數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）（全解全析）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)（新高考n卷）01?全解全析

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合/=,卜4〉15},5={-2,-1,0,1,2,3},則幺口5=（）

A.{2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,2,3}

【答案】D

【解析】

【詳解】在集合B中，滿足/〉15的有—2,2,3,

故幺口8={-2,2,3}.

故選：D.

2.已知i為虛數(shù)單位，則/'、，J=（）

（2+。。-i）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

5（"i）

【詳解】=l+i.

（2+。（2-i）22-i2

故選：D

3.國(guó)家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排

放接近于零，做到了真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的

污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間f(小時(shí))的關(guān)系為N=Noe-k

(或?yàn)樽畛跷廴疚飻?shù)量，且No〉0).如果前4個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的

64%還需要()

A.3.8小時(shí)B.4小時(shí)C.4.4小時(shí)D.5小時(shí)

【答案】B

【解析】

【詳解】由題意可知=0.8N°,即有eY?=0.8，

令Noe"'=O.64No,則有e,=0.64=(片4?丫=e一次，解得/=8,

8-4=4,故還需要4小時(shí)才能消除至最初的64%.

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+>0)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為2無，若/(x)在(-m,m)上是增函數(shù)，則m

的取值范圍是()

A.B.%］C.?D.［。，萬］

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳M=sin^x+：］(。>0)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為2兀,

則=即7=4兀，則0=:==，則/(x)=sin(：x+m］,

247t2^124)

7117r713冗7T

由2版—<—x+—<2k7i+—,得4癡---<x<4k7iH——(左EZ),

22222

所以“X)在卜干，鼻上是增函數(shù)，得0<加苦.

故選：B

5.已知圓C:(x—iy+(y—2)2=4,直線/:(a+l)x+(2a—2)y—4。=0,若直線/與圓C兩交點(diǎn)記為H

2,點(diǎn)尸為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足CP/748,則方.而最大值為()

A.2行B.3C.4D.8

【答案】C

【詳解】由題意知，圓心C(l,2),半徑外=2,

直線/：(a+l)x+(2a-2)y-4a=0,即a(x+2y-4)+x-2y=0,

，即直線/過定點(diǎn)M（2,I）,故|CM|=VL

設(shè)45中點(diǎn)為N,則CNL48,且|CN|e[O,亞],

又因?yàn)镃P〃4B,所以CNLCP,

所以百?而=（無+西+福）?（定+函+礪）=（京+.『+福?礪=（定+.

=r1+|CN「_QN.)=2|CN『<4,

當(dāng)|CM|=&時(shí)等號(hào)成立.

6.已知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意占/2€[2,+8）,且X]NX2都有人士成

(2、(InlO\

立.若a=/(k>g318),b=fln-j=j,c=fe2,則a,8c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

\/（X,）-/（X,）r\

又由對(duì)任意西,》2e[2.,+co）,且X]。％，都有_一〉M0成立,則函數(shù)/（X）在[2,+co）上為增函

X]-X?

數(shù),

InlO

又logs18=log(9x2)=2+logs2ln4==2-lnV2

34ie-=V10;

I11V2>0>所以In-y==2-lnV2<2,由函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,知

I—In2In2In2i—inio

XlnV2=—=-j—y<—=log32<l<V10-2,所以2+ln&<k)g318<e故6<a<c，

故選：A.

7.隨著我國(guó)鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高.據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號(hào)和復(fù)興號(hào)列車,

且和諧號(hào)列車的列次為復(fù)興號(hào)列車的列次的2倍，和諧號(hào)的正點(diǎn)率為0.98,復(fù)興號(hào)的正點(diǎn)率為0.99,今有

一列車未正點(diǎn)到達(dá)該站，則該列車為和諧號(hào)的概率為()

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】D

【詳解】令事件出經(jīng)過的列車為和諧號(hào)；事件8,經(jīng)過的列車為復(fù)興號(hào)；事件C,列車未正點(diǎn)到達(dá),

21

則p(A)=-,P(B)=-,P(C\A)=0.02,尸(C]5)=0.01,

于是P(C)=尸(Z)尸(C|Z)+P(B)P(C|5)=|x0.02+|x0.01=等，

2

,、P(AC}P(A\P{C\A)Tx0-02

所以該列車為和諧號(hào)的概率為o(Z|C)=；，='；=3=0.8.

亍

故選：D

8.已知點(diǎn)片，月是橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓。上一點(diǎn)，△明鳥的內(nèi)切圓的圓心為Q.若

5/1+3函+3班=0,貝U橢圓。的離心率為()

1233

A.-B.一C.-D.一

2587

【答案】C

【解析】

22

【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為：3+==l(a〉b〉0),尸國(guó),兒),。(羽耳,

則有耳(一c,O)，G(c,O),QFX=(-c-x,-y),QF2=(c-x,-y),QP=(x0-x,y0-y),

所以5。9]+3QR+300=5(-c—x,-y)+3(c-x,-y)+3(x0—x,y0-V)

=(3xo-llx-2c,3yo-lly)=(O,O),

所以％=甘,所以片用的內(nèi)切圓的半徑為智

,由橢圓定義可得

|尸耳|+|%|=2a,閨閭=2c,

所以，呻24dmi+i尸聞+閨閭）x平=q閨閭義聞

=^>—（2a+2c）x=—x2cx

2V7112

故選：D

RO

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評(píng)委對(duì)甲、乙的演講分別進(jìn)行打分

（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（）

個(gè)分?jǐn)?shù)

7.oj--Z7J）--------------

0123456評(píng)委編號(hào)

一甲--乙

A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：

甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8,5,8.6,8.6,8.7,9.1,

故去掉最高分和最低分可得甲的中位數(shù)為8.9,乙的中位數(shù)為8.6,故A正確;

甲的極差為9.3-7.0=2.3,乙的極差為9.1一8.1=2,故B正確；

6x75%=4.5,所以甲的第75百分位數(shù)為9.2,乙的第75百分位數(shù)為&7,故C錯(cuò)誤;

由圖可以看出甲得分的波動(dòng)比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(x)=sin［ox+了J(<y>0),下列說法正確的是()

JT

A.當(dāng)。=2時(shí)，/(x)的圖象關(guān)于直線x=—7對(duì)稱

8

7T

B.當(dāng)。=2時(shí)，將/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到g(x),g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

4

TTJT

C.當(dāng)0=1時(shí)，/(X)在單調(diào)遞減

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,兀］上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則。的范圍為

【答案】ACD

【解析】

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)勿=2時(shí)，/(x)=sin12x+^；曰］=5由2x［—：］+牛=sin|-=l,故/(x)

JT

的圖象關(guān)于直線》=-一對(duì)稱，A正確，

8

對(duì)于B,當(dāng)①=2時(shí)，/(x)=sinf2x+^j,

g(x)=/[x+：]=sin2x[x+：]+/=sin^2x+^j=-sin^2x+^j,故g(x)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，B錯(cuò)誤，

。(371?7t7C37t57r37rQ,、,7T7t

對(duì)于C,當(dāng)=1時(shí)，/(x)=sin]x+二I,xe—時(shí)，x+：-eit,——c7r,—，故/(x)在—

I.4J4244242

單調(diào)遞減，C正確,

3兀33

對(duì)于D,會(huì)［。㈤時(shí)，。'+丁彳加+彳‘若/⑴在區(qū)間⑼兀］上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則

4

3兀15

71VCDTlH----<271,解得一VG<一,故。的范圍為—|,D正確

44444J

故選：ACD

11.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù),

有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。力)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x+a)-6為奇函數(shù).已知/(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為g(x),若函數(shù)

y=/(x+l)-l是奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x+2)為偶函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

c.y=/(x+2)T為奇函數(shù)D.X/(0=l012

1=1

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)＞=/(x+l)-1為奇函數(shù)，

所以，函數(shù)N=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，

且函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,則=A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，不妨取/(x)=sin7tr+l,

因?yàn)?(x+l)T=sin[Mx+l)]+l-l=-sinjtx為奇函數(shù)，

則函數(shù)〃x)=sinrcr+l符合題意，g(x)=/'(%)=TTCOSTU,

所以，g(X+2)=7tCOs[7T(X+2)]=7TCOS7U：為偶函數(shù)，

但g(l)=—兀B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，不妨取/(x)=x,則/(X+1)-1=X為奇函數(shù)，

g(x)=/'(x)=l，g(x+2)=l為偶函數(shù)，合乎題意，

但/(x+2)-l=x+l不是奇函數(shù)，C錯(cuò)；

2冗

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃x)=sin7Lx+l,則該函數(shù)的最小正周期為T=—=2,

71

/(1)+/(2)=sin兀+1+sin2兀+1=2,

2024

所以，￡/(Z)=1012X2=2024W1012,D錯(cuò)

z=l?

故選：BCD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

,貝ijcos1

12.已知ae(O,Ji),cos

3

【答案】-

【解析】

【詳解】因?yàn)閍e（0,兀）又3卜+3=嘴＞0,

71

所以cos12a一石)=cos+：=sin2a+-\=-

2I65

3

故答案為：—

13.徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的

花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為30cm和

26cm,下面圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.

若上面圓臺(tái)的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為cm.

【答案】5a

【詳解】設(shè)上面圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為心上面半徑為、=15cm,下半圓半徑為馬=13cm,高為力=8cm,

222

根據(jù)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)公式；西+(”),帶入數(shù)值計(jì)算得到/1=7§+(15-13)=768=2舊cm；

設(shè)下面圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為上面半徑為6=12cm,下半圓半徑為〃=9cm,

由于兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等，可以得到”^二號(hào)與，帶入數(shù)值計(jì)算得到

,1/2

（々一

rX-r2

所以該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為2ji7+3ji7=5Vi7cm.

故答案為：5后

14.已知等差數(shù)列｛1,｝的公差不為0.若在｛。,｝的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來的順序仍然成

等差數(shù)列的概率為.(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)

咯案】1

【解析】

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為d(d*0),

若在數(shù)列｛4｝的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，構(gòu)成新的等差數(shù)列，則其公差可能為d,2d,3d,…,33d.

當(dāng)公差為d時(shí)，則首項(xiàng)可以為4,%，%，…，。97,可構(gòu)成共97個(gè)不同的等差數(shù)列;

當(dāng)公差為2d時(shí)，則首項(xiàng)可以為％,的，%，…,。94,可構(gòu)成共94個(gè)不同的等差數(shù)列;

當(dāng)公差為3d時(shí)，則首項(xiàng)可以為％,的,生，…，。91，可構(gòu)成共91個(gè)不同的等差數(shù)列；

當(dāng)公差為h7(左eN*,左〈33)時(shí)，則首項(xiàng)可以為為,出，。3,…，％003,可構(gòu)成共100-3左個(gè)不同的等差數(shù)列;

當(dāng)公差為33d時(shí)，則首項(xiàng)為6,可構(gòu)成共1個(gè)等差數(shù)列.

故在｛a?｝的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)按原來的順序，共可構(gòu)成97+94+91+…+1=33(；+D=33*49

個(gè)等差數(shù)列;

又在{4}的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，這4項(xiàng)按原來的順序共可構(gòu)成CM。個(gè)數(shù)列:

33x4933x4911

則由古典概型概率公式可得，=15^99x98x97=25x97

4x3x2xl

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼

續(xù)，直到答完所有題目.設(shè)選手甲答對(duì)第1題的概率為:，甲答對(duì)題序?yàn)?，的題目的概率R=幺，

3i

ie{l,2,3,4},各題回答正確與否相互之間沒有影響.

⑴若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，求甲答對(duì)第4題的概率；

（2）求甲停止答題時(shí)答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

1230

【答案】（1）工（2）分布列見解析；期望為77

6243r

222

【詳解】（1）解：因?yàn)檫x手甲答對(duì)第1題的概率為彳，所以左=彳，即P,^瓦,

333i

所以若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，則甲答對(duì)第4題的概率為（6分）

6

2121

（2）解：由題意得"1=彳,22=彳,A=—?PA=7?

3396

隨機(jī)變量X可?。∕23,4,

1224…小21714

則尸(X=0)=§,P(X=l)=-x—=一,P(X=2)=-x-x—=—,

3933981

…621251021212

P(X=3)=—x—x—x—=,P(X=4)=—x—x—x—=——.

33962433396243

所以隨機(jī)變量X分布列如下：

X01234

j_414102

P

3981243243

1414,102230-八、

所以磯X)=0x—+lx—+2x—+3x------1-44x-----=------.(13分)

3981243243243

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=/-加x+21nx(加GR).

（1）若/（%）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)加的取值范圍;

(2)若4〈機(jī)<5,且/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)占，x2,其中石<%,求/(%)一/(》2)的取值范圍.

【答案】(1)m<4

(2)^0,——4In2^

【解析】

【小問1詳解】

/(x)的定義域?yàn)?0,+8),(1分)

,//(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

22

/'(x)=2x-掰+—20在(0,+8)上恒成立，即加V2x+—在(0,+8)上恒成立，(4分)

xx

2

X2%+—>2當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，(6分)

x

m<4；(7分)

【小問2詳解】

22x~—Y+2

由題意/'(x)=2x—機(jī)+4=二~”三，年分)

XX

,//(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1；x2,

/.否,》2為方程2必一加x+2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

m

由韋達(dá)定理得匹+%2=5，%，%2=1，(10分)

<0<X]<%2，0<^<1<x2,

又機(jī)=2&+%)=2(X]+(4,5),解得!<玉<1,

X]2

???/(xj-/(%)=解-mxi+2In$)一(x；—mx2+2Inx2j

XX=x

=(x：-%2)+2(lnx1-lnx2)-2(x1+X2)(I~2)(2-^)+2(lnx1-lnx2)

12〃

~^~x\+4In,(12分)

不

11

設(shè)g(x)==—x7+41nx(—<x<l),

x2

則g，(x)=W-2x+&=-2，-云+1)=-2,

XXXX

；.g(x)在G，l)上單調(diào)遞減，(14分)

又g[]=4_；+41n]?_41n2,g(l)=1-1+0=0,

0<g(x)<?一4In2,

即/(%1)一/(%2)的取值范圍為1°，?一41n(15分)

17.(15分)如圖1,在平行四邊形48CD中，45=28C=4,N45C=60。，E為CD的中點(diǎn).將△/￡(￡

沿NE折起，連接8。與C￡>,如圖2.

(2)設(shè)麗=4面當(dāng)5E_ZDE時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)2,使得直線N尸與平面48CE所成角的

正弦值為30?若存在，求出之的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10

(3)當(dāng)三棱錐8-CDE的體積最大時(shí)，求三棱錐。-的內(nèi)切球的半徑.

【答案】(1)4(2)存在，2=2(3)二1二45

310

【解析】

【小問1詳解】

連接由題意得，AD=DE=2,NADE=60。,

則△4DE為等邊三角形，AE=AD=2,

在ABCE中，EC=2,BC=2,ZBCE=180°-60°=120°,

由余弦定理得=8。2+￡C2—28C-￡CCOS/8C￡=4+4—2*2義2*]—g[=12,

所以BE=2也,由BE=25AE=2,AB=4,

則ZE?+BE?=ZB?,故

若平面ADEmABCE,

由平面4DEn平面48c￡=N￡,BEu平面48C￡,BE±AE,

則BE,平面4DE,QEu平面4DE,則3￡/￡)￡,

所以RD=4BE-+DE1=2百J+2?=4.

下面證明當(dāng)BD=4時(shí)，平面4D￡_L平面48CE.

證明：蟲BE=25DE=2,BD=4,則十，

所以BEJ.DE,又BE_LAE,4EcDE=E,AE,DEu平面4DE,

所以BE,平面4DE,

又5Eu平面48CE,所以平面NDE_L平面48CE,

故當(dāng)AD=4時(shí)，平面平面48CE；(5分)

【小問2詳解】

由(1)知，BEIDE,則平面NZ)￡_L平面48C￡.

在平面ADE內(nèi)過E作EG，,

由平面ADEA平面ABCE=AE,EGu平面ABCE,

則EG,平面NBCE,8Eu平面NQE,則EGLBE.

如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以E4￡B,EG所在直線分別為x,%z軸，過￡垂直于平面4SCE的直線為z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系￡一盯z,

貝由0,0,0),/2,0,0),8(0,26,0),。(-1,a0),。(1,0,研

故罰=卜2,2退,0),麗=(1,—2g,V3),

由礪=ABD(0<2<1),

AF=AS+5F=AB+25D=(-2,273,0)+2(1,-273,73)=(-2+2,273(1-2),73/1),

因?yàn)閦軸垂直平面Z8CE,故可取平面N8CE的一個(gè)法向量為玩=(0,0,1),

設(shè)直線AF與平面ABCE所成角為3,

2

化簡(jiǎn)得33—144+8=0,解得丸=§或2=4（舍去），

故當(dāng)BEIDE時(shí)，存在X=2，使直線/尸與平面4SCE所成角的正弦值為叵；（10分）

310

【小問3詳解】

設(shè)點(diǎn)D到平面ABCE的距離為h,

由^B-CDE-BCE~§SABCE。，其中SBCE為定值，

則要使三棱錐。-8CE的體積最大時(shí)，則點(diǎn)。到平面BCE的距離取最大,

取NE中點(diǎn)〃，連接則

當(dāng)平面8C￡時(shí)，點(diǎn)。到平面8CE的距離最大，

此時(shí)，由Z>Hu平面4DE,則平面ADEL平面48CE,

由（1）知，BEIDE,AB助為直角三角形，BD=4.

則SBFD=-BE-DE=-x2s/3x2=243,

△0C22

S△A4UBHF=-2AE-BE=-2X2x2y[3=2y/3,

S,=-AE-DH=-x2x—x2=43，

"nr222

在△45。中，AB=4,4D=2,BD=4,取4D中點(diǎn)M,

則8/LAD,且W="2-儼=岳,

所以△/IDLJ=L2AD.BM=上2義2乂屈=岳,

設(shè)內(nèi)切球球心為/,內(nèi)切球半徑為「，由等體積法知,

「D—ABE=匕-ABD匕—ABE匕—ADE匕一BDE=§/(S&ABDABESADE^BDE

其中，VD.ABE="ABE.DH=葭2區(qū)6=2,

故尸=----------^D-ABE----------------------2x356-小

口"BD丁°"BE丁Q"DE丁口4BDE273+73+273+71510

三棱錐O-4SE的內(nèi)切球的半徑為反5二?5.（15分）

故當(dāng)三棱錐8-CD￡的體積最大時(shí),

10

22

18.（17分）已知雙曲線C：'—勺=1（?！?力〉0）的實(shí)軸長(zhǎng)為2,離心率為2,右焦點(diǎn)為歹，P為。上

a2b2

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

（1）若點(diǎn)尸在雙曲線。右支上，在》軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)〃.使得/尸7皿=22尸〃尸？若存在,

求出點(diǎn)河的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3

（2）過尸作圓。：/+/

=5的兩條切線卜i2,若切線4、人分別與c相交于另外的兩點(diǎn)￡、G,證明:

E、（9、G三點(diǎn)共線.

【解析】【小問1詳解】

2a=2

a-\2_i

Q=172o

根據(jù)題意，有《nb=3,

二=2二n9

c-2。2=4

4

2

所以雙曲線的方程為——2L=i.

3

設(shè)尸（后,0）,且/<0,

①當(dāng)直線P尸的斜率存在時(shí)，即飛H2時(shí),

因?yàn)?PFM=2NPMF,所以七《=tan/mR=^^

…tan(—)in(22S=；t；/工廠金

(\

2人

從而一‘為2人=Tv，化簡(jiǎn)整理得，2只一(4+2。/+4/=2焉+2及0-72-3，

JoI_]x—

「-(4+2。=2/,.

<2L所以在x軸負(fù)半軸上存在點(diǎn)河(一1,0)使得/尸藥0=2/尸/肝；

②當(dāng)直線尸尸的斜率不存在時(shí)，即X。=2時(shí)，

NPFM=90,若NPFM=2/PMF,則NPMR=45°，此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),

所以|尸尸|=3,^\\FM\=\PF\=3,又|。耳=2,所以10M=1,止匕時(shí)/=一1,

綜上，滿足條件的/點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(-1,0).

\斗/^(工0，先)

口

【小問2詳解】

…一1f29L=+J_

"W-2近

設(shè)P(xo,yo),由題意得，雙曲線和圓相交,所以聯(lián)立兩曲線方程，得彳3「二H廠，

2_3季>

x2+/=-

12r8H-20

即為兩曲線四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，

①當(dāng)尸(Xo/o)=尸時(shí)，即/=±/'時(shí)，直線PG的斜率不存在，

直線PE的斜率為0,

此時(shí)易得E—°J]—J],此時(shí)點(diǎn)￡、G關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，故E

。、G三點(diǎn)共線.

1V2v2J(V2V2J

②當(dāng)、>金’且X用或X<一金,且XN-時(shí)’

此時(shí)直線PE、PG的斜率存在且不為零，分別設(shè)為占,公，

設(shè)經(jīng)過PQo,yo)的直線方程為y=左(》-/)+%),由于直線與圓相切,

-(^2+])，即(X；■卜2—2%為左+了；-1-=0

2323

/一不2-2

由韋達(dá)定理得尢?左2=——全，又X；=區(qū)+1,所以左?左2

2303式+13

-----r1--

X。-532

由直線尸E與圓的位置關(guān)系可知，-一；；（左]%—歹0『=|"（左2+1）,

#1+1V2z

3

同理直線PG的方程為了=左2（%一/）+為，有（左2%—%）~=-（V+1）-

2/_1

聯(lián)立《3,消去y并整理得，

（左；一3卜2一（2%左:一2左％卜+左；%：一2左吊比+y：+3=0,

即（將一3卜2-2左1（左1%—%）、+（左I/+3=0,

即（r_3）/_2k[g（k+l卜+1（^2+1）+3=0,

|("+1)+3|(-+3),所以漬+3）

令￡（國(guó),％）,根據(jù)韋達(dá)定理得丫丫一

41?40—X]=

k；-3k；-3xo（左；-3）

39

T(抬+3)a?+3+3泅+3)

2Jlg

設(shè)G（X2，%），又占?左2=3，所以》2=7

T%o(4-3)

-3J1-3

3T7

22

所以玉+%2=0，又X；=a+1,%：=^+l，

22

兩式相減得，X；-X；=--=0=>y；=J/2?

由圖可知，必W%,所以必二一%,即乂+%=o.

所以點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，止匕時(shí)￡、。、G三點(diǎn)共線,

綜上得，E、0、G三點(diǎn)共線.

19.（17分）設(shè)數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S“，對(duì)一切〃wN,n>\,點(diǎn)都在函數(shù)/（x）=x+孑圖象上.

⑴求q,出，“3,歸納數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式（不必證明）：

（2）將數(shù)列｛。.｝依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（6）、（電，4）、（%，4，&）、（。7，。8，4馮0）、（勺）、

4，%3）、（%4，%5，%6）、（%7馮8，%9，&0）、（%）、.?.，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來

括號(hào)的前后順序構(gòu)成新的數(shù)列為｛2｝,求4+狐