三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)小題綜合（教師卷）-2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分項匯編

考題09三角翡熬的圖蒙鳥^質(zhì)木夏除合

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情（2015-2024）命題趨勢

考點1任意角和1.了解任意角和弧度制的概

弧度制及求扇形念，能進(jìn)行弧度與角度的互化，

的弧長、面積計2022?全國甲卷、2020?浙江卷、2015?山東卷借助單位圓理解三角函數(shù)（正

算弦、余弦、正切）的定義，并能

（10年3考）利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)

考點2任意角的問題，理解并掌握同角三角函

三角函數(shù)2020?山東卷、2020?全國卷、2018?北京卷數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系+商

（10年3考）數(shù)關(guān)系），夠利用公式化簡求

2024?全國甲卷、2023?全國乙卷、2021?全國甲卷值，能借助單位圓的對稱性利

考點3同角三角

2021.全國新I卷、2020?全國卷、2019?江蘇卷用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公

函數(shù)的基本關(guān)系

2018?全國卷、2018?全國卷、2016?全國卷式，能夠運用誘導(dǎo)公式解決相

（含弦切互化）

2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?福建卷關(guān)問題，該內(nèi)容是新高考卷的

（10年8考）

2015?四川卷必考內(nèi)容，一般會考查三角函

考點4誘導(dǎo)公式數(shù)化簡求值或特殊角求三角函

2023?全國甲卷、2022?浙江卷

及其化簡求值數(shù)值，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考

2017?全國卷、2017?北京卷

（10年3考）

2024.全國甲卷、2024?天津卷、2024.上海卷2.能用五點作圖法作出正弦、

考點5三角函數(shù)

2024?北京卷、2022?全國新II卷、2022?全國乙卷余弦和正切函數(shù)圖象，并掌握

的圖象與性質(zhì)

2022?天津卷、2021?北京卷、2021?全國甲卷圖象及性質(zhì)，能用五點作圖法

（基礎(chǔ)）

2021.全國乙卷、2019?北京卷、2018?全國卷作出正弦型、余弦型和正切型

（10年6考）

2017?山東卷、2017?全國卷函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)

2024?天津卷、2024?全國新I卷、2024?全國新II會求參數(shù)及函數(shù)解析式

卷該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)

考點6三角函數(shù)

2024?全國新II卷、2023?全國甲卷、2023?全國乙容，一般會綜合考查三角函數(shù)

的圖象與性質(zhì)

卷2023?天津卷、2023?全國新I卷、2023?全國新的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，需

（拔高）

II卷加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考

（10年10考）

2022.全國甲卷、2022?北京卷、2022.全國新I卷

2021.全國新I卷、2021?全國甲卷、2020?全國卷3.理解并掌握三角函數(shù)的圖象

2020?山東卷、2020?全國卷、2019?全國卷與性質(zhì)，會先平移后伸縮或先

2019?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷伸縮后平移來綜合解決三角函

2019?全國卷、2018?江蘇卷、2018?全國卷數(shù)的伸縮平移變換，該內(nèi)容是

2018?全國卷、2018?北京卷、2017?全國卷新高考卷的載體內(nèi)容，一般會

2017?全國卷、2017?全國卷、2017?全國卷結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜

2016?全國卷、2016?全國卷、2016?山東卷合考查三角函數(shù)的伸縮平移變

2016?浙江卷、2016?上海、2015?四川卷、換，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考

2015?安徽卷、2015?北京卷、2015?浙江卷

2015?湖南卷

考點7三角函數(shù)

的圖象與性質(zhì)2017?天津卷、2017?上海卷、2016?天津卷

（壓軸）2016?全國卷、2015?上海卷

（10年3考）

2023?全國甲卷、2022?天津卷、2022?浙江卷

2022?全國甲卷、2021?全國乙卷、2020?天津卷

考點8三角函數(shù)2020?江蘇卷、2019?天津卷、2018?天津卷

的伸縮平移變換2018?天津卷、2017?全國卷、2016?四川卷

（10年9考）2016?全國卷、2016?北京卷、2016,全國卷

2016?四川卷、2016?全國卷、2016?全國卷

2015?山東卷、2015?山東卷、2015?湖南卷

分考點?精準(zhǔn)練

考點01任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算

1.（2022?全國甲卷?高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的"會圓術(shù)”,

如圖，AB是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是AB的中點，。在AB上，CDJLAB."會圓術(shù)”給出AB的弧長的

近似值s的計算公式:s=A2+空.當(dāng)Q4=2,NAOB=60。時,

OA

11-37311-4布C9-36D9-4指

-----------Dd.-----------

22'-2~'-2-

【答案】B

【分析】連接OC,分別求出A￡,OC,C￡）,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。C,

D

因為C是A3的中點，

所以O(shè)C_LAB,

又CDLAB,所以O(shè),CD三點共線,

即8=04=03=2,

又ZAO3=60°,

所以AB=OA=OB=2,

則oc=G故CD=2-G，

（2-石）11-4A/3

所以s=AB+空

ZH-------=------

故選：B.

2.（2020?浙江?高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cmD為2兀，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的

底面半徑（單位：cm）是.

【答案】1

【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為乙母線長為/,則

7rxrxl=27T

1c,,解得，=l,/=2.

2x^xr=—x2x^-x/

2

故答案為：1

【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2015?山東?高考真題）終邊在V軸的正半軸上的角的集合是（）

x=—+2伍keZx=—+kn

x=-]+2fat,kGZ

【答案】A

【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解

【詳解】終邊在>軸正半軸上的角的集合是卜1+2也次?2

故選：A

考點02任意角的三角函數(shù)

1.（2020?山東?高考真題）已知直線/：y=xsine+cos。的圖像如圖所示，則角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出sind<0、cos6?>0,即可得出結(jié)果.

【詳解】結(jié)合圖像易知，sin<0,cos0>O,

則角。是第四象限角，

故選：D.

2.（2020?全國?高考真題）若a為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.

37r

【詳解】方法一：由a為第四象限角，可得萬+2左乃<。<2?+2左肛左￡Z,

所以3萬+4左〃<2a<4乃+4左犯keZ

此時2。的終邊落在第三、四象限及V軸的非正半軸上，所以sin2av0

故選：D.

方法二：當(dāng)a=-?時，cos2a=cosH>0,選項B錯誤；

TT（2?）

當(dāng)a=-§時，cos2tz=cosl---1<0,選項A錯誤；

由a在第四象限可得：sin?<0,cosa>0,則sin2a=2sinacoscr<0,選項C錯誤，選項D正確；

故選：D.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算

求解能力.

3.（2018?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，AB,CD,EF,G”是圓尤,+丁=1上的四段弧（如圖），點P在其中一

段上，角a以O(shè)x為始邊，0P為終邊，若tanaccosavsina,則尸所在的圓弧是

A.ABB.CD

C.EFD.GH

【答案】C

【詳解】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.

詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段MP為正弦線，有向線段AT為正切線.

A選項：當(dāng)點P在A2上時，costz=x,sintz=y,

/.cos(z>sin?,故A選項錯誤;

y

B選項：當(dāng)點尸在上時，cosa=x,sina=y,tana=—

x

tana>sina>cosa,故B選項錯誤；

C選項：當(dāng)點尸在鰭上時，cosa=x,sina=ytancr=—,

fx

/.sina>cosor>tancr,故C選項正確；

D選項：點P在GH上且GH在第三象限，tana>0,sin夕<0,cosa<0,故D選項錯誤.

綜上，故選C.

點睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到sin。,cos/tan。所對

應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較.

考點03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（含弦切互化）

1.（2024?全國甲卷?高考真題）已知一——=73,則tan

cosa-sin。

C@

A.2A/3+1B.2A/3-1D.1-73

2

【答案】B

ccqct

【分析】先將一弦化切求得tana,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

,、de、rCOSarr

【詳解】因為------；—=。3,

cosa-sma

所以-------=百，=>tana=1--，

1-tana3

所以tan[a+：J=^±1=273-1,

1-tana

故選：B.

2.（2023?全國乙卷?高考真題）若卜an0=51,貝Usin9—cose=

2

【答案】Y

【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求sin。，進(jìn)而可得結(jié)果.

JI

%

【詳解】因為。e,貝sin0>0,cos0>0f

又因為由11夕=包g=(,貝ijcos夕=2sin〃，

cosB2

且cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin20=1解得sin0=或sin夕=（舍去）,

55

所以sin。-cos。=sin8-2sin。=-sin8=

5

故答案為：-好

5

costy

3.（2021?全國甲卷?高考真題）若?！?。微,tan2a=-----------,則tana=()

2—sina

R6

AcL.-逐---D

-f53-f

【答案】A

sin2a2sinacosa’再結(jié)合已知可求得：

【分析】由二倍角公式可得tan2。=sina=利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)

cos2al-2sin2a

系即可求解.

?、乂八cos67

【詳解】vtan2^=-~；—

2-sin67

sin2a2sinacosacosa

/.tan2a=?2―，

cos2。1—2sina2-sin。

2sina1,解得sinaj,

??5%，「.cosawO,.

l-2sin2a2-sina

…=N^姮…a=sina_A/15

4COS6Z15

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sine.

4.（2021?全國新I卷?高考真題）若tan8=-2,則蘭必匕吧絲）

)

sin0+cos0

6226

A.——B.——C.一D.

5555

【答案】C

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母（I=sin26+cos20）,進(jìn)行齊次化處理，化為正

切的表達(dá)式，代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得:

sin9(l+sin2e)sin(sin2^+cos2O+ZsinOcos。)

=sin/sin6+cos。)

sin。+cos。sin8+cos6

_sin6(sin6+cos夕)_tan20+tan6^_4-2_2

sin2+cos26l+tan26>1+45

故選：C.

【點睛】易錯點睛：本題如果利用tan，=-2,求出sin。,cos。的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理,

可以避開了這一討論.

5.(2020?全國?高考真題)已知a￡(0,兀),且3cos2a-8cosa=5,則sina=()

A.旦

3-I

1D.必

C.一

39

【答案】A

【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cose的一元二次方程，求解得出cosa,再用同角間的三角函

數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】3cos2。一8cosa=5,得6cos'c—8cosa—8=0,

2

即3cos2g—4cosa-4=0,解得cosa=-耳或cosa=2(舍去),

又a￡(0,兀),sina=Jl-cos2a=

故選：A.

【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

tana2

（,江蘇，身考真題）已知(兀3,則sin12a+：的值是.

6.2019tana+一

(4

【答案】V2

10

【分析】由題意首先求得tana的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題,

最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.

tanatanatana(1-tana)2

【詳解】由(71tancr+1tan?+13,

tana-\——

(41-tana

得3tan2a—5tanc—2=0，

解得tana=2,或tana=——

3

_V2

綜上,sin12a+?

-10

【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸

思想解題.

7.(2018?全國?高考真題)已知sintz+cos/?=l,cosa+sin￡=0,則sin((z+0

【答案】-g

【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】

兩式兩邊平方相加得2+2sin(a+(3)=l,sin(a+/7)=-1

［方法二］:利用方程思想直接解出

sin6/=1-cosP，cos?=-sinP,兩式兩邊平方相加得cos4=g,貝!Jsina=；

G出

cosa=------coscr=———

21

又廠2或＜,所以sin(a+，)=-7

sin￡=g.口超2

sinp=--—

［方法三］:誘導(dǎo)公式+二倍角公式

37r^-+a\(kGZ).

由cosc+sin6=0,可得sin￡=-cose=sin口a,則用二2左乃+—+a或尸=2k1+》一

37r

若￡=2Qr+；-+a(左EZ),代入得sina+cos，=2sina=l,即

sina=—,sin(a+/?)=sinylkji+—+2a\=-cos2a=2sin2a-\=--.

TT

若/3=2k兀-3-a(keZ),代入得sina+cos分=0,與題設(shè)矛盾.

綜上所述，sin(a+6)=.

［方法四］:平方關(guān)系+誘導(dǎo)公式

由cos?/+sin2=(1-sinaf+(-coscr)2=2-2sina=l,得sina=；.

11os

又tana=q戊=1__SA=-tanA=(an|_A|ya=k兀-邑*G0,即2a=2左萬一尸，則a+,=2左"—二(左￡Z).從

coscr-sinp22J2

而sin(a+夕)=sin(2Z"一①=一sina=-g.

［方法五］:和差化積公式的應(yīng)用

由已知得(sina+cos夕)(cosa+sin/3)=—(sin2a+sin2￡)+cos(a-0)

=sin(6Z+/3)cos(ez-/?)+cos(ez—6)=0,貝ijcos(a-方)=0或sin(a+￡)=—1.

TTTT

若cos(a—分)=0,貝ija-，=k7i+—(kGZ),即0=/3+k7r+—(kGZ).

當(dāng)人為偶數(shù)時，sincr=cosy0,由sina+cos分=1,得sina=cos/=g,又cosa+sin，=0,cosasin，=—sir?/二—1,

131

所以sin(a+/3)-sin?cos［3+cosasin尸=］一］=~~.

當(dāng)人為奇數(shù)時，sina=-cos分，得sina+cos4=。，這與已知矛盾.

若sin(a+0=—1,則a+尸=2Qr—'(/￡Z).則sina=sin(2Z?—'—〃)=—cos/,得sina+cos尸=0,這與已知矛

盾.

綜上所述，sin(a+/?)=-；.

【整體點評】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；

方法二：通過平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個三角函數(shù)值，進(jìn)而解出；

方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；

方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；

方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗證即可解出，該法稍顯麻煩.

8.(2018?全國?高考真題)函數(shù)/(町=產(chǎn)=的最小正周期為

1+tanx

7171、

A.-B.-C.萬D.27r

42

【答案】C

【詳解】分析:將函數(shù)“力=產(chǎn)1進(jìn)行化簡即可

l+tanx

sinx

詳解：由已矢口得f（%）=-tanx-=—cos^c———sinxcosx=-sin2xfx^k7i+—,k^Z

'71+Wx]?（-）2212

cosx

f(x)的最小正周期T=/=n

故選c.

點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題

3

9.(2016?全國年考真題)若tana=—,則cos2a+2sin2a=

4

644816

A.—B.—C.1D.—

252525

【答案】A

33434161264

【詳解】試題分析：由tana=—，得sin二二一,cos。=—或sina=——,cosa=——，所以cos?a+2sin2a=----i-4x一=一,

故選A.

【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式.

【方法點撥】三角函數(shù)求值：①〃給角求值〃將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三

角函數(shù)值；②〃給值求值〃關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系.

10.（2016?全國?高考真題）若tan6=g,貝Ucos28=

4114

A.——B.——C.一D.-

5555

【答案】D

【詳解】COS26=COS?。一S加2。=c°s：gS血沼

cos6+sin0

21-1

1—tan094

分子分母同時除以cos?。，即得：cos26=

1+tar^d]+5

9

故選D.

cos（a-紅）

11.（2015?重慶?高考真題）若tana=2tanK,則--------（

?/萬、

5sm（a--）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

3兀7171

【詳解】cosa-=cosCtH---------

1052

7171

=coscc~=si+

2Tl}

sina+—.n.n

I5sinofcos——Fcosasm—

所以原式=￡

7171

sinfcr-ysin6zcos----cosasm—

55

tana+tan一3tan—

=5——^=3,

n71

tancr-tan—tan—

55

故選c.

點睛：三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計算

即可.本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡，求解

過程中注意公式的順用和逆用.

本題主要考查兩角和與差的公式.

12.（2015?福建?高考真題）若sina=-搐，且a為第四象限角，則tane的值等于

121255

A.—B.——C.——D.-----

551212

【答案】D

【詳解】團(tuán)sina=-2,且a為第四象限角,

團(tuán)cosa=A/1—sir^a=一

13

口,sina5

貝!Jtana=------=------

cosa12

故選D.

13.（2015?四川?高考真題）已知sina+2coscx=0,則2sinacosa—cos2a的值是.

【答案】-1

【詳解】由已知可得，sina=-2cosa,即tana=—2

—.2sinacosa-cos2a2tana-1-4-1

zsmacosa—cos0za=------------------------=-------------=--------

sinor+cosatana+14+1

考點：本意考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等變形等基礎(chǔ)知識，考查綜合處理問題的能力.

考點04誘導(dǎo)公式及其化簡求值

1.（2023?全國甲卷?高考真題）若/（x）=（尤-l）2+ax+sin[x+|J為偶函數(shù)，貝！|a=

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到/卜=從而求得a=2,再檢驗即可得解.

【詳解】因為y=/（》）=（x-l）z+ax+sinx+四=+ax+cosx為偶函數(shù)，定義域為R,

I2

71

所以/

則兀4=+一—1]=2兀，故〃=2,

止匕時/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+1+COSX,

所以/(-X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定義域為R,故/(X)為偶函數(shù)，

所以〃=2.

故答案為：2.

2.(2022?浙江?高考真題)若3sino—siny0=m，則sina=,cos2/3-

37104

【答案】

107

【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形，得到。的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出接下

來再求￡.

【詳解】［方法一］：利用輔助角公式處理

團(tuán)。+/=羨，回sinA=cosa,即3sina—cosa=,

即可嚕sina需回=屈,令sin"*cos*噌,

貝!J\/I5sin(a-e)=,回a—夕=]+2人力keZ,gpa-0+^+2kji,

R?.(A%C71n3A/10

團(tuán)sina=sm0+——k2k九=cos0-------,

I2)10

貝ijcos2/7=2cos2；0-l=2sin2<7-1=—,

故答案為：土叵；

105

[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程

國a+0=胃,團(tuán)sinp=cosa,即3sina—cosa-V10,

解得疝好平

又sin?a+cos?a=1>將cosa=3sin6r-V10代入得lOsin2a-6\^Usina+9=0

,。。4

則cos2/7=2cos2y0-l=2sin2cr-l=—,

故答案為：亞；

105

]TTTT

3.(2017?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=zsin(x+；)+cos(x-；7)的最大值為

【答案】A

71

【詳解】由誘導(dǎo)公式可得

2

貝lJ/(x)=(sin]x+4

+sin=H/，

函數(shù)“X）的最大值為，

所以選A.

【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把

函數(shù)化為＞=Asin（ox+o）+3的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、

結(jié)構(gòu)等特征.

4.（2017?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，角a與角均以5為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sina=；,

則sin尸=.

【答案】I

【詳解】試題分析：因為角a與角尸的終邊關(guān)于y軸對稱，所以C+尸=71+2析狀eZ,所以

sin13=sin（7t+2kit-a）=sina=—.

【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若a與尸的終邊關(guān)于y軸對稱,

則a+6=7i+2M/eZ,若a與尸的終邊關(guān)于x軸對稱，則a+尸=21br/eZ,若a與尸的終邊關(guān)于原點對稱，則

a—［3=n+2kn,,左eZ.

5.（2016?四川?高考真題）sin750°=.

【答案】|

【詳解】試題分析：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得仙750。=5皿720。+30。）=$由30。=1.

【考點】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

【名師點睛】本題也可以看作來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本.有許多三角

函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解.

考點05三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（基礎(chǔ)）

1.（2024?全國甲卷?高考真題）函數(shù)〃同=面計收《^在［0,兀］上的最大值是

【答案】2

【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.

【詳解】/(x)=sin當(dāng)xe[0,可時，x-ye-y,y

當(dāng)xj=5時，即Xq時，〃爪*=2.

故答案為：2

2.(2024?天津?高考真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

“e*一尤2cosx+x2Qx-xsinx+4x

DB-'C.yD-y=產(chǎn)

x2+lx+1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)〃x)==匚，函數(shù)定義域為R,但4-1)=±L41)=?,則〃一1戶〃1),故A錯誤;

x+122

對B,設(shè)且⑺二七’函數(shù)定義域為R’

且g(-x)=c：=co：：；j=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

對C,設(shè)可同=。，函數(shù)定義域為{x|xw-l},不關(guān)于原點對稱，則可尤)不是偶函數(shù)，故C錯誤;

對D,設(shè)0(x)=sin；：4無，函數(shù)定義域為R,因為磯i)=電1詈，研-1)==1-4,

則9(1戶9(-1),則夕(切不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

3.(2024?上海?高考真題)下列函數(shù)的最小正周期是27t的是()

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

【答案】A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對A,siiu+cosx=&sin]x+：；周期7=2兀，故A正確；

j27r

對B，sinxcosx=—sin2x,周期T=—=無,故B錯誤；

22

對于選項C,sin2^+cos2^=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；

對于選項D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期？=：=兀，故D錯誤，

故選：A.

4.(2024?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=sin°x?>0).E^/(x1)=-l,〃超)=1，且上-馬|的最小值為，則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.

【詳解】由題意可知：玉為外力的最小值點，々為的最大值點，

則卜1nm=(=],即7=兀,

2兀

且。>0,所以。=干=2.

故選：B.

5.(2022?全國新H卷?高考真題)(多選)已知函數(shù)/(%)=sin(2x+°)(0＜。＜兀)的圖像關(guān)于點［7，°J中心對稱，則()

A.7(幻在區(qū)間單調(diào)遞減

B./(x)在區(qū)間有兩個極值點

7兀

c.直線X是曲線v=/(x)的對稱軸

6

D.直線y=走-尤是曲線y=/(x)的切線

2

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出.

【詳解】由題意得：/fy^=sin^y+^=0,所以手+0=配，1fc"

4元

即°=——十kn,keZ,

2兀

又0＜夕＜兀，所以k=2時，(P=—故/(x)=sin

由正弦函數(shù)V=sina圖象知y=/(x)在0,一上是單調(diào)遞減;

對B,當(dāng)臂)時，2x+Ve|PVr由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/(x)只有1個極值點，由2x+子若,

解得X=!Sir|,即XSJT為函數(shù)的唯一極值點；

對C,當(dāng)x=時，2x+—-=3TI,f(--)=0,直線x=不是對稱軸;

6366

對D,由yuZcosCx+t1=一1得：cosl2x+yj=

27r2冗-r/L

解得2尤H-----=——+2而或2x+——=——+2foi,kGZ,

3333

、JI

從而得：x=E或無=耳+左兀,左EZ,

所以函數(shù)y=/(幻在點卜咚)處的切線斜率為k=兒。=2cosy=-l,

切線方程為：y-=-(x-0)B|Jy=-x.

故選：AD.

6.(2022,全國乙卷,高考真題)記函數(shù)/(X)=cos((yx+e)(＜y＞0,0＜。＜71)的最小正周期為T,若于(T)=,x=§為

/(X)的零點,則0的最小值為.

【答案】3

【分析】首先表示出r,根據(jù)〃T）=/求出。，再根據(jù)x=[為函數(shù)的零點，即可求出。的取值，從而得解;

【詳解】解：因為〃X）=COS（0X+O）,（（9＞0,0＜0＜兀）

所以最小正周期7=個，因為〃T）=cos[e"+，=cos（27i+°）=cos0=f,

又0＜夕＜兀，所以夕=看，即=，

又x=g為了（無）的零點，所以￡O+￡=]+加代eZ,解得0=3+9%左wZ,

因為。＞0,所以當(dāng)％=0時4m=3；

故答案為：3

7.（2022?天津?高考真題）已知/（x）=：sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①/⑴的最小正周期為2兀；

②Ax）在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)xe時，/（x）的取值范圍為-g，W；

_63」44

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假.

【詳解】因為"x）=（sin2龍，所以了⑴的最小正周期為7=§=兀，①不正確；

令t=-弓彳，而y=；sinf在-弓,弓匕遞增，所以/（刈在[-弓亭上單調(diào)遞增，②正確；因為f=2尤e

sin/￡--^-,1,所以/（x）￡一手為，③不正確；

由于ga）=1sin（2%+：）=1sin2〃+[],所以〃尤）的圖象可由g（%）=:sin（2X+；）的圖象向右平移弓個單位長度得

242＜8JJ248

到，④不正確.

故選：A.

8.（2021?北京?高考真題）函數(shù)/（%）=8$九-8$2尤是

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

C.奇函數(shù)，且最大值為9D.偶函數(shù)，且最大值為gQ

OO

【答案】D

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.

【詳解】由題意，=cos(-J；)-cos(-2x)=cosX-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù),

:os尤一cos2尤=-2cos2尤+cos尤+1=-21cos尤一:

又/(無)=Gi+i

1Q

所以當(dāng)cosx=:時，/(無)取最大值2.

48

故選：D.

9.(2021?全國甲卷?高考真題)己知函數(shù)/(x)=2cos(