2025年中考數(shù)學幾何模型綜合訓練：最值模型之幾何轉(zhuǎn)化法求最值模型（全等、相似、中位線、對角線性質(zhì)等）學生版

專題39最值模型之幾何轉(zhuǎn)化法求最值模型

（全等、相似、中位線、對角線性質(zhì)等）

幾何中最值問題是中考的常見題型，變幻無窮，試題設(shè)計新穎，形式活潑，涵蓋知識面廣，綜合性強。

在各地中考數(shù)學試卷中，幾何最值問題也是重難點內(nèi)容，在中考數(shù)學試卷中通常出現(xiàn)在壓軸題的位置。

本專題我們所講的幾何轉(zhuǎn)化法求幾何最值是對前面八類幾何最值模型的一個補充。雖然我們前面講的

幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補充幾類幾何

轉(zhuǎn)化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質(zhì)（如：中位線、對角線、特殊的邊角關(guān)系等）轉(zhuǎn)化），

希望對大家有所幫助！

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模型1.幾何轉(zhuǎn)化模型-全等轉(zhuǎn)化法........................................................1

模型2.幾何轉(zhuǎn)化模型-相似轉(zhuǎn)化法........................................................2

模型3.幾何轉(zhuǎn)化模型-中位線轉(zhuǎn)化法......................................................4

模型4.幾何轉(zhuǎn)化模型-（特殊）平行四邊形對角線轉(zhuǎn)化法....................................5

模型5.幾何轉(zhuǎn)化模型-其他性質(zhì)轉(zhuǎn)化法....................................................6

習題練模型］

.....................................................................8

模型1.幾何轉(zhuǎn)化模型-全等轉(zhuǎn)化法

模型解讀

條件：OA=OB,OA'=OB',ZAOB=ZA'OB'；結(jié)論：△044'MAOBBLAA'=BB\

該類轉(zhuǎn)化法求最值的模型，三角形0/8和。4'8’在圖形中很難同時出現(xiàn)，需要我們通過輔助線構(gòu)造出手拉

手型的全等模型，從而將所求線段進行轉(zhuǎn)化。

模型運用

例1.（23-24八年級下?江蘇連云港?階段練習）如圖，在矩形中，ZDBC=30°,A8=2百，P是BC

邊上一動點，連接。尸，把線段。尸繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°到線段DQ，連接C。，則線段CQ的最小值為.

AD

例2.（23-24八年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點/的坐標為（。，8）,點8為x

軸上一動點，以AB為邊在直線48的右側(cè)作等邊三角形48c.若點P為。4的中點，連接尸C,則尸C的長

的最小值為

例3.（2024?四川內(nèi)江?二模）如圖，在AO/8中，NAOB=90°,BO=AO=2g，尸是03的中點，若點。

在直線上運動，連接OD,以為腰，向OD的右側(cè)作等腰直角三角形ODE,連接尸￡,則在點D的

運動過程中，線段PE的最小值為.

例4.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在V/BC中，AACB=90°,=4,點。是48的中點，以BC為

直角邊向作等腰RtASCO,連接O。，當。。取得最大值時，AOB。的面積為.

模型2.幾何轉(zhuǎn)化模型-相似轉(zhuǎn)化法

條件：OB=kOA,B'O=kOA',ZAOB=ZA'OB'-,結(jié)論：AOAA'S^OBB',BB'=k-AA'.

該類轉(zhuǎn)化法求最值的模型，三角形045和04'夕在圖形中很難同時出現(xiàn)，需要我們通過輔助線構(gòu)造出手拉

手型的相似模型，從而將所求線段進行轉(zhuǎn)化。

模型運用

例1.⑵-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習）如圖‘在四邊形"2中,2"女喘=》八1"=2,

則對角線/C的最小值為

例2.（2024上?浙江寧波?九年級校聯(lián)考期中）如圖，O。的直徑長為16,點E是半徑。/的中點，過

點E作CAL48交。。于點C,。.點尸在函5上運動，點。在線段C尸上，且尸。=2CQ.則E。的最大

能是_____________.

例3.（23-24八年級下?云南曲靖?期中）如圖，在矩形中，4B=3,BC=4,/C與AD交于點。,

分別過點C,D作BD,/C的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點尸是四邊形。CED邊上的動點，

則尸G的最小值是（）

AD

模型3.幾何轉(zhuǎn)化模型-中位線轉(zhuǎn)化法

模型解讀

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

條件：如圖，在三角形/8C的AS,NC邊的中點分別為。、E,

結(jié)論：（A）DE//BC&DE==BC,（2）^ADE^LABC.

2

證明：如圖1,過點。作交延長于點尸，：./A=NECF,ZF=ZADE,

是V/8C的中位線，：.AD=BD,AE=CE,.?.△/￡>￡絲△。尸￡（AAS）,/.DE=FE,CF=AD,

:.CF=BD,DE^-DF,又,：CF//BD,四邊形BCFO是平行四邊形，

2

BC=DF,BC//DF,：.DE//BC,DE=-BC；

2

DE//BC,/.ZADE=ZB,ZAED=ZC,：.AADEsAABCO

模型運用

例1.（2024?山東德州?二模）如圖，在平行四邊形N2CO中，/。=6,BD=8,ADLDB,點、M、N6

別是邊/8、BC上的動點（不與/、B、C重合），點￡、F分別為DN、的中點，連接好，則好

的最小值為（）

例2.（2024?廣東肇慶?一模）如圖，點。在以48為直徑的半圓上，。是半圓上不與點C重合的動點.連

接CQ,〃■是C。的中點，過點C作CPLN8于點P.若48=9,則的最大值是.

例3.（2023?四川成都?一模）已知矩形48。中，/8=240=8,點E、F分別是邊48、CD的中點，點P

為/。邊上動點，過點尸作與48平行的直線交相于點G,連接PE,點〃■是尸￡中點，連接MG,則MG的

最小值=?

模型4.幾何轉(zhuǎn)化模型-（特殊）平行四邊形對角線轉(zhuǎn)化法

模型解讀

該模型主要運用（特殊）平行四邊形對角線的性質(zhì)（如：平行四邊形對角線互相平分、矩形的對角線相等）

來將不易求得的某些線段轉(zhuǎn)化為能易求的線段進行求解。

模型運用

例1.（24-25九年級上?廣東河源?階段練習）如圖，在矩形4BCD中，AD=6,AB=8,W為線段5。上

一動點，MPLCD于點、P,于點。，則尸。的最小值為.

例2.（23-24九年級上?廣東茂名?期末）如圖，尸是Rt2\4BC的斜邊/C（不與點/、C重合）上一動點，

分別作于點PNLBC于點、N,。是的中點，若48=5,BC=12,當點P在/C上運動時,

BO的最小值是.

例3.（2024?河南周口?一模）如圖，RtA48C中，乙4cB=90。，AC=4,BC=6,點尸為N8上一個動

點，以尸C,尸2為鄰邊構(gòu)造平行四邊形尸8QC,連接尸。，則尸。的最小值為（）

A.-A/T3B.Vi-3C.A/T3D.yf\3

模型5.幾何轉(zhuǎn)化模型-其他性質(zhì)轉(zhuǎn)化法

模型解讀

如圖1,等腰三角形/5C中，AB=AC,ZBAC=120°,則2C=6NC

如圖2,等腰直角三角形/3C中，AB=AC,NA4c=90。，貝|5C=也/C

模型運用

例1.（23-24九年級上?廣西柳州?期末）如圖，正方形4BCD,邊長/8=2,對角線/C、8。相交于點O,

將直角三角板的直角頂點放在點。處，三角板兩邊足夠長.與BC、CD交于E、尸兩點，當三角板繞點O

旋轉(zhuǎn)時，線段斯的最小值為（）

A.1B.2C.V2D.272

例2.（23-24九年級上?廣東深圳?階段練習）如圖，在“8C中，AB=AC=4,/BAC=120°,P為BC邊

例3.（2024?江蘇無錫?三模）如圖，在四邊形4BCD中，AD//CB,對角線/C、BD交于點、O,且

ZAOB=12.0°.^AC+BD=4,則ND+8C的最小值為（）

例4.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在菱形48CD中，N/BC=120。，AB=24,點E、尸分別是4D、BC

邊上的兩個動點，連接心,EF,若FA平分NBFE,則?！甑淖畲笾禐椋ńY(jié)果保留根號）

習題練模型

1.（23-24九年級上?山西臨汾?期中）如圖，在“BC中，AB=BC=10,AC=12,點D,E分別是4B,3C

邊上的動點，連結(jié)。E,F,M分別是的中點，則廠”的最小值為（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

2.（2023?浙江杭州?二模）如圖，點。為VABC的內(nèi)心，/B=60。，BM手BN,點M,N分別為BC

上的點，且（W=ON.甲、乙兩人有如下判斷：甲：ZMON=\20°：乙：當JWJ.3C時，△跖?的周長有

最小值.則下列說法正確的的是（）

A.只有甲正確B.只有乙正確C.甲、乙都正確D.甲、乙都錯誤

3.（23-24八年級下?廣東江門?期中）如圖，已知正方形48。的邊長為4,點尸是對角線8。上一點，PEL8C

于點E,尸尸_LCD于點尸，連接4P,EF.給出下列結(jié)論：?AP=EF^.APLEF；?ZPFE=ZBAP；③

一定是等腰三角形；④四邊形尸EC廠的周長為4五；⑤斯的最小值為2/；@PB2+PD2=2PA2.其

中結(jié)論正確的是（）

A.①③④⑤B.②③④⑥C.①④⑤⑥D(zhuǎn).①②⑤⑥

4.（2024?江蘇揚州?三模）如圖，正方形/BCD邊長為4,以B為圓心，42為半徑畫弧，￡為弧NC上動

點，連BE,取BE中點尸，連CF,則DE+CF最小值為

AD

5.（24-25九年級上?福建廈門?期中）如圖，若RtZX/BC中，ZACB=90°,ZB=30°,/。=26，P是BC

邊上一動點，連接4P,把線段4P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到線段/。，連接CQ,則線段CQ的最小值為（）

A.1B.3C.V3D.26

6.（2023九年級下?安徽?專題練習）如圖，在ABCP中,BP=4i，尸C=4,現(xiàn)以BC為邊在8c的下方作

正方形48。并連接4P,則/P的最大值為（）

A.275B.6C.4+2夜D.726

7.（23-24八年級下?遼寧阜新?期中）如圖，邊長為20的等邊三角形中，M是高CH所在直線上的一

個動點，連接"B,將線段3M■繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接HV,則在點M運動的過程中，線段HN

A.3B.10C.5D.6

8.（2023?廣東湛江?二模）如圖，在OO上有頂點。和動點尸，位于直徑的兩側(cè)，過點。作。尸的垂線

4

與尸8的延長線交于點。.已知。。的直徑為10,tanZABC=-f則C0最大值為（）

15—2520

A.5B.—C.—-D.—

243

9.（23-24九年級上?遼寧遼陽?期末）如圖，在矩形/5C。中，AB=3,BC=4,AC與BD交于點、O,分

別過點C,。作BD,/C的平行線相交于點尸，點G是CD的中點，點P是四邊形OCED邊上的動點，則尸G

的最小值是（）

10.（2023?浙江紹興?模擬預測）如圖，在RtaEC中，已知//C8=90。，ZC=8,3c=10,。為平面上一

點，且50=6,M為CD上一點，且CA/：MD=3：2,則4W的最小值為.

11.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在口/5OC中，連接8C,BC=4,ZABC=120°,￡是邊CD上一

動點，連接BE,以BE為邊向左側(cè)作等邊△5EF,連接FC,則FC的最小值是.

12.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，在"BC中，乙4cB=90。,AC=BC=4,P是AASC的高CD上一

個動點，以3點為旋轉(zhuǎn)中心把線段BP逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到BP,連接。P,則DP的最小值

是

B

P'

/尸\

CA

13.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）如圖在菱形A8C。中，。為對角線/C與BD的交點，點?為邊4B上的

任一點（不與A、8重合），過點尸分別作尸ML/C,PN1BD,M、N為垂足，則可以判斷四邊形KPNO

的形狀為.若菱形的邊長為。，120°,則MN的最小值為.（用含。的式

子表示）

14.（23-24八年級下?江蘇鹽城?期中）如圖，“8C中，AB=AC=5cm,3c=8cm,P是邊/C上的一

個動點，以8c為對角線作平行四邊形APCD,則DP的最小值為cm.

D

15.（2024?山東泰安?二模）小明學習了四邊形后，對有特殊性質(zhì)的四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣

一類特殊的四邊形:兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形/8C。中，AC1BD,

垂足為O,對角線/C=4,BD=6,^S=AD+BC,貝ijs的最小值等于.

C

16.（2024?江蘇徐州?三模）如圖，在平面直角坐標系中，點4坐標是（-1,0）,點5的坐標是（2,0）,長為2

的線段CD在〉軸上移動，則力C+助的最小值是.

17.（23-24八年級下?浙江金華?階段練習）如圖，菱形48co的邊長為4,ND=60。，點￡在線段48上,

以BE為邊在左側(cè)構(gòu)造菱形8EFG,使G在CB的延長線上，連接CF、GE,分別取CRGE的中點H,O,

連接貝IJO〃=；當點￡在邊上運動（不含4D）時，5H的最小值為.

18.（2024?山東濟南?二模）在菱形48co中，N/=60。,48=8,E為菱形內(nèi)部一點，且8￡=6,連接DE,

點尸為。E中點，連接CF,點G是CF中點，連接BG,則8G的最大值為.

19.（2023?遼寧鐵嶺?模擬預測）如圖，“3C與ACDE是等邊三角形，連接4D,取/。的中點尸，連接8尸,

將ACDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn).若BC=2CD=4,則在ACDE旋轉(zhuǎn)過程中，則線段3尸的最大值為.

20.（2024?廣西南寧?模擬預測）如圖，在邊長為6的正方形48co中，點E,尸分別是邊NB,8c上的動

點，且滿足="與DE交于點。，點M是。廠的中點，G是邊48上的點，NG=2G8,則（W+；尸G

的最小值是

21.（23-24九年級上?貴州遵義?期末）如圖，正方形/8C。，邊長13=2,對角線NC、3。相交于點。，

將直角三角板的直角頂點放在點O處，三角板兩邊足夠長，與BC、CD交于￡、E兩點,當三角板繞點O

旋轉(zhuǎn)時，線段EF的最小值為.

23.（23-24九年級上?河南駐馬店?階段練習）如圖，點3、M、C三點在同一直線上，四邊形是菱

形，△MDC是邊長為4的等邊三角形，把△MDC繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)，當MD（即與交于一點E,

MC（即MC）同時與AD交于一點尸時，點E、9和點A構(gòu)成八AEF,則AAEF的周長的最小值是