第十三章　立體幾何初步（壓軸題專練）（解析版）

第十三章立體幾何初步（壓軸題專練）題型一基本立體圖形的概念【例1】下列說法正確的是()A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個側面都可以是直角三角形C．有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．棱臺的各側棱延長后不一定交于一點【解析】棱柱的結構特征是：有兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這些面所圍成的幾何體叫作棱柱，故A錯誤；四棱錐的四個側面都可以是直角三角形，B正確，如圖所示：PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形；有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形，若側棱的延長線不相交于一點，則不是棱臺，故C錯誤；由于棱臺是用平行于底面的平面截棱錐得到的，所以棱臺的各側棱延長后一定交于一點，故D錯誤．故選B．【答案】B思維升華此類問題的解法是主要掌握好棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的概念和幾何特征，以及它們的展開圖的形狀，從而正確的得到結論．鞏固訓練如圖所示的組合體，其結構特征是()A．左邊是三棱臺，右邊是圓柱B．左邊是三棱柱，右邊是圓柱C．左邊是三棱臺，右邊是長方體D．左邊是三棱柱，右邊是長方體解析：選D．根據三棱柱和長方體的結構特征，可知此組合體左邊是三棱柱，右邊是長方體．故選D．題型二空間中的共點、共線、共面問題【例2】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)GE與HF的交點在直線AC上．【證明】(1)因為BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD，又因為E，F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四點共面．(2)因為G，H不是BC，CD的中點，所以EF≠GH.又EF∥GH，所以EG與FH不平行，則必相交，設交點為M，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EG?平面ABC,HF?平面ACD))?M∈平面ABC且M∈平面ACD，所以M在平面ABC與平面ACD的交線上，所以M∈AC.所以GE與HF的交點在直線AC上．思維升華鞏固訓練在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于點E，F，G，H.求證：E，F，G，H必在同一直線上．證明：因為AB∥CD，所以四邊形ABCD是一個平面圖形，即AB，CD確定一個平面β，則AB?β，AD?β.因為E∈AB，所以E∈β，因為H∈AD，所以H∈β.又因為E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.因為DC?β，G∈DC，所以G∈β.又因為G∈α，所以點G在α與β的交線EH上．同理，點F在α與β的交線EH上．所以E，F，G，H必在同一條直線上．題型三直線與平面平行的綜合應用【例3】如圖所示，已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M為線段PC上一點．(1)設平面PAB∩平面PDC＝l，證明：AB∥l；(2)在棱PC上是否存在點M，使得PA∥平面MBD，若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由．【解析】(1)證明：因為AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，又因為平面PAB∩平面PDC＝l，且AB?平面PAB，所以AB∥l.(2)存在點M，使得PA∥平面MBD，此時eq\f(PM,MC)＝eq\f(1,2).證明如下：連接AC交BD于點O，連接MO.因為AB∥CD，且CD＝2AB，所以eq\f(AB,CD)＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(1,2)，又因為eq\f(PM,MC)＝eq\f(1,2)，PC∩AC＝C，所以PA∥MO，因為PA?平面MBD，MO?平面MBD，所以PA∥平面MBD.思維升華證明直線與平面平行的實質是證明直線與直線平行，將線線平行轉化為線面平行；而證明直線與平面平行的性質定理的實質是將線面平行轉化為線線平行；實現了線線平行與線面平行的相互轉化．鞏固訓練如圖所示，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別為AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．【解析】(1)證明：因為BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.證明如下：如圖所示，取PD中點E，連接AE，EN.又因為N為PC的中點，所以ENeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)CD.又因為AMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)CD，所以AMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EN，即四邊形AMNE為平行四邊形．所以AE∥MN，又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD.題型四平行關系的綜合應用【例4】在正方體ABCDA1B1C1D1中，如圖．(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F，并證明：A1E＝EF＝FC.【解析】(1)證明：因為在正方體ABCDA1B1C1D1中，ADeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形．所以AB1∥C1D.又因為C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因為AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如圖，連接A1C1交B1D1于點O1，連接A1C，連接AO1與A1C交于點E.又因為AO1?平面AB1D1，所以點E也在平面AB1D1內，所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點；連接AC交BD于點O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點．證明A1E＝EF＝FC的過程如下：因為平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中點，所以E是A1F的中點，即A1E＝EF；同理可證OF∥AE，所以F是CE的中點，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.思維升華兩個平面平行的判定定理與性質定理實現了直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行的相互轉化．鞏固訓練如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．證明：(1)如圖，因為E，F分別為B1C1，A1B1的中點，所以EF∥A1C1，因為A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點，所以A1F＝BG，又A1F∥BG，所以四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G，因為A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，所以平面A1C1G∥平面BEF.(2)因為平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點G，則有經過G的直線，設交BC＝H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，因為G為AB的中點，所以H為BC的中點．題型五垂直關系的綜合應用【例5】如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.【證明】如圖所示，取CD的中點M，BE的中點N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.因為AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，所以AB＝AE，即A′B＝A′E.所以A′N⊥BE.因為A′C＝A′D，所以A′M⊥CD.在四邊形BCDE中，CD⊥MN，又因為MN∩A′M＝M，所以CD⊥平面A′MN，所以CD⊥A′N，因為DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC，所以BE必與CD相交．又因為A′N⊥BE，A′N⊥CD，所以A′N⊥平面BCDE.又因為A′N?平面A′BE，所以平面A′BE⊥平面BCDE.思維升華垂直關系的轉化在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：鞏固訓練如圖，在四棱錐A1-BCED中，DE∥BC，A1D＝BD＝A1E＝CE＝eq\r(5)，O為DE的中點，2DE＝BC＝4.F為A1C的中點，平面A1DE⊥平面BCED.(1)求證：平面A1OB⊥平面A1OC；(2)線段OC上是否存在點G，使得OC⊥平面EFG？說明理由．【解析】(1)證明：因為A1D＝BD＝A1E＝CE＝eq\r(5).所以A1D＝A1E，又O為DE的中點，所以A1O⊥DE.因為平面A1DE⊥平面BCED，且A1O?平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED.所以CO⊥A1O.由于四邊形BCED是一個上底為2，下底為4，腰長為eq\r(5)的等腰梯形，易求得OB＝OC＝2eq\r(2).在△OBC中，BC＝4，所以CO⊥BO,所以CO⊥平面A1OB.所以平面A1OB⊥平面A1OC.(2)線段OC上不存在點G，使得OC⊥平面FFG.理由如下：假設線段OC上存在點G，使得OC⊥平面EFG，連接GE，GF.則必有OC⊥GF，且OC⊥GE.在Rt△A1OC中，由F為A1C的中點，OC⊥GF，得G為OC的中點．在△EOC中，因為OC⊥GE.所以EO＝EC.這顯然與EO＝1，EC＝eq\r(5)矛盾．所以線段OC上不存在點G，使得OC⊥平面EFG.題型六平行、垂直關系【例6】如圖，已知在直角梯形ABCD中，E為CD邊中點，且AE⊥CD，又G，F分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.(1)求證：AE⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由．【解析】(1)證明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.因為DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE，所以AE⊥平面CDE.(2)證明：取AB中點H，連接GH，FH，所以GH∥BD，FH∥BC，因為GH?平面BCD，BD?平面BCD，所以GH∥平面BCD.同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，GH，FH?平面FHG，所以平面FHG∥平面BCD，因為GF?平面FHG，所以GF∥平面BCD.(3)取線段AE的中點R，則平面BDR⊥平面DCB.證明如下：取線段DC的中點M，取線段DB的中點S，連接MS，RS，BR，DR，EM.則MSeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)BC，又REeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)BC，所以MSeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))RE，所以四邊形MERS是平行四邊形，所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點，所以EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE.因為EM?平面CDE，所以EM⊥BC.因為BC∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD，因為EM∥RS，所以RS⊥平面BCD.因為RS?平面BDR，所以平面BDR⊥平面BCD.思維升華(1)平行、垂直關系的相互轉化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點①由已知想性質，由求證想判定；②適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一；③用定理時要先明確條件，再由定理得出相應結論．鞏固訓練已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，∠ABC＝60°，M是線段AB的中點．(1)求證：CM⊥平面PAB；(2)已知點N是線段PB的中點，試判斷直線CN與平面PAD的位置關系，并證明你的判斷．【解析】(1)證明：連接AC.因為AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等邊三角形，M是線段AB的中點，所以CM⊥AB，又因為PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，所以PA⊥CM，又因為PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以CM⊥平面PAB．(2)CN∥平面PAD.證明如下：取線段PA的中點F，連接FN，DF，所以FN∥AB，FN＝eq\f(1,2)AB，因為M是線段AB的中點，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，所以FN∥CD，FN＝CD，所以CDFN是平行四邊形，所以CN∥DF，又因為DF?平面PAD，CN?平面PAD，所以CN∥平面PAD.題型七空間角的計算【例7】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq\r(3)，PD＝CD＝2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)求證：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD為異面直線PA與BC所成的角．又因為AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝eq\f(PD,AD)＝2，所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.又因為AD⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD?平面PDC，所以AD⊥平面PDC.而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC內，過點P作PE⊥CD交直線CD延長線于點E，連接EB(如圖).由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2eq\r(3)，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝eq\r(3).由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝eq\r(PC2＋BC2)＝eq\r(13).在Rt△PEB中，sin∠PBE＝eq\f(PE,PB)＝eq\f(\r(39),13).所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為eq\f(\r(39),13).思維升華空間角的求法(1)找異面直線所成角的三種方法①利用圖中已有的平行線平移；②利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；③補形平移．(2)線面角：求斜線與平面所成的角關鍵是找到斜線在平面內的射影，即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足．通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內的射影所組成的直角三角形．(3)二面角：利用幾何體的特征作出所求二面角的平面角，再把該平面角轉化到某三角形或其他平面圖形中求解．鞏固訓練如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，側面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形．(1)求證：BD⊥PC；(2)求二面角B-PC-D的大?。窘馕觥?1)證明：如圖，取AB的中點O，連接PO，CO.因為△PAB是等邊三角形，所以PO⊥AB.又側面PAB⊥底面ABCD，側面PAB∩底面ABCD＝AB，所以PO⊥底面ABCD.又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD.又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC.所以∠BCO＝∠ABD.所以BD⊥OC.又OC，PO?平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC.又PC?平面POC，所以BD⊥PC.(2)如圖，取PC的中點E，連接BE，DE，因為PB＝BC，所以BE⊥PC.又BD⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE.又DE?平面BDE，所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角．因為BC⊥AB，AD⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB，AD⊥PA.由平面幾何知識，可求得BE＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(2)，PD＝BD＝eq\r(5)，所以DE＝eq\r(3)，所以BE2＋DE2＝BD2，所以∠BED＝90°，即二面角B-PC-D的大小為90°.題型八空間圖形的表面積和體積【例8】如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉一周．求旋轉體的表面積和體積．【解析】由題易知以l為軸將梯形ABCD旋轉一周后形成的幾何體如圖所示，即圓柱中挖去一個倒置的且與圓柱等高的圓錐．在梯