，再將3名女生插入空中,有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故不正確;選項(xiàng)，利用優(yōu)先安排特殊元素法,甲不站最中間，甲先從除中間之外的6個(gè)位置選一個(gè),其選擇方式有種,再將剩余的６人全排列，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法,故正確;選項(xiàng),利用間接法，3人站成一排共有種排法，若甲站最左邊有種排法,乙站最右邊有種排法,甲站最左邊且乙站最右邊有種排法，所以甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法,故不正確；故選:AＣ。2。某校文藝匯演共6個(gè)節(jié)目,其中歌唱類節(jié)目3個(gè)，舞蹈類節(jié)目２個(gè)，語言類節(jié)目１個(gè)，則下列說法正確的是（

)Ａ．若以歌唱類節(jié)目開場(chǎng)，則有36０種不同的出場(chǎng)順序B．若舞蹈類節(jié)目相鄰,則有１20種出場(chǎng)順序C。若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場(chǎng)順序Ｄ.從中挑選2個(gè)不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié),則有１1種不同的選法【答案】AＤ【分析】根據(jù)全排列、捆綁法、插空法,結(jié)合分步與分類計(jì)數(shù)原理依次分析選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】A：從３個(gè)歌唱節(jié)目選１個(gè)作為開場(chǎng),有種方法,后面的5個(gè)節(jié)目全排列,所以符合題意的方法共有種，故A正確；B:將2個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁在一起,有種方法,再與其余４個(gè)節(jié)目全排列，所以符合題意的方法共有，故Ｂ錯(cuò)誤;Ｃ：除了2個(gè)舞蹈節(jié)目以外的4個(gè)節(jié)目全排列,有種，再由4個(gè)節(jié)目組成的5個(gè)空插入2個(gè)舞蹈節(jié)目，所以符合題意的方法有種,故Ｃ錯(cuò)誤;D：符合題意的情況可能是1個(gè)歌唱1個(gè)舞蹈、1個(gè)歌唱1個(gè)語言、１個(gè)舞蹈1個(gè)語言，所以不同的選法共種,故D正確。故選:AD.3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是(

)A．個(gè)空位全都相鄰的坐法有種B。個(gè)空位中只有個(gè)相鄰的坐法有種Ｃ。個(gè)空位均不相鄰的坐法有種Ｄ。4個(gè)空位中至多有個(gè)相鄰的坐法有種【答案】AC【分析】對(duì)于A，用捆綁法即可；對(duì)于B，先用捆綁法再用插空法即可；對(duì)于Ｃ，用插空法即可;對(duì)于D，用插空法的同時(shí)注意分類即可.【詳解】對(duì)于A，將四個(gè)空位當(dāng)成一個(gè)整體，全部的坐法:種,故Ａ對(duì);對(duì)于B,先排4個(gè)學(xué)生，然后將三個(gè)相鄰的空位當(dāng)成一個(gè)整體，和另一個(gè)空位插入5個(gè)學(xué)生中有種方法，所以一共有種,故B錯(cuò)；對(duì)于C，先排４個(gè)學(xué)生，4個(gè)空位是一樣的，然后將4個(gè)空位插入4個(gè)學(xué)生形成的個(gè)空位中有種,所以一共有,故C對(duì);對(duì)于D，至多有２個(gè)相鄰即都不相鄰或者有兩個(gè)相鄰,由C可知都不相鄰的有12０種,空位兩個(gè)兩個(gè)相鄰的有：,空位只有兩個(gè)相鄰的有，所以一共有種,故Ｄ錯(cuò)；故選:ＡC。4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué),下列說法正確的是（

）。A．若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有１2種B.若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲，則不同的排法共有4２種C。若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué),則不同的分配方案有3６種【答案】ＢCＤ【分析】根據(jù)相關(guān)的計(jì)數(shù)原理逐項(xiàng)分析．【詳解】對(duì)于A，將甲乙捆綁有種方法,若戊在丙丁之間有排法,丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有種方法;若丙丁相鄰,戊在左右兩邊有種排法，但甲乙必須插在丙丁之間,一共有種排法，所以總的排法有，故Ａ錯(cuò)誤；對(duì)于Ｂ，若甲在最左端,有種排法，若乙在最左端，先排甲有種排法，再排剩下的３人有，所以總共有種排法，正確；對(duì)于C，先將甲乙丙按照從左至右排好,采用插空法，先插丁有種,再插戊有種,總共有種,正確；對(duì)于D,先分組，將甲乙丙丁分成３組有種分法，再將分好的３組安排在3個(gè)社區(qū)有種方法，共有種方法，正確；故選：BCD.5．現(xiàn)將9把椅子排成一排,５位同學(xué)隨機(jī)就座,則下列說法中正確的是（

)Ａ.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有720種B。４個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有1800種Ｃ．４個(gè)空位均不相鄰的坐法有1８00種D．４個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有９000種【答案】AC【分析】對(duì)于A，用捆綁法即可;對(duì)于B,先用捆綁法再用插空法即可;對(duì)于C,用插空法即可;對(duì)于D,用插空法的同時(shí)注意分類即可.【詳解】對(duì)于A，將四個(gè)空位當(dāng)成一個(gè)整體，全部的坐法:,故A對(duì)；對(duì)于Ｂ,先排5個(gè)學(xué)生,然后將三個(gè)相鄰的空位當(dāng)成一個(gè)整體,和另一個(gè)空位插入5個(gè)學(xué)生中有中方法，所以一共有種，故B錯(cuò);對(duì)于C，先排５個(gè)學(xué)生，4個(gè)空位是一樣的，然后將４個(gè)空位插入5個(gè)學(xué)生中有種,所以一共有，故C對(duì)；對(duì)于D，至多有2個(gè)相鄰即都不相鄰或者有兩個(gè)相鄰,由C可知都不相鄰的有1800種,空位兩個(gè)兩個(gè)相鄰的有：，空位只有兩個(gè)相鄰的有,所以一共有種，故D錯(cuò)；故選：AC6?，F(xiàn)有3位歌手和４名粉絲站成一排,要求任意兩位歌手都不相鄰,則不同的排法種數(shù)可以表示為（

)A。 B。Ｃ。?D。【答案】CD【分析】第一種排法：先排4名粉絲，然后利用插空法將歌手排好；第二種排法：先計(jì)算3位歌手和２位歌手站一起的排法,然后利用總排法去掉前面兩種不滿足題意的排法即可【詳解】第一種排法:分２步進(jìn)行：①將４名粉絲站成一排，有種排法；②4人排好后，有５個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排三名歌手，有種情況。則有種排法,第二種排法：先計(jì)算３位歌手站一起，此時(shí)3位歌手看做一個(gè)整體，有種排法，再計(jì)算恰好有２位歌手站一起,此時(shí)2位歌手看做一個(gè)整體，與另外一個(gè)歌手不相鄰，有種排法,則歌手不相鄰有種排法．故選：CD７．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”,某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)"六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是(

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周,共有240種排法C.課程“御"“書”“數(shù)"排在相鄰的三周,共有1４4種排法Ｄ．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有４８０種排法【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識(shí)可以判斷A正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷B錯(cuò)誤;相鄰問題利用捆綁法可以判斷C正確；利用特殊位置法可以判斷D正確．【詳解】對(duì)于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；對(duì)于B,先排“禮”、“御"、“書”、“數(shù)",再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種,Ｂ錯(cuò)誤；對(duì)于C，“御”“書"“數(shù)"排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個(gè)元素,不同排法共有種,C正確；對(duì)于Ｄ，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗(yàn)課程共有種，D正確.故選:ACD．８。有甲、乙、丙等6名同學(xué),則說法正確的是(

）A.6人站成一排,甲、乙兩人不相鄰,則不同的排法種數(shù)為4８0B．６人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位,則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學(xué)平均分成三組到A、Ｂ、C工廠參觀（每個(gè)工廠都有人),則有90種不同的安排方法Ｄ.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起,則不同的分組方法有6種【答案】ＡＣD【分析】A選項(xiàng)，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法;B選項(xiàng),利用倍縮法求解;C選項(xiàng)，先進(jìn)行平均分組，再進(jìn)行全排列，得到答案；D選項(xiàng)，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分組,再進(jìn)行全排列,得到答案.【詳解】A選項(xiàng),6人站成一排,甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的４人進(jìn)行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，A正確；B選項(xiàng)，6人站成一排,甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進(jìn)行求解,即種不同的站法，Ｂ錯(cuò)誤；Ｃ選項(xiàng)，6名同學(xué)平均分成三組到Ａ、B、Ｃ工廠參觀（每個(gè)工廠都有人），則有種不同的安排方法,C正確；D選項(xiàng),6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng),甲、乙、丙在一起，若還有一位同學(xué)與他們一組,共有種分法；若三組同學(xué)分為3人一組，2人一組和1人一組,先將除甲、乙、丙外的剩余３人分為兩組,有種分法;共有種分組方法,D正確。故選:ACD9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是(

)A。若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B.若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲，則不同的排法共有４2種C。若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì),則不同的排法有2０種Ｄ.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng),每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有72種【答案】ＢC【分析】根據(jù)排列組合的典型方法：捆綁法、插空法、優(yōu)限法、定序法、分組分配法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，若五位同學(xué)排隊(duì)甲、乙必須相鄰的安排有種，然后與戊全排列的安排種,丙、丁不能相鄰的安排有種,共有種，故A不正確;對(duì)于B,若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則當(dāng)甲在左端時(shí),則有種安排方法；當(dāng)乙在左端時(shí)，甲有種安排方法，其他人有種安排方法,故符合的總的安排方法種數(shù)為種,故B正確；對(duì)于C,若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì),則不同的排法有種，故Ｃ正確;對(duì)于D,若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，則4人分三組的分組方法數(shù)為，再把三個(gè)組分配到三個(gè)社區(qū)的種方法數(shù)為，則總的安排方法數(shù)為種，故Ｄ不正確。故選：BC。１０.４名男生和３名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰,則不同的排法種數(shù)是（

)A。３6?B。72 C．８1?Ｄ.1４４【答案】D【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到３名女生之間的4個(gè)空位上，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,即可求得答案?！驹斀狻坑深}意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到３名女生之間的４個(gè)空位上，故共有種不同的排法，故選：Ｄ11。杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬９月1４日在浙江臺(tái)州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺(tái)州活力城市”為主題,全長(zhǎng)8公里．從和合公園出發(fā),途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

)Ａ．288種?B．36０種?Ｃ.480種 D。504種【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)以及插空法的知識(shí)求得正確答案．【詳解】先安排甲乙以外的個(gè)人，然后插空安排甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種．故選:C1２．，，，，五名學(xué)生按任意次序站成一排,其中和不相鄰,則不同的排法種數(shù)為（

)A.72?B．36 C.18 D．64【答案】A【分析】先將其余三人全排列，利用插空法求解.【詳解】解：先將其余三人全排列，共有種情況，再將和插空,共有種情況，所以共有種情況，故選:A.13．某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科（語文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（

）Ａ．?B。 C.?D．【答案】B【分析】利用全排列與插空法分別求得所需要考試順序種類,再利用古典概型即可得解.【詳解】這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序有種，先安排語文、政治形成３個(gè)空隙,再將數(shù)學(xué)、物理插入到其中2個(gè)空隙中，則物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的考試順序共有種，所以所求概率為。故選：Ｂ。14．現(xiàn)有4男3女共７個(gè)人排成一排照相,其中三個(gè)女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A．?Ｂ.?Ｃ．?D.【答案】B【分析】用排除法，即7人的全排列減去3個(gè)女生都不相鄰的情形(用插空法求三女生全不相鄰的排法）．【詳解】7個(gè)人全排列誠去３個(gè)女生全部相鄰的情形，即，故選：B.１5．黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比,即把一條線段分成長(zhǎng)短不等的，兩段,使得長(zhǎng)線段與原線段的比等于短線段與長(zhǎng)線段的比，即，其比值約為０。618339….小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開機(jī)密碼，如果兩個(gè)3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（

）A．180 Ｂ．２１0 C.2４0?D.3６0【答案】Ｃ【分析】用插入法求解?！驹斀狻肯劝雅帕?然后選兩個(gè)空檔插入3，總方法為.故選：Ｃ.易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合)１。兩個(gè)重要公式（１）排列數(shù)公式．(2）組合數(shù)公式2、要點(diǎn)：一般用于計(jì)算,而和一般用于證明、解方程（不等式）.重點(diǎn)：三個(gè)重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)(1)對(duì)稱性：；組合意義：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素,則.從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素后只剩下個(gè)元素了，則從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素與從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素是等效的.則，故.等式特點(diǎn)：等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).應(yīng)用：①簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)時(shí),通常將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算,如②列等式:由,可得或，如，則或故或。；組合意義:從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素,則.對(duì)于某一元素,只存在著取與不取兩種可能,如果取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素,所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有,根據(jù)分類加法原理：.等式特點(diǎn):下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多１而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組合數(shù)．應(yīng)用:恒等變形常見的組合恒等式：,,，。(3）．重點(diǎn)：三個(gè)重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)(1）對(duì)稱性:；組合意義：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，則。從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素后只剩下個(gè)元素了,則從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素與從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素是等效的．則，故．等式特點(diǎn):等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)。應(yīng)用：①簡(jiǎn)化計(jì)算,當(dāng)時(shí)，通常將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算,如②列等式：由，可得或，如，則或故或．；組合意義:從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，則．對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有種,如果不取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有,根據(jù)分類加法原理:.等式特點(diǎn):下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多１而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組合數(shù)。應(yīng)用：恒等變形常見的組合恒等式：,，，．（3).易錯(cuò)提醒：解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點(diǎn)(1）元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題。(2）對(duì)于有限多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題,應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．例、解不等式．【錯(cuò)解】由排列數(shù)公式得,化簡(jiǎn)得ｘ２-19x＋84＜０，解之得７＜ｘ〈12。因?yàn)閤∈N＊，所以ｘ＝８，９,10,11.【錯(cuò)因】在排列數(shù)公式A中,隱含條件m≤ｎ，m∈N＊，n∈Ｎ*，錯(cuò)解中沒有考慮到x—2＞0,8≥ｘ,導(dǎo)致錯(cuò)誤．【正解】由，得，化簡(jiǎn)得x２—１9ｘ＋84＜0，解之得7〈ｘ<１２，①又所以2<x≤8，②由①②及x∈N＊得ｘ＝8．【答案】x＝８.變式1.若，則n的值為(

）A.7 Ｂ．8?C.9 D．10解:因?yàn)?，則由組合數(shù)的性質(zhì)有，即，所以n的值為10．故選:Ｄ變式2．計(jì)算++＋＋的值為（

）A。?B．C．—1 D?！?解：.故選：C。變式3．若整數(shù)滿足,則的值為(

）A．１?Ｂ。 C.1或?D。1或3解：由題可知或,整理得或，解得或或或．又,所以只有和滿足條件，故的值為1或．故選：C1．可表示為(）A。?B．C.?D?！敬鸢浮緽【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義可得出答案?！驹斀狻?，故選:B.２．已知，則（

)Ａ．6?Ｂ．7?C．8?Ｄ．９【答案】C【分析】根據(jù)排列組合公式得到，解得答案．【詳解】，即,故,故。故選：C3。！除以2019的余數(shù)為(

）A。1 B.20１8?C.2017?D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【分析】利用裂項(xiàng)可求，故可求余數(shù)?！驹斀狻款}中式子即,注意到,于是，因此所求余數(shù)為２0１８。故選:B.4．甲，乙，丙3位同學(xué)從即將開設(shè)的4門校本課程中任選一門參加,則他們參加的校本課程各不相同的概率為(

）A。 B．?C.?D．【答案】A【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】甲，乙，丙3位同學(xué)從開設(shè)的4門校本課程中任選一門參加的事件數(shù)為甲，乙，丙３位同學(xué)參加的校本課程各不相同的事件數(shù)為故所求概率為故選:A5．若,則ｎ等（

）A。8 B．4 C.3或4 D．５或6【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，化簡(jiǎn)，即可求出?！驹斀狻坑深}意，根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式,可得，,則，且,解得:．故選:Ａ6.若，則正整數(shù)（

）A．7?B．8 Ｃ.9 D。10【答案】B【分析】利用組合數(shù)、排列數(shù)的定義直接展開，解方程即可求得.【詳解】因?yàn)?所以，解得:．故選：87．一條鐵路有n個(gè)車站,為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了m個(gè)車站，且知,客運(yùn)車票增加了62種,則現(xiàn)在車站的個(gè)數(shù)為（

）A。15 B．１６?Ｃ。1７?D.18【答案】Ｃ【分析】由題意得，化簡(jiǎn)計(jì)算可得,由于，，可得，從而可求出,經(jīng)驗(yàn)證可得答案【詳解】原來個(gè)車站有種車票，新增了個(gè)車站，有種車票，由題意得，即,整理得,∴,∵，，∴，∴，解得，即。當(dāng)時(shí),均不為整數(shù),只有當(dāng)時(shí),符合題意，∴，故現(xiàn)在有17個(gè)車站.故選:C。8.不等式的解集為（

）Ａ。{2，8} B．｛２，6}Ｃ．｛7,１2}?D．｛8｝【答案】D【解析】直接根據(jù)排列數(shù)公式展開，再解不等式，即可得答案?！驹斀狻浚獾茫?又,,即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)公式的計(jì)算、不等式求解,考查基本運(yùn)算求解能力.９.若，則?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，?所以，因?yàn)椋?故答案為:１0．已知，求x的值?！敬鸢浮??！痉治觥扛鶕?jù)給定條件，利用排列數(shù)公式直接計(jì)算作答．【詳解】，化為：，即，解得,所以x的值為。11．解關(guān)于正整數(shù)x的不等式．【答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)的公式計(jì)算求解。【詳解】由，可得，所以,整理得,解得,又因?yàn)?，所?12。解關(guān)于正整數(shù)n的方程：.【答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式即可求解．【詳解】由排列數(shù)的定義，有由此解得．此外，原方程可化為，再化簡(jiǎn)，可得,即,即．舍去非整數(shù)的根,故.13.已知,且.求的值.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解可得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則且，所以，整理可得,解得．令，則，因此,.１4。(１）解不等式．(2）若,求正整數(shù)ｎ。【答案】（1);(２)．【分析】(１）根據(jù)排列數(shù)及排列數(shù)公式，計(jì)算即可；(2）根據(jù)組合數(shù)及組合數(shù)公式，計(jì)算即可.【詳解】（１）由,可得，可得．可得，所以,即，因?yàn)?，?,,所以；（2),故，解得。1５.(1）若,則x=。（２)不等式的解集為.【答案】5【分析】（1)根據(jù)排列數(shù)公式即可求解;（2)根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算公式及性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式求其解集即可.【詳解】(1）且，，化簡(jiǎn)得，解得（不合題意，舍去），;（2)∵,∴，即，解得.∵,∴?！嗟娜≈导蠟?。故答案為：5；。易錯(cuò)點(diǎn)四：實(shí)際問題不清楚導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或者遺漏致誤（加法與乘法原理)正難則反問題技巧總結(jié)正難則反排除處理：對(duì)于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面(取補(bǔ)集的思想）,一般在題目中有字眼“至多、至少"等體現(xiàn).正規(guī)方法：限制(定位)問題優(yōu)先處理：某個(gè)（幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)（幾個(gè)）元素，再排其它元素,或某個(gè)(幾個(gè)）位置要求排指定元素，可先排這個(gè)（幾個(gè))位置，再排其它位置。(即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。秒殺方法:對(duì)立事件處理+韋恩圖解釋模型：７個(gè)同學(xué)站隊(duì),要求甲同學(xué)不站在排首，乙同學(xué)不站在排尾，求站隊(duì)的總方案數(shù).破解：①全部方案:，②其中不合理的方案則種方案。解釋：易錯(cuò)提醒：排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大,對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)就要遵循一定的解題原則,如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時(shí),解答組合問題必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題。例、有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這2０個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有多少種？易錯(cuò)分析：由于對(duì)實(shí)際問題中“至少有1個(gè)一等品”意義理解不明，可能導(dǎo)致下面的錯(cuò)誤解法：按分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一步確保有1個(gè)一等品,有種取法;第二步從余下的1９個(gè)零件中任取兩個(gè),有種不同的取法，故共有（種）取法，實(shí)際上這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。下面我們作如下分析，第一步取出1個(gè)一等品，那么第二步就有3種可能：①取出的2個(gè)都是二等品，這時(shí)的取法有（種）;②取出１個(gè)一等品，1個(gè)二等品，因?yàn)槿〕?個(gè)一等品是分步完成的，這2個(gè)一等品的取法就有了先后順序，而實(shí)際上這2個(gè)一等品是沒有先后順序的，因此這時(shí)的取法就產(chǎn)生了多一倍的重復(fù)，即這時(shí)的取法有（種）；③取出的２個(gè)都是一等品，這時(shí)我們?nèi)〕龅模硞€(gè)都是一等品了，實(shí)際的取法種數(shù)應(yīng)是。正解：方法一將“至少有1個(gè)是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個(gè)一等品”“恰有2個(gè)一等品”“恰有3個(gè)一等品”。由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同取法有(種）.方法二考慮其對(duì)立事件“３個(gè)都是二等品”，用間接法，得至少有1個(gè)一等品的不同取法有(種)易錯(cuò)警示:對(duì)于“至少”“至多”類型的問題，考生應(yīng)注意從兩個(gè)方面處理：一是從正面進(jìn)行處理,可以根據(jù)要求進(jìn)行合理分類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解;二是求解該事件的對(duì)立事件,即利用排除法求解,其實(shí)質(zhì)還是先進(jìn)行分類。求解時(shí)要根據(jù)具體情況選取類別較少的一種方法進(jìn)行解答。變式1：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面點(diǎn)，不同取法有種.解:任取4個(gè)點(diǎn)共有種，再考慮不滿足條件的取法：＝1\＊GB３\*MＥRＧEFＯRMAT①每個(gè)表面六個(gè)點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)共面,即種;=2\＊GB３\＊MERGEFORMＡT②每一條棱與對(duì)棱中點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)共面，有6種;=3\＊GB３\＊MＥRＧEＦＯRMAＴ③與對(duì)棱平行的平行四邊形共面，有3種，共有210-60—6－3＝1４1種。變式2:從５名男醫(yī)生、４名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()A．70種B.80種Ｃ。100種Ｄ。１4０種解:方法一：正難則反排除法：從9名醫(yī)生中任意選3名醫(yī)生有種,不滿足的有：=１\＊GB3\*ＭERGEFＯRMAT①都是男醫(yī)生種；=２\*GB3\*MERＧＥFORMAT②都是女醫(yī)生種,共有種，選C。方法二:多元問題分類處理法：=１\＊GB3\*MERGEFＯRMＡＴ①男醫(yī)生2名、女醫(yī)生１名：有種；=２\*ＧB3\*ＭＥRGＥFORMＡT②男醫(yī)生1名、女醫(yī)生2名:，一共有+=7０種，選C。錯(cuò)誤做法：,出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算。變式３：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為０，項(xiàng)為1,且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)。若,則不同的“規(guī)范0１數(shù)列”共有（）Ａ．１8個(gè)B．１6C.１4個(gè)D.12個(gè)解：,方法一：列舉法:可列舉出中間六項(xiàng)所有可能性共有１4種，選C。方法二:正難則反排除法：中間六項(xiàng)共有種，0的個(gè)數(shù)小于1的個(gè)數(shù)有6種,共１4種。１.高考期間，為保證考生能夠順利進(jìn)入考點(diǎn)，交管部門將５名交警分配到該考點(diǎn)周邊三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少1人，至多2人,則不同的分配方染共有(

）A．60種?Ｂ．90種?Ｃ。1２5種 D.150種【答案】B【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析:將5名交警分成1、２、2的三組；將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)路口，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析:將5名交警分成1、2、２的三組,有種分組方法；將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)路口,有種情況，則共有種分配方案．故選：B。2。某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B,C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位。已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗,C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗,則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（

）A．?B。 C．?D．【答案】Ｂ【分析】求出三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約接種疫苗的基本事件數(shù),再求出甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的基本事件數(shù)，然后利用古典概率公式計(jì)算作答,【詳解】當(dāng)A,B,Ｃ三家醫(yī)院都接待一個(gè)單位時(shí)有種，當(dāng)Ａ，B,C三家醫(yī)院有兩家接待兩個(gè)單位時(shí)有種,因此，三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約接種疫苗的基本事件有個(gè),它們等可能,甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的事件M，即甲不選C醫(yī)院,選Ａ，Ｂ醫(yī)院之一，有種選法，乙、丙從A，B，Ｃ三家醫(yī)院中任選一家，去掉他們都選A醫(yī)院的情況，有種選法，因此,事件M含有的基本事件數(shù)為個(gè)，所以甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率．故選：B３．將3張不同的電影票全部分給10個(gè)人,每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（

)Ａ。 Ｂ．120 C．240?D。7２0【答案】Ｄ【分析】由題意知:問題等價(jià)于3個(gè)元素排10個(gè)位置，應(yīng)用排列數(shù)計(jì)算不同的分法種數(shù)即可?！驹斀狻坑深}設(shè)，相當(dāng)于3個(gè)元素排10個(gè)位置,有種不同的分法.故選:D.４．用數(shù)字3,６,9組成四位數(shù),各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù),且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

）Ａ．８1 Ｂ．48 Ｃ．3６?D。24【答案】B【分析】根據(jù)題意,分2種情況討論:①數(shù)字3不出現(xiàn)，②數(shù)字３出現(xiàn)1次，求出每種情況下四位數(shù)的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意,數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，分2種情況討論：①數(shù)字3不出現(xiàn)，此時(shí)四位數(shù)的每個(gè)數(shù)位都可以為６或９，都有２種情況，則此時(shí)四位數(shù)有2×2×2×2＝16個(gè)；②數(shù)字3出現(xiàn)1次，則數(shù)字3出現(xiàn)的情況有4種，剩下的三個(gè)數(shù)位,可以為６或9，都有２種情況，此時(shí)四位數(shù)有4×2×２×2=32個(gè),故有16+32=48個(gè)四位數(shù)，故選:B．5。從４名優(yōu)秀學(xué)生中選拔參加池州一中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三學(xué)科培優(yōu)研討會(huì)，要求每名學(xué)生至多被一學(xué)科選中,則每學(xué)科至少要選用一名學(xué)生的情況有（

）種A．２4 Ｂ.36?C。４8 Ｄ。６０【答案】D【分析】首先，根據(jù)題意，分析得出應(yīng)該分兩類情況,共選3人參加研討會(huì)和4名學(xué)生都參加,之后各自應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果,之后應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】依題意，分兩類情況:（1）每個(gè)學(xué)科選1人，共選3人參加研討會(huì)，從4名學(xué)生中選3名進(jìn)行排列即可，有種情況;（２)4名學(xué)生都參加,則必然有２名學(xué)生參加同一學(xué)科的研討會(huì)，先從4名學(xué)生中選2名看作一個(gè)整體,有選法，將這個(gè)整體與其他學(xué)生全排列即可，有種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種情況，綜上所述,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，每學(xué)科至少一名學(xué)生的情況有種，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于簡(jiǎn)單題目。6．將５個(gè)不同的小球放入３個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球,至多２個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）Ａ。30種 Ｂ。90種 Ｃ。180種?D.270種【答案】Ｂ【分析】對(duì)三個(gè)盒子進(jìn)行編號(hào)1,2，3，則每個(gè)盒子裝球的情況可分為三類:１,2，２；2,1，2;２，2,1;且每一類的放法種數(shù)相同．【詳解】先考慮第一類，即3個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)為：1，2,2，則第1個(gè)盒子有:，第2個(gè)盒子有:,第3個(gè)盒子有:，第一類放法種數(shù)為,不同的放法種數(shù)有?！军c(diǎn)睛】考查分類與分步計(jì)算原理，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)是解決問題的突破口.7．哈六中高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人,要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為A。?B．?C。?D?！敬鸢浮緽【分析】試題分析：分兩種情況，三班沒人時(shí)，有種選法，三班恰有１人時(shí),有種選法,所以共有種取法.故選B。8．下列說法正確的是（

)A．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目,每人報(bào)一項(xiàng),共有81種報(bào)名方法B．４名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目,每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有24種報(bào)名方法Ｃ。4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有64種可能的結(jié)果Ｄ。從0，2中選一個(gè)數(shù)字,從１，３,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為1２個(gè)【答案】ABC【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知A、C項(xiàng)正確；先選人，后排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出B項(xiàng)；分為選０以及選2兩種情況，分別求出結(jié)果，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得出Ｄ項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，每位同學(xué)均有３種選擇,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有種報(bào)名方法,故A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng),第一步從4位同學(xué)中選出3人,有種方法；第二步,選出的3名同學(xué)，選擇不同的項(xiàng)目,有種方法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有種報(bào)名方法，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，每項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的冠軍都有４種可能，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種可能的結(jié)果，故C項(xiàng)正確;對(duì)于D項(xiàng)，若選擇0,則0只能在第二位，其他兩位從3個(gè)奇數(shù)中選擇2個(gè)排好,所以有種可能；若選擇２，則2可以排在前兩位，有2種可能,其他兩位從3個(gè)奇數(shù)中選擇2個(gè)排好，所以有種可能。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種可能，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABC。9．如圖,線路從到之間有五個(gè)連接點(diǎn)，若連接點(diǎn)斷開，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通,則下列判斷正確的是（

)A.至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種?Ｂ。至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種C．共有種?D．共有種【答案】ＡC【分析】分五種情況分別討論求解可得出.【詳解】若有1個(gè)斷點(diǎn),則1,5中斷開１個(gè),有２種情況；若有2個(gè)斷點(diǎn),則1，5都斷開有１種;1,5斷開1個(gè)，2，3，4斷開１個(gè)有種,共種情況；若有3個(gè)斷點(diǎn)，則2,3,4斷開有1種；1，5都斷開，2,3,４斷開1個(gè)有3種；1,5斷開1個(gè)，2,3,4斷開2個(gè)有種，共種;若有４個(gè)斷點(diǎn),則１,5都斷開,2，3，4斷開2個(gè)有３種;1,5斷開1個(gè)，２,３，4都斷開有2種，共有種；若有５個(gè)斷點(diǎn),有1種情況。綜上，至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種,故A正確,B錯(cuò)誤；所有情況共有種，故Ｃ正確，Ｄ錯(cuò)誤．故選：AC．１0.某班有5名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的四個(gè)比賽項(xiàng)目,計(jì)算在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法。（１)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(２）每項(xiàng)限報(bào)一人,每項(xiàng)都有人報(bào)名，且每人至多參加一項(xiàng)；（３)每人限報(bào)一項(xiàng)，人人參加了項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加．【答案】（１)10２4種；（２）120種；（3)240種．【分析】(１）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可；(2）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可；（3）利用部分平均分組的方法求解即可;【詳解】(1)每人都可以從這四個(gè)項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng),各有4種不同的選法,由分布計(jì)數(shù)原理知共有種。（2)每項(xiàng)限報(bào)一人，每項(xiàng)都有人報(bào)名,且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有5種不同的選法，第二個(gè)項(xiàng)目有4種不同的選法，第三個(gè)項(xiàng)目有3種不同的選法，第四個(gè)項(xiàng)目有2種不同的選法，由分步計(jì)數(shù)原理得共有報(bào)名方法種。(3）每人限報(bào)一項(xiàng)，人人參加，且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加,故此需將5人分成４組，有種．每組參加一個(gè)項(xiàng)目,由分步計(jì)數(shù)原理得共有種．１1.已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)對(duì)它們一一進(jìn)行測(cè)試,直至找到所有次品．（１)若在第5次測(cè)試時(shí)找到最后一件次品,則共有多少種不同的測(cè)試方法?（２）若至多測(cè)試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？【答案】(1）７20種（2）93６種【分析】(1）由題意可知前四次中有兩件次品兩件正品,第五次為次品，所以選出排列即可.(2)至多五次能找到，包括檢測(cè)3次都是次品，檢測(cè)四次測(cè)出３件次品,檢測(cè)五次測(cè)出３件次品或著檢測(cè)五次全是正品，剩下的為次品，以此求出每種情況求和可得結(jié)果?！驹斀狻拷?（1）若在第五次檢測(cè)出最后一件次品，則前四次中有兩件次品兩件正品，第五次為次品。則不同的檢測(cè)方法共有種.（2）檢測(cè)3次可測(cè)出3件次品，不同的測(cè)試方法有種檢測(cè)4次可測(cè)出3件次品，不同的測(cè)試方法有種；檢測(cè)５次測(cè)出3件次品，分為兩類：一類是恰好第5次測(cè)到次品，一類是前5次測(cè)到都是正品，不同的測(cè)試方法共有種.所以共有９３6種測(cè)試方法【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查分步計(jì)數(shù)的原理以及學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，最后一次的問題一定要注意最后一次是確定的事件，本題屬于中檔題．12．杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等6人報(bào)名參加了A、B、Ｃ三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需１名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目,若甲不能參加A、B項(xiàng)目,乙不能參加B、Ｃ項(xiàng)目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答)【答案】【分析】由題意，按照甲乙是否參加志愿活動(dòng)分4種情況討論，求出每種情況的選拔方案數(shù)量,再由加法計(jì)數(shù)原理相加計(jì)算．【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：①甲乙都不參加志愿活動(dòng),在剩下的４人中任選3人參加即可，有種選拔方法;②甲參加但乙不參加志愿活動(dòng)，甲只能參加Ｃ項(xiàng)目，在剩下的４人中任選2人參加A、B項(xiàng)目,有種選拔方法;③乙參加但甲不參加志愿活動(dòng)，乙只能參加A項(xiàng)目，在剩下的4人中任選2人參加Ｂ、C項(xiàng)目，有種選拔方法；④甲乙都參加志愿活動(dòng)，在剩下的4人中任選1人參加Ｂ項(xiàng)目,有種選拔方法，則有。故答案為：1３。某校在高二年級(jí)開設(shè)選修課，其中數(shù)學(xué)選修課開四個(gè)班。選課結(jié)束后，有四名同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但每班至多可再接收2名同學(xué)，那么不同的分配方案有(用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意，分三種情況討論：①每個(gè)班接收１名同學(xué);②其中一個(gè)班接收2名，其余兩個(gè)班各接收1名；③其中兩個(gè)班不接收,另兩個(gè)班各接收2名，由分類計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列、組合的知識(shí)，計(jì)算即可得解.【詳解】由題意,滿足要求的情況可分為三種：①每個(gè)班接收１名同學(xué),分配方案共有種；②其中一個(gè)班接收2名，其余兩個(gè)班各接收1名，分配方案共有種；③其中兩個(gè)班不接收，另兩個(gè)班各接收2名，分配方案共有種；所以不同的分配方案有種。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用,考查了運(yùn)算求解能力與分類討論思想，屬于中檔題。14．某單位有Ａ、B、Ｃ、D四個(gè)科室，為實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這8人中有２人返回原單位,但不回到原科室工作，且每科室至多安排１人,問共有種不同的安排方法?【答案】1９2【解析】分返回單位的2人原來在同一科室,以及２人原來不在同一科室兩種情況，分別求出安排方法數(shù)，把這兩類的方法數(shù)相加，即得所求。【詳解】返回單位的2人原來在同一科室時(shí)，有種方法,返回單位的2人原來不在同一科室時(shí)，有種方法，故不同的安排方法共有種方法，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查查排列與組合及兩個(gè)基本原理，考查分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,屬于中檔題．易錯(cuò)點(diǎn)五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問題）不同元素分組分配問題技巧總結(jié)分組問題與分配問題Ⅰ：將個(gè)不同元素按照某些條件分成組,稱為分組問題.分組問題共分為３類：不平均分組、平均分組、部分平均分組。將個(gè)不同元素按照某些條件分配給個(gè)不同的對(duì)象,稱為分配問題。分配問題共分為2類：定額分配、隨機(jī)分配．區(qū)別：分組問題是組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同,是不區(qū)分的。而分配問題即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的，對(duì)于分配問題必須先分組后分配.Ⅱ：分組問題的常見形式及快速處理方法①非均勻不編號(hào)分組:個(gè)不同元素分成組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是否分完，其分法種數(shù)為：如：6個(gè)不同的球分為３組，且每組數(shù)目不同，有多少種情況？②均勻不編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成不編號(hào)的組，假定其中組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡,其分法種數(shù)為（為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù))．如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以。除的原因?yàn)?如：1234５6平均分成3組，可能是也可能是或者是等,一共有種不同的組別,但這些組都是一樣的，所以除以．如：兩兩一組，分兩組，若直接用種,但列舉出來的分別為、、再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了．如:、、。如:6個(gè)不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種情況？.③非均勻編號(hào)分組:將個(gè)不同元素分成組，各組元素?cái)?shù)目均不相等,且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù))④均勻編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成組,各組元素?cái)?shù)目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù))。易錯(cuò)提醒:均勻分組和部分均勻分組在計(jì)數(shù)過程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象,注意計(jì)算公式的應(yīng)用。重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以．例、將６本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少一本的不同分法共有______種．(用數(shù)字作答）易錯(cuò)分析：先把6本不同的書分成４組，然后分給4個(gè)人,但該題易出錯(cuò)的地方有兩個(gè):一是分組考慮不全造成漏解，分組方式有２種，即3，1，1,１與2,2，1，1；二是2，２，1，1分組時(shí)，忽視平均分組問題造成增解．正解：把６本不同的書分成4組,每組至少一本的分法有2種．①1組有3本,其余3組每組1本，不同的分法共有(種）；②有2組每組2本，其余2組每組1本,不同的分法共有（種）。所以不同的分組方法共有２0＋４5＝65（種）．然后把分好的4組分給４個(gè)人，所以不同的分法共有（種)．故填1560。易錯(cuò)警示:關(guān)于分組問題,有均勻分組、不均勻分組和部分均勻分組三種，無論分成幾組，考生應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象，解決這類問題必須按照均勻分組的公式來解決．變式1：12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有(）種。A。Ｂ.3C．Ｄ.解：屬于平均分組且排序型，共有種，選A。變式2：將2名教師，4名學(xué)生分成２個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由１名教師和２名學(xué)生組成,不同的安排方案共有(）A。12種B.10種C.９種D。8種解：屬于平均分組且排序型，共有種,選A。變式３：某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有種。(用數(shù)字作答）解:屬于部分平均分組且排序型，即２,１，1，1；共有：種。如熟練可直接得表示分為四組，再進(jìn)行排序得：種.1．第１9屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年９月23日在杭州開幕,因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等４人報(bào)名參加了“蓮花"、“泳鏡”、“玉琮"三個(gè)場(chǎng)館的各一個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者,每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目。若甲不能參加“蓮花"場(chǎng)館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有(

)A．６種?B.１２種 C．18種 D。2４種【答案】Ｃ【分析】先從除甲外的３人中選１人參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，再安排另外兩個(gè)項(xiàng)目,利用排列、組合知識(shí)計(jì)算求解.【詳解】先從除甲外的3人中選１人參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目,再安排另外兩個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加“蓮花"場(chǎng)館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有種.故選：C。2。從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球、2個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（

）A．４2種?B．36種?Ｃ．72種?Ｄ．46種【答案】A【詳解】分以下幾種情況:①取出的兩球同色，有3種可能，取出球后則只能將兩球放在不同色的袋子中，則共有種不同的方法,故不同的放法有種.②取出的兩球不同色時(shí),有一紅一黃、一紅一藍(lán)、一黃一藍(lán)3種取法，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為種；取球后將兩球放在袋子中的方法數(shù)有種,所以不同的放法有種．綜上可得不同的放法有42種.選A．3.陽春三月，草長(zhǎng)鶯飛，三個(gè)家庭的3位媽媽和１位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共９人踏春．在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見,他們排隊(duì)前進(jìn)，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每?jī)晌淮笕酥g至多排2位寶寶,由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間．則不同的排法種數(shù)為(

）A。2１６ B．288C．4３2?Ｄ。5１2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,結(jié)合插空法、捆綁法列式計(jì)算作答?！驹斀狻壳蟛煌呐欧ǚN數(shù)這件事需要5步:先排3位媽媽，有種方法;把這位爸爸與2位男寶寶按爸爸在2位男寶寶之間,視為一個(gè)整體插入3位媽媽排列形成的中間2個(gè)間隙，有種方法;下面分為兩類:①再任取2位女寶寶排在２位沒有寶寶的媽媽間,有種方法；然后把余下的女寶寶排在男寶寶與媽媽的２個(gè)間隙中,有種方法；最后排2位男寶寶，有種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：不同的排法種數(shù)為；②再任取2位女寶寶排在男寶寶和媽媽間，有種方法；然后把余下的女寶寶排在沒有寶寶的媽媽中間,有種方法；最后排2位男寶寶,有種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得:不同的排法種數(shù)為；所以不同的排法共有種.故選:C【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置）為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素（或位置）．4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有(

）A．20種?Ｂ．３0種 Ｃ.5０種?D。60種【答案】A【分析】每個(gè)人被安排在另外兩個(gè)人前面的機(jī)會(huì)是均等的,利用排列得到答案?！驹斀狻棵總€(gè)人被安排在另外兩個(gè)人前面的機(jī)會(huì)是均等的,故共有種方法．故選：A5。杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作,甲?乙等６人報(bào)名參加了??三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加?項(xiàng)目，乙不能參加?項(xiàng)目,那么共有（

）種不同的選拔志愿者的方案。A．36 B.40?Ｃ．48?Ｄ．52【答案】D【分析】根據(jù)題意，按甲乙是否參加志愿活動(dòng)分4種情況討論,求出每種情況的選拔方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分４種情況討論：①甲乙都不參加志愿活動(dòng)，在剩下４人中任選3人參加即可，有種選拔方法,②甲參加乙不參加志愿活動(dòng),甲只能參加Ｃ項(xiàng)目，在剩下4人中任選2人參加A、B項(xiàng)目即可,有種選拔方法，③乙參加甲不參加志愿活動(dòng),乙